專題09.六類幾何最值模型專項(xiàng)訓(xùn)練

本專題包含將軍飲馬、遛馬（造橋）、瓜豆、費(fèi)馬點(diǎn)、胡不歸、逆等線模型及代數(shù)法求幾何最值。

1.（23-24八年級(jí)下?廣東廣州?期中）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,點(diǎn)E是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、F

在線段上方，EF±AE,SLAE=EF,連接胡，F(xiàn)D,則E4+FD的最小值為.

【詳解】解：如圖1,作尸GLBC,交2C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

回四邊形ABCD為正方形，回AB=3C,ZABC=ZDCG=AFGE=90°,

0ZBAE+ZAEB=ZAEB+ZFEG=90°,^\ZBAE=ZFEG,

0AE=EF0^ABE^EGF,@FG=BE,AB=EG,0AB=BC,回3C=EG,0BE=CG=FG,

回/FGE=90?；?FCG=45°,回點(diǎn)F總在/DCG的角平分線上.

如圖2,在。C延長(zhǎng)線上截取S=CD=4,則點(diǎn)。和點(diǎn)H關(guān)于直線C/對(duì)稱，

連接AH,當(dāng)點(diǎn)A、F、〃在同一直線上時(shí)，E4+FD的值最小，為A”長(zhǎng)度.

在RtaABH中，AH=7AB2+BH2=^42+82=475,即AHr的最小值為4石.故答案為：475

2.（23-24八年級(jí)下?福建莆田?期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=6,ZDAC=30°,點(diǎn)、P,E分別在AC,

AD上，則PE+PD的最小值為.

【答案】373

【詳解】解：如圖，將線段沿AC翻折得到線段Ab,過點(diǎn)尸作質(zhì)，AD于H,連接PF.

vZZMC=30°,AD=6,由翻折可知，ZCAF=ZDAC=30°,AF=AD=6,PF=PD,

-.PD+PE=FP+PE,又?.?FP+PENFH,的最小值就是線段FfZ的長(zhǎng)，

在中，-.-ZAHF^90°,4MF=60°,AF=6,則NA/-=30°,

SAH=~AF,FH=ylAF2-AH2=^-AF,;.FH=昱AF=6x昱=36,

2222

.?.PE+PD的最小值為3g,故答案為3檔.

3.（23-24八年級(jí)下?福建南平?期中）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)M在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，N為。C上

一點(diǎn)，DE=2,則DM+ME長(zhǎng)的最小值為

【答案】10

【詳解】解：回四邊形A5CD是正方形，回點(diǎn)B與。關(guān)于直線AC對(duì)稱,

連接8D,3E交AC于AT,連接DW',,0DM'+M'E=BM'+M'E=BE,

BlAf'即為所求的點(diǎn)，EI8E的長(zhǎng)即為DAf+ME的最小值，回正方形ABC。，0SC=CD=8,NBCD=90°,

B1DE=2,SCE=6,0BE=-JCE2+BC2=A/62+82=10-ElfiM+Affi長(zhǎng)的最小值為10;故答案為：10.

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為8的菱形ABCD中，ZD=30°,尸為BC上方一點(diǎn)，且

S/XPBC=Z%形ABCO，則APBC周長(zhǎng)的最小值為-----

【答案】4指+8/8+46

【詳解】解：過A作于E,國(guó)四邊形ABC。是菱形，ZD=30°,回/ABC=/。=30。,

0AE=AB-sinNZ?=4,0S菱形ABCD=8c.AE=4x8=32

1I卜j—8—).

05APBC=-S^CD=8,設(shè)點(diǎn)尸到BC的距離為〃，回I,J，

即點(diǎn)P在平行于BC且到BC的距離為2的直線/上，

作點(diǎn)8關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG交直線/于點(diǎn)尸，則此時(shí)，P3+PC的值最小，最小值為CG的長(zhǎng)，

0BG±7,0BG1BC,0ZCBG=90°,BG=2h=4,

團(tuán)CG=7SC2+BG2=A/82+42=4＞后，0PB+PCM小值為475,

回APBC周長(zhǎng)的最小值為4宕+8故答案為：46+8.

5.(23-24八年級(jí)下?湖北十堰?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A3,0),3(0,6),且a,b滿足

|a+61+4b^6=0,點(diǎn)C是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以原點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)，OC為直角邊作等腰直角三角形OCD,

連接8￡).(1)判斷AAOB的形狀，并說明理由；⑵求證：4。2+3。2=20。2；⑶求OD+BD的最小值.

【答案】(1)AAOB為等腰直角三角形⑵答案見詳解(3)6指

【詳解】(1)解：回|。+6|+4-6=0,回。+6=0*一6=0,

13a=-6,6=6,SOA=OB=6,SZAOB=90°,團(tuán)AAOB為等腰直角三角形.

(2)解：如圖所示，連接AD.0ABOC+ZCOA=ZCOA+ZAOD=90°,^\ZBOC=ZAOD,

yjS\BO=AO,CO=DO,0ABCO=AAD(9EZ.CBO=ZDAO=45°,BC=AD,

0ZSAO=45°,回NB4O+NQ4D=90°,回AACD為直角三角形，

IB在Rt^ACD和Rt^CO。中，CD2=OD2+OC2=AC2+AD2,CO=DO,BC=AD,BAC2+BC22OC2.

(3)解：如圖所示，過點(diǎn)2作AD的對(duì)稱點(diǎn)B,過夕作EF_Lx于點(diǎn)尸，則54=3N,BD=B'D,貝U

OD+BD^OD+B'D,回OD+BD的最小值即為OD+3'D的最小值，團(tuán)當(dāng)。。3'三點(diǎn)共線時(shí)，OD+B'D最

小，即08,長(zhǎng)，BlZB'FA=ZAOB=90°,NBAO=NB'AF,BA=B'A,BABAO=AB'AF,E

B'F=BO=6,AF=AO=6,在RtAOEB'中，OB=Jo尸+B'F?=6石，回8+班)的最小值為6店.

6.（23-24八年級(jí)下?湖北武漢?期中）如圖，在矩形A3CD中，AB=6,AD=10,E為C。的中點(diǎn)，若尸、Q為BC

邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且尸。=2,則線段AP+QE的最小值為

【答案】阿

【詳解】解：在AD上截取線段4/=尸。=2,作/點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G,連接EG與BC交于一點(diǎn)即為。

點(diǎn)，連接尸。，過A點(diǎn)作尸。的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作BC的平行線交。C的延長(zhǎng)線于H

點(diǎn).「A尸=PQ=2,A尸〃尸。，...四邊形4尸。尸是平行四邊形，^]PA=FQ=GQ,

/點(diǎn)與點(diǎn)G關(guān)于BC對(duì)稱，.〔BC垂直平分FG,，C8=1GF=AB=6,

2

^GH=DF=AD-AF=10-2=S,EH=EC+CH=3+6=9,ZH=90°,

0EG=^EH-+GH1=V145>；?線段AP+QE的最小值為^/S?，故答案為：V145.

7.（2024?浙江金華?八年級(jí)期末）在綜合實(shí)踐課上，小明把邊長(zhǎng)為2c機(jī)的正方形紙片沿著對(duì)角線AC剪開，

如圖/所示.然后固定紙片AABC,把紙片AAOC沿AC的方向平移得到△4。。，連43,D'B,D'C,在平

移過程中：（1）四邊形ABCO的形狀始終是_；（2）48+7X8的最小值為

DDD'

BB

圖1圖2

【答案】平行四邊形275

【詳解】（1）如圖2中，^A'D'=BC,A'D'SBC,回四邊形是平行四邊形，故答案為：平行四邊形.

（2）如圖2,作直線。O,作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)C”,連接。C",BC",過點(diǎn)2作BHHCC"于X.

團(tuán)四邊形A8C￡）是正方形，SAB=BC=2,0ABe=90。，BAC=0AB=2夜，

0BJEL4C,0AJ=JC,0BJ=1AC=V2-03&/。=回"7/=回〃=90°,El四邊形BHC7是矩形，

S\BJ=CJ,團(tuán)四邊形是正方形，@BH=CH=0,在R應(yīng)BHC”中，HC"=3四,

0BC"=^BH2+HC"2=J（應(yīng)產(chǎn)+（30r=26，

回四邊形A'BC。是平行四邊形，SA'B=CD',^A'B+BD'=BD'+CD'=BD'+D'C">BC",

^A'B+BD'>2yl5,0A'B+ZXB的最小值為2vL故答案為：2亞.

8.（2024?陜西?三模）如圖，矩形ABC。中，AB=8,BC=4,點(diǎn)E,F,G,H分別在矩形ABC。各邊上，且

AE=CG,BF=DH,則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】875

【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接EG交BC于點(diǎn)乩此時(shí)四邊形EFGH周長(zhǎng)取最小值，過點(diǎn)

G作GG0AB于點(diǎn)G，，如圖所示.

22

0AE=CG,BE=BE',^E'G'=AB=8,^GG'=AD=BC=4,回E'G=^E'G'+GG'=4A/5,

例C逑形EFGH=2EG=85故答案為：8^/5.

9.（2023?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，等邊VABC中，AB=6,將VABC沿AC翻折，得到AWC,

連接8。，交AC于。點(diǎn)，E點(diǎn)在OD上，且OE=2OE,歹是BC的中點(diǎn)，尸是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，^\\PF-PE\

的最大值為.

DA

【答案】百

【詳解】解：?.?△ABC為等邊三角形，AB=6,:.AB=AC=BC=6,

?.?將VABC沿AC翻折，得到△ADC,.?.AD=CD=3C=AB=6,.,.四邊形ABCD為菱形,

團(tuán)00=30,A0=C0=3,BDLAC,1380是AC邊上的中線，

如圖，連接鉆、AF、PM,交BD于M,

團(tuán)產(chǎn)是BC的中點(diǎn)，回,是BC邊上的中線，N54C的角平分線，^BM=2OM,AM=2MF,ZC4F=30°,

^DE=2OE,^OM=OE,SBD1AC,^PE=PM,AE^AM,^i\PF-PE\^\PF-PM\,

團(tuán)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，|尸尸-最大，最大為FM,B1ZCAF=30°,0CF=3,由勾股定理得，

AF=YIAC2-CF2=3A/3-0FM=jAF=>/3,故答案為：下,.

10.（2022?湖北黃石?中考真題）如圖，等邊AABC中，AB=10,點(diǎn)E為高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，以3E為邊作等

邊ABEF,連接。尸，CF,貝U/3CF=,FB+FD的最小值為.

【答案】30°##30度5G

【詳解】解：①回入4BC為等邊三角形，^\BA=BC,ADVBC,回ZBAE=；ZR4C=30。，

團(tuán)△BEF是等邊三角形，^ZEBF=ZABC=60°,BE=BF,

^ZABE=ZABC-ZEBC=60P-ZEBC,ZCBF=ZEBF-ZEBC=60P-ZEBC,S\ZABE=ZCBF,

BA=BC

^BAEABCF=ZCBFEABAE^ABCF(S4S),得NBAE=NBCE=30。；故答案為：30°.

BE=BF

②(將軍飲馬問題)過點(diǎn)。作定直線C尸的對(duì)稱點(diǎn)G,連CG,

Elz\DCG為等邊三角形，CF為。G的中垂線，F(xiàn)D=FG,SFB+FD=FB+FG,

連接8G,BFB+FD=FB+FG>BG,y.DG=DC^-BC,EIABCG為直角三角形，

2

I33C=1O,CG=5,SBG=5y/3,I3FB+FD的最小值為5A.故答案為：50.

11.（23-24八年級(jí)上?湖北咸寧?期末）邊長(zhǎng)為4的等邊ACMB的頂點(diǎn)。與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A在x軸正半

軸上,頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)C是〉軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC,以AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊AACD,

連接并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)E.

⑴如圖1,當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，ZBEO=度；（2）如圖2,當(dāng)A,B,C三點(diǎn)不共線時(shí)，求/BEO的

度數(shù)；（3）在問題（2）的條件下，取點(diǎn)P（5,0）,求尸。的最小值.

【答案】⑴120（2）/3E0的度數(shù)為120。⑶尸。的最小值為4.5

【詳解】（1）解：HAACD,AABO是等邊三角形，

SiAO=AB,AD=AC,ZBAO=ZCAD=60°,SZCAO=ZBAD,

0AG4O^A￡MJ?(SAS),0/DBA=ZCOA=90°,0ZABE=90°,

EIZAOE+ZABE+N(MB+ZBEO=360°,0ZBEO=12O°；

(2)EIAACD,AABO是等邊三角形，SAO=AB,AD=AC,ZBAO=ZCAD=60°,

0ZG4O=ZBAD,ElACA。絲△DAB(SAS),^\ZDBA=ZCOA=90°,0Z4BE=9O°,

EIZAOE+ZABE+N(MB+ZBEO=360°,0ZBEC>=120°；

(3)由(2)可知：?ABD90?,回點(diǎn)。在過點(diǎn)B且垂直AB的射線BO上運(yùn)動(dòng)，

如圖，過點(diǎn)P作尸￡>'_L應(yīng))于。C,過點(diǎn)A作于

由垂線段最短，可得尸Z）的最小值為尸￡>',

0ZABD=ZBD'H=ZAHD'=90°,團(tuán)四邊形ABD7/是長(zhǎng)方形，EAB=D,H=4,

0ZPAH=180°-60°-90°=30°,AH±D'P,0PH=1AP=1（5-4）=0.5,

回尸/7=4+。.5=4.5即尸￡>的最小值為：4.5.

12.（23-24八年級(jí)上?福建廈門?期末）如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,/為直線3C上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段4〃繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AN,連接CN,則當(dāng)CN取得最小值時(shí)，下列結(jié)論

正確的是（）

A.直線CTVLABB.直線CN平分ABC.直線CN與直線重合D.直線CN與直線AC重合

【答案】B

【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)AC到E,使得AE=AB,連接NE,

EIRt^ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,^NBAC=180°—NACB—NABC=60°,AB=2AC,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=ZMAN=60°,^\ZBAC=ZMAN,

^\ZBAM=ZEAN,回AfiAM絲A￡W（SAS）,^\ZAEN=ZABM=30°,

團(tuán)點(diǎn)N在直線EN運(yùn)動(dòng)，回當(dāng)CV,硒時(shí)，CN最小，

設(shè)當(dāng)CNLEN時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)8重合，延長(zhǎng)HC交AB于R

0ZACF=ZHCE=90°-30°=60°,EI^ACF是等邊三角形，BAF^AC,

^AB=2AC,BAB=2AF,回直線CN平分A8,故選B.

13.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）（1）問題背景:如圖1,P為AABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接24、PB、PC,將△APC

圖1圖2

由尸C=PC,ZPCr=60°,可知APCP為三角形，故尸P=PC,又P'A=R4,故

上4+尸3+尸。=24'+依+小243,由可知，當(dāng)氏P,P',A在同一條直線上時(shí)，P4+PB+PC

取最小值，如圖2,最小值為A3,此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的"費(fèi)馬點(diǎn)”.

（2）問題解決:如圖3,在AABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且AC=3,BC=4,NACB=30。，求上4+PB+PC

的最小值；

（3）問題應(yīng)用:如圖4,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且AC=6km,BC=4限m,ZACB=30。.現(xiàn)

欲在AASC內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向AB,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊AB,C的鋪

設(shè)成本分別為1000元/km,1000元/km,10006萬元/km，是否存在合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成

本最低，若存在請(qǐng)求出成本的最小值.

【答案】(1)等邊；兩點(diǎn)之間線段最短(2)5(3)2000回

【詳解】(1):PC=PC,NPCP=60。，.主尸^尸為等邊三角形，

由幾何公理：兩點(diǎn)之間線段最短可得：PP+PB+AP>AB,

當(dāng)8,P,P',A在同一條直線上時(shí)，上4+PB+PC取最小值.故答案為：等邊，兩點(diǎn)之間線段最短.

(2)如圖4,將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到回A'P'C,連接PP，

圖4

由(1)可知當(dāng)3、P、P、A在同一條直線上時(shí)，E4+P3+PC取最小值，最小值為4B,

ZACP=ZACP',ZACP+ZBCP=ZACP'+ZBCP=ZACB=30°,

又?.?ZPCP=60。，，/比"=90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=AC=3,

.?.42=標(biāo)行=5，即24+尸3+PC的最小值為5；

(3),總鋪設(shè)成本=PAxl000+PBx1000+PCx1000石=1000(PA+PB+出PC)萬元，

，當(dāng)PA+PB+6PC最小時(shí)，總鋪設(shè)成本最低，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到EIA'P'C,連接尸P，

AB,過點(diǎn)A作A”_L3C于H,過點(diǎn)C作CK_LPP于K,如圖：

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC,ZPCP1=ZACA!=no°,P'A1=PA,A'C=AC=6hn,

在RtAPKC中，CK=^PC：.PK=^-PC:.PP'=^PC,PA+PB+43PC=P'A+PB+PP',

當(dāng)2、尸、P'、A，在同一條直線上時(shí)，PA+PB+尸產(chǎn)取最小值，即PA+P3+6PC取最小值，其最小值

為的長(zhǎng)度，?/ZACB=30°,ZACA=12.0°,ZACH=30°,A'H=^A'C=3km,

HC=y/A'C2-A'H2=，62-32=3瓜km)BH=BC+CH=4陋+3上=7小(km),

A'B=4BH2+A'H2=7(7>^)2+32=2屈(fow),PA+PB+>/3PC的最小值為2回km,

總鋪設(shè)成本最小值為：1000(PA+PB+-J3PC)=2000^9(元).

14.(2024?重慶?一模)在VABC中，ZACB=45。,AD23C于點(diǎn)。.

(1)如圖L過點(diǎn)8作3H_LAC,分別交AC于X,A￡)于跖求證：DB=DM；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作。尸〃交AC于點(diǎn)E點(diǎn)G為AQ左側(cè)一點(diǎn)，AG1AC,AG=CF,連接2G,

ZAGB=ZAFD,DF,A3之間存在的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,ZABC=60°,">=2g,點(diǎn)尸為VABC內(nèi)部一點(diǎn)(PA+eP8+PC『的最小值.

【答案】⑴見解析⑵鉆尸+8*3)56+166

【詳解】(1)證明：^\BH±AC,ADJ.BC,ZBHC=ZADB=90°,

0ZC=45°,SZDBH=ZDMB=45°,SDB=DM；

(2)解：結(jié)論：AB=DF+BG.理由如下：在AD上取點(diǎn)J,使得DJ=DB,連接Q,CJ,延長(zhǎng)CJ交

于點(diǎn)K.過點(diǎn)4作4"〃3。，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，如圖所示：

0AD±CD,ZACD=45°,ZDAC=ZACD=45°,ElZM=DC,

回ZAC?=NW=90°,DB=DJ,EA/WB^ACDJ（SAS）,SAB=CJ,ABAD=ZDCJ,

^\ZAJK=ZCJD,SZAKJ=ZCDJ=90°,SZBAC+ZFCJ=90°,

0AG1AC,EZE4G+ZBAC=90°,^ZBAG^AFCJ,

0AG=CF,AB=CJ,E1AABG^AC/F（SAS）,0BG-E7,ZAGB=/CFJ,

S\ZAGB=ZAFD,^\ZAFD=ZCFJ,0ZAFJ=NCFD=ZAFH,

SAH//CD,^\ZFAH=ZACD=45°=ZJAF,QAF=AF,回AAF//AAFZ7（ASA）,

BFJ=FH,SFH=GB,SAB//DH,AH//BD,回四邊形ABD"是平行四邊形，

0AB=DH=DF+FH=DF+BG；

(3)解：如圖3中，將ABCP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ABTG，連接AT,PG,延長(zhǎng)TB,過點(diǎn)A作AK〃BC

交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，PC=GT,BP=BG,ZPBG=ZCBT=90°,

0BP=BG,NPBG=90。,B1PG=^PB，PA+>f2PB+PC=PA+PG+TG>AT>

^AD±BC,0ZADB=9O°,^\AK//BC,0ZDAK=180°-ZADB=90°,

0ZDBK=180°-90°=90°ZADB=ZDBK=90°,團(tuán)四邊形AZJ3K是矩形，SAK=BD,

在RtAADB中，ZADB=9Q°,AD=l6ZABC=60°,E1BR==*=2,

tan6006

團(tuán)0)=AZ)=24，SiBT=BC=BD+DC=2+2^,SAK=BD^2,BK=AD=26,

I3TK=BK+BT=2石+2+26=2+4g,ElAT?=AK7+TK?=2?+(2+4/了=56+16.，

0(PA+y/2PB+PC『256+16退，0(R4+桓PB+PC『的最小值為56+16班.

15.(2024上?陜西西安?九年級(jí)統(tǒng)考期中)(1)如圖1,P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)是5,連接點(diǎn)尸與

線段的兩個(gè)端點(diǎn)A,B,求PA+P3的最小值.

(2)如圖2,曲江金地某社區(qū)內(nèi)有一塊矩形的空地ABCD,且A3=10,BC=1函,空地內(nèi)有一個(gè)老年活

動(dòng)中心在點(diǎn)尸處，社區(qū)準(zhǔn)備從點(diǎn)尸處分別向AB,C三處修建三條小路，分別是PAPB,PC,求三條小路

的長(zhǎng)度之和的最小值.

【答案】(1)R4+PB的最小值是5；(2)三條小路的長(zhǎng)度之和的最小值是10/7

【詳解】(1)解：由題意可得上4+PBNAB,AB=5,^PA+PB>5,回上4+P3的最小值是5.

（2）解：如圖，將△3PC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到AEFC,連接尸產(chǎn)，AE,AC.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，是等邊三角形，0PC=PF,團(tuán)PB=EF,SPA+PB+PC=PA+PF+EF,

???當(dāng)A、P、F、E四點(diǎn)共線時(shí)，R4+PF+EF的值最小，即A4+P8+PC的值最小，最小值為AE的長(zhǎng).

,四邊形A8CD是矩形，0ZABC=9O°,:AC=4AB。+BC?=加+（10南=20,

0AC=2AB,ElZACB=30°,ElZBCE=60°,EZACE=30°+60°=90°,

SAE=7AC2+CE2=^202+（10A/3）2=1（）77團(tuán)三條小路的長(zhǎng)度之和的最小值是loV?.

16.（23-24八年級(jí)下?陜西西安?期末）問題探究：將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的

過程叫做幾何變換.旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型.經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn).題

設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化.

問題提出：如圖1,VABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，P為VABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接上4、PB、PC,求

上4+尸3+PC的最小值.

方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線（化星為折），再

利用"兩點(diǎn)之間線段最短"求最小值（化折為直）.

問題解決：如圖2,將血區(qū)繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至連接尸P、A'C,記AC與AB交于點(diǎn)。，易

知BA=54=8C=1,ZABC=ZA'BA+ZABC=120°.由=B尸，ZP'BP=60°,可知AP,BP為正三角形，有

PB=PP.

^l.PA+PB+PC=P'A+P'P+PC>A'C=43.因此，當(dāng)A'、p、p、C共線時(shí)，B4+PB+PC有最小值是6.

學(xué)以致用：⑴如圖3,在VABC中，ZBAC=30°,AB=4,CA=3,尸為VABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC,

則PA+PB+PC的最小值是

圖5

(2)如圖4,在VABC中，ZS4C=45°,AB=2應(yīng),CA=3,尸為VABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC,求

0尸A+PB+尸C的最小值.⑶如圖5,尸是邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，。為邊8c上一點(diǎn)，連接以PD、

PQ,求以+9+加的最小值.

【答案】(1)5；(2)729；(3)73+1.

【詳解】解：(1)如圖3中，將AAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AAFE,

0AAPC0AAFE,0CAE=PAF=6O°,0AE=AC=3,AF=AP,回AAFP是等邊三角形，

EHBAC=30°,回Z.EAB=NBAC+Z.CAE=30°+60°=90°,

在RtAEAB中，BE=\lAE2+AB2=A/32+42=5-'：PA+PB+PC=EF+FP+PB..BE,

.?.PA+PB+PC..5,.?.P4+P8+PC的最小值為5.故答案為5.

(2)如圖4中，將AAPB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A42芯，

0AF=AP,EIFAP=90o,回AAFP是等腰直角三角形，回FP=0AP，

H3BAC=45°,回/E4c=135°,NE4H=45°,作團(tuán)_LC4交C4的延長(zhǎng)線于H.

在RtAEAH中，,.?ZH=90。，Z￡4H=45°,AE=AB=26：.EH=AH=2,

在RtAEHC中，ECZEH'HC。=4+C=曬,:也PA+PB+PC=FP+EF+PC..CE,

y/2PA+PB+PC..>j29,肥PA+PB+PC的最小值為屈.

(3)如圖5中，將AAPD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AAFE,則易知AAFP是等邊三角形,

圖5

作EHLBC于H,交AD于G.,.,尸4+尸￡>+尸。=所+尸尸+尸?！分?，

易知￡G=AEsin60°=有，GH=AB=2,EH=2+^3,PA+PD+PQ^>/3+2,

PA+PD+PQ的最小值為V3+1.

17.(24-25八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí))如圖，在等腰直角VABC中，NASC=90。，AC=2形,點(diǎn)。是

邊2C的中點(diǎn)，若點(diǎn)尸是邊上一點(diǎn)，則PD+三A尸的最小值為

2

【詳解】如圖，作A//LAC,PEL加/于E,。尸，于尸交A3于T,

〃I

t

—

I

—

-

r

E^

ID

F

I

I3VABC是等腰直角三角形，AC=2V2,：.AB=BC,ZBAC=ZC=45°,AB2+BC2=AC2:.AB=BC=2,

回點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，EI3D=CD=1,-.-DF±AH,AC±AH,^\DF//AC,

:.ZBTD=ZBAC=45°,NBDT=NC=45°,:.ZBTD=ZBDT,:.BT=BD=AT=1,￡>T=0,

222

回DF_LAH,ZBAC=45°f.\ZAFD=90°,ZHAT=ZFTA=45°,,\AF=TF,AF+FT=AT,

.AF=rF=—,二.尸￡1=正尸4,+正尸4=DP+PE,根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E與尸重合時(shí),

222

PO+YZpa的值最小，最小值為。9的長(zhǎng)=走+0=迪，故答案為：巫.

2222

18.（23-24九年級(jí)下,湖北咸寧?階段練習(xí)）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=6,

按下列步驟作圖：①在AC和48上分別截取AO、AE,使=

②分別以點(diǎn)。和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/B4C內(nèi)交于點(diǎn)

③作射線AM交BC于點(diǎn)F.若點(diǎn)尸是線段"上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,則CP+^AP的最小值是.

【答案】373

【詳解】解：由作圖可知，"是ZB4C的平分線，

0ZCAF=ZBAF=|ABAC=1（180°-ZABC-ZACB）=30°,如圖，作尸”_LAB于

回PH=APxsin30°=-AP,回CP+工AP=CP+PH,

22

團(tuán)當(dāng)C、P、〃三點(diǎn)共線，且AB時(shí)，CP+：AP的值最小，最小值為ACxsin6（T=3G，故答案為：373.

19.（2023?四川宜賓??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABC。中，SDAB=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上

的一動(dòng)點(diǎn)，則P2+且尸。的最小值等于

2

AB

【答案】373

【詳解】過點(diǎn)P作PQM。，垂足為。,

團(tuán)四邊形A8CD是平行四邊形，0DC/MB,^\QDP=^\DAB=60°,

SPQ=PD?s\nSQDP=—PD,0PB+—PD^BP+PQ,

22

團(tuán)當(dāng)點(diǎn)8、P、。三點(diǎn)共線時(shí)+有最小值，

國(guó)產(chǎn)3+且P。的最小值為ABxsin60o=3jL故答案為：3A/L

20.（2024,廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,E、尸分別是比）、CD上的動(dòng)點(diǎn).且3E=CF.則

【答案】6

【詳解】解：如圖，將CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)45。，得到C”，連接板，貝U：CH=CD=1,ZDCH=45°,

El正方形ABC。，SAB=CD=AD=BC,ZABD=45°,0CH=AB,ZABE=ZDCH,

又團(tuán)BE=CF,aAFCH%EBA,^\AE=FH,BAE+AF=AF+FH>AH,

團(tuán)當(dāng)AEH三點(diǎn)共線時(shí)，AE+AF取得最小值為AH的長(zhǎng),

過點(diǎn)H作"G_LAD,HMLCD,則四邊形DGHM為矩形，^DG=MH,DM=HG,

SCH=CD=1,NDCH=45°,回AHMC為等腰直角三角形，0cM=HM=^CH=絲,

一22

SDM=CD-CM=1--,DG=HM=—,SGH=DM=1-—AG=1+—,

2222

在RtAAGTf中，AH=+=垂），回AE+AF的最小值為石.故答案為：行.

21.（23-24八年級(jí)下?安徽阜陽?期末）如圖，在矩形A5CD中，AB=4,AD=5,點(diǎn)及G分別在邊上,

且AE=CG,點(diǎn)尸在邊2C上，連接EE3G,若BF=2,則EF+3G的最小值為.

【答案】V65

【詳解】解：如圖，連接DE,作。關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)力，連接力尸交A8于E,連接DE,

回矩形ABCD,S1AB//CD,AB=CD,回AE=CG,BBE=DG,

團(tuán)四邊形3￡DG為平行四邊形，^BG=DE,^\EF+BG=EF+DE=EF+D'E,

El當(dāng)6,E,E三點(diǎn)共線時(shí)，D'E+EF=D'F,此時(shí)EF+BG最小，

過下作尸丹_LAD于H,則四邊形ABM為矩形，SFH=AB=4,AH=BF=2,

團(tuán)。'"=7,0￡）^=742+72=765'故答案為：屈

22.（23-24八年級(jí)上?江蘇徐州?期中）如圖，在VABC中，AB=AC=5,BC=6,AD2BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E、

產(chǎn)分別是線段AS、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且鹿=”，則3F+CE的最小值為.

【答案】國(guó)

【詳解】解：過點(diǎn)8作5GL3C,使3G=AB,連接GE,GC,

:.ZGBA=ZBAD,

■.AB=BG,AF=BE,.'.AABF^ABGE(SAS),;.GE=BF,BF+CE=GE+CE>CG,

.,.當(dāng)G、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，M+CE的值最小，-.-AB=AC=5,:.BG=5,

■：BC=6,在Rt^BCG中，CG=NBG+BG?=后+5?=鬧，故答案為：血.

23.（23-24八年級(jí)下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C（O,T）在y軸上，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)3（4,Y）出發(fā)，沿線段8。

方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)停止.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)3開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)尸相同的速度

點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)0也停止運(yùn)動(dòng).連接BQ,PC,則為2+PC的最小值是.

【答案】4君

【詳解】由題意可得BP=OQ,連接BC,在。。上方作AOM。，使/MO0=45。，OM=BC,連接MB交x

軸于點(diǎn)A,0OC=BC=4,BCLOC,0ZCBP=45°,SZCBP=ZMOQ=45°,

回BP=OQ,2cBp=2MOQ,BC=OM,0ACBP絲JWOQ(SAS),^CP=MQ,

^CP+BQ=MQ+BQ>MB,（當(dāng)8三點(diǎn)共線時(shí)最短）

國(guó)ZMOQ+ZBOQ=45°+45°=90°,SMB=^OM2+OB2=,+1&丫=,

OBQ+PC的最小值是46，故答案為4如.

24.（23-24八年級(jí)下?江蘇常州,期中）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。中，E、尸分別是3C、CD上的動(dòng)

點(diǎn)，M、N分別是EF、AF的中點(diǎn)，則長(zhǎng)的最大值是

【答案】2庭

【詳解】解：連接AC、AE,如圖所示:

國(guó)M、N分別是防、AF的中點(diǎn)回MN=gAEae是BC上的動(dòng)點(diǎn)，0AEmax=AC

?AB=3C=4團(tuán)AC=7?^=4后回AE^=4a回MV長(zhǎng)的最大值是：2夜.故答案為：2g.

25.（2024八年級(jí)下?浙江?專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形A3CD中，4）=4,ZA=60°,E是邊。C延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，連接8E,以8E為邊作等邊三角形班產(chǎn)，連接FC,則FC的最小值是.

【答案】26

【詳解】解：延長(zhǎng)AB,DE,在AB的延長(zhǎng)線上截取3G=BC,連接EG,過點(diǎn)G作GHLDC于點(diǎn)過

點(diǎn)C作QWLDC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)如圖所示：

F

回四邊形ABC。為平行四邊形，^AD//BC,