機(jī)密★啟用前

中國人民大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三下學(xué)期統(tǒng)練3

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）

1.己知復(fù)數(shù)z=3-4i,則z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知Z={x|log4X<l},8=N,則的元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

3.如圖所示，弧8。是以。為圓心，08為半徑的圓的一部分，滿足08=2,ZBOD=150°,C是OB

的中點(diǎn)，A在弧RD上運(yùn)動(dòng)，則厲.0心的最小值為（）

C.—V3D.-1

4.若卜4-工］的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-240B.240C.15D.-15

5.今年高三的“兀節(jié)”活動(dòng)引用了漫畫《龍珠》.在原著中卡林塔上的貓仙人種植了一種仙豆，可以幫助主角

療傷和增長戰(zhàn)斗力.仙豆共有7顆，從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力構(gòu)成一個(gè)遞增的等差數(shù)列.在下一場挑戰(zhàn)前,

主角將7顆仙豆全部吃掉，增加21000的戰(zhàn)斗力,擊敗了“比克大魔王”.如果第3小的仙豆可以增加2700的

戰(zhàn)斗力，那么最小的仙豆可以增加的戰(zhàn)斗力為（）

A.1800B.2100C.3600D.3900

22

6.雙曲線￡：=焦距為10,左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,〃為E上一點(diǎn)滿足|〃胤=7,

則年|=()

A.13B.1或13C.10D.4或10

7.北京天橋藝術(shù)中心旁邊的四面鐘是天橋附近頗有意趣的傳統(tǒng)景觀之一.這個(gè)主體建筑可以近似看做正四

棱柱.四面鐘的每一面都掛在該正四棱柱的一個(gè)側(cè)面上.當(dāng)四面鐘都正常顯示標(biāo)準(zhǔn)北京時(shí)間時(shí)，相鄰兩面鐘的

時(shí)針?biāo)谥本€所成角最大為（）

8.已知等比數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)的乘積記為則3a是“北有唯一的最大

值7?’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

9.已知/（"=[',的值域?yàn)镽,那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

7

'log7x,x>l

A.「一111一B.（-oo1,-）C.「1-,+co1D.

L32）I2）L2）

10.已知無窮數(shù)列｛%｝滿足%=p,an+[Sn_^qn,n>2,p,qeR,其中[x]表示不超過x的最大

整數(shù).則下列說法中正確的是（）

A.對于任意乙q,｛%｝都不是常數(shù)列

B,存在正數(shù)0,q,使得｛4｝是遞增數(shù)列

C.對于任意正數(shù)。，q,都存在正整數(shù)使得為,?！?1，%+2,…是周期數(shù)列

D.如果｛%｝是常數(shù)列，則一定有。=4

二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分.請把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置.)

11.拋物線2-=—y的準(zhǔn)線方程是.

2Y+]

12.不等式—<1的解集為_____.

3x3

13.已知某圓錐高〃=1,軸截面為等腰直角三角形，則其側(cè)面積S=,體積V=.

14.已知函數(shù)/(x)=sin|2x-11,將/(x)的圖象向左移動(dòng)。(。>0)個(gè)單位后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)

為g(x),若函數(shù)/(力=/(力+8(%)的最大值是一個(gè)小于1的正數(shù)，則一個(gè)符合條件的。=.

15.已知函數(shù)/(%)=//」og.x+l,a,Z)e(0,l)U(l,+oo)

①當(dāng)a=g,6=2時(shí)，/(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)；

②若?！?,則對于任意的b,/(x)都有零點(diǎn)；

③當(dāng)a=6時(shí)，若函數(shù)/(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)，則滿足條件的。取值唯一；

④當(dāng)a=6時(shí)，存在。的取值，使得/(x)有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是：.

三、解答題(本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.請?jiān)诖?/p>

題紙上的相應(yīng)位置作答.)

16.已知三棱錐?！?8C,底面V45c是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，平面平面48C,E

是棱的中點(diǎn)，/在棱CD上，滿足￡尸，平面BCD.

B

DF

(1)求的值;

FC

(2)若BD=CD=C，NCDB=90。,求直線NC與平面48。所成角的正弦值.

17.在VASC中，c=6,4bcosA+4acosB=3b

(1)求b的值.

(2)從以下三個(gè)條件中選一個(gè)作為已知，使得滿足條件的V48C存在，求V48c的面積.

①5c邊上的高為7；

②sin8=sin2C；

③NC邊上的中線長5.

(1)從兩組中任取1名學(xué)生，求該名學(xué)生成績?yōu)榱己玫母怕?

(2)從/組中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，再從8組中隨機(jī)抽取1名學(xué)生.用隨機(jī)變量X表示這兩人的成績?yōu)閮?yōu)秀

的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(3)從/、2兩組中均隨機(jī)抽取3人，/組成績?yōu)?6,83,92.已知8組抽出的3人中有2人的成績?yōu)?/p>

99,92,直接寫出3組3人成績方差比/組3人成績方差小的概率,

19.橢圓E：=l(a〉b〉0),左、右頂點(diǎn)分別為4,B,上頂點(diǎn)為C,原點(diǎn)為。，尸是橢圓上一點(diǎn).

a2b2

=6,SG面積的最大值為6.

(1)求橢圓的方程和離心率；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸不與橢圓頂點(diǎn)重合時(shí)，記直線。尸與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為。，CP交直線x=3為。，直線

C0交x軸為E求證：直線DE與直線AQ的斜率之積為定值.

20.已知函數(shù)=g(x)=^-x3-x-1.

(1)求>=/(x)斜率為1的切線方程；

(2)若對于任意玉e(O,e),任意X2e(-e,a),總有/(xj>g(x2)，求。的最大值；

（3）若E（x）=/（e+x）-/（e-x）+bg（x）有4個(gè)極值點(diǎn)，求6的取值范圍.

21.已知有窮數(shù)列A：al,a2,---,aN,N>20,滿足qe{-1,1},i=1,2，…,N,且恰有20項(xiàng)為1.定義

S（〃㈤…其中〃，左eN*,〃+左-1<N.對于給定的正整數(shù)/,若正整數(shù)

〃€{1,2,?一,雙一2號(hào)滿足5（〃,27+1）=1,則稱〃是一個(gè)“/+1險(xiǎn)勝時(shí)亥.

（1）對于滿足=%2=-1的數(shù)列A：ax,a2,---,a^,寫出A全部的“2險(xiǎn)勝時(shí)刻”.

（2）當(dāng)N=2025時(shí)，數(shù)列A：中"2險(xiǎn)勝時(shí)刻”最多有多少個(gè)？

（3）求N的所有可能值，使得數(shù)列A：%,出，…，而一定存在“5險(xiǎn)勝時(shí)刻”.

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）

1.已知復(fù)數(shù)z=3-4i,則z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)即可求解.

【詳解】2=3-不對應(yīng)的點(diǎn)為（3,-4）,z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.

故選：D

2.已知Z={x|log4X<l},5=N,則的元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】先利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定集合A,在根據(jù)集合的運(yùn)算確定/C5即可.

【詳解】因?yàn)閘og4X<l，即log4X<log44,解得0<x<4,

所以Z={x|0<x<4},又因?yàn)?=N,

所以2口8={1,2,3},所以Nc5的元素個(gè)數(shù)為3.

故選：D

3.如圖所示，弧AD是以。為圓心，08為半徑的圓的一部分，滿足08=2,ZBOD=150°,C是0B

的中點(diǎn)，A在弧RD上運(yùn)動(dòng)，則心的最小值為（）

A.2B.-2C.-73D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】直接應(yīng)用向量數(shù)量積的定義和余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】由題意可知，|。彳=2,

則萬灰=網(wǎng)|oc|cosZC0A=2cosZCOA,

5兀

因?yàn)辄c(diǎn)A在弧RD上運(yùn)動(dòng)，所以NCCMe0,—,

_6

而余弦函數(shù)y=cosx在［0,可內(nèi)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)NCC%=150°時(shí)，02瓦取得最小值2Xcos150°=-JL

故答案為：C.

4.若［24-L］的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-240B.240C.15D.-15

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件確定〃值，再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)確定常數(shù)項(xiàng)為第幾項(xiàng)，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意有2"=64,解得〃=6,

故二項(xiàng)式工］展開式的通項(xiàng)公式為：

酊=晨（26廣］-￡|=鼠（-1丫.26、W,

3r

令3-----=0,求得尸=2,

2

則展開式的常數(shù)項(xiàng)為：C32,=240.

故選：B

5.今年高三的“兀節(jié)”活動(dòng)引用了漫畫《龍珠》.在原著中卡林塔上的貓仙人種植了一種仙豆，可以幫助主角

療傷和增長戰(zhàn)斗力.仙豆共有7顆，從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力構(gòu)成一個(gè)遞增的等差數(shù)列.在下一場挑戰(zhàn)前,

主角將7顆仙豆全部吃掉，增加21000的戰(zhàn)斗力，擊敗了“比克大魔王”.如果第3小的仙豆可以增加2700的

戰(zhàn)斗力，那么最小的仙豆可以增加的戰(zhàn)斗力為（）

A.1800B.2100C.3600D.3900

【答案】B

【解析】

【分析】將7顆仙豆從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力看成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，結(jié)合題意可知名=2700,

57=21000,由此可以解出見即為答案.

【詳解】由題干可知7顆仙豆從小到大可以增加的戰(zhàn)斗力構(gòu)成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，

不妨設(shè)為％,出，…，叫，貝恒3=2700,7顆仙豆可增加的戰(zhàn)斗力之和記為名=21000，

由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可知S7=7x（；+%）=7x；%=7%=21000n%=3000,

所以數(shù)列的公差d=—a3=3000—2700=300,故q=%—2d=2700—2x300=2100,

即最小的仙豆可以增加的戰(zhàn)斗力為2100.

故選：B.

22

6.雙曲線￡：二-2=1（°〉0）,焦距為10,左右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,"為E上一點(diǎn)滿足=7,

a-16

貝ij|咋J=（）

A.13B.1或13C.10D.4或10

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線焦距可求出。的值，結(jié)合題意判斷M點(diǎn)位置，利用雙曲線定義即可求得答案.

【詳解】由題意知雙曲線￡：21=1（?！?）,焦距為10,

/161）

故2。=10,。=5,則/=°?—/=25—18=9,/.a=3,

由11Ml—|f||=2a=6,|西|=7,得|他|=1或1Ml=13,

結(jié)合|"F；|=7<a+c=8,則M在雙曲線左支上，

由于l<c+a=8,故周=13,

故選：A

7.北京天橋藝術(shù)中心旁邊的四面鐘是天橋附近頗有意趣的傳統(tǒng)景觀之一,這個(gè)主體建筑可以近似看做正四

棱柱.四面鐘的每一面都掛在該正四棱柱的一個(gè)側(cè)面上.當(dāng)四面鐘都正常顯示標(biāo)準(zhǔn)北京時(shí)間時(shí)，相鄰兩面鐘的

時(shí)針?biāo)谥本€所成角最大為（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正四棱柱的幾何特征建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出相鄰兩面鐘的時(shí)針?biāo)谥本€的方向向量，利

用線線角的向量坐標(biāo)公式計(jì)算即可求最大值.

由題意，在正四棱柱48CD-4民G2中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系N-町2.

不妨設(shè)平面與BCG上的時(shí)鐘的時(shí)針的方向向量z7=(O,a,b),6不同時(shí)為0,

因?yàn)樗拿骁姸颊ｏ@示標(biāo)準(zhǔn)北京時(shí)間，所以設(shè)平面Z/AB］上的時(shí)鐘的時(shí)針的方向向量E=(a,0,b).

設(shè)相鄰兩面鐘的時(shí)針?biāo)谥本€所成角為巴

b2

則c°s*1c°s",小麗=0八”

jr

①當(dāng)b=O,awO時(shí)，cosd=0,則，=—；

2

A12

COScz-------------〃/

1

②當(dāng)bwO時(shí)，廬a+1,因?yàn)橐弧╡L[0,+e),則U1，

即cos(0,1],貝!1夕￡

jrjr

綜上所述：0,-,則。的最大值為一，

L2j2

71

因此，相鄰兩面鐘的時(shí)針?biāo)谥本€所成角最大為一.

2

故選：C.

8.己知等比數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)的乘積記為?；.則“%432。9”是“北有唯一的最大

值4"的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】先分析出:］有唯一的最大值十的充要條件為：%>1且％<1，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)從充分性和

必要性兩方面論證即可求解.

【詳解】根據(jù)已知條件有4〉0,設(shè)公比為4,則有0<9<1,

北有唯一的最大值方的充要條件為：%>1且。8<1，

aa

若a3a13-9>則有。3a13=°9a7-9，又因?yàn)?9>0,

所以由21；

a=aa

又根據(jù)a3a13=a8a8-9a8g>即ss-%q，

因?yàn)楣?，所以為21,

綜上>a9不能推出7；有唯一的最大值4,

若北有唯一的最大值看，則%>1且6<1，

因?yàn)?>1，外〉。，所以有a7a9〉。9，

又因?yàn)?。9a7，所以a3a13〉。9，此時(shí)可推出32a9成立，

所以N。9”是有唯一的最大值4”的必要不充分條件.

故選：B

/、|（l-2a）x+5a,x<1

9.已知/（x）=［',的值域?yàn)镽,那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

7

'log7x,x>l

AHB.'嗎）C.D,［-1,1］

【答案】A

【解析】

【分析】求出函數(shù)在［1,+s）上的取值集合，再根據(jù)給定的值域確定函數(shù)/（x）在（-*1）上的取值集合，列

式求解作答.

【詳解】當(dāng)X21時(shí)，函數(shù)/（x）在［1,+8）上單調(diào)遞增，其取值集合為［0,+8）,而函數(shù)的值域?yàn)镽,因此

函數(shù)/⑺在（-*1）上的取值集合包含（7,0），

當(dāng)1-2”0時(shí)，函數(shù)/（x）=。-2a）x+5a=5a在（-8,1）上的值為常數(shù)，不符合要求，

當(dāng)1-2a<0時(shí)，函數(shù)在（-91）上單調(diào)遞減，取值集合是（1+3。,+8）,不符合要求,

于是得1-2a>0,函數(shù)/（x）在（7,1）上單調(diào)遞增，取值集合是（-嗎1+3。），

1—2。>0

則解得一7V。<7?，

1+3。2032

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是m

L32；

故選：A

10.已知無窮數(shù)列｛叫滿足：%=p,a?+[SII_l]=qn,n>2,p,qeR,其中[x]表示不超過x的最大

整數(shù).則下列說法中正確的是（）

A.對于任意乙q,｛%｝都不是常數(shù)列

B.存在正數(shù)0,q,使得｛4｝是遞增數(shù)列

C.對于任意正數(shù)。，q,都存在正整數(shù)使得?！侵芷跀?shù)列

D.如果｛%｝是常數(shù)列，則一定有。=4

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性、數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)每個(gè)選項(xiàng)可以取具體的數(shù)值

進(jìn)行解答，從特殊到一般，運(yùn)用邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【詳解】對于選項(xiàng)A,當(dāng)夕=q=0時(shí)，氏=0,S〃=0,〃eN*,｛%｝是常數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B,當(dāng)夕=q=l時(shí)，ax=1,%,+［S“_J=〃，n>2,a2=2,a3=3,%=4…a”=n,

心g=中,〃22,電］=丁，〃22'+電］=〃+1+?=如啜3

■2,%=（〃+，〃+2）-Z^=〃+I,

“22,%,=〃/eN*,{4}是遞增數(shù)列，故B正確；

對于選項(xiàng)C,當(dāng)0=l,q=2時(shí)，%=1,%+=2〃,n>2,a2=3,a3=4,&=5…％=n+l,

n>2,Sn=地『2c]=

n(n+3)_(〃+1)(〃+4)

n>2,a+[S]=n+l+

n+ln22

(〃+1)(〃+4)〃(〃+3)

=n+2,

22

n>2,an=n,neN*,{4}不是周期數(shù)列，故C錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)D,當(dāng)｛%｝是常數(shù)列時(shí)，=p,S“=〃〃〃eN*,[S,]=7",〃eN*,

a?+l+[Su]=p+np=q(n+l),ne'N\

夕+〃夕=1(〃+1),〃€1\[*,2=%故口正確;

故選：BD.

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.請把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置.）

11.拋物線2-=―歹的準(zhǔn)線方程是

【答案】J=1

8

【解析】

【分析】將題干拋物線方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，明確開口方向，即可寫出準(zhǔn)線方程.

【詳解】將2必=—y寫成標(biāo)準(zhǔn)方程/=—20（2>0）,即》2=_心了，

是開口向下的拋物線，且一22=一一=>/?=—

24

"1

故其準(zhǔn)線方程為=7，

28

故答案為：y=—.

8

2Y+]

12.不等式~Vl的解集為

3x-37

【答案】（一8,1）。[4,+00）

【解析】

V—4（x-4）（3x-3）>0^解不等式組

【分析】先化不等式為20,根據(jù)分式的符號(hào)得到不等式等價(jià)于

3x-33%—3w0

即可求解.

【詳解】由公得公一】<°'即個(gè)尸

—Y+4Y—4

整理得：——<0,即d—>0,

3x—33x—3

f(x-4)(3x-3)>0

即八八)，解得X<1或轉(zhuǎn)4,

3x—3w0

2y_i_1

故不等式TT7-1的解集為(一心1)34,+⑹.

故答案為：(-co,l)u[4,+oo)

13.已知某圓錐高〃=1,軸截面為等腰直角三角形，則其側(cè)面積S=,體積V=.

【答案】①.亞n②.§兀

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出圓錐的底面圓半徑和母線，然后根據(jù)公式即可求解.

如圖，△尸48為等腰直角三角形，且尸。=1,

所以底面圓半徑廠=08=1,母線長/=必=也，

所以側(cè)面積S=nrl=On，體積匕=；S/z=gn-F1=g兀.

故答案為：■

14.已知函數(shù)/(x)=sin[2x-1；將/(x)的圖象向左移動(dòng)9(°>0)個(gè)單位后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)

為g(x),若函數(shù)/(X)=/(》)+g(x)的最大值是一個(gè)小于1的正數(shù)，則一個(gè)符合條件的。=.

5兀

【答案】—(答案不唯一)

12

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件求出尸(x),根據(jù)題意令0<2COSQ<1,由此確定符合題意的。值即可.

【詳解】因?yàn)?(%)=sinf2x-j1,

根據(jù)已知條件有g(shù)(x)=sin2(X+9)—；=sin[2x+2°—1J,

3

71

所以R(x)=sin[2x——j+sin[2x+2(p—

3

=sin12x-§+/-可+sin[2x-：兀+0+o

3

=2sin12x-y+^>Icos^,

因?yàn)楹瘮?shù)尸(X)的最大值是一個(gè)小于1的正數(shù),

所以0<2|cosd<l時(shí)，滿足題意,

所以滿足上式的。都符合題意，答案不唯一,

"=二Sir滿足上式，所以。=二Sjr符合題意.

1212

5兀

故答案為：—

12

15.已知函數(shù)/(X)=Z/-log.x+1,a,be(0,l)U(l,+oo)

①當(dāng)a=g,b=2時(shí)，/(x)恰有1個(gè)零點(diǎn);

②若a〉l,則對于任意的b,/(x)都有零點(diǎn);

③當(dāng)a=b時(shí)，若函數(shù)/(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)，則滿足條件的。取值唯一;

④當(dāng)a=6時(shí)，存在。的取值，使得/(x)有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是:

【答案】①②

【解析】

【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程，然后再構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而可利用數(shù)形結(jié)合

來解決問題.

【詳解】對于①，當(dāng)6=2時(shí)，由/(X)=2工-log]x+1=0=log1x=-

222

分別作出函數(shù)y=l°g-與y=_I的圖象,

則/(x)=2FogiX+l有唯一零點(diǎn)，故①正確;

2

x

對于②，若?！?,f(x)=b-logflx+1=0logfl

分別作出函數(shù)》=10ga%與y=—的圖象，當(dāng)6〉1時(shí)作圖可得:

此時(shí)由圖像可得兩函數(shù)必有一個(gè)交點(diǎn)，但當(dāng)0<6<1時(shí)又作圖可得:

此時(shí)由圖像可得兩函數(shù)也必有一個(gè)交點(diǎn)，則/(X)都有零點(diǎn)，故②正確;

對于③，若Q=b時(shí)，由=」OgaX+l=OolOgaX=-

分別作出函數(shù)y=bgaX與y=—a的圖象，當(dāng)。〉1時(shí)作圖可得:

此時(shí)由圖像可得兩函數(shù)必有一個(gè)交點(diǎn)，說明對任意的?！?,都滿足了(X)有一個(gè)零點(diǎn)，即滿足條件的。的

取值并不唯一，故③錯(cuò)誤;

對于④，若a=6時(shí)，由/（X）=b"-logax+1=0=log.x=-

的圖象，當(dāng)a〉1時(shí)作圖可得:

此時(shí)由圖像可得兩函數(shù)必有一個(gè)交點(diǎn)，說明對任意的a〉1,不滿足/(x)有三個(gè)零點(diǎn),

所以當(dāng)0<。<1時(shí)，又分別作出函數(shù)》=loga%與y=—的圖象,

此時(shí)由圖像可得兩函數(shù)可能沒有交點(diǎn)，或只有一個(gè)交點(diǎn)，或有兩個(gè)交點(diǎn)，但一定沒有三個(gè)交點(diǎn)，所以不滿

足/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤，

故答案為：①②.

三、解答題(本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.請?jiān)诖?/p>

題紙上的相應(yīng)位置作答.)

16.已知三棱錐。—4BC,底面V48C是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，平面平面48C,E

是棱40的中點(diǎn)，/在棱CD上，滿足￡尸，平面BCD.

DF

(1)求的值;

FC

⑵若BD=CD=4i，NCDB=90。,求直線ZC與平面48。所成角的正弦值.

【答案】(1)1(2)-

3

【解析】

【分析】(1)由平面平面Z8C,NCLC8可得NCL平面BCD,故ER||ZC,可知尸是棱

DF

。的中點(diǎn)，可得^=1；

FC

(2)以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用等體積法求得。點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得平面的法向

量，利用向量的數(shù)量積求得直線AC與平面ABD所成角的正弦值.

【小問1詳解】

因?yàn)榈酌鎂48c是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以NC，C8,

又平面CBD，平面48C,平面CADc平面48C=CB,

所以ZCL平面BCD,又因?yàn)闈M足環(huán)，平面BCD,所以EF//AC,

又E是棱40的中點(diǎn)，則￡尸為△4CD的中位線，故尸是棱CD的中點(diǎn)，

DF

【小問2詳解】

以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

因?yàn)锽D=CD=C，NCDB=9。。,則8C=2，

又V4BC是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則AC=BC=2,

故2(0,—2,0),5(2,0,0),取中點(diǎn)G,連接QG,則DGL8C,

又CG=1,故設(shè)。(1,0,")，根據(jù)三棱錐。-ABC的體積相等，

VA_BCD=VD_ABC,可得;正x2=；xgx2x2x/z,

解得〃=1,所以設(shè)。(1,0,1),故方=(2,2,0),麗=(一1,0,1),

AC=(0,2,0),設(shè)平面的法向量為〃=(xj,z),則

__--,.

nAB=2x+2y=0x=-y/、

<一.，解得｛，令x=l,貝|J為二(1,—1,1),

nBD=—x+z=0[x=z

酢。sk，碼卜爛二焉邛.

即直線AC與平面ABD所成角的正弦值為—.

3

17.在V45c中，c=6,4bcosA+4acosB=3b

(1)求b的值.

(2)從以下三個(gè)條件中選一個(gè)作為已知，使得滿足條件的V48C存在，求V48C的面積.

①5c邊上的高為7；

②sin8=sin2C；

③NC邊上的中線長5.

【答案】(1)8

(2)選①無解；選②8石或也5；選③”YZ

92

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理及兩角和的正弦公式可得；

（2）選①，由三角形中邊長數(shù)據(jù)分析可得不合題意；選②，利用正弦定理，余弦定理及三角形面積公式即

得選③，由cosNND8=-cos/&X;,利用余弦定理可求得。，再由余弦定理可求得cosN,進(jìn)而求得

sinA,由三角形面積公式即得

【小問1詳解】

在VA8C中，A+B^n-C,

又4bcosA+4acosB=3b,

由正弦定理得，4sin8cosZ+4sinZcos8=3sin8,

即4sin（Z+8）=3sin8,

即4sinC=3sinB,由正弦定理得，4c=33,

又c=6,所以力=8.

【小問2詳解】

選①8c邊上的高為7,

過A作4015c于。，如圖，

AA

顯然這樣的三角形不存在，所以無解.

選②sinB-sin2C,即sin8=2sinCcosC,

2

又c=6,b=8,則由正弦定理得8=2x6xcosC,即cosC=—，

3

則sinC-A/1-COS2C-，

3

92

由余弦定理，=/-2qbcosC,得36=Q+64—2QX8X一,

3

14

即3Q2—32a+84=0，解得Q=6或。=5，

當(dāng)Q=6時(shí)，\!ABC的面積S=—absinC=—x6x8x-8A/5，

223

當(dāng)。=好時(shí)，V4SC的面積S=^absinC=Lx好X8X@=曳G.

322339

選③ZC邊上的中線長5,

設(shè)NC的中點(diǎn)為。，由(1)知ZC=8,則ZZ)=￡)C=4,

又AB-6,BD-5,BC-a,

cos/?-+2*]6+25-36」

在△48。中，由余弦定理,

2ADBD2x4x58

在△BCD中，由余弦定理,

2DCBD2x4x5

因?yàn)镹4D8=TT—N8DC,所以cosNADB=-cosZBDC,

mi16+25—a21左刀,日-

則------------二—，斛得a=J46，

2x4x58

在V4SC中，由余弦定理，4_。2+—4_6?+82—（回）:9,

2bc2x6x816

則sinA=Vl-cos2A=

所以V45c的面積S=—bcsmA=工x8x6x=竺^

22162

(2)從/組中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，再從2組中隨機(jī)抽取1名學(xué)生用隨機(jī)變量X表示這兩人的成績?yōu)閮?yōu)秀

的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（3）從/、8兩組中均隨機(jī)抽取3人，/組成績?yōu)?6,83,92.已知8組抽出的3人中有2人的成績?yōu)?/p>

99,92,直接寫出8組3人成績方差比n組3人成績方差小的概率，

3

【答案】（1）-

5

7

（2）分布列見解析，期望為正

⑶I

【解析】

【分析】（1）應(yīng)用古典概型求解事件的概率即可；

（2）/組中優(yōu)秀的學(xué)生有5人，再從8組中優(yōu)秀的學(xué)生有2人，再根據(jù)超幾何分布計(jì)算其概率，列出分

布列，求期望；

（3）根據(jù)平均數(shù)與方差的計(jì)算公式，結(jié)合題意即可得出。的取值范圍即可求出概率.

【小問1詳解】

由題意知，/組中良好的學(xué)生有5人，再從3組中良好的學(xué)生有7人，

123

從兩組中任取1名學(xué)生，求該名學(xué)生成績?yōu)榱己玫母怕蕿橐?一.

205

3

因此，學(xué)生成績?yōu)榱己玫母怕蕿?/p>

【小問2詳解】

根據(jù)題意得，/組中優(yōu)秀的學(xué)生有5人，再從8組中優(yōu)秀的學(xué)生有2人

X的可能取值為0,1,2.

則P(X=O)=*=|，P(X=I)=C[,C=；,尸(工=2)=普=,

1V

Jojo。^10^10乙^10^10

所以X的分布列為:

X012

21

P

5~210

2117

因此，X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0x1+lx5+2xm=

【小問3詳解】

/組成績?yōu)槌煽兎謩e為76,83,92,平均值為76+83+92=空_,方差為

33

/7A2512/on2512/no2512

（76、）+（83、）+（92一?。?H58=386；

3-~~9~

5組抽出的3人中有2人的成績?yōu)?9,92,a（aeN*）,平均值為

所以.>?-中丫+"*^）2+保一空”

93

即1158>（106—02+（20-191）2+（85-a）2,

代入檢驗(yàn)，可知。最小為84,最大85,

故8組3人成績方差比/組3人成績方差小的概率為-=

84

19.橢圓E：=1(Q>Z?>0),左、右頂點(diǎn)分別為力，B,上頂點(diǎn)為C,原點(diǎn)為0,夕是橢圓上一點(diǎn).

/b2

\AB\=6,的面積的最大值為6.

（1）求橢圓的方程和離心率；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸不與橢圓頂點(diǎn)重合時(shí)，記直線。尸與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為。，CP交直線x=3為。，直線

CQ交X軸為E求證：直線DE與直線AQ的斜率之積為定值.

【答案】（1）土+乙=1,6=空（2）證明見解析

943

【解析】

【分析】（1）由長軸長得。，當(dāng)點(diǎn)尸在橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，S“BP面積取得最大值,

由此求得6,即得橢圓的方程，有平方關(guān)系可得C,即求得離心率；

（2）先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，由橢圓的對稱性得點(diǎn)。的坐標(biāo)，

再分別寫出直線CP和直線CQ的方程得點(diǎn)。和￡的坐標(biāo)，

由此得到的E?左四的表達(dá)式，結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上代入化簡即可證明.

【小問1詳解】

由題意知|4B|=2a=6na=3,當(dāng)點(diǎn)尸在橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，

面積取得最大值，即gx2axb=3xb=6nb=2,

所以橢圓方程為工+匚=1,°=琢牙=石，所以離心率0=￡=好；

94a3

【小問2詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)尸(玉,必)，由橢圓的對稱性可知。(一玉,-%)，

7y—2y,—2

直線CP的斜率為k=二一，故直線CP的方程為J-2=1—X,

CP再

令x=3,得。點(diǎn)縱坐標(biāo)%=2+3(-—2)=2苞+3%—6；

X]X]

72+"].Vi+2

直線。。的斜率為b0二-故直線。。的方程為V-2二二一x,

xlxl

令y=o,得￡點(diǎn)橫坐標(biāo)》E=\，

必+2

2xx+3必一6

7x(2%+3%一6)(必+2)

所以直線?！甑男甭蕿閗=------——二，，?d，

DE312.3X](x+2)+2x；

%+2

直線我的斜率為弓=二=出,

故直線Z)E和直線NQ的斜率之積為

k，k_(2司+3必一6)(必+2).必_2西療+4$弘+3年—12%

DEAQ3再(必+2)+2%；占一33%；%+2%；-9為必-18/'

22

因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓上，所以有遼+江=1,

94

94

也即2x；=18--^,3^=12-§才，代入斜率之積的表達(dá)式的三次項(xiàng)中,

c“42

2苞必+4xj--X]

4

得^-DE'^AQ=-2一.為定值.

3x；-9%1--%!^

已知函數(shù)/(x)=x(lnx_l),g(x)=|x3-x-l.

20.

(1)求V=/(x)斜率為1的切線方程;

(2)若對于任意石e(o,e),任意馬e(-oo,a),總有/(xj>g(x2)，求。的最大值;

(3)若E(x)=/(e+x)-/(e-x)+bg(x)有4個(gè)極值點(diǎn)，求6的取值范圍.

【答案】(1)y=x-e

(2)73

(3)(2,+co)

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，利用點(diǎn)斜式寫出方程；

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(x)的最小值，求得最小值為-1,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性和極值，進(jìn)

而根據(jù)題意得到。的取值范圍；

(3)利用導(dǎo)數(shù)分析，根據(jù)極值存在的條件，并作換元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)//)=111卜2-。與直線了=-6(/-1)

在/?僅32)內(nèi)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，利用對數(shù)函數(shù)的圖像和直線的圖像，即可得到實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【小問1詳解】

/'(x)=lnx,令lnx=l=>x=e,

/(e)=e(lne-l)=e(l-l)=O,故切點(diǎn)為(e,0),

切線方程為V=x-e；

【小問2詳解】

分析/(x)在(0,e)的最小值：

f\x)=Inx,0<x<l時(shí)lnx<0J(x)單調(diào)遞減；

1cx<e時(shí)lnx>0,/(x)單調(diào)遞增；

分析g(x)=一x_1在(—8,a)的最大值：

導(dǎo)數(shù)g'(x)=——1.

在％<-1或x>l時(shí)g'(x)=x2-l>0,/(x)單調(diào)遞增；

一1VXV1時(shí)gr(x)=x2-1<0,/(x)單調(diào)遞減.

g(x)在X=-1處有極大值，在X=1處有極小值-g.

1,L

令g(x)=§/_x_i=_i,解得x=±V5,x=0,

當(dāng)aV-G時(shí)，g(x)在(一叫。)內(nèi)單調(diào)遞增，g(x)趨近于g(-g)=-1.

保證g(X2)<—l；

當(dāng)a=—G時(shí)，g(x)在(-oo,-V3)內(nèi)的最大值嚴(yán)格小于-1,

因此，。的最大值為一百；

【小問3詳解】

Fz(x)=ln(e+x)+ln(e-x)+Z>(x2-1)=ln(e2-x2^+Z>(x2-1^

極值點(diǎn)滿足/'(x)=0,BP：ln(e2-x2)+6(x2-l)=0,

令t=R，貝Ve(0,e2),方程變?yōu)椋簂n(e2—7)+“/—1)=0

根據(jù)題意，此方程應(yīng)當(dāng)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

函數(shù)W)=山仁2一)與直線y=—6(1)在內(nèi)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，

函數(shù)力(/)=山卜2-7)在/e(0,e2)內(nèi)單調(diào)遞減，以直線jc=e2為漸近線，A(0)=2,

直線y=-6(/—1)橫截距為1,斜率為左=—人，

設(shè)N(1,0),5(0,2),3B=_2,

-b<-2,所以b>2,

此時(shí)，函數(shù)gXin,-/)與直線y=-6(1)在年僅?)內(nèi)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，

交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別記為4/2，在每一個(gè)值的左右兩函數(shù)值的差出現(xiàn)正負(fù)變號(hào)，

從而對應(yīng)方程：142-n+6卜2-1)=0的4個(gè)實(shí)數(shù)根的每一個(gè)的左右尸⑴的值出現(xiàn)

正負(fù)變號(hào)，因此函數(shù)尸(X)有4個(gè)極值點(diǎn)，

綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是(2,+8).

21.已知有窮數(shù)列A：小心一小,N>20,滿足qe{—l,l},，=1,2,…,N,且恰有20項(xiàng)為1.定義

S(〃㈤=%+3+a“+”i，其中〃，左eN*,n+k-\<N.對于給定的正整數(shù)/,若正整數(shù)

〃e{l,2,…,N—2/}滿足S（〃,2/+l）=l,則稱〃是一個(gè)“/+1險(xiǎn)勝時(shí)刻”.

(1)對于滿足%=%2=-1的數(shù)列A：%,。2,寫出A全部的“2險(xiǎn)勝時(shí)刻”.

(2)當(dāng)N=2025時(shí)，數(shù)列A：中“2險(xiǎn)勝時(shí)刻”最多有多少個(gè)？

(3)求N的所有可能值，使得數(shù)列A：4,出，…，一定