2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)四邊形與三角函數(shù)綜合問題訓(xùn)練

1.如圖，在四邊形ABC。中，E是AB的中點，DB,CE交于點F,DF=FB,AF//DC.

(1)求證：四邊形APCO為平行四邊形；

(2)若/EEB=90°,tan/EEB=3,EF=1,求BC的長.

2.如圖，在12ABe。中，點E,尸分別在BC,AD上，BE=DF,AC=EF.

(1)求證：四邊形AEC尸是矩形；

(2)若AE=BE,AB=2,tanZACB=求8c的長?

3.如圖，在四邊形ABC。中，NACB=/CAD=90°,點E在BC上，AE//DC,EFLAB,

垂足為F.

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；

(2)若AE平分NA4C,BE=5,cosB=求取和的長.

4.如圖，在回ABC。中，AE平分4BA。，交BC于點E,BF^ZABC,交4。于點R

AE與BF交于點P,連接ERPD.

(1)求證：四邊形所是菱形；

(2)若A2=4,AD=6,/ABC=60°,求tan/AOP的值.

5.如圖，在直角梯形ABCZ)中，AB//DC,ZDAB=90°,AB=8,CD=5,BC=3小.

(1)求梯形A2CD的面積；

(2)連接2。，求/。BC的正切值.

D

6.如圖，在梯形A2C￡＞中，AD//BC,CA平分/BCD,DE//AC,交2C的延長線于點E,

/B=2/E.

(1)求證：AB=DC；

(2)若tanB=2,AB=A/5,求邊BC的長.

7.如圖，四邊形ABC。中，ZB=ZD=90°,過點C作A。的平行線交AB于點E,在AD

上取點R使。尸=CE,連接EE

(1)求證：四邊形是矩形；

4

-

(2)右CE—5,CD—1BE,tanA3求AD的長.

8.如圖1,在矩形ABCD中，2。為對角線，3。的垂直平分線分別父4￡),BD,BC于點E,

O,F,連接BE,DF.

(1)求證：四邊形BED尸是菱形.

(2)如圖2,連接C。，若AE=2,AD=6,求cos/BCO的值.

9.如圖，在回ABC。中，過點A作AELOC交。C的延長線于點E,過點D作。/〃血交

BA的延長線于點F.

(1)求證：四邊形AEZ小是矩形；

(2)連接若AB=AE=2,tan/AD尸=2,求3。的長.

E

10.如圖，在四邊形ABC。中，E是A2中點，DB、CE1交于點兄DF=FB,AF//DC.

(1)求證：四邊形是平行四邊形.

1

(2)若/4。8=120。,tan乙FBE=專,AD=4.求BE的長.

11.如圖，在EIABC。中，AE_LBC于點E,點尸在BC的延長線上，5.CF^BE,連接。足

(1)求證：四邊形是矩形；

(2)連接。E,若tanNABC=2,BE=1,AD=4,

12.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,AB=AD,對角線AC,BD交于O,AC平分/BAD

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)過點C作AB的垂線交其延長線于點E,若BD=6,tan^OAB=1求CE的長.

4

13.如圖，點E在回A8CD的對角線。2的延長線上，AE^AD,AF_L3￡＞于點REG//BC

交AF的延長線于點G,連接。G.

(1)求證：四邊形AEG。是菱形；

1

(2)若tanZAEF=AB=4,求菱形AEG。的面積.

14.如圖，在RtaABC中，ZACB=9Q°,。為A3的中點，連接CD過點A作AG〃/)C,

過點C作CG〃/M,AG與CG相交于點G.

(1)求證：四邊形AOCG是菱形；

(2)若AB=10,tanNCAG=],求8C的長.

4

15.如圖，在I3A3CZ)中，AC,8。交于點0,且A0=B0.

(1)求證：四邊形ABC。是矩形；

(2)NAOB的角平分線。E1交AB于點￡,當(dāng)AD=6,tan/CAB=寸寸，求AE的長.

q

AEB

參考答案

1.【解答】（1）證明：:E是的中點，

：.AE=BE,

?：DF=BF,

：.EF是△A5Z）的中位線,

J.EF//AD,

J.CF//AD,

\9AF//CD,

???四邊形AFCD為平行四邊形；

(2)解：由(1)知，跖是△A3。的中位線，

：.AD=2EF=2,

VZEFB=90°,tanZFEB=3,

:?BF=3EF=3,

?；DF=FB,

:.DF=BF=3,

'：AD//CE,

：.ZADF=ZEFB=90°,

：.AF=y/AD2+DF2=V13,

???四邊形AFCD為平行四邊形，

:?CD=AF=V13,

■:DF=BF,CELBD,

：.BC=CD=V13.

2.【解答】(1)證明：???四邊形A8CD是平行四邊形,

：.AD=BC,AD//BC,

?：BE=DF,

：.AD-DF=BC-BE,

即AF=EC,

???四邊形AECF是平行四邊形，

'：AC=EF,

???平行四邊形AEC尸是矩形；

(2)解：??,四邊形AEC尸是矩形，

ZAEC=ZAEB=90°,

'：AE=BE,AB=2,

???叢ABE是等腰直角三角形,

：.AE=BE=與AB=V2,

???tan/ZA.-A八Cn=ZE=12?

:.EC=2AE=2五,

:.BC=BE+EC=V2+2V2=3位，

即BC的長為3A/2.

3.【解答】(1)證明：：NACB=/CA￡)=90°,

C.AD//CE,

'：AE//DC,

四邊形AEC。是平行四邊形；

(2)解：-：EF±AB,

：.ZBFE^9Q°,

4BF

???COS8=E=而，BE=5,

44

.'.BF=|BE=|x5=4,

：.EF=VBE2-BF2=V52-42=3,

平分NBAC,EFLAB,ZACE=9Q°,

；.EC=EF=3,

由(1)得：四邊形AEC。是平行四邊形，

：.AD=EC^3.

4.【解答】(1)證明：..?四邊形ABC。是平行四邊形,

C.AD//BC.

：.ZDAE=ZAEB.

是角平分線，

：.ZDAE^ZBAE.

；./BAE=NAEB.

：.AB=BE.

同理

：.AF=BE.

四邊形ABEF是平行四邊形.

'：AB=BE,

，四邊形A8跖是菱形.

(2)解：作于"，

:四邊形A8EF是菱形，NA2C=60°,AB=4,

.?.AB=AF=4,ZABF^ZAFB^30°,AP±BF,

1

：.AP=次=2,

：.PH=V3,AH=1,

:?DH=5,

??tan^ADP=

5.【解答】解：⑴過C作CELA5于5

?:AB〃DC,ZDAB=90°,

ZAZ)C=90°,

ZA=ZADC=ZAEC=90°,

???四邊形ADCE是矩形，

：.AD=CE,AE=CD=5,

：.BE=AB-AE=3,

VBC=3V5,

JCE=VBC2-BE2=6,

i

???梯形ABC。的面積=(5+8)X6=39；

(2)過C作S_L3O于H,

U：CD//AB,

：.ZCDB=ZABD,

,：ZCHD=ZA=90°,

:.XCDHs△DBA,

.CHCD

??~~~~,

ADBD

?：BD=>JAB2+AD2=V82+62=10,

.CH5

??=,

610

:?CH=3,

：.BH=VBC2-CH2=J（3V5）2-32=6,

/./DBC的正切值=器=U

6.【解答】（1）證明：：r）E〃AC,

；./BCA=NE.（1分）

:CA平分NBC。，

:.NBCD=2NBCA,（1分）

:.NBCD=2NE,（1分）

又,：/B=2NE,

:./B=/BCD.（1分）

梯形ABCZ）是等腰梯形，即42=￡>C.（2分）

（2）解：如圖，AFLBC,DG1BC,垂足分別為RG,貝（IA尸〃。G.

在Rt/XAFB中，tanB=2,：.AF^2BF.（1分）

又AB=V5,S.AB2^AF2+BF2,

：.5=4BF2+BF2,得B尸=1.（1分）

同理可知，在RtZXOGC中，CG=1.（1分）

'：AD//BC,：.ZDAC=ZACB.

X'.'ZACB=ZACD,：.ZDAC=ZACD,：.AD=DC.'：DC^AB=A/5,：.AD=V5.（1

分）

,.'AD//BC,AF//DG,；.四邊形AFG。是平行四邊形，：.FG=AD=V5.（1分）

：.BC=BF+FG+GC=2+V5.（1分）

B

7.【解答】（1）證明：DF=CE,

四邊形CDFE是平行四邊形，

\'ZD=9Q°,

平行四邊形CDFE是矩形；

（2）解：'JCE//AD,

:.NCEB=NA,

*.*tanA=4/3,

4

tanZCEB=tanA=于

VZB=90°,

...△C2E是直角三角形，

在RtZiCBE中，tanNCEB=1^=*

.,.設(shè)BC=4eBE=3a,

由勾股定理得：CE=y/CB2+BE2=5a,

VCE=5,

??5。一5，

解得：。=1,

:.BE=3a=3,

：.CD=2BE=6,

由（1）可知：四邊形COPE是矩形，

:.DF=CE=5,EF=CD=6,/EFD=9Q°,

...△AEP是直角三角形，

EF4

---

在RtAAEF中，tanA=4F3

.64

??—―,

AF3

.\AF=4.5,

AD=AF+DF=4.5+5=9.5.

8.【解答】（1）證明：???四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,AB=CD,

：.ZEDO=ZFBO,DE//BF,

?；EF是BD的垂直平分線，

：?OB=OD,BE=DE,

：.ZBDF=/DBF,

在△DOE和△30尸中，

NEDO=乙FBO

OD=OB,

/DOE=Z-BOF

：.ADOE^/\BOF（ASA）,

:?DE=BF,

???四邊形BEDF是平行四邊形，

VEF±BZ）,

???四邊形跳刀尸是菱形；

（2）解：???四邊形A3C。是矩形，

AZA=90°,

?；EF是BD的垂直平分線，

：.BE=DE=AD-AE=6-2=4,

：.AB=yjBE2-AE2=V42-22=25

：.BD=y/AD2+AB2=舊+（2舊尸=4百

°：OB=OD,ZBCD=90°,

：.OB=OC,

：.ZBCO=ZCBD=NADB,

?，?cosN8CO=cosNAZ）8==--j==

BD4>/32

9.【解答】（1）證明：???四邊形ABC。是平行四邊形,

J.AB//DC,

...四邊形AEDF是平行四邊形,

,：AE1DE,

.?.NE=90°,

四邊形AEL不是矩形；

(2)解：如圖，

:四邊形AEDF是矩形，

：.AE=DF=2,ZF=90°,

ZF

tanZ-ADF=赤;=2,

?'A廠=2。尸=4,

：.BF=AB+AF=6,

???在RtZXBO/中，

BD=VDF2+BF2=V22+62=2V10.

10.【解答】(1)證明：:DB、CE交于點F,DF=FB,

???］是。5的中點,

???E是AB的中點，

：.EF//AD,

：.CF//ADf

9：AF//DC,

???四邊形AFCD是平行四邊形.

(2)解：作瓦)交友)的延長線于點則NH=90°,

VZADB=120°,AO=4,

ZADH=90°-ZADB=60°,

AHV3

—=sin60°

AD2'

：.AH=吟AD=亨X4=2V3,

AH1

----=tan/FBE=5，

BH3

:.BH=3AH=3乂2翼=6同

：.AB=7AH2+BH?=J(2百尸+(6圾2=2同,

；.BE=%2=1X2V30=V30，

.?.BE的長是畫.

ii.【解答】(i)證明：：四邊形ABC。是平行四邊形,

C.AD//BC,AD=BC,

?：CF=BE,

:.CF+EC=BE+EC,BPBC^EF,

，4。=￡/且4?！ㄋ?，

四邊形AEFD是平行四邊形，

"JAELBC,

：.ZA￡F=90°,

二四邊形AEFD是矩形.

(2)解：連接。E,

在RtZ\ABE中，ZA￡B=90°,BE=1,

VtanZ-ABC==2,

：.AE=2BE=2,

在RtZXADE中，ZZ)AE=90°,AZ)=4,

；?DE=yjAE2+AD2=V22+42=2V5.

12.【解答】(1)證明：???AB〃C。，

：.ZCAB=ZDCA,

〈AC為ND43的平分線，

：.ZCAB=ZDAC,

：.ZDCA=ZDACf

：.AD=CD,

9：AB=AD,

：.AB=CD,

'：AB//CD.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

XVAB=AZ),

???平行四邊形ABC。是菱形；

(2)解：???四邊形A3CD是菱形，BD=6,

1

：.OA=OCfOB=OD=^BD=3,BDLAC,

：.ZAOB=90°,

tmAOAB=

44

OA=-^OB=x3=4,

2222

：.AC=2OA=8fAB=y/OA+OB=V4+3=5,

VCE±AB,

9

菱形A3CZ)=A5?CE=^ACBD=x8X6=24,

即5CE=24,

??24

?CE=E'

即CE的長為g.

13?【解答】（1）證明：???AE=AZ）,AF±BDf

：.EF=DF,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

,:EG〃BC,

J.AD//EG,

：.ZGEF=ZADF,

在4G跖和△A。/中，

2GEF=^ADF

EF=DF，

ZEFG=ADFA

：.AGEF^AADF(ASA),

???GF=AF,

,:EF=DF,

，四邊形AEGD是平行四邊形，

9

：AE^ADf

???四邊形AEG。是菱形；

(2)解：VAF±BZ),AF=BF,

：.AAFB是等腰直角三角形，

VAB=4,

???由勾股定理得，AF