專題17統(tǒng)計與古典概型

1.“學習強國”學習平臺是由中宣部主，

立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APR某市

宣傳部門為了解全民利用“學習強國”了解國家動態(tài)的情況，從全市抽取4000名人員進行調查，統(tǒng)計他們每

周利用“學習強國”的時長，繪制如圖所示的頻率分布直方圖（每周利用“學習強國”的時長均分布在［0,14］）.

⑴求實數(shù)。的值，并求所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；

⑵宣傳部為了了解大家利用“學習強國”的具體情況，準備采用分層抽樣的方法從［8,10）和［10,12）組中抽取

50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50人中選5人參加一個座談會，現(xiàn)從參加

座談會的5人中隨機抽取2人發(fā)言，求［10,12）組中恰好有1人發(fā)言的概率.

2.某學校參加全國數(shù)學競賽初賽（滿分100分）.該學校從全體參賽學生中隨機抽取了200名學生的初賽

成績繪制成頻率分布直方圖如圖所示：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖給出的數(shù)據(jù)估計此次初賽成績的中位數(shù)和平均分數(shù)；

（2）從抽取的成績在90-100的學生中抽取3人組成特訓組，求學生4被選的概率.

3.某重點大學為了解準備保研或者考研的本科生每天課余學習時間，隨機抽取了100名這類大學生進行調

查，將收集到的課余學習時間（單位：h）整理后得到如下表格：

課余學習時間[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11]

人數(shù)510254020

（1）估計這100名大學生每天課余學習時間的中位數(shù)；

⑵根據(jù)分層抽樣的方法從課余學習時間在［7,9）和［9,11］,這兩組中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求

抽到的2人的課余學習時間都在［7,9）的概率.

4.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留

半年的太空飛行任務，標志著中國空間站關鍵技術驗證階段圓滿完成.并將進入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)

人們對天文學的興趣，開展了天文知識比賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的

有m人,這根人按年齡分成5組，其中第一組：［20,25）,第二組：［25,30）,第三組：［30,35）,第四組：［35,40）,

第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這根人的第80百分位數(shù)（中位數(shù)=第50百分位數(shù)）；

（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任“黨章黨史”的宣傳使者.

①若有甲（年齡36）,乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，

再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和?，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42

和1,據(jù)此估計這6人中35?45歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差.

5.某公司有甲、乙兩支研發(fā)團隊，現(xiàn)在要考察兩支團隊的研發(fā)水平，隨機抽取兩個團隊往年研發(fā)新品的成

果如下：（4B）,（4月），（4B）,Q4,B）,（4,B）,（4瓦），（A,B\（4瓦），（4B）,

（4瓦），（4B）,（A,B）.其中4,彳分別表示甲團隊研發(fā)成功和失?。籅,亙分別表示乙團隊研發(fā)成功和失敗.

（1）若某團隊成功研發(fā)一種新品，則給該團隊記1分,否則記0分.試求兩隊研發(fā)新品的成績的平均數(shù)和方差，

并比較兩團隊的研發(fā)水平；

（2）若公司安排兩團隊各自研發(fā)一種新品，試估計恰有一隊研發(fā)成功的概率.

6.我市某校為了解高一新生對物理科與歷史科方向的選擇意向，對1000名高一新生發(fā)放意向選擇調查表，

統(tǒng)計知，有600名學生選擇物理科，400名學生選擇歷史科.分別從選擇物理科和歷史科的學生中隨機各抽

取20名學生的數(shù)學成績得如下累計表（下表）：

分數(shù)段物理人數(shù)歷史人數(shù)

[40,50)02

[50,60)14

[60,70)34

[70,80)65

[80,90)63

[90,100]42

頻率

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015L」____I

0.010

0.005T

405060708090100成績(1)利用表中數(shù)據(jù)，試分析數(shù)學成績對學生選擇物理科或歷史科的影響,

并繪制選擇物理科的學生的數(shù)學成績的頻率分布直方圖，并求出選擇物理科的學生的數(shù)學成績的平均數(shù)(如

圖);

(2)從數(shù)學成績低于80分的選擇物理科和歷史科的學生中按照分層抽樣的方法抽取5個成績，再從這5個成

績中抽2個成績，求至少有一個選擇物理科學生的概率.

7.今年是中國共青團建團100周年，我校組織了1000名高中同學進行團的知識競賽.成績分成6組:[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a,b,

c成等差數(shù)列，成績落在[40,50)U[70,80)內的人數(shù)為400.

⑴求出直方圖中a,b,c的值;

(2)估計中位數(shù)(精確到0.1)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；

(3)在區(qū)間[80,100]內的學生中通過分層抽樣抽取了5人，現(xiàn)從5人中再隨機抽取兩人進行現(xiàn)場知識答辯，求

抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間[90,100]內的事件概率.

8.今年是中國共青團建團100周年，我校組織了1000名高中同學進行團的知識競賽成績分成5組:[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a,6,c成等差

(2)估計中位數(shù)(精確到0.1)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；

(3)在區(qū)間[80,100]內的學生中通過分層抽樣抽取了5人，現(xiàn)從5人中再隨機抽取兩人進行現(xiàn)場知識答辯，求

抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間[90,100]內的事件概率.

9.全國中學生生物學競賽隆重舉行.為做好考試的評價工作，將本次成績轉化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了

50名學生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的成績全部介于40至100之間，將數(shù)據(jù)按照

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計這50名學生成績的中位數(shù)；

⑵在這50名學生中用分層抽樣的方法從成績在[70,80),[80,90),[90,100]的三組中抽取了11人，再從這11

人中隨機抽取2人，求這2人成績都不在[70,80)的概率.

10.清明期間，某校為緬懷革命先烈，要求學生通過前往革命烈士紀念館或者線上網(wǎng)絡的方式參與“清明祭

英烈”活動，學生只能選擇一種方式參加.已知該中學初一、初二、初三3個年級的學生人數(shù)之比為4:5:6,

為了解學生參與“清明祭英烈”活動的方式，現(xiàn)采用分層抽樣的方法進行調查，得到如下數(shù)據(jù).

年級人數(shù)方式初一年級初二年級初三年級

前往革命烈士紀念館2a-l810

線上網(wǎng)絡ab2

(1)求a,6的值；

(2)從該校各年級被調查且選擇線上網(wǎng)絡方式參與“清明祭英烈”活動的學生人任選兩人，求這兩人是同一個

年級的概率.

11.已知1個不透明的袋子中裝有6個白球和4個黃球(這些球除顏色外無其他差異).甲從袋中摸出1球，

若摸出的是白球，則除將摸出的白球放回袋子中外，再將袋子中的1個黃球拿出，放入1個白球；若摸出

的是黃球，則除將摸出的黃球放回袋子中外，再將袋子中的1個白球拿出，放入1個黃球.再充分攪拌均

勻后，進行第二次摸球，依此類推，直到袋中全部是同一種顏色的球，已知甲進行了4次摸球，記袋子中

白球的個數(shù)為X.

⑴求袋子中球的顏色只有一種的概率；

(2)求X的分布列和期望.

12.在數(shù)學探究實驗課上，小明設計了如下實驗:在一個盒子中裝有藍球、紅球、黑球等多種不同顏色的小球,

一共有偶數(shù)個小球,現(xiàn)在從盒子中一次摸一個球，不放回.

(1)若盒子中有6個球，從中任意摸兩次，摸出的兩個球中恰好有一個紅球的概率為1.

①求紅球的個數(shù)；

②從盒子中任意摸兩次球,記摸出的紅球個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

(2)已知盒子中有一半是紅球，若“從盒子中任意摸兩次球，至少有一個紅球”的概率不大于藍，求盒子中球的總

個數(shù)的最小值.

13.某班在一次班會課上推出了一項趣味活動：在一個箱子里放有4個完全相同的小球，小球上分別標注

有1、2、3、4號碼.參加活動的學生有放回地摸兩次球，每次摸1個，并分別記錄下球的號碼數(shù)字尤，y獎

勵規(guī)則如下：①若次3,則獎勵筆記本1本；②若孫N8,則獎勵水杯1個；③其余情況獎勵飲料1瓶.

(1)求小王獲得筆記本的概率；

(2)試分析小王獲得水杯與獲得飲料，哪一個概率大？

14.2022年2月4日，第24屆北京冬奧會在國家體育館隆重開幕，本屆冬奧會吸引了全球91個國家和地

區(qū)的2892名冰雪健兒前來參賽.各國冰雪運動健兒在“一起向未來”的愿景中，共同詮釋“更快、更高、更強、

更團結”的奧林匹克新格言，創(chuàng)造了一項又一項優(yōu)異成績，中國隊9金4銀2銅收官，位列金牌榜第三，金

牌數(shù)和獎牌數(shù)均創(chuàng)歷史新高.中國健兒在賽場上努力拼搏，激發(fā)了全國人民參與冰雪運動的熱情，憨態(tài)可掬

的外貌加上富有超能量的冰晶外殼的吉祥物“冰墩墩”備受大家喜愛.某商場舉行“玩摸球游戲，領奧運禮品”

的促銷活動，活動規(guī)定：顧客在該商場一次性消費滿300元以上即可參加摸球游戲.摸球游戲規(guī)則如下：在

一個不透明的袋子中裝有10個大小相同、四種不同顏色的小球，其中白色、紅色、藍色、綠色小球分別有

1個、2個、3個、4個，每個小球上都標有數(shù)字代表其分值，白色小球上標30、紅色小球上標20、藍色小

球上標10、綠色小球上標5.摸球時一次只能摸一個，摸后不放回.若第一次摸到藍色或綠色小球，游戲結束，

不能領取奧運禮品；若第1次摸到白色小球或紅色小球，可再摸2次.若摸到球的總分不低于袋子中剩下球

的總分，則可免費領取奧運禮品.

(1)求參加摸球游戲的顧客甲能免費領取奧運禮品的概率；

(2)已知顧客乙在第一次摸球中摸到紅色小球，設其摸球所得總分為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

15.春節(jié)是中國民間最隆重盛大的傳統(tǒng)節(jié)日，春節(jié)歷史悠久，在傳承發(fā)展中已形成了一些較為固定的習俗，

有許多還相傳至今，如買年貨、貼對聯(lián)、吃年夜飯、拜年、放鞭炮、逛廟會、賞花燈等.在春節(jié)期間，全

國各地均舉行各種賀歲活動，各地因地域文化不同而又存在著習俗內容或細節(jié)上的差異，帶有濃郁的各民

族特色.在某地的一個廟會上，一個商戶為了吸引客人，舉行摸獎游戲.在一個口袋內裝有形狀大小相同

的5個小球，其中，3個紅球、1個黑球、1個黃球；若中獎就送價值10元的一件禮品，若不中獎，就在商

戶這里買一件價值不低于20元的商品.

(1)若從中一次性摸出2個球，摸出黃球就中獎，求某個客人能領到一件禮品的概率；

(2)商戶約定：從口袋中連續(xù)取兩次球，每次取一球后放回，若取出的兩個球中沒有紅球，則商戶可以讓

客人免費拿一件價值50元的商品，否則，客人就得買一件價值100元的商品，某客人想試一試，問這位客

人免費拿一件價值50元的商品的可能性會超過20%嗎？

16.2023年3月中旬，我國很多地區(qū)出現(xiàn)倒春寒現(xiàn)象，突然大幅降溫，河南下起了暴雪.研究表明，溫度的

突然變化會引起機體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應，從而導致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化.某數(shù)學

建模興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒學生人數(shù)多少之間的關系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，

查閱了這六天中每天去校醫(yī)新增患感冒而就診的學生人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下表：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

晝夜溫差X(℃)47891412

新增就診人數(shù)y(位)

yiy2y3y4ysy6

參考數(shù)據(jù)：2：=1W=3160,2：=1(%—刃2=256,￡之1(陽一盼(%—夕)=120.

(1)已知第一天新增患感冒而就診的學生中有6位女生，從第一天新增的患感冒而就診的學生中隨機抽取3

位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為J,求當?shù)闹担?/p>

(2)求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程夕=Bx+a,且據(jù)此估計晝夜溫差為16冤時，該校新增患感冒的學生數(shù)(用

四舍五入法結果保留整數(shù)).

附.g=EIL-L理t包a=v-bx

P1J-°X^Xi-xY,ayDx-

17.猜燈迷是我國一種民俗娛樂活動，某社區(qū)在元宵節(jié)當天舉行了猜燈謎活動，工作人員給每位答題人提

供了5道燈謎題目，答題人從中隨機選取2道燈迷題目作答，若2道燈謎題目全答對，答題人便可獲得獎

品.

(1)若甲只能答對工作人員所提供的5道題中的2道，求甲能獲得類品的概率；

(2)若甲不能獲得獎品的概率為《，求甲能答對所提供燈謎題目的數(shù)量.

18.為提高核酸檢測效率，某醫(yī)學實驗室現(xiàn)準備采用某種檢測新冠肺炎病毒核酸的新型技術進行新一輪大

規(guī)模核酸篩查.經(jīng)過初步統(tǒng)計分析得出該項技術的錯檢率約為0.04,漏檢率約為0.01.(錯檢率指在檢測出陽

性的情況下未感染的概率，漏檢率指在感染的情況下檢測出陰性的概率)

(1)當有100個人檢測出核酸陽性時，求預計檢出的假陽性人數(shù)；

(2)為節(jié)約成本，實驗室在該技術的基礎上采用“混采”的方式對個別疫區(qū)進行核酸檢測，即將w個人的樣本

裝進一根試管內送檢；若某組檢測出核酸陽性，則對這“個人分別進行單人單試管核酸采樣.現(xiàn)對兩個疫區(qū)

的居民進行核酸檢測，A疫區(qū)共有10000名居民，采用n=10的混采策略；B疫區(qū)共有20000名居民，采用

n=20的混采策略.已知兩個疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032,通過計算比較A、B

兩個疫區(qū)核酸檢測預計消耗試管數(shù)量.

參考數(shù)據(jù)：0.98671°-0.8747,V5-2.24

19.某職業(yè)培訓學?，F(xiàn)有六個專業(yè)，往年每年各專業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率(直接就業(yè)的學生人數(shù)與招生人

數(shù)的比值)統(tǒng)計如下表：

專業(yè)機電維修藝術舞蹈汽車美容餐飲電腦技術美容美發(fā)

招生人數(shù)100100300200800500

就業(yè)率100%70%90%80%50%80%

(I)從該校往年的學生中隨機抽取1人，求該生是“餐飲”專業(yè)且直接就業(yè)的概率；

(II)為適應人才市場的需求，該校決定明年將“電腦技術”專業(yè)的招生人數(shù)減少爪(0<m<400),將“機

電維修”專業(yè)的招生人數(shù)增加學假設“電腦技術”專業(yè)的直接就業(yè)人數(shù)不變，“機電維修”專業(yè)的就業(yè)率不變,

其他專業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率都不變,要使招生人數(shù)調整后全校整體的就業(yè)率比往年提高5個百分點,求他的

值.

20.長江十年禁漁計劃全面施行，漁民老張積極配合政府工作，如期收到政府的補償款.他決定拿出其中10

萬元進行投資，并看中了兩種為期60天(視作2個月)的穩(wěn)健型(不會虧損)理財方案.

方案一：年化率2.4%,且有10%的可能只收回本金；

方案二：年化率3.0%,且有20%的可能只收回本金；

已知老張對每期的投資本金固定(都為10萬元)，且第一次投資時選擇了方案一，在每期結束后，老張不

間斷地進行下一期投資，并且他有40%的可能選擇另一種理財方案進行投資.

(1)設第z?次投資(i=1,2,3,-n)選擇方案一的概率為P”求心；

（2）求一年后老張可獲得總利潤的期望（精確到1元）.

注：若拿1千元進行5個月年化率為2.4%的投資，則該次投資獲利3=2.4%X2x1000=10元.

21.某地區(qū)突發(fā)小型地質災害，為了了解該地區(qū)受災居民的經(jīng)濟損失，制定合理的補償方案，研究人員經(jīng)

過調查后將該地區(qū)所有受災居民的經(jīng)濟損失情況統(tǒng)計如下圖所示.

頻率/組距

0.00020

0.00015

0.00003

O200040006000800010000經(jīng)濟損失/元

⑴求a的值；

（2）求所有受災居民的經(jīng)濟損失的平均值；

⑶現(xiàn)按照分層抽樣的方法從經(jīng)濟損失在［4000,8000）的居民中隨機抽取8人，再從這8人中任取2人了解情

況，求至多有1人經(jīng)濟損失在［4000,6000）的概率.

22.甲、乙、丙、丁四支球隊進行單循環(huán)小組賽（每兩支隊比賽一場），比賽分三輪，每輪兩場比賽，第一輪

第一場甲乙比賽，第二場丙丁比賽；第二輪第一場甲丙比賽，第二場乙丁比賽；第三輪甲對丁和乙對丙兩

場比賽同一時間開賽，規(guī)定：比賽無平局，獲勝的球隊記3分，輸?shù)那蜿犛?分.三輪比賽結束后以積分多

少進行排名，積分相同的隊伍由抽簽決定排名，排名前兩位的隊伍小組出線.假設四支球隊每場比賽獲勝概

率以近10場球隊相互之間的勝場比為參考.

隊伍近10場勝場比隊伍

甲7:3乙

甲5:5丙

甲4:6T

乙4:6丙

乙5:5T

丙3:7T

⑴三輪比賽結束后甲的積分記為X,求P(X=3)；

(2)若前二輪比賽結束后，甲、乙、丙、丁四支球隊積分分別為3、3、0、6,求甲隊能小組出線的概率.

23.高三年級計劃從甲、乙兩個班中選擇一個班參加學校的知識競賽，設甲班的成績?yōu)椤?乙班的成績?yōu)閥,

(2)若|x-訓＜5,則稱甲、乙屬于“同一階層”.若從上述6次考試中任取三次，求至少有兩次甲、乙屬于“同

一階層”的概率.

(如一行+色國2+…+(”/)

附：方差s2=

n

24.高新區(qū)某高中德育處為了調查學生對“一帶一路”的關注情況，在全校組織了“一帶一路”的知識問卷調查,

并從中隨機抽取了12份問卷，得到測試成績（百分制）的莖葉圖如圖.

成績

52-

6378

72666

828

934

（1）寫出該樣本的中位數(shù)，若該校共有3000名學生，試估計該校測試成績在70分以上的人數(shù).

（2）從測試成績?yōu)椋?0,90］的學生中隨機抽取2人，求兩位學生的測試成績均落在［70,80］的概率.

25.一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延，在黨中央的堅強領導和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城、

團結一心，共抗疫情。每天測量體溫也就成為了所有人的一項責任，一般認為成年人腋下溫度T（單位：℃）

平均在36℃~37℃之間即為正常體溫，超過37.1℃即為發(fā)熱。發(fā)熱狀態(tài)下，不同體溫可分成以下三種發(fā)熱類

型:低熱：37.1WTW38；高熱：38<TW40；超高熱（有生命危險）：T>40.

某位患者因發(fā)熱，雖排除肺炎，但也于12日至26日住院治療.醫(yī)生根據(jù)病情變化，從14日開始，以3天

為一個療程，分別用三種不同的抗生素為該患者進行消炎退熱.住院期間，患者每天上午8:00服藥，護士

每天下午16:00為患者測量腋下體溫記錄如下：

抗生素使用情況沒有使用使用“抗生素A”治療使用“抗生素B”治療

日期12日13日14日15日16日17日18日19日

體溫（℃）38.739.439.740.139.939.238.939.0

抗生素使用情況使用“抗生素C”治療沒有使用

日期20日21日22日23日24日25日26日

體溫（℃）38.438.037.637.136.836.636.3

（1）請你計算住院期間該患者體溫不低于39℃的各天體溫平均值；

（2）在18日―22日期間，醫(yī)生會隨機選取3天在測量體溫的同時為該患者進行某一特殊項目“a項目”的檢

查，求至少兩天在高熱體溫下做“a項目”檢查的概率；

(3)抗生素治療一般在服藥后2-8個小時就能出現(xiàn)血液濃度的高峰，開始殺滅細菌，達到消炎退熱效果.

假設三種抗生素治療效果相互獨立，請依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷哪種抗生素治療效果最佳，并說明理由.

26.為了了解居民的家庭收入情況，某社區(qū)組織工作人員從該社區(qū)的居民中隨機抽取了n戶家庭進行問卷調查.

經(jīng)調查發(fā)現(xiàn),這些家庭的月收入在5000元到8000元之間，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖.已

知圖中從左至右第一、二、四小組的頻率之比為1:3:6,且第四小組的頻數(shù)為18.

⑴求出

(2)求這幾戶家庭月收入的眾數(shù)與中位數(shù)(結果精確到0.1);

(3)這幾戶家庭月收入在第一、二、三小組的家庭中,用分層抽樣的方法任意抽取6戶家庭，并從這6戶家庭中隨

機抽取2戶家庭進行慰問，求這2戶家庭月收入都不超過6000元的概率.

27.某地區(qū)期末進行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評價工作，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學生的成績，經(jīng)統(tǒng)

計，這批學生的成績全部介于40至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

（1）求頻率分布直方圖中小的值；在這50名學生中用分層抽樣的方法從成績在［70,80）,［80,90）,［90,100］的

三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記X為3人中成績在［80,90）的人數(shù)，求P（X=1）；

（2）規(guī)定成績在［90,100］的為4等級，成績在［70,90）的為B等級，其它為C等級.以樣本估計總體，用頻率代

替概率.從所有參加考試的同學中隨機抽取3人，求獲得B等級的人數(shù)不少于2人的概率.

28.某大學平面設計專業(yè)的報考人數(shù)連創(chuàng)新高，今年報名已經(jīng)結束.考生的考號按0001,0002,……的順

序從小到大依次排列.某位考生隨機地了解了50個考生的考號，具體如下：

0400090407470090063607140017043204030276

0986080406970419073502780358043409460123

0647034901050186007904340960054304950974

0219038003970283050401400518096605590910

0558044206940065075707020498015602250327

⑴據(jù)了解，這50名考生中有30名男生，20名女生.在某次模擬測試中，30名男生平均分數(shù)是70分，樣

本方差是10,20名女生平均分數(shù)是80分，樣本方差是15,請求出此50人該次模擬考試成績的平均分和方

差；（考生個人具體分數(shù)不知曉）

⑵請根據(jù)這50個隨機抽取的考號，幫助這位考生估計考生總數(shù)N,并說明理由.

29.據(jù)相關機構調查研究表明我國中小學生身體健康狀況不容忽視，多項身體指標（如肺活量、柔韌度、力

量、速度、耐力等）自2000年起呈下降趨勢，并且下降趨勢明顯，在國家的積極干預下，這種狀況得到遏制，

并向好的方向發(fā)展，到2019年中小學生在肺活量、柔韌度、力量、速度、耐力等多項指標出現(xiàn)好轉，但肥胖、

近視等問題依然嚴重，體育事業(yè)任重道遠.某初中學校為提高學生身體素質，日常組織學生參加中短跑鍛煉，

學校在一次百米短跑測試中，抽取200名女生作為樣本，統(tǒng)計她們的成績（單位：秒），整理得到如圖所示

的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點，不包含右端點）.

(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)；(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)

⑵在樣本中從[10,12)和[20,22)的學生中采用分層抽樣的方法抽取5人，從所抽5人中任選2人，求2人成

績均在[20,22)內的概率.

30.九洪的西瓜脆甜爽口，汁多肉厚，在川南地區(qū)久負盛名，其實在九洪還有一種香瓜也非常好吃，由于

個小產(chǎn)量也少，往往供不應求，所以不被大家熟悉.九洪某種植園在香瓜成熟時，隨機從一些香瓜藤上摘

下100個香瓜，稱得其質量分別在[150,250),[250,350),[350,450),[450,550),[550,650)(單位：克)

中，經(jīng)統(tǒng)計繪制頻率分布直方圖如圖所示：

(1)估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

⑵在樣本中，按分層抽樣從質量在[250,350),[350,450)中的香瓜中隨機抽取5個，再從這5個中隨機抽取

2個，求這2個香瓜都來自同一個質量區(qū)間的概率；

(3)某個體經(jīng)銷商來收購香瓜，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表，用樣本估計總體，該

種植園中大概共有香瓜20000個，經(jīng)銷商提出以下兩種收購方案：

方案①：所有香瓜以10元/千克收購；方案②：對質量低于350克的香瓜以3元/個收購，對質量高于或等

于350克的香瓜以5元/個收購.請通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？

專題17統(tǒng)計與古典概型

1.”學習強國，，學習平臺是由中宣部主管

立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP.某市

宣傳部門為了解全民利用“學習強國”了解國家動態(tài)的情況，從全市抽取4000名人員進行調查，統(tǒng)計他們每

周利用“學習強國，，的時長，繪制如圖所示的頻率分布直方圖（每周利用“學習強國”的時長均分布在［0,14］）.

⑴求實數(shù)a的值，并求所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；

⑵宣傳部為了了解大家利用“學習強國”的具體情況，準備采用分層抽樣的方法從［8,10）和［10,12）組中抽取

50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50人中選5人參加一個座談會，現(xiàn)從參加

座談會的5人中隨機抽取2人發(fā)言，求［10,12）組中恰好有1人發(fā)言的概率.

【答案】⑴0.075,6.8

（2）30A,20A;|

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖性質即利用各組頻率之和為1即可求得a的值；根據(jù)平均數(shù)的計算方法

即可求得平均時長；

（2）根據(jù)分層抽樣即按比例抽樣即可求得兩組各抽取多少人，繼而求得從參加座談會的5人中隨機抽取2

人各組抽取的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.

【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖性質可得（0.025+0.050+0.125+0.150+a+0.050+0.025）x2=1,

解得a=0.075；

根據(jù)頻率分布直方圖可得所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長為：

0.05x1+0.1x3+0.25x5+0.3x7+0.15x9+0.1x11+0.05x13=6.8.

（2）由題意得［8,10）組的人數(shù)為4000x0.15=600,［10,12）組的人數(shù)為4000X0,1=400,

這兩組的人數(shù)之比為600:400=3:2,

18/52

故［8,10)組抽取的人數(shù)為qx50=30；［10,12)組抽取的人數(shù)為|x50=20；

利用分層抽樣從抽取的50人中選5人參加一個座談會，

則［8,10)組抽取的人數(shù)為|X5=3；［10,12)組抽取的人數(shù)為|x5=2,

從參加座談會的5人中隨機抽取2人發(fā)言，共有C白=10種抽取方法，

［10,12)組中恰好有1人發(fā)言的抽取方法有=6,

故［10,12)組中恰好有1人發(fā)言的概率為P=2=|.

2.某學校參加全國數(shù)學競賽初賽(滿分100分).該學校從全體參賽學生中隨機抽取了200名學生的初賽

成績繪制成頻率分布直方圖如圖所示：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖給出的數(shù)據(jù)估計此次初賽成績的中位數(shù)和平均分數(shù)；

(2)從抽取的成績在90-100的學生中抽取3人組成特訓組，求學生力被選的概率.

【答案】⑴中位數(shù)67.5分,平均數(shù)67.75分

(2)0.6

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)和平均數(shù)的求法計算即可；

(2)利用列舉法結合古典概型即可得解.

【詳解】(1)因為10X(0.0075+0.02)=0.275,0.275+10X0.03=0.575,

所以中位數(shù)位于區(qū)間［60,70),

設中位數(shù)為X,

則10x(0.0075+0.02)+10(x-60)=0.5,解得x=67.5,

即中位數(shù)為67.5分，

平均分為

19/52

10x(0.0075X45+0.02x55+0.03x65+0.025X75+0.015X85+0.0025x95)=67.75分；

(2)成績在90-100的學生有200X10X0.0025=5人，

設為A,b,c,d,e,

從這5人中抽取3人，

有(A,b,c),(A,b,d),(A,b,e),(A,c,d),(A,c,e),(A,d,e),(b,c,d),(b,c,e),

(b,d,e),(c,d,e)共10種,

其中學生A被選有(A,b,c),(A,b,d),(A,b,e),(A,c,d),(A,c,e),(A,d,e)共6種,

所以學生A被選的概率為2=0.6.

3.某重點大學為了解準備保研或者考研的本科生每天課余學習時間，隨機抽取了100名這類大學生進行調

查，將收集到的課余學習時間(單位：h)整理后得到如下表格：

課余學習時間口3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11]

人數(shù)510254020

⑴估計這100名大學生每天課余學習時間的中位數(shù)；

（2）根據(jù)分層抽樣的方法從課余學習時間在［7,9）和［9,11］,這兩組中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求

抽到的2人的課余學習時間都在［7,9）的概率.

【答案】⑴7.5

⑵I

【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表估計中位數(shù)的方法直接求解即可；

（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定從［7,9）和［9,11］兩組中抽取的人數(shù)，采用列舉法可得所有基本事件和滿足題

意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結果.

【詳解】（1）?.-5+10+25=40,5+10+25+40=80,

,這100名大學生每天課余學習時間的中位數(shù)位于［7,9）之間，

則中位數(shù)為7+^x2=7.5.

40

（2）由題意知：從課余學習時間在［7,9）這一組抽取6X2=4人，分別記為a1,a2，a3，a4,從課余學習時間

60

在［9,11］這一組抽取6x1^=2人，分別記為％,b2；

60

從這6人中隨機抽取2人，所有的基本事件為:

20/52

aaaaaaa

{i，2)?{i>3)?{i<4)>{i?b】},{a1(b2},{a2,a3},{a2,a4},{a2,b［},{a2,b2},{a3,a4},

{a3,bj,{a3,b2},{a4,bj,{a4,b2},{bnb2},共15個基本事件；

其中“抽到的2人的課余學習時間都在［7,9)”包含的基本事件為：

{al)a2)>{al?a3)>{al?a4)>{a2?a3)>{a2>a4)>{a3>a4)r共6個基本事件；

???抽到的2人的課余學習時間都在［7,9)的概率p=郎=|.

4.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留

半年的太空飛行任務，標志著中國空間站關鍵技術驗證階段圓滿完成.并將進入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)

人們對天文學的興趣，開展了天文知識比賽，滿分100分(95分及以上為認知程度高)，結果認知程度高的

有m人,這根人按年齡分成5組，其中第一組：［20,25),第二組：［25,30),第三組：［30,35),第四組：［35,40),

第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

頻率

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這根人的第80百分位數(shù)(中位數(shù)=第50百分位數(shù))；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任“黨章黨史”的宣傳使者.

①若有甲(年齡36),乙(年齡42)兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，

再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和也第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42

和1,據(jù)此估計這6入中35?45歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差.

【答案】⑴37.5

⑵①|;②年齡的平均數(shù)為38,方差約為10

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖可確定第80百分位數(shù)第四組，根據(jù)第80百分位數(shù)定義可構造方程求得結

果；

21/52

(2)①根據(jù)分層抽樣原則可求得第四組和第五組抽取的人數(shù)，采用列舉法可得樣本點總數(shù)和滿足題意的樣

本點個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結果；

②由7=立止11噩百可求得第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)，由s2=」(4s工+4x2+2s2+2y2-

6于)可求得第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差.

【詳解】(1)設第80百分位數(shù)為a,

---0.01x5+0.07x5+0.06x5=0.7<0.8,0.01x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9>0.8,

??.a位于第四組：[35,40)內;

方法一：由5x0.02+(40—a)x0.04=0.2得：a=37.5.

方法二：由0.7+(a—35)x0.04=0.8得：a=37.5.

(2)①由題意得，第四組應抽取0.04x5X20=4人，記為A,B,C,甲；第五組抽取0.02X5X20=2人，

記為D,乙，

對應的樣本空間為：AB,AC,A甲，AD,A乙，BC,B甲，BD,B乙，C甲，CD,C乙，甲D,甲乙，D乙，

共15個樣本點.

設事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，

則有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D,甲乙，D乙，共有9個樣本點.

'7n(n)155

②設第四組的宣傳使者的年齡分別為X1,X2，X3，X4,平均數(shù)分別為元=36,方差分別為4=也

設第五組的宣傳使者的年齡分別為yr丫2,平均數(shù)分別為y=42,方差分別為赍=1,

則又=滑=1%，y=|H=iyi>sa=注：=1區(qū)—歷2=#2：=國—4又2),s”(2：=i(yi—方=

X晨淵-2y2),

可得1X1%=4x,￡篙月=2y,2：=1X；=4s申+4x2,幺二寸=2s2+2y2,

設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為2,方差為s2.

則N_器1-+%=1必_4五+21_4X36+2X42_3g,

666

即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為38,

222

則s2=[[2：=i(Xi")2+Z"=1(Yi-Z)]=I[(2^4-4z)+(2"=1y^-2z)]

=1(4s工+4x2+2sj+2y2-6z2)=ix(4x|+4x362+2xl+2x422-6x382)=10.

22/52

即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10；

據(jù)此估計這m人中年齡在35?45歲的所有人的年齡的平均數(shù)為38,方差約為10.

5.某公司有甲、乙兩支研發(fā)團隊，現(xiàn)在要考察兩支團隊的研發(fā)水平，隨機抽取兩個團隊往年研發(fā)新品的成

果如下：(4B),(4瓦)，(4B),(4瓦)，Q4,B),(4B),(4瓦)，(4瓦)，Q4,B),

(4月)，(4B).其中4了分別表示甲團隊研發(fā)成功和失敗；B,后分別表示乙團隊研發(fā)成功和失敗.

(1)若某團隊成功研發(fā)一種新品，則給該團隊記1分,否則記0分.試求兩隊研發(fā)新品的成績的平均數(shù)和方差，

并比較兩團隊的研發(fā)水平；

(2)若公司安排兩團隊各自研發(fā)一種新品，試估計恰有一隊研發(fā)成功的概率.

【答案】(1)平均數(shù)漏=|,x7=J;方差.=|,s；=?，甲團隊的研發(fā)水平優(yōu)于乙團隊

1T3~51T9乙25

⑵￡

【分析】(1)用平均數(shù)與方差公式計算，并比較可得結果;

(2)由古典概型可求概率.

【詳解】(1)甲團隊研發(fā)新產(chǎn)品的成績如下:

1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1；

乙團隊研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)椋?/p>

1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1.

——102——93

X由=一=一，X7=-=

甲153乙155

漏〉號，備＜；通過兩隊平均數(shù)、方差的比較,

T乙S1Tls乙,

可以看出甲團隊的研發(fā)水平優(yōu)于乙團隊.

(2)記恰有一隊研發(fā)成功的概率為P

所抽的15個結果中，恰有一組研發(fā)成功包括

(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(A,瓦)共7個，

p=—

150

6.我市某校為了解高一新生對物理科與歷史科方向的選擇意向，對1000名高一新生發(fā)放意向選擇調查表,

23/52

統(tǒng)計知，有600名學生選擇物理科，400名學生選擇歷史科.分別從選擇物理科和歷史科的學生中隨機各抽

取20名學生的數(shù)學成績得如下累計表（下表）:

分數(shù)段物理人數(shù)歷史人數(shù)

[40,50)02

[50,60)14

[60,70)34

[70,80)65

[80,90)63

[90,100]42

頻率

0.040

0.035

0.030

0.025i.

0.020

0.0151j____I

0.010

0.005rT—r

405060708090100成績（1）利用表中數(shù)據(jù)，試分析數(shù)學成績對學生選擇物理科或歷史科的影響,

并繪制選擇物理科的學生的數(shù)學成績的頻率分布直方圖，并求出選擇物理科的學生的數(shù)學成績的平均數(shù)（如

圖）;

（2）從數(shù)學成績低于80分的選擇物理科和歷史科的學生中按照分層抽樣的方法抽取5個成績，再從這5個成

績中抽2個成績，求至少有一個選擇物理科學生的概率.

【答案】（1）答案見解析，79.5

⑵5

【分析】（1）從統(tǒng)計表看出選擇理科的學生的數(shù)學平均成績高于選擇文科的學生的數(shù)學平均成績，反映了

數(shù)學成績對學生選擇文理科有一定的影響，然后根據(jù)數(shù)據(jù)繪制出直方圖即可；

（2）按照分層抽樣的方法確定選擇物理學科的數(shù)學成績和選擇歷史學科的數(shù)學成績各有多少，從中抽2個

24/52

成績，列舉出所有的基本事件，進而根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】(1)由表格數(shù)據(jù)知，隨著數(shù)學成績分數(shù)的提升，選擇物理方向學生的占比有明顯的提升,

所以數(shù)學成績越好，其選擇物理科方向的概率越大.

頻率分布直方圖如下:

選擇物理科的學生的數(shù)學成績的平均數(shù)為元=55X0,05+65X0.15+75x0.3+85x0.3+95x0,2=

79.5.

(2)由題可知，數(shù)學成績低于80分的選擇物理學科的成績有10個，選擇歷史學科的成績有15個，一共

有25個，

則按照分層抽樣的方法在選擇物理學科的數(shù)學成績應抽取10x￡=2個，設為A,B,

在選擇歷史學科的數(shù)學成績應抽取15X￡=3個，設為a,b,c,

基本事件列舉如下：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,Ab,ac,be.

所以，一共有10個基本事件，滿足條件的有7個：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,

所以至少有一個選擇物理科學生的概率為p=鼻

7.今年是中國共青團建團100周年，我校組織了1000名高中同學進行團的知識競賽.成績分成6組:[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)mb,

c成等差數(shù)列，成績落在[40,50)U[70,80)內的人數(shù)為400.

25/52

⑴求出直方圖中a,b,c的值；

(2)估計中位數(shù)(精確到0.1)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；

(3)在區(qū)間［80,100］內的學生中通過分層抽樣抽取了5人，現(xiàn)從5人中再隨機抽取兩人進行現(xiàn)場知識答辯，求

抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間［90,100］內的事件概率.

【答案】(l)a=0.01,b=0.015,c=0.02,

⑵平均數(shù)為70.5,中位數(shù)為71.7.

⑶g

【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1、a,b,c成等差數(shù)列以及成績落在［40,50)U［70,80)內的人數(shù)為400可得關于

a,b,c的方程，求出其解即可.

(2)利用組中值可求均值，利用公式可求中位數(shù).

(3)根據(jù)頻率之比可得抽取人數(shù)之比，再用列舉法求出基本事件的總數(shù)和隨機事件中的基本事件的個數(shù)，

故可求對應的概率.

【詳解】(1)因為a,b,c為等差數(shù)列，故2b=a+c,

又(2a+2b+c+0.03)x10=1,故2a+2b+c=0.07,

因為成績落在［40,50)U［7。,80)內的人數(shù)為400,故(a+0.03)x10=就，

故a=0.01,故b=0.015,c=0.02.

(2)由頻率分布直方圖可得平均數(shù)為：

45X0.1+55X0.15+65X0.2+75X0.34-85X0.15+95X0,1=70.5,

前3組的頻率之和為0.1+0.15+0.2=0.45,

前4組的頻率之和為0.1+0.15+0.2+0.3=0.75,

故中位數(shù)在區(qū)間［70,80)中，設該數(shù)為x,則答=絲薩

100.36

26/52

故X=70+|=71.7.

（3）區(qū)間［80,90）、［90,100］上的頻率之比為0.15:0.1=3:2,

故5人中在分數(shù)在［80,90）內的人數(shù)為3人,記為a,b,c,

分數(shù)在［90,100］內的人數(shù)為2人，記為A,B,

從5人中隨機抽取兩人進行現(xiàn)場知識答辯，共有10種取法：

{a,A},{b,A},{a,B},{b,B},{c,A},{c,B},{a,b},{a,c},{c,b］,{A,B}.

設C為“兩人中恰好有1人得分在區(qū)間［90,100］內”，貝IJC中的基本事件為：

{a,A},{b,A},{a,B},{b,B},{c,A},{c,B},共6個，

故P（L.

8.今年是中國共青團建團100周年，我校組織了1000名高中同學進行團的知識競賽.成績分成5組:［50,60）,

［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］,得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a,6,c成等差

數(shù)列，成績落在區(qū)間［60,70）內的人數(shù)為400.

（2）估計中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；

（3）在區(qū)間［80,100］內的學生中通過分層抽樣抽取了5人，現(xiàn)從5人中再隨機抽取兩人進行現(xiàn)場知識答辯，求

抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間［90,100］內的事件概率.

【答案】（l）a=0.04,b=0.03,c=0.02；

（2）中位數(shù)為71.7,平均數(shù)為73；

【分析】（1）先由在區(qū)間［60,70）內的人數(shù)求出a值，再根據(jù)等差數(shù)列的性質和頻率分布直方圖中所有小矩形

的面積之和為1,求出b,c的值；

（2）設中位數(shù)為x,根據(jù)中位數(shù)左側直方圖的面積為0.5求解中位數(shù)，利用平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘

27/52

上小矩形底邊中點的橫坐標之和求解平均數(shù)；

(3)先利用分層抽樣求出抽取的5人中4人來自區(qū)間［80,90),1人來自區(qū)間［90,100］,再利用古典概型求

出抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間［90,100］內的概率.

【詳解】(1)由已知可得a=400+1000=10=0.04,

貝4(0.005+0.04+b+c+0.005)x10=1,即b+c=0.05,

Xa,b,c成等差數(shù)列,.,.2b=0.04+c,

解得c=0.02,b=0.03,

(2)(0.005+0.04)x10=0.45<0.5,(0.005+0.04+0.03)x10=0.75>0.5,

設中位數(shù)為x,且xe［70,80),

(0.005+0.04)X10+(x-70)x0.03=0.5,解得x?71.7,

即中位數(shù)為71.7,

平均數(shù)為(5