第17章勾股定理§17.1.1直角三角形三邊的關(guān)系（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.在探索基礎(chǔ)上掌握勾股定理.2.掌握直角三角形中的邊邊關(guān)系和三角之間的關(guān)系.學(xué)習(xí)過(guò)程：一．創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課自主探究，觀察猜想活動(dòng)1：測(cè)量你的兩塊直角三角尺的三邊的長(zhǎng)度，并將各邊的長(zhǎng)度填入下表：三角尺直角邊a直角邊b斜邊c關(guān)系12根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請(qǐng)猜想三邊的長(zhǎng)度a、b、c之間的關(guān)系．由右圖得出等腰直角三角形的三邊關(guān)系：.右圖是正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中用陰影畫(huà)出的三個(gè)正方形，很顯然，兩個(gè)小正方形P、Q的面積之和等于大正方形R的面積．即AC＋ＢＣ＝ＡＢ2這說(shuō)明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．那么在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方呢?活動(dòng)2：觀察右圖，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面積＝平方厘米；正方形Q的面積＝平方厘米；正方形R的面積＝平方厘米．三、合作探究，總結(jié)規(guī)律正方形P、Q、R的面積之間的關(guān)系是：．直角三角形ＡＢＣ的三邊的長(zhǎng)度之間存在關(guān)系．由圖得出一般直角三角形的三邊關(guān)系.若∠C=90°,則三邊滿足：（每一小方格表示1平方厘米）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.用法：△ABC中，∠C=90°,則(a、b表示兩直角邊，c表示斜邊)變式：或四、理解運(yùn)用，拓展提高1.Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90°(1)已知a=8,b=10,求c.(2)已知a=5,c=12,求b(3)已知：c=13，b=5，求a；(4)已知:a:b=3:4,c=15,求a、b.注意：“∠B為直角”這個(gè)條件.方法總結(jié)：（1)在直角三角形中,已知兩邊,可求第三邊;(2)可用勾股定理建立方程.2．如圖，將長(zhǎng)為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，ＢＣ長(zhǎng)為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離ＡＢ．（精確到0.01米）解：如圖14.1.4，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米，根據(jù)勾股定理可得ＡＢ＝＝≈４.９６（米）．答：梯子上端A到墻的底邊的垂直距離ＡＢ約為4.96米五、達(dá)標(biāo)檢測(cè)，體驗(yàn)成功（時(shí)間6分鐘，每小題20分，滿分100分）1.下列說(shuō)法正確的是（）A.△ABC的兩邊AB=5，AC=12，則BC=13 B.Rt△ABC中，a=6,b=8,則c=10C.Rt△ABC中，a=3,b=4,則△ABC的面積S=6D.等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12，則高AD=.2.一個(gè)矩形的周長(zhǎng)是14，長(zhǎng)為4，則它的對(duì)角線長(zhǎng)是（）A.5 B.4 C.3 D.103.CD為Rt△ABC斜邊AB上的高，若AB=10，AC:AB=3:4，則這個(gè)直角三角形的面積()A.6 B.8 C.12 D.244.在△ABC中，∠C=900，AB=15，AC=12，則另一邊BC=.5.若一個(gè)直角三角形的兩邊分別為5和7，則第三邊為.6.在△ABC中，AB=AC=17cm,BC=16cm,AD⊥BC于D,則AD=.§17.1.1直角三角形三邊的關(guān)系（2）學(xué)習(xí)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知問(wèn)題：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c,那么這三邊a、b、c有什么關(guān)系呢？勾股定理揭示了直角三角形的邊與邊的關(guān)系，那么如何證明這個(gè)定理呢？二、動(dòng)手操作，探求新知活動(dòng)1.剪四個(gè)與圖1完全相同的直角三角形，然后將它們拼成如圖2所示的圖形．大正方形的面積可以表示為，又可以表示為．對(duì)比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結(jié)論．圖1圖2明確：①大正方形面積減去小正方形面積等于四個(gè)直角三角形面積.②大正方形面積減去四個(gè)直角三角形面積等于小正方形面積.③大正方形面積等于四個(gè)直角三角形面積加上小正方形面積.④結(jié)論是.活動(dòng)2.探究1.你會(huì)拼出圖探究2：你會(huì)用面積等式說(shuō)明勾股定理嗎？明確：①大正方形面積減去小正方形面積等于四個(gè)直角三角形面積.②大正方形面積減去四個(gè)直角三角形面積等于小正方形面積.③大正方形面積等于四個(gè)直角三角形面積加上小正方形面積.④結(jié)論是.探究3.由下面幾種拼圖方法，試一試，能否得出的結(jié)論.(1)(2)(3)(4)(5)探究點(diǎn)拔：1.將這四個(gè)全等的直角三角形拼成圖（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面積等于各部分面積的和可以得出.2.將兩個(gè)直角三角形拼成圖（4）中的梯形，由梯形面積等于三個(gè)直角三角形面積的和可以得到.3.通過(guò)剪接的方法構(gòu)成如圖（5）的正方形，可以證得.三、鞏固新知，理解運(yùn)用問(wèn)題1.如圖14.1.9，為了求出湖兩岸的A、B兩點(diǎn)之間的距離，一個(gè)觀測(cè)者在點(diǎn)C設(shè)樁，使三角形ABC恰好為直角三角形.通過(guò)測(cè)量，得到AC長(zhǎng)160米，BC長(zhǎng)128米.問(wèn)從點(diǎn)A穿過(guò)湖到點(diǎn)B有多遠(yuǎn)？明確：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方：四、跟蹤訓(xùn)練，能力拓展（1）如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，求四邊形ABCD的面積與周長(zhǎng).五、1.在Rt△ABC中，，（1）如果a=3，b=4，則c=________；（2）如果a=6，b=8，則c=________；第4題圖S第4題圖S1S2S32.下列說(shuō)法正確的是（）A.若、、是△ABC的三邊，則B.若、、是Rt△ABC的三邊，則C.若、、是Rt△ABC的三邊，，則D.若、、是Rt△ABC的三邊，，則3.一個(gè)直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，下列說(shuō)法正確的是（）A．斜邊長(zhǎng)為25B．三角形周長(zhǎng)為25C．斜邊長(zhǎng)為5D．三角形面積為204.如圖,三個(gè)正方形中的兩個(gè)的面積S1＝25，S2＝144，則另一個(gè)的面積S3為_(kāi)_______．5.一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm和12cm,則第三邊的長(zhǎng)為.6.如圖，△ABD的面積是（）A.18 B.30 C.36 D.607.一座橋橫跨一江，橋長(zhǎng)12米，一艘小船自橋一頭出發(fā)，向另一頭駛?cè)ィ蛩髟?，到岸后，發(fā)現(xiàn)已偏離橋頭5米，則小船實(shí)際行駛了（）A.5米 B.12米 C.13米 D.18米8.等腰△ABC的面積為12cm2，底上的高AD＝3cm，則它的周長(zhǎng)為＿＿＿．9.有兩棵樹(shù)，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹(shù)相距4米．一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛了＿＿＿米．10.如圖，今年第8號(hào)臺(tái)風(fēng)“桑美”是50多年以來(lái)登陸我國(guó)大陸地區(qū)最大的一次臺(tái)風(fēng)，一棵大樹(shù)受“桑美”襲擊于離地面5米處折斷倒下，倒下部分的樹(shù)梢到樹(shù)的距離為7米，則這棵大樹(shù)折斷前有__________11.(16分)如右圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)6cm.①求高AD②求△ABC的面積12.（14分）在一棵樹(shù)的10米高處有兩只猴子，其中一只爬下樹(shù)走向離樹(shù)20米的池塘，而另一只爬到樹(shù)頂后直撲池塘.如果兩只猴子經(jīng)過(guò)的距離相等，問(wèn)這棵樹(shù)有多高？§17.1.2勾股定理的逆定理——直角三角形的判定學(xué)習(xí)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題1．直角三角形有哪些性質(zhì)？（從邊、角兩方面考慮）（1）有一個(gè)角是直角；（2）兩個(gè)銳角的和為90°(互余)；（3）兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.反之，一個(gè)三角形滿足什么條件，才能是直角三角形呢?2．一個(gè)三角形滿足什么條件才能是直角三角形?（1）有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；（2）有兩個(gè)角的和為90°的三角形是直角三角形；（3）如果一個(gè)三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形???二、自主探究，探索新知問(wèn)題1.史料：古埃及人畫(huà)直角.據(jù)說(shuō)，古埃及人曾用下面的方法畫(huà)直角：他們用13個(gè)等距的結(jié)把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形，其直角在第4個(gè)結(jié)處.你知道這是什么道理嗎?三、動(dòng)手實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)新知1．試用小塑料棒拼出三邊長(zhǎng)度分別為如下數(shù)據(jù)的三角形，猜想它們是些什么形狀的三角形？（按角分類）（1）3，4，4（2）2，3，4（3）3，4，52．請(qǐng)比較上述每個(gè)三角形的兩條較短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方之間的大小關(guān)系.（1）3，4，4銳角三角形←32＋42>42（2）2，3，4鈍角三角形←22＋32<42（3）3，4，5直角三角形←32＋42=52四、歸納總結(jié)，理解定理3．從勾股定理到勾股定理的逆定理：互為逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.互為逆定理勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.注意：（1）勾股定理與勾股定理的逆定理之間的關(guān)系；（2）“勾股定理的逆定理”嚴(yán)格的證明以后會(huì)學(xué)到；（3）“勾股定理的逆定理”的用途.4、設(shè)AB是△ABC中三邊中最長(zhǎng)邊，則AC2+BC2<AB2→∠ACB為鈍角AC2+BC2=AB2→∠ACB為直角AC2+BC2>AB2→∠ACB為銳角五、理解運(yùn)用，拓展提高問(wèn)題1：判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形?（1）a=7，b=25，c=24;（2）a=12，b=35，c=37（2）a=13，b=11，c=9分析：根據(jù)勾股定理的逆定理,分析：根據(jù)勾股定理的逆定理,判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形,只要看兩條較短邊長(zhǎng)的平方和是否等于最長(zhǎng)邊長(zhǎng)的平方.問(wèn)題2.設(shè)三角形⊿ABC分別滿足下列條件,試判斷各三角形是否是直角三角形:提示：三角形的內(nèi)角和等BCD問(wèn)題3.一個(gè)零件的形狀如右1334512ABCD思考:此時(shí)四邊形ABCD的面積是多少?達(dá)標(biāo)檢測(cè)，體驗(yàn)成功（時(shí)間6分鐘，1-6每小題10分，滿分100分）1.下列各組數(shù)據(jù)為邊的三角形中，是直角三角形的是（）A．EQ\R(,2)、EQ\R(,3)、7B．5、4、8C．EQ\R(,5)、2、1D．EQ\R(,2)、3、EQ\R(,5)2.正方形ABCD中，AC=4，則正方形ABCD面積為（）A．4 B．8C．16 D．323.已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a,b,c，若∠B=90○，則（）A．b2=a2+c2； B．c2=a2+b2； C．a(chǎn)2+b2=c2； D．a(chǎn)+b=c4.三角形的三邊長(zhǎng)ａ,ｂ,ｃ滿足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,則此三角形是().A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形5.將Rt△ABC的三邊都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，得△A’B’C’,則△A’B’C’為()A．直角三角形 B．銳角三角形 C、鈍角三角形D．無(wú)法確定6.一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端5米，消防車的云梯最大升長(zhǎng)為13米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米7.(12分)如圖，中，，求AC的長(zhǎng).8.（13分）某菜農(nóng)要修建一個(gè)塑料大棚，如圖所示，若棚寬a=4m，高b=3m，長(zhǎng)d=40m.求覆蓋在頂上（如右圖陰影部分）的逆料薄膜的面積.9.(15分)如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形（涂上陰影）．⑴在圖1中，畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；圖2圖3圖1⑵在圖2、圖圖2圖3圖1§17.2勾股定理的應(yīng)用（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2、樹(shù)立數(shù)形結(jié)合的思想.學(xué)習(xí)過(guò)程：一、回顧復(fù)習(xí)，導(dǎo)入課題1．在Rt△ABC中，兩條直角邊分別為3，4，求斜邊c的值？2．在Rt△ABC中，一直角邊分別為5，斜邊為13，求另一直角邊的長(zhǎng)是多少？二、自主探索，理解應(yīng)用問(wèn)題1.如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程．問(wèn)題2.一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠門(mén)形狀如圖的某工廠，問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門(mén)?三、鞏固應(yīng)用，拓展提高問(wèn)題3.如圖，從電桿離地面5米處向地面拉一條7米長(zhǎng)的鋼纜，求地面鋼纜固定點(diǎn)A到電桿底部B的距離．問(wèn)題4.現(xiàn)準(zhǔn)備將一塊形為直角三角形的綠地?cái)U(kuò)大，使其仍為直角三角形，兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍，問(wèn)斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的多少倍?問(wèn)題5.如果圓柱換成如圖的棱長(zhǎng)為10cm的正方體盒子，螞蟻沿著表面需要爬行的最短路程又是多少呢？13米13米12米8米ABC如圖所示，校園內(nèi)有兩棵樹(shù)相距12米，一棵樹(shù)高13米，另一棵樹(shù)高8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛米達(dá)標(biāo)檢測(cè)，體驗(yàn)成功（時(shí)間6分鐘，1-6每小題10分，滿分100分）1．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，則c＝．2．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，則ab＝．3．等腰△ABC的面積為12cm2，底上的高AD＝3cm，則它的周長(zhǎng)為．4．等邊△ABC的高為3cm，以AB為邊的正方形面積為．5.如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)是8厘米，則正方形A，B，C，D的面積之和是________平方厘米．6．如圖，分別以直角的三邊AB,BC,CA為直徑ABC向外作半圓．設(shè)直線AB左邊陰影部分的面積為SABC部分的面積和為S2，則（）A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．無(wú)法確定7．（14分）國(guó)旗桿的繩子垂到地面時(shí)，還多了1m，拉著繩子下端離開(kāi)旗桿5m時(shí)，繩子被拉直且下端剛好接觸地面，試求旗桿的高．AABEFDC8.(16分)已知，如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為多少？§17.2勾股定理的應(yīng)用（2）學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課在△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，給出如下的命題：①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC為直角三角形；②若∠A＝∠C一∠B，則△ABC為直角三角形；③若，，則△ABC為直角三角形；④若a：b：c＝5：3：4，則△ABC為直角三角形；⑤若（a＋c）（a－c）＝b2，則△ABC為直角三角形；⑥若(a＋c)2＝2ac＋b2，則△ABC為直角三角形；⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,BＣ＝15,則△ABC為直角三角形.上面的命題中正確的有（）A．6B．7C．5D．4二、自主合作，探究新知問(wèn)題1.如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，請(qǐng)?jiān)诮o定網(wǎng)格中按下列要求畫(huà)出圖形：（1）從點(diǎn)A出發(fā)畫(huà)一條線段AB，使它的另一個(gè)端點(diǎn)Ｂ在格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）上，且長(zhǎng)度為22；（2）畫(huà)出所有的以（1）中的AB為邊的等腰三角形，使另一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且另兩邊的長(zhǎng)度都是無(wú)理數(shù)．問(wèn)題2.如右圖，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求圖中陰影部分的面積．三、鞏固應(yīng)用，拓展提高問(wèn)題3.某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，如圖5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若線段CD是一條小渠，且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為10元/米，問(wèn)D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí)，水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？BDBDCAO如圖，一個(gè)3m長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO的距離為2.5m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？達(dá)標(biāo)檢測(cè)，體驗(yàn)成功（時(shí)間6分鐘，1-8每空5分，滿分100分）1.直角三角形的兩直角邊是3，4，則以斜邊長(zhǎng)為直徑的圓的面積是．2．在△ABC中，∠C=90°：（1）若a=6，b=8，則c=；（2）若a=QUOTE，c=5，則b=；（3）若a：c=3：5，且b=8，則a=．3．如圖，小明的爸爸在院子的門(mén)板上釘了一個(gè)加固板，從數(shù)學(xué)的角度看，這樣做的道理是．4.一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)是不大于10的偶數(shù)，則它的周長(zhǎng)為．5．如圖兩電線桿AB、CD都垂直于地面，現(xiàn)要在A、D間拉電線，則所拉電線最短為米．其中AB=4米，CD=2米，兩電線桿間的距離BC=6米．第5題圖第6題圖第7題圖6．如圖所示，圖中所有三角形是直角三角形，所有四邊形是正方有形，s1=9，s3=144，s4=169，則s2=．7．如圖，△ABC為一鐵板零件，AB=AC=15厘米，底邊BC=24厘米，則做成這樣的10個(gè)零件共需平方厘米的材料．8．若三角形三條邊的長(zhǎng)分別為7，24，25，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是度．9.(10分)已知a、b、c是△ABC的三邊，且a4﹣b4=a2c2﹣b2c2，請(qǐng)判斷△ABC的形狀．10．（10分）如圖已知，每個(gè)小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，求△ABC的周長(zhǎng)（結(jié)果用根號(hào)表示）．11.(10分)小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高．12.（10分）如圖，圓柱的高為10cm，底面半徑為4cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰好是上、下底面的直徑、問(wèn)：螞蟻至少要爬行多少路程才能食到食物？13．(10分)如圖，在四邊形ABCD中，已知：AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．試說(shuō)明AC⊥CD的理由．第17章勾股定理小結(jié)與復(fù)習(xí)㈠學(xué)習(xí)過(guò)程:一、回顧與交流1、勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.（即：a2+b2=c2）勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長(zhǎng)a、b、c有a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系:區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理.聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān).2、常見(jiàn)的勾股數(shù)，，，。3、解決有關(guān)圖形折疊的計(jì)算問(wèn)題常見(jiàn)的方法是。4、解決立體圖形的最短路線問(wèn)題是分析觀察找切開(kāi)點(diǎn)和切開(kāi)線，確定展開(kāi)方向，平鋪展開(kāi)。5．如果用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形:⑴首先確定最大邊；⑵驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2=a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的三角形.（若c2>a2+b2則△ABC是以∠C為鈍角的三角形，若c2<a2+b2則△ABC是以∠C為銳角三角形）二、構(gòu)筑知識(shí)系A(chǔ).B.三.典例與精煉1.如圖所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC邊上的中線AD=24，求AC．2.在數(shù)軸上作表示-的點(diǎn)．3.設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)分別是a，b，c，（2）當(dāng)n取大于1的整數(shù)時(shí)，以表中各組a，b，c的值為邊長(zhǎng)構(gòu)成的三角形都是直角三角形嗎？為什么？（3）3、4、5是一組勾股數(shù)，如果將這3個(gè)數(shù)分別擴(kuò)大2倍，所得3個(gè)數(shù)還是勾股數(shù)嗎？擴(kuò)大3倍、4倍和n倍呢？為什么？（4）還有不同于上述各組數(shù)的勾股數(shù)嗎？且a=n2-1，b=2n，c=n（2）當(dāng)n取大于1的整數(shù)時(shí)，以表中各組a，b，c的值為邊長(zhǎng)構(gòu)成的三角形都是直角三角形嗎？為什么？（3）3、4、5是一組勾股數(shù)，如果將這3個(gè)數(shù)分別擴(kuò)大2倍，所得3個(gè)數(shù)還是勾股數(shù)嗎？擴(kuò)大3倍、4倍和n倍呢？為什么？（4）還有不同于上述各組數(shù)的勾股數(shù)嗎？nabca2+b2c2△ABC是不是直角三角形234525253456…14章勾股定理小結(jié)與復(fù)習(xí)㈡學(xué)習(xí)過(guò)程：一、溫故知新，回顧概念勾股定理：勾股定理的逆定理：二、自主探究，專題演練類型一已知兩邊求第三邊例1．在直角三角形中,若兩邊長(zhǎng)分別為1cm，2cm，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)____________．類型二構(gòu)造Rt△，求線段的長(zhǎng)例2．如圖2，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為4、8的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，求EB的長(zhǎng)．圖4圖3圖2圖4圖3圖2例3．如圖3，P為邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，E為AD邊中點(diǎn)，求EP+DP最小值.例4、如圖4，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是_____________dm.類型三判別一個(gè)三角形是否是直角三角形例5、如圖5，正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE=BC．你能說(shuō)明∠AFE是直角嗎？圖5圖5類型四、拼圖例6、在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖7)．已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝_______．類型五實(shí)際運(yùn)用圖7例6、由于過(guò)度采伐森林和破壞植被，我國(guó)部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴的侵襲.近日，A城氣象局測(cè)得沙塵暴中心在A城的正西方向240km的B處，以每時(shí)12km的速度向北偏東60度方向移動(dòng)（如圖7），距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區(qū)域.①A城是否受到這次沙塵暴的影響？為什么？②若A城受到這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？圖7三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)，體驗(yàn)成功1．（18分）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3、2，則另一條邊長(zhǎng)是________________．2．(18分)如圖8為某樓梯,測(cè)得樓梯的長(zhǎng)為5米,高3米,計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長(zhǎng)度至少需要________________米．圖8圖8圖9圖10圖9圖103．（18分）一種盛飲料的圓柱形杯如圖9，測(cè)得內(nèi)部底面半徑為2.5㎝，高為12㎝，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，問(wèn)吸管要做的長(zhǎng)度為_(kāi)_______________．4．在直角△ABC中，斜邊長(zhǎng)為2，周長(zhǎng)為2+，求△ABC的面積．圖115.如圖11，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=300，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否回受到噪聲的影響？說(shuō)明理由．如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18千米/時(shí)，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？圖11BCA30°6.某樓梯的側(cè)面視圖如圖5，其中AB=4米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在BCA30°17章勾股定理單元測(cè)試（時(shí)間：100分鐘總分：120分）一、相信你一定能選對(duì)?。啃☆}3分，共24分）1.三角形的三邊長(zhǎng)分別為6,8,10，它的最短邊上的高為()A.6 B.4.5 C.2.4 D.82.下面幾組數(shù):①7,8,9；②12,9,15；③m2+n2,m2–n2,2mn（m，n均為正整數(shù),mn）；④,,.其中能組成直角三角形的三邊長(zhǎng)的是()A.①② B.②③ C.①③ D.③④3.三角形的三邊為a、b、c，由下列條件不能判斷它是直角三角形的是（）A．a(chǎn):b:c=8∶16∶17 B．a(chǎn)2-b2=c2 C．a(chǎn)2=(b+c)(b-c) D．a(chǎn):b:c=13∶5∶124.三角形的三邊長(zhǎng)為,則這個(gè)三角形是()A.等邊三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.銳角三角形5．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是（）A．5 B．25 C． D．5或6．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（）A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm27．直角三角形中一直角邊的長(zhǎng)為9，另兩邊為連續(xù)自然數(shù)，則直角三角形的周長(zhǎng)為（）A．121 B．120 C．90 D．不能確定8.放學(xué)以后，小紅和小穎從學(xué)校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若小紅和小穎行A．600米 B.800米 C.1000米 D.不能確定二、你能填得又快又對(duì)嗎？（每小題3分，共21分）9.在△ABC中，∠C=90°，AB＝5，則++=_______．60120014060BAC第1060120014060BAC第10題圖第13題圖第14題圖第15題圖合而成.如果圖中大、小正方形的面積分別為52和4，那么一個(gè)直角三角形的兩直角邊的和等于．11．直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則它斜邊上的高為_(kāi)______．12．直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)偶數(shù)，則這三個(gè)數(shù)分別為_(kāi)_________．13___米.14．如圖所示，是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位mm）計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為．15．如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2米，梯子的頂端B到地面的距離為7米．現(xiàn)將梯子的底端A向外移動(dòng)到A’，使梯子的底端A’到墻根O的距離等于3米，同時(shí)梯子的頂端B下降至B’，那么BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正確結(jié)論的序號(hào)是．三、認(rèn)真解答，一定要細(xì)心喲?。ü?5分）16．（6分）右圖是由16個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的，任意連結(jié)這些小正方形的若干個(gè)頂點(diǎn)，可得到一些線段，試分別畫(huà)出一條長(zhǎng)度是有理數(shù)的線段和一條長(zhǎng)度是無(wú)理數(shù)的線段．AB41.524.50.517．（7分）已知a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，aAB41.524.50.5b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n為大于1的自然數(shù)）,試說(shuō)明△ABC為直角三角形.18.（7分）如圖所示,某人到島上去探寶，從A處登陸后先往東走4km，又往北走1.5km，遇到障礙后又往西走2km，再折回向北走到4.5km處往東一拐，僅走0.5km就找到寶藏.問(wèn)登陸點(diǎn)A與寶藏埋藏點(diǎn)B之間的距離是多少？19．（8分）如圖，將一根25㎝長(zhǎng)的細(xì)木棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為8㎝、6㎝和10㎝的長(zhǎng)方體無(wú)蓋盒子中，求細(xì)木棒露在盒外面的最短長(zhǎng)度是多少？20.（8分）印度數(shù)學(xué)家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過(guò)“荷花問(wèn)題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？”ACBACB21．（9分）如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，3小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島.若C、B兩島相距60海里，問(wèn)乙船的航速是多少？22．（10分）如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿∠CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長(zhǎng)嗎？CABDE101523．（10分）如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km,C、D為兩村莊，若DA=10km,CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等.CABDE1015AAB小河?xùn)|北牧童小屋24．（10分）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？八年級(jí)上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題(一)（考試時(shí)間：100分鐘，總分：120分）一、選擇題：（每小題3分，共30分）1．下列運(yùn)算正確的是（ ）A． B． C． D．2．下列各式正確的是（）A． B． C． D．3．在、、、3.14、0.1010010001、、eq\r(3,9)這7個(gè)實(shí)數(shù)中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．54．下列說(shuō)法中正確的是（）A．立方根等于本身的數(shù)只有0和1 B．平方根等于本身的數(shù)是0和1C．－2是4的平方根 D．的算術(shù)平方根是45．下列式子從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．x2+x-1=（x+1）（x-1）+x B．x4–1=（x2+1）（x+1）（x-1）C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．3x3+3x2=3x3（1+）6．若一直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為12和5，則第三邊長(zhǎng)為（）A．13 B．15 C．13或15 D．13或7．下列條件中，不能判斷一個(gè)三角形是直角三角形的是()A．三條邊的比為1:2:3 B．三條邊滿足關(guān)系a2=b2-c2C．三個(gè)角的比為1:2:3 D．三個(gè)角滿足關(guān)系∠B+∠C=∠A8.如圖1，在邊長(zhǎng)為的正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（＞）,將余下部分拼成一個(gè)梯形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分圖1圖1可以得到一個(gè)關(guān)于、的恒等式為（）A．；B．；C．；D．.9．如圖2，數(shù)軸上表示1和的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，線段AB=AC，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（）A．2- B．-2 C．-1 D．1-10．如圖3，ΔABC中∠B=90°，兩直角邊AB=7，BC=24，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P到各邊的距離相等，則這個(gè)距離是（）A.1B.3C.5D.6二、填空題（每小題3分，共18分）11．的平方根是 ，的立方根是 ，是 的立方根.12．比較大小,在橫線上填上“＞、=、＜”.______;_______π;______.13．大于QUOTE小于QUOTE的所有整數(shù)的和是.14．如圖x在數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)的位置，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是.x015．在圖4所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為9，那么A、B、C、D這四個(gè)正方形的面積和應(yīng)是.16．已知：(0＜a＜1)，則三、解答題（共72分）17.計(jì)算（每小題8分，共16分）(1)(2)求代數(shù)式的值，其中a=QUOTE，b=QUOTE18.（10分）如圖6，某校有一塊長(zhǎng)為(3a＋b)米，寬為(2a+b)米的長(zhǎng)方形地塊，學(xué)校計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像.(1)用含a、b的代數(shù)式表示綠化面積；(2)求出當(dāng)a=3米,b=2米時(shí)的綠化面積．圖圖620．（10分）如圖7所示，有一位狡猾的老財(cái)主，把一塊邊長(zhǎng)為a米（a＞30）的正方形土地給趙老漢種植.隔了一年，他對(duì)趙老漢說(shuō)：“我把你這塊地的一邊減少5米，另一邊增加5米，繼續(xù)租給你，你也沒(méi)有吃虧，你看如何？”趙老漢一聽(tīng)，覺(jué)得好像沒(méi)有吃虧，就答應(yīng)了.你覺(jué)得趙老漢有沒(méi)有吃虧呢？請(qǐng)說(shuō)明理由.圖7圖721.（10分）閱讀下列解答過(guò)程，然后解答問(wèn)題.已知多項(xiàng)式x3＋4x2＋mx＋5有一個(gè)因式為（x＋1），求m的值.解法一：設(shè)另一個(gè)因式為(x2+ax＋b),則x3＋4x2＋mx＋5＝（x＋1）(x2+ax＋b)即x3＋4x2＋mx＋5＝x3＋（a＋1）x2＋（a＋b）x＋b∴（a＋1）=4，（a＋b）＝m，b＝5∴a=3，b＝5，m＝8解法二：令x＋1＝0得x＝-1，即當(dāng)x＝-1時(shí)，原多項(xiàng)式為零.∴（-1）3＋4（-1）2＋m×（-1）＋5=0∴m＝8用以上兩種解法之一解答問(wèn)題：若多項(xiàng)式x3＋3x2－3x＋k有一個(gè)因式為（x＋1），求k的值.22.（12分）如圖14.2.5，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，請(qǐng)?jiān)诮o定網(wǎng)格中按下列要求畫(huà)出圖形：（1）從點(diǎn)A出發(fā)畫(huà)一條線段ＡＢ，使它的另一個(gè)端點(diǎn)Ｂ在格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）上，且長(zhǎng)度為22；（2）畫(huà)出所有的以（1）中的ＡＢ為邊的等腰三角形，使另一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且另兩邊的長(zhǎng)度都是無(wú)理數(shù)．23．（10分）如圖有一塊形狀為四邊形的鋼板，量得它的各邊長(zhǎng)度為AB=9cm,BC=12cm,CD=17cm，DA=8cm,∠B=90°求這塊鋼板的面積．24．（16分）探究發(fā)現(xiàn)：（1）完成下列填空：①=_____，②=_____，③=____，④=_____，⑤=_____，⑥=_____，（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，回答：一定等于a嗎？你發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律了嗎？請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言描述出來(lái)：（3）利用你總結(jié)的規(guī)律，計(jì)算:①若x＜2，則=;②=.25．（16分）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖（1），一圓柱的底面半徑為5，BC是底面直徑，圓柱高AB為5，求一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線.小明設(shè)計(jì)了兩條路線：路線1：側(cè)面展開(kāi)圖中的線段AC.如圖（２）所示.設(shè)路線1的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1,則L12=AC2=AB2+BC2=52+（5）2=25+252.路線2：高線AB+底面直徑BC.如圖(1)所示.設(shè)路線2的長(zhǎng)度為L(zhǎng)2,則L22=(AB+BC)2=（5+10）2=225∵L12－L22=25+252－225=252－200=25(2－8)＞0∴L12＞L22.∴L1＞L2所以選擇路線2較短.圖（1）圖（2）(1)小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑,于是他把條件改成:“圓柱的底面半徑為1，高AB為5”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算.請(qǐng)你幫小明完成下面的計(jì)算：路線1：L12=AC2=.路線2：L22=（AB+AC）2=.∴L1L2(填“＜”或者“＞”)所以選擇路線(填1或2)較短.(2)請(qǐng)你幫小明繼續(xù)研究:在一般情況下,當(dāng)圓柱的底面半徑為，高為時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的路線最短.八年級(jí)上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題㈡(滿分120分,時(shí)間100分鐘)一、選擇題（每小題3分，共27分）1.下列等式中成立的是（）A． B． C． D．2.在-、2π、、、0、中無(wú)理數(shù)個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．下列說(shuō)法:(1)-64的立方根是4,(2)的平方根是,(3)的立方根是,(4)49的算術(shù)平方根是±7,其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()A．1