2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測(cè)試卷02（新高考八省專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知集合”={*€2|1<無(wú)<6},N={x|xV4},則MN=（）

A.{2,3,4}B.{2,3}C.{2}D.{3}

2.已知復(fù)數(shù)z=3-2i（i為虛數(shù)單位），貝ijz的共輾復(fù)數(shù)三=（）

A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i

3.如圖，在VA2C中，BD=；DC,則（）

13

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2244

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

b

4."a>b>0”是“〃一6>ln—"的（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.設(shè)相，〃為兩條不同的直線，％尸，7是三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法一定成立的是（）

A.若。尸，根。，則加尸B.若。_L分，y工。，則a〃/

C.若根n,mla,,貝Ija〃/D.若佻〃與。所成角相等，則相〃〃

6.已知（辦-1）（1+?）6展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開式中/的系數(shù)為（）

A.31B.30C.29D.28

7.如圖，直線丫=云+機(jī)與曲線>=/（尤）相切于兩點(diǎn)，則函數(shù)g（x）=/（x）-履在（。,+8）上的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為

8.函數(shù)y=4sin7uc+j5x—X?所有零點(diǎn)的和為（）

A.5B.10C.15D.20

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)列｛%｝（weN*）為無(wú)窮等差數(shù)列，公差為d,前”項(xiàng)和為S“，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若$5=517,1<0,則％1>0,%<0

B.若札凡p,qeN*且互不相等，則里口口=%二％

m-np-q

aa

C.若m,n,p,qeN",m<p<n〈q,m+n=p+q,則<pq

D.若〃2025=0，貝1」%+%++%=/+/+,+a4049fv4049）

10.已知函數(shù)/（尤）=石5皿2%+與）+232（尤+與，則下列函數(shù)判斷正確的是（）

36

A.f（元）為奇函數(shù)

B./（x）的圖象關(guān)于直線x=］對(duì)稱

JT

C./（X）在［0,萬(wàn)］上單調(diào)遞減

D./（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（一;,0）對(duì)稱

4

11.記/'（X）、g'（x）分別為函數(shù)“X）、g（尤）的導(dǎo)函數(shù)，若存在尤°eR,滿足/（$）=g（3）且

r（Xo）=g'（x°）,則稱/為函數(shù)“X）與g（x）的一個(gè)“s點(diǎn)”,則下列說(shuō)法正確的為（）

函數(shù)/（尤）=e，與g（x）=x+l存在唯一“S點(diǎn)

B.函數(shù)〃x)=lnx與g(x)=x-2存在兩個(gè)“S點(diǎn)

函數(shù)”力=%與8（力=%2+2%-2不存在“5點(diǎn)

若函數(shù)/（力=加T與g（x）=lnx存在“S點(diǎn)”，貝I]

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知橢圓中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,以雙曲線1-產(chǎn)=1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

13.某情報(bào)站有A,B,C,D四種互不相同的密碼，每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機(jī)選用一

種.設(shè)第一周使用A種密碼，則第7周也使用A種密碼的概率為.（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

14.如圖，在VA2C中，AB=AC=y/2,ABJ.AC,直線/與邊AB,AC分別交于Af,N兩點(diǎn)，且

AWN的面積是VABC面積的一半.設(shè)腦V?=y,AM=x,記y=f（x）,則/（x）的最小值與最大值之和

為.

------------------

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.（13分）

中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）競(jìng)賽由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦，是全國(guó)中學(xué)生級(jí)別最高、規(guī)模最大、最具影響力

的數(shù)學(xué)競(jìng)賽.某中學(xué)為了選拔參賽隊(duì)員，組織了校內(nèi)選拔賽.比賽分為預(yù)賽和決賽，預(yù)賽成績(jī)合格者可進(jìn)入

決賽.

（1）根據(jù)預(yù)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)，學(xué)生預(yù)賽的成績(jī)X~N（70,225）,成績(jī)超過(guò)85分的學(xué)生可進(jìn)入決賽.若共有600

名學(xué)生參加了預(yù)賽，試估計(jì)進(jìn)入決賽的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）；

附：若X~N（〃,cr2）,則P（〃一crWXV〃+b）“0.683,P（〃一2（T4X<〃+2O■卜0.955,

P（〃-3crWX4〃+3o■卜0.997

16.(15分)

在前“項(xiàng)和為S"的等比數(shù)列｛風(fēng)｝中，a4=afa2,S2=6.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若4＞。，記求數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和小

（3）若%＜。，記%+%=%，且6=:，求數(shù)列｛c“｝的通項(xiàng)公式.

17.（15分）

已知函數(shù)"%）=。"-2+依+〃3-2aM^R.

⑴當(dāng)a=—1時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)（3J（3））處的切線方程;

（2）若函數(shù)/（力的極小值小于0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.（17分）

r221

已知橢圓r：會(huì)+=v=1e＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為斗鳥，離心率e=e，點(diǎn)。在橢圓上，且

必.耳月=0,

（1）求橢圓「的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)乙的動(dòng)直線/與橢圓「交于A,B兩點(diǎn)（不與橢圓的左、右頂點(diǎn)重合）.

①當(dāng)/的傾斜角為三時(shí)，求△A3區(qū)的面積；

②點(diǎn)尸為橢圓r的右頂點(diǎn)，直線以、網(wǎng)分別與y軸相交于點(diǎn)〃、N,求證以MN為直徑的圓被》軸

截得的弦長(zhǎng)為定值.

19.（17分）

在平面四邊形ABCD中，AB=AC=CD=1,ZADC=30°,ZDAB=120°,將二ACD沿AC翻折至

△ACP,其中P為動(dòng)點(diǎn).

(1)設(shè)PCLAB,三棱錐P-ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上.

(i)證明：平面PAC_L平面ABC；

(ii)求球。的半徑

(2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測(cè)試卷02（新高考八省專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知集合/={xeZ[l<x<6},N={x|x<4},則“'N=（）

A.{2,3,4}B.{2,3}C.{2}D.{3}

【答案】A

【解析】因?yàn)镸={xeZ[l<x<6}={2,3,4,5},N={x\x<^\,

所以McN={2,3,4},

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z=3-2i（i為虛數(shù)單位），則z的共軌復(fù)數(shù)]=（）

A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i

【答案】B

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=3-2i,所以z的共趣復(fù)數(shù)[=3+2i.

故選：B.

3.如圖，在VABC中，BD=^DC,則（）

A

BC

D

6/21

13

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2244

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

【答案】D

【解析】因?yàn)?。=/￡?乙，所以AO=AB+BO=AB+§3C=AB+§（AC-A8）=]AB+§AC.

故選：D.

b

4.“。>6>0”是"a”>ln-”的（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

h

【解析】由得。一。>0,0<一<1,

a

bb

貝Hn—<0,從而。一b>ln—.

aa

b

取“=-l,6=-2,滿足a-b>ln—,不滿足a>b>0.

a

h

故"a>b>0”是“a-b>In—”的充分不必要條件.

a

故選：A.

5.設(shè)八〃為兩條不同的直線，①△7是三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法一定成立的是（）

A.若a機(jī)a,則機(jī)PB.若aJL/?,y_L/7,則a〃7

C.若加n,m±a,nL/3,則D.若私"與a所成角相等，則機(jī)〃“

【答案】C

【解析】對(duì)于A,若a（3,但直線加在平面夕內(nèi)，則條件滿足，但顯然沒(méi)有根B,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若d#,7是一個(gè)長(zhǎng)方體的某一個(gè)頂點(diǎn)引出的三個(gè)側(cè)面，則它們兩兩垂直，此時(shí)并沒(méi)有07,故B

錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由于根〃，且故相J_，，而相_1_夕，所以一定有夕尸，故C正確；

對(duì)于D,若加，，是a內(nèi)的兩條相交直線，則機(jī)〃和a所成角均為0,但"4”相交，從而不平行，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.已知（ax-1）（1+6）6展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開式中d的系數(shù)為（）

A.31B.30C.29D.28

7/21

【答案】C

［解析1令x=1得(。-1)(1+V1)6=64,解得a—2,

二項(xiàng)式(1+6)6的展開式的通項(xiàng)公式為7；M=C；(五)'=C；J,0VrW6且，eN,

所以當(dāng)r=4時(shí)，7；=《(?『=15/；當(dāng)r=6時(shí)，7；=C：(=尤3,

所以二項(xiàng)式(辦-1)(1+石尸展開式中含的項(xiàng)為2x-15Y-V=2",

所以二項(xiàng)式(以-1)(1+?)6展開式中/的系數(shù)為29.

故選：C.

7.如圖，直線＞=云+加與曲線y=/(元)相切于兩點(diǎn)，則函數(shù)g(x)=/。)-丘在(。,+℃)上的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為

【答案】D

【解析】由題，g(x)=〃x)—丘，則g〈x)=ra)-%,

作出與直線丫=米+機(jī)平行的函數(shù)f(x)的所有切線，如圖,

各切線與函數(shù)“X)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為。也c,d,e,

則“力在a,mc,d,e,處的導(dǎo)數(shù)都等于左,

所以在(0,a),伽c),(d,e)上,尸(x)＞左,g，(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增,

在(a⑼,(c,d),(e,+e)上,/'(X)＜七g'(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減，

8/21

因此函數(shù)g(x)=/(x)-自有三個(gè)極大值點(diǎn)，有兩個(gè)極小值點(diǎn).

故選：D.

8.函數(shù)y=4sinnx+，5x-爐所有零點(diǎn)的和為()

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

【解析】如圖，繪制函數(shù)，=4sinm與函數(shù)y=一后二？的圖象，

可知V=4sinw與y=-75.x-x2的圖象恰有6個(gè)公共點(diǎn),

且它們的圖象均關(guān)于直線x=|對(duì)稱，所以y=4simtr+氐=7所有零點(diǎn)的和為15.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)列｛凡｝(,eN*)為無(wú)窮等差數(shù)列，公差為d,前”項(xiàng)和為S“，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若S5=Si7，d<0,則〃11〉0,%2<0

B.若〃?,〃,p,qeN*且互不相等，貝|紐工="二i

m-np-q

C.若m,n,p,qwN*,m<p<n<q,m+n=p+q,則冊(cè)氏<4%

D.若。2025=。，貝ljq+a2++%=4+出++〃4049f4049)

【答案】ABD

【解析】選項(xiàng)A,若S5=Si7，d<0,得。6+〃7++%6+%7=°n%l+%2=°，所以〃11>0,%2<0，故選項(xiàng)A

正確；

9/21

選項(xiàng)B,若機(jī)，氏p,qeN*且互不相等，易知&口=&』="，故選項(xiàng)B正確；

m-np-q

選項(xiàng)C,若d=0,貝l|a",=%=4,=%,此時(shí)4“?！?%%,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,若。2025=0，易知％+2024(7=0=>%=—2024d,

的、)n(n-\］d4049d

切■以％+%++4=n%T——~-a=~n2-------——?

d(、240491/\d40492

q+〃2++〃4049f='(4049—〃)----------(4049-n)=—n2----------n

所以％+出++%=。1+。2++%049-〃(〃￡N*,幾<4049),故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)/(尤)=A^sin(2x+=)+2cos2(尤+$),則下列函數(shù)判斷正確的是()

A.f(x)為奇函數(shù)

B.的圖象關(guān)于直線x=］對(duì)稱

C./(X)在［0,會(huì)上單調(diào)遞減

冗

D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-r，o)對(duì)稱

4

【答案】BC

【解析】由f(x)=>/^sin(2x+G)+2cos2(x+4),

36

可得/(%)=>/3sin(2x+—)+cos(2x+—)+1=2sin(2%+—+—)+1=2cos2尤+1.

3336

對(duì)于A,|^|/(-x)=2cos(-2x)+l=2cos2x+l=f(x),則f(x)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因當(dāng)x=］時(shí)，2%=兀，COS2X=-1,故/(X)的圖象關(guān)于直線x=］對(duì)稱，即B正確；

TT

對(duì)于C,當(dāng)xe。］］時(shí)，z=2xe［0,7t］,而y=2cosz+l在［0,兀］上單調(diào)遞減，故C正確；

TTTTTT

對(duì)于D,當(dāng)工=-?時(shí)，cos2%=cos(--)=0,故函數(shù)f(x)=2cos2x+l的圖象關(guān)于點(diǎn)(-：/)對(duì)稱，即D錯(cuò)

424

誤.

故選：BC.

11.記/'(X)、g'(x)分別為函數(shù)“X)、g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若存在/eR,滿足/(尤o)=g(x())且

r(%)=g'(x0),則稱X。為函數(shù)“X)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”，則下列說(shuō)法正確的為()

10/21

A.函數(shù)/(x)=e，與g(x)=x+l存在唯一"S點(diǎn)”

B.函數(shù)〃x)=lnx與g(x)=x-2存在兩個(gè)“S點(diǎn)”

C.函數(shù)/(%)=%與8@)=公+2工-2不存在“5點(diǎn)”

D.若函數(shù)〃力=加-1與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)”，貝ij“=]

【答案】ACD

【解析】令Mx)=/(x)-g(x).

對(duì)于A選項(xiàng)，/2(x)=e，一彳一1,則〃'(x)=e￡-l,

由〃'(x)<0可得x<0,由〃(x)>0可得x>0,

所以，函數(shù)力⑴在(-j。)上單調(diào)遞減，在(。,+e)上單調(diào)遞增,

所以，/z(x)>/z(O)=e°-0-1=0,所以，//(0)=/z(0)=0,

此時(shí)，函數(shù)/(x)=e，與g(x)=x+l存在唯一“S點(diǎn)”，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，〃(x)=lnx—x+2,則〃'(尤)=二一1=」，

XX

函數(shù)妝X)的定義域?yàn)?0,+8),令〃(x)=0可得尤=1,K/z(l)=lnl-l+2=1^0,

所以,函數(shù)/(x)=lnx與g(x)=x—2不存在“S點(diǎn)”,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，/z(x)=x-(%2+2x-2)=-x2-x+2,貝！]〃(%)=_2彳_],

令〃(x)=0可得爐+》-2=0,解得x=l或-2,但R(l)=-3w0,〃(-2)=3/0,

此時(shí)，函數(shù)/(%)=%與8(彳)=/+2%-2不存在“S點(diǎn)”，C對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，/z(x)=<xv2-lnx-1,其中x>0,則〃(龍)=2ax-L

若函數(shù)/(力=加-1與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)”，記為七,

1

7z(x0)=axl-lnx0-li=0xo=~r

則，解得D對(duì).

//(%)=2〃/--=0e

xoa=-

2

故選：ACD.

11/21

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知橢圓中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,以雙曲線片-丁=1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2

為.

Y2V2

【答案】'+匕=1

42

2

【解析】雙曲線、-y2=i的頂點(diǎn)為卜

fV2

所以橢圓的焦點(diǎn)在龍軸上，設(shè)方程為3+2=1（。＞10），

ab

由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,可得2〃=4,所以〃=2,

又c=近,所以/二/―c?=4—2=2，

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+上=1.

42

22

故答案為：—+—=1.

42

13.某情報(bào)站有A民四種互不相同的密碼，每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機(jī)選用一

種.設(shè)第一周使用A種密碼，則第7周也使用A種密碼的概率為.（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

【答案】墨

【解析】用6表示第上周用A種密碼的概率，則第上周未用A種密碼的概率為1-冗，

所以加=；（lY）?eN*,

所以鼻「「YU

由召=1知，數(shù)列［2-!］是首項(xiàng)為：，公比為-工的等比數(shù)列，

I4J43

所以’

故答案為：-

14.如圖，在VABC中，AB=AC=^2,AB1AC,直線/與邊AB,AC分別交于M,N兩點(diǎn)，且

4VW的面積是VABC面積的一半.設(shè)MN2=y,AM^x,記y=f（x）,則〃x）的最小值與最大值之和

12/21

為.

【解析】因?yàn)槎嗀MN的面積是VABC面積的一半，

即工AB.AC=2XLXAM.A2V,=2x-xx-AN,可得AN=^,

2222x

又因?yàn)榧?+AN?=岷2,即y=xc+—1,

X

X<A/2r-

且1可得史VxV應(yīng)，

-<y/22

1「6一

所以〃x）=/+W，且〃x）的定義域?yàn)椤饵c(diǎn),

令』2寸；,2],則g⑺=”在上單調(diào)遞減，在[L2]上單調(diào)遞增，

且g[[=g（2）=*g⑴=2,

可知g⑺在[；，21上的最小值為2,最大值為，

L，」2

一6]5

即〃x）在三，加上的最小值為2,最大值為

所以〃x）的最小值與最大值之和為2+|=|.

9

故答案為：—■

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.（13分）

中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）競(jìng)賽由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦，是全國(guó)中學(xué)生級(jí)別最高、規(guī)模最大、最具影響力

的數(shù)學(xué)競(jìng)賽.某中學(xué)為了選拔參賽隊(duì)員，組織了校內(nèi)選拔賽.比賽分為預(yù)賽和決賽，預(yù)賽成績(jī)合格者可進(jìn)入

決賽.

（1）根據(jù)預(yù)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)，學(xué)生預(yù)賽的成績(jī)X~N（70,225）,成績(jī)超過(guò)85分的學(xué)生可進(jìn)入決賽.若共有600

名學(xué)生參加了預(yù)賽，試估計(jì)進(jìn)入決賽的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）；

13/21

附：若X~N(〃,CT2),貝”(〃一(TWX4〃+O■卜0.683,P(〃一2(TWXW〃+2O■卜0.955,

P(〃-3crWXW4+3o■卜0.997

【答案］⑴95

(2)60

【解析】(1)由于X~N(70,225),故〃=70,b=15,

故M+b=85,

所以「(X285)J"(〃F""+嘰^

22

故進(jìn)入決賽的人數(shù)為600x匕竺曳“95.

2

因此甲同學(xué)的成績(jī)的數(shù)學(xué)期望為醺卜)=6現(xiàn)劭+4后七”6x6+4x6=60分

16.(15分)

在前〃項(xiàng)和為S“的等比數(shù)列｛?！埃?，a4=a^a2,S2=6.

(1)求數(shù)列｛4“｝的通項(xiàng)公式；

⑵若%>0,記功=解,，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和(；

(3)若為<0,記％+c“M=a“，且9=g，求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式.

【答案】(1)。“=2”或%=(一3)"

(2)7；,=(?-1)-2,!+1+2

(3)-：(-3)"

【解析】(1)設(shè)公比為q,由%=。他，有/=。；，可得q=%或q=-q,

①當(dāng)夕=%時(shí)，由$2=6,有q+=6,可得ql+q-6=0,解得4=-3或2,

故數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為??=2"或a?=(-3)",

②當(dāng)*?=-%時(shí)，由S?=6,有q+=6,可得q-+q+6=0,方程無(wú)解，

由上知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為a,=2"或%=(-3)"；

(2)由q>0,有°“=2”,可得6"=w?2”,

14/21

有7；=l-2+2?22+3?23++(/7-l)-2"-1+n-2",

兩邊乘以2,有21=1"+2?23+3?24++(〃—l)2+"-2"+i,

兩式作差，W-7；=2+22+23+24++2n-'+2"-n-2n+1,

有7；=j2向_2|1；)=("_])2向+2；

⑶由％<0,有—可得g+c用=(-3)”,

有%+i=F+(|-J(一3)”,有C“M-1.(一3)”=-.(-3)",

有?！?|+；-(-3)向=—g+；?(-3)",

可得數(shù)列，的+1?(-3)］是公比為—1的等比數(shù)列，

又由q+；,(_3)=g_T=_L有,(-3)"=(-i)n，

可得數(shù)列匕｝的通項(xiàng)公式為c,1.(-3)".

17.(15分)

已知函數(shù)/(%)=e"—2+辦+/一2aM三R.

⑴當(dāng)a=-l時(shí)，求曲線y=〃x)在點(diǎn)(3,”3))處的切線方程;

(2)若函數(shù)〃x)的極小值小于0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴y=(e-l)尤-2e+l

⑵(-00,-1).

【解析】(1)依題意，函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,

當(dāng)a=—l時(shí)，/(^)=ex-2-x+l,則/'(力=j2—1,

r(3)=e3-2-l=e-l,/(3)=e-2,

所以曲線y=/⑺在點(diǎn)(3,/⑶)處的切線方程為y—(e—2)=(e-l)(x-3),

即y=(e-l)x-2e+l.

15/21

(2)由題意得，f\x)=e-2+a,

當(dāng)時(shí)，r(x)=e￡-2+a>。恒成立，所以函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)/(尤)不存在極值,

不合題意.

當(dāng)。<0時(shí)，令/'(X)=e'<+a=0,即e*-2=-q,則尤=2+ln(-a).

當(dāng)xe(-8,2+ln(-q))時(shí)，_f(x)<0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞減；

當(dāng)尤e(2+ln(-a),E)時(shí)，/'(尤)>0,函數(shù)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在x=2+ln(-a)處取得極小值，

且/(2+In(—=—a+2a+aln(—a)+/—2a=。+tzln(—a)—ci.

又因?yàn)閍<0,則"+ciln(-a)-a<0等價(jià)于a~+ln(-a)-1>0,

令g(q)=a2+ln(-o)-l,a<0,

則g'(“)=2a+：<0,所以函數(shù)g(。)在(3,0)上單調(diào)遞減，

Xg(-l)=(-l)2+lnl-l=0,所以當(dāng)ae(-w,-l)時(shí)，g(o)=a2+ln(-a)-l>0,

即不等式〃+In—1>0的解集為(y,-1),

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-叫-1).

18.(17分)

2

已知橢圓0f+斗v=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳瑪，離心率e=1：，點(diǎn)￡>在橢圓上，且

cib2

班?耳丹=0,口用=：.

(1)求橢圓「的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)月的動(dòng)直線/與橢圓「交于A,B兩點(diǎn)(不與橢圓的左、右頂點(diǎn)重合).

①當(dāng)/的傾斜角為:時(shí)，求△43居的面積；

②點(diǎn)尸為橢圓「的右頂點(diǎn)，直線力、PB分別與y軸相交于點(diǎn)M、N,求證以為直徑的圓被x軸

截得的弦長(zhǎng)為定值.

22

【答案】⑴二+匕=1

43

16/21

(2)①千；②證明見解析

c\

【解析】(1)由題意可知e=￡=：,即c=@

a22

右21A23

；D耳書R=。，；.DF[_LF/2，令》=-c，貝仃=±乙，即仍=幺=士，即廿=0,

a11tz22

a=2

a

22―,解得6=5

又,??在橢圓中/=廿+c,：.a=—a+

24C=1

22

求橢圓「的方程：4rL

;

(2)①尸式-1,0),&(1,0),=tan-:=上,則直線/:y=6x+石，

y=A/3X+A/3

2

聯(lián)立方程組/y，解得當(dāng)=-一彳，x2—0f

——+—=1

143

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)A5=Jl+(@XXX816

\X-2\=2—―,

55

k/3-0+73

6,

點(diǎn)F?到直線/的距離〃一“陰2-

5=-\AB\-d=—

AM￡fF/*22115

;、

②尸(2,0),

17/21

當(dāng)/Lx軸時(shí)，交點(diǎn)4,13）關(guān)于X軸對(duì)稱，.?.點(diǎn)M,N關(guān)于原定對(duì)稱,

??.與MN為直徑的

圓圓心為。，半徑為

\OM\PO2..

-MO//AF.,A耳尸s.MOP,則^~[=——=-,：.\OM\=\,

1111

\AFX\PF.3

又???依周=1。&=1,???圓。與X軸的截得的弦為人式，寓回=2

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/：丫=b+3

設(shè)力（％1，丫1）,3（＞2，乃），

y=kx+k

聯(lián)立方程組fy2,整理得（3+4公）/+8左2尤+4/_12=0,

------1-------=1

143

8kz4左2-12

貝U%+%=—Z-，=T

3+4/-3+4/

-9k2

3+4后2

必_x-Xi2y.

直線PM:-~~—=------

11--osjz~\r,令x=°'貝"=M

U-必2-x1

/

2%

直線尸=令％=o,則y=^-,N0,

U一％2—92—%2—%2

則F'M=,F1N=

則月M由N=1+0L-&-=1+4yly2

224-2（玉+x2）+xxx2

-9k2

44x------

3+44,-36k2

即FM-FN=l+——廠-2-----=1+=1-1=0

li8k°4k2-1212+16k2+16二+4二-12

4-2-H-------------y

3+4公3+412

即E同理可證8MLgN,

18/21

即點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，又?.?用工在x軸上,

???以MN為直徑的圓被x軸截得的弦為閨閶=2,

綜上所述：以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為定值2.

19.(17分)

在平面四邊形ABCD中，AB=AC=CD=1,ZADC=30°,ZDAB=120°,將ACD沿AC翻折至

△ACP,其中P為動(dòng)點(diǎn).

(1)設(shè)PC_LAB,三棱錐尸-ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上.

(i)證明：平面PAC_L平面ABC；

(ii)求球O的半徑

(2)求二面角A-CP-8的余弦值的最小值.

【答案】(1)(i)證明見解析；(ii)球。的半徑為好；