2024-2025學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（四）

一、單選題（每題5分，共40分）

1.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足：（2+z）z=-1,（其中i為虛數(shù)單位），則z的共輾復(fù)數(shù)2在復(fù)平

面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（5分）已知全集U=R,集合A={4?-5x-6W0},{x|-3<x<3},則如圖所示的

弦”“圖中陰影部分表示的集合為（）

3.(5分)已知A(l,-1),2(4,1),點(diǎn)尸滿足|尸3|=2|明，則△B42面積的最大值為()

26131326

A.—B.—C.—D.—

3399

4.(5分)4知數(shù)列｛斯｝中,其前"項(xiàng)和為S”且〃,an,S成等差數(shù)列(/1GN+),則(?4=

()

A.1B.4C.7D.15

5.(5分)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x+2)+/,(2-x)=0,且當(dāng)0<尤W1時(shí),

f(x)=log2(尤+3),則/(2022)+f(2023)=()

A.2B.-2C.-1D.1

6.(5分)已知函數(shù)/(x)=Asin(wx+cp)(A>0,co>0,|<p|<J)的部分圖象如圖所示,

Q717n71771

點(diǎn)(0,-5)，(—，0),(—，0)在圖象上，若XI，X2G(―,一),X1WX2，且/(XI)

23333

=f(X2)，則/(尤1+X2)—()

A.3B.-C.0D.一彳

22

x2y2

7.（5分）已知橢圓C：萬(wàn)+記=l（b>0）的左右焦點(diǎn)分別為尸1,F2,過(guò)尸2的直線交橢圓

—>—>

C于A,8兩點(diǎn)，若發(fā)尸1|=3|4乃|,點(diǎn)加滿足尸1"=3時(shí)F2，且?用8,則橢圓C的離

為

心$-

1過(guò)2

ABCDV6

--一

3333

8.（5分）半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體ABC。

-就是一個(gè)半正多面體，其中四邊形ABC。和四邊形均為正方形，其余八

個(gè)面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長(zhǎng)均為2,則平面ABCD與平面EFGH之間

的距離為（）

A

V11V10

A.V2B.V8C.—D.——

22

二、多選題（每題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選

對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分，有錯(cuò)選的得0分）

（多選）9.（6分）已知函數(shù)/（x）=X3+3?-9x-10,下列結(jié)論中正確的是（）

A.X=1是/（X）的極小值點(diǎn)

B.f（x）有三個(gè)零點(diǎn)

C.f（%）有兩個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)y=/（x-i）為奇函數(shù)

（多選）10.（6分）若平面向量a=（九，2）,b=（Lm—1）,其中小meR,則下列說(shuō)法

正確的是（）

A.若2a+b=(2,6),則G〃6

B.若2=—2盛則與了同向的單位向量為（孝,

C.若〃=1,且Ta與7b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)％的取值范圍為&1，3）U（3,+8）

D.若11力，則z=2〃+4加的最小值為4

(多選)11.(6分)已知雙曲線C：鳥(niǎo)—4=l(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為M,尸2,

ab

過(guò)我作垂直于漸近線/交兩漸近線于A,3兩點(diǎn)，若31P2A|=|尸2為，則雙曲線C的離心

率可能為()

7141甚廣L

A.-------B.—C.v3D.v5

112

三、填空題(每題5分，共15分)

12.(5分)已知直線5無(wú)+12y+a=0與圓/+y2-2x=0相切，則a的值為.

13.(5分)已知拋物線C：W=2py(p>0)的焦點(diǎn)為P,斜率為1的直線/過(guò)P與C交于

A,B兩點(diǎn),的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為8,貝i]p=.

14.(5分)設(shè)點(diǎn)P在曲線尸盤(pán)上，點(diǎn)Q在曲線y=ln⑵)上，則|尸。|的最小值

為.

四、解答題(共5題，滿分77分)

15.(13分)如圖，六面體ABCD-EPGDi是直四棱柱ABCD-AIBICLDI被過(guò)點(diǎn)Di的平面

a所截得到的幾何體，DDiL^ABCD,底面ABCO是邊長(zhǎng)為2的正方形，Z)Di=4,

AE=2,CG=3.

(I)求證：AC±DiF；

(II)求平面EFGDi與平面ABCD的夾角的余弦值.

16.(15分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知2sinB=sinA+cosA?tanC.

(1)求C的大??；

(2)若2(a+6)=c2,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

17.(15分)已知函數(shù)/(x)=——，g(x)=―(aeR).

XX

(1)求/G)的單調(diào)區(qū)間及最值；

(2)令h(x)=/(%)+g(x),若h(x)在區(qū)間(1,e2)上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃的

取值范圍.

%2y2

18.(17分)已知橢圓C：—+—=lQ>6>0)的左,右頂點(diǎn)分別為A,B,左焦點(diǎn)為尸(-遍，0),

點(diǎn)(0,1)在橢圓上.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線/與C交于不同于2的N兩點(diǎn)，且3MDV,證明直線/恒過(guò)定點(diǎn)；

(3)在(2)的條件下，求的最大值.

19.(17分)已知無(wú)窮數(shù)列｛。"(即0,neN*),構(gòu)造新數(shù)列｛af)｝滿足a￡)=an+1-an,

2)1(k)

(a?)滿足a￡)=0n+iC)-an⑴，…,[an⑻｝滿足an=an+1-

anf(kN2,keN*),若｛即⑻｝為常數(shù)數(shù)列，則稱｛斯｝為左階等差數(shù)列；同理令

,(1),(fc-1)

乂1)=等1,乂2)=第L,…，b2)=尊為"N2,k€N*),若｛蹙)｝為常數(shù)數(shù)列，則

1

anl)3說(shuō)

稱｛斯｝為左階等比數(shù)列.

2)

(1)已知｛斯｝為二階等差數(shù)列，且的=1,a2=4,4=2,求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛斯｝為階等差數(shù)列，｛尻｝為一階等比數(shù)列，證明：｛成"｝為階等比數(shù)列；

(3)已知％=—3*儼T,令｛為｝的前"項(xiàng)和為%,T=Xm=l居一1,證明：T

4nn

<2.

2024-2025學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（四）

參考答案與試題解析

題號(hào)12345678

答案CDBDBDBB

一、單選題（每題5分，共40分）

1.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足：（2+z）z=-1,（其中i為虛數(shù)單位），貝I]z的共輾復(fù)數(shù)2在復(fù)平

面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】由復(fù)數(shù)的除法求出z,可得2,再由復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.

【解答】解：由（2+Z）Z=-1,得Z=萬(wàn)J==-F+Fi,

/十I（Z十—I）33

則5=~l

；.Z的共貌復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-3，位于第三象限.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是

基礎(chǔ)題.

2.（5分）已知全集U=R,集合4={犬廿-5廠6忘0},8={x|-3<尤<3},則如圖所示的

論”〃圖中陰影部分表示的集合為（）

A.（-3,-1]B.（-1,3]C.（1,3]D.[3,6]

【分析】根據(jù)題意可解得集合A,再根據(jù)該刖圖可得圖中陰影部分為CA（AAB）,利用

集合的運(yùn)算從而可解.

【解答】解：因?yàn)榧?={小2-5犬-6忘0}={刃-1?尤忘6},B=M-3<x<3},

又圖中陰影部分可表示為CA（AC8）,

又-1?3},

則CA（ACB）={尤|34W6},

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查該冊(cè)圖以及集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)已知A(l,-1),3(4,1),點(diǎn)尸滿足|P3|=2|B4|,則面積的最大值為()

26131326

A.—B.—C.—D.—

3399

【分析】設(shè)P(X,y),根據(jù)題意能求出點(diǎn)尸的軌跡方程/+(y+|)2=(受)2.根據(jù)

題意求出直線AB的方程，再驗(yàn)證圓P的圓心在直線AB的方程上，從而得到點(diǎn)P到直線

的距離為圓尸的半徑時(shí)，的面積最大，求解即可.

【解答】解：設(shè)尸(x,y),A(1,-1),B(4,1),

；|PB|二2|E4|,；.7(4-%)2+(1-y)2=27(1-%)2+(-1-y)2,

化簡(jiǎn)得/+(y+f)2若.

...點(diǎn)P的軌跡方程為：/+(y+|)2=(三手)2-

依題意可得直線AB的方程為尹1=與(X-1)，即v=

，圓尸的圓心(0,-f)在直線AB的方程上，

點(diǎn)P到直線AB的距離為圓P的半徑時(shí)，△%B的面積最大，

面積的最大值為(SAPAB)max=x\AB\xr=|xV13x之要=學(xué)

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

4.(5分)已知數(shù)列｛斯｝中,其前"項(xiàng)和為S”且〃,an,S成等差數(shù)列(”6N+),則“4=

()

A.1B.4C.7D.15

【分析】利用已知條件列出數(shù)列的遞推關(guān)系式，推出｛斯+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等

比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，然后求解即可.

【解答】解：an，8成等差數(shù)列(“CN+),

??2cinw+S”,

當(dāng)”=1時(shí)，2ai=l+Si,ai=l,

當(dāng)”22時(shí)，2斯-1=〃-

??2a〃-2a”-1=1+即，即a”=2。"-1+1,

6Z/I+1+1=2(即+1),

...｛斯+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

nn

an+l=2,.,.an=2-1,

??ci4—15.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算

能力.

5.(5分)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x+2)4/(2-x)=0,且當(dāng)0cxWl時(shí),

f(x)=log2(x+3),則/(2022)+f(2023)=()

A.2B.-2C.-1D.1

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系式和函數(shù)奇偶性可推導(dǎo)得到/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

再結(jié)合/(0)=0,/(-1)=-/(1)可求得所求函數(shù)值之和.

【解答】解：由/(x+2)+f(2-x)=0得：f(x+2)=-f(2-x),

又/(x)為R上的奇函數(shù)，

所以/(x-2)=-f(2-x),/(0)=0,所以/(x+2)=/(x-2),即/(x+4)=/(x),

所以/(x)是周期為4的周期函數(shù)，因?yàn)?(2)=/(-2)=-/(2),可得/(2)=0,

/(-1)=-/(1)=-log24=-2,

所以f(2022)+f(2023)=/(2)+fC-1)=0-2=-2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)奇偶性，屬于中檔題.

6.(5分)已知函數(shù)/'(%)=Asin(3x+(p)(A>0,3>0,|(p|V*)的部分圖象如圖所示,

Q7177r7177T

點(diǎn)(0,一亍)，(―，0),(一，0)在圖象上，若XI，X2E(一,—),X1WX2，且/(尤1)

23333

=/(X2)，則/(X1+X2)—()

A.3B.-C.0D.

2

【分析】根據(jù)條件求出A,3和<p的值，求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)

行求解即可.

77rTT27r

【解答】解：由條件知函數(shù)的周期滿足T=2X(―--)=2X2TI=4IT,即一=4m

333

1

則o)=天

由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得*n+(p=0,即gx]+(p=0,得(p=一看，

,1JT

則/(x)=Asin

則/(0)=Asin(-1)=-1A=-1,得A=3,

r1TT

即/(x)=3sin

TTITT兀.I.7TT.

在(1，—)內(nèi)的對(duì)稱軸為X==m，

33乙J

71771

右XI，X2G(-/-X1W%2，且/(XI)—f(X2)，

則XI，X2關(guān)于X=等對(duì)稱，

rmiC47r87r

貝!JXl+X2=2xq-=-y,

一,87T1871Tl7TTn3

則/(xi+x2)=f(-)=3sin(-X———)=3sin-=—3sin-=-

3236662

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件先求出函數(shù)的解析式，以及利

用三角函數(shù)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵.

x2y2

7.(5分)已知橢圓C—+—=1。>0)的左右焦點(diǎn)分別為為，F(xiàn)i,過(guò)尸2的直線交橢圓

—>―>

C于A,8兩點(diǎn)，若發(fā)尸1|=3|4乃|,點(diǎn)加滿足尸1"=3時(shí)F2，且?用8,則橢圓C的離

心率為()

12

A.-B.理C.一D.亞

3333

—>—>

【分析】根據(jù)四1|=3四2|，點(diǎn)M滿足F1M=3MF2,和角平線的性質(zhì)，可知AM是NQA/2

的平分線，根據(jù)AMLPbB，可知質(zhì)為|=42|,進(jìn)而可知點(diǎn)8為橢圓的一個(gè)下（或上）頂

點(diǎn)，根據(jù)相似比可以求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求出c,進(jìn)而求出離心率.

【解答】解：如圖：因?yàn)檫^(guò)尸2的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若以為|=34放|,

所以HBI+IA7切=2a,

所以|AF1|=學(xué),\AF2\=

又因?yàn)槭?3而2，所以|MBI=3|ME|,

所以AM是NBA"的平分線，又因?yàn)锳MLFLB,

所以河1|=河|=當(dāng)=\AF2\+\BF2\,

3cb

所以四切=〃，\BF2\：\AF2\=2,所以A（y,

,,,X2y29c21

點(diǎn)A在橢圓：—+—=l（a>6>0）.b,所以:一+二=1,

2b284

Q22

解得C2=q,e2=-^2=y=q,

所以e=字.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，屬中檔題.

8.（5分）半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體ABCD

-EPG8就是一個(gè)半正多面體，其中四邊形ABCD和四邊形EPG8均為正方形，其余八

個(gè)面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長(zhǎng)均為2,則平面ABCD與平面EFGH之間

的距離為()

【分析】分別取BC,AD的中點(diǎn)M,N,作出截面EGMN,結(jié)合幾何體的性質(zhì)，確定梯

形EGMN的高即為平面ABCD與平面EFGH之間的距離，由此即可求得答案.

【解答】解：分別取BC,AD的中點(diǎn)N,連接AW,MG,NE,EG,

根據(jù)半正多面體的性質(zhì)可知，四邊形EGMN為等腰梯形；

根據(jù)題意可知BC_LMN,BCLMG,

而MN,MGu平面EGMN,

故BCJ_平面EGMN,又BCu平面ABCD,

故平面ABCD平面EGMN,則平面EFGHJ_平面EGMN,

作MS_L￡G,垂足為S,平面平面EGAW=EG,

MSu平面EGMN,故MS_L平面EPGH

則梯形EGMN的高即為平面ABCD與平面EFGH之間的距離；

22

MG=2x*=百，SG=^1-=V2-1,

故MS=yjMG2-SG2=^3-(^2-l)2==V8,

即平面ABCD與平面EFGH之間的距離為弼.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間想象能力，解答的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，作出其截面

圖，確定梯形EGMN的高即為平面ABC。與平面EFGH之間的距離，即可求得答案，屬

中檔題.

二、多選題(每題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選

對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分，有錯(cuò)選的得0分)

(多選)9.(6分)已知函數(shù)/(x)=?+3?-9%-10,下列結(jié)論中正確的是()

A.x=l是/(%)的極小值點(diǎn)

B./(%)有三個(gè)零點(diǎn)

C./(%)有兩個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)(x-1)為奇函數(shù)

【分析】對(duì)于4利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極小值點(diǎn)的定義，可得答案；對(duì)于2、C,利用導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，可得答案；對(duì)于D,整理函數(shù)解析式，利用

奇函數(shù)的定義，可得答案.

【解答】解：f(x)=3，+6x-9=3(x+3)(尤-1),令f(x)=0,解得x=-3或1,

可得下表：

X(-8,-3)-3(-3,1)1(1,+8)

f(X)十0-0+

/(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

則X=1是/'(x)的極小值點(diǎn)，故A正確；

/(x)極大值=/(-3)=(-3)3+3*(-3)2-9X(-3)-10=17,極小值=處=

I3+3xl2-9x1-10=-15,

又/(-5)=(-5)3+3X(-5)2-9X(-5)-10=-15,f(3)=33+3X32-9X3

-10=17,

顯然函數(shù)/(x)在(-5,-3),(-3,1),(1,3)分別存在一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)/(x)

存在三個(gè)零點(diǎn)，故8正確，C錯(cuò)誤；

令g(x)=f(x-1)=(尤-1)3+3(x-1)~-9(x-1)-10=x3-12x+l,g(-x)

=-f+lZx+lW-g(x),故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，函數(shù)奇偶性的判斷，

考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

（多選）10.（6分）若平面向量3=（九，2）,b=（1/m-1）,其中小meR,則下列說(shuō)法

正確的是（）

A.若2a+b=（2,6）,則a〃b

B.若2=—2盛則與「同向的單位向量為（孝，—孝）

T71

C.若〃=1,且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)％的取值范圍為3）U（3,+8）

D.若21%,則z=2〃+4m的最小值為4

【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出加〃判斷A；利用數(shù)乘向量結(jié)果求出“2,”,再求出單

位向量判斷&利用向量夾角為銳角列出不等式求解判斷C；利用向量垂直的坐標(biāo)表示,

結(jié)合基本不等式求解判斷D.

【解答】解：對(duì)于A,21+==(2n+1,3+m)=(2,6),，解得n=

Im3

T1TT—T—_

則a=（2，2）,b=（1,2）,顯然不存在入，使b=4a,即a,b不共線，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于8,a=-2b,則22r］、，解得一°于即a=(-2,2),b=(1,-1),

(z=—￡(m—i)in=-z

―>

網(wǎng)=G+(―1)2=VL

則與b同向的單位向量為二=（一,一噂），故2正確；

\b\22

對(duì)于C,當(dāng)w=l時(shí)，展=（1,2）,又■與力的夾角為銳角，則口）=lxl+2x（m—1）>0,

—1。2

11

解得根且m#3,即me（2，3）u（3/+oo）,故C正確；

對(duì)于D,由a1b,得a-b=n+2（m-1）=2m+九一2=0,即2m+n=2,則z—2n+2lm>

2^j22m+n=2V22=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2〃=22%即〃=2機(jī)=1時(shí)取等號(hào)，故。正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，涉及平行與垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.

（多選）11.（6分）已知雙曲線C：鳥(niǎo)―4=l（a>0,b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為“，尸2，

ab

過(guò)92作垂直于漸近線/交兩漸近線于A,8兩點(diǎn)，若3日2A|=尸2為，則雙曲線C的離心

率可能為（）

V141B.匹

A.--------C.V3D.V5

112

【分析】設(shè)點(diǎn)/2（c,0）,求出依放|，由對(duì)稱性設(shè)出的方程，與漸近線方程聯(lián)立求出線段

長(zhǎng)，再分情況計(jì)算作答.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)尸2（C,0）,由雙曲線對(duì)稱性，不妨令直線/垂直于漸近線：y=1%,

即bx-ay=Q,

則MF2I=兒

Ja2+b2

直線/的方程為：y=-^（x-c）,

由卜=—g（X—c）,解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)=中，

ibx—ay=0c

由卜=—gO—c）,解得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)%2=57，

kbx+ay=0az-b

當(dāng)Q<a<b時(shí)，點(diǎn)B在線段F2A的延長(zhǎng)線上，

由31P2A|=|政2|得|AB|=26,

因此有|4BI=J1+（—鏟氏一叼|=在?—巖=2b,

整理得02=342,則離心率e.=遮，

當(dāng)a>b>0時(shí)，點(diǎn)B在線段AF2的延長(zhǎng)線上，

由31P2A|=|尸2用得|AB|=46,

因此有|4B|=小+（一鏟％―/1=在罟^-5）=鉆，

整理得，2=孤2,則離心率e=T=等，

所以雙曲線C的離心率為百或手.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的離心率的求解，屬于中檔題.

三、填空題（每題5分，共15分）

12.（5分）已知直線5x+12y+a=0與圓/+/-2%=0相切，則a的值為-18或8.

【分析】求出圓心和半徑，結(jié)合直線和圓相切的等價(jià)條件，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解答】解:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+y2=l,

圓心坐標(biāo)為（1,0）,半徑R=l,

?.?直線和圓相切，

圓心到直線的距離d=J5+.=窄1=1,

-2+12213

即|a+5|=13,即。+5=13或a+5=-13,

得a=8或a=-18,

故答案為：-18或8

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓相切的位置關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合圓心到直線的距離等于半

徑是解決本題的關(guān)鍵.用點(diǎn)到直線的距離公式，注意去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)的兩種可能情況.

13.(5分)已知拋物線C：jr=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,斜率為1的直線/過(guò)/與C交于

A,B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為8,則〃=4.

【分析】聯(lián)立直線/與拋物線的方程，設(shè)而不求，根據(jù)題意建立方程，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意可得直線I的方程為y=x+l，

聯(lián)立［y=X+2,可得y2—3py+4=o,

lx2=2py

設(shè)A(xi,yi),B(12,>2),

則以+”=3〃，

又根據(jù)題意可得|AB|=p+(yi+”)=4/?=2X8,

.??p=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

14.(5分)設(shè)點(diǎn)P在曲線產(chǎn)家上，點(diǎn)。在曲線產(chǎn)歷⑵)上，則|尸。|的最小值為一夜(1-

)2)_.

【分析】由于函數(shù)與函數(shù)y=/〃(2x)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于>=尤對(duì)稱，要求|尸。|

的最小值，只要求出函數(shù)>=2/上的點(diǎn)P(無(wú)，到直線y=x的距離為d=上尹，

,2VL

設(shè)g(x)求出g(x)min—1-ln2,即可得出結(jié)論.

【解答】解：???函數(shù)與函數(shù)y=/”(2%)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于丫=尤對(duì)稱

11I工e%—x\

函數(shù)上的點(diǎn)p(x,-^)到直線y=%的距離為g

設(shè)g(x)=^ex-x,(x>0)則g'(x)=-1

1

由g'(x)=2,-1NO可得2,

由g'（x）=-1VO可得0〈xV/〃2

???函數(shù)g（x）在（0,歷2）單調(diào)遞減，在[加2,+8）單調(diào)遞增

，當(dāng)X=/〃2時(shí)，函數(shù)g（尤）min=1-ln2,dmin=

由圖象關(guān)于y=x對(duì)稱得：IPQI最小值為2dmM=V2（l-Zn2）.

故答案為：V2（l-Zn2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，注意本題解法中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)

用，根據(jù)互為反函數(shù)的對(duì)稱性把所求的點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離，構(gòu)造很好.

四、解答題（共5題，滿分77分）

15.（13分）如圖，六面體ABCD-EFGDi是直四棱柱ABCD-AbBiCiDi被過(guò)點(diǎn)Di的平面

a所截得到的幾何體，底面ABCD,底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，DDi=4,

AE=2,CG=3.

（I）求證：AC±DiF；

（II）求平面EFGDi與平面ABCD的夾角的余弦值.

【分析】（I）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得DD1LAC,由ACL8,結(jié)合線面垂直的判定定

理與性質(zhì)即可證明；

（II）建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,利用空間向量法求面面角即可.

【解答】（I）證明：連接B。，直四棱柱ABCD-ALBICLDI,BF//DD1,則點(diǎn)尸在平面

D[D內(nèi)，

因?yàn)?。D1_L平面ABCD,且ACu平面ABC。，所以。Oi_LAC,

又底面ABC。為正方形，所以ACLLB。，

又DD1CBD=D,所以AC_L平面QiDBF,

DiFu平面DiDBF,所以AC_L￡)iP；

(II)解：因?yàn)槠矫鍭BCD,DA,OCu平面ABC。，

所以。。DDi±DC,

又底面ABCD為正方形，所以D4LOC,

建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如圖所示：

則E(2,0,2),G(0,2,3),Di(0,0,4),

所以D；E=(2,0,-2),D：G=(O,2,-1),

JT

設(shè)平面EFGDi的一個(gè)法向量為孩=(x,y,z),則)紗=。，

n-D±G=0

即—令z=2,則x=2,y=l,所以3=(2,1,2)；

因?yàn)槠矫鍭BC。，所以防i=(0,0,4)是平面ABCZ)的一個(gè)法向量；

T-?

設(shè)平面與平面的夾角為仇則=息

EFGDiA3CDcos6=|cos<DD1,n>|="可

\DDr\\n\3X4

2

所以平面EFGDi與平面ABCD的夾角余弦值為百.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、二面角的余弦值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是中檔題.

16.(15分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c.已知2sinB=sinA+cosA?tanC.

(1)求C的大?。?/p>

(2)若2(a+b)=d,求AABC周長(zhǎng)的最大值.

【分析】(1)結(jié)合同角基本關(guān)系，正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求cosC,進(jìn)而可求

(2)由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求.

【解答】解：(1)因?yàn)?sinB=sinA+cosA?tanC,

2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

因?yàn)閟in8>0,

_1

所以cosC=2，

由。為三角形內(nèi)角得C=J；

(2)若2(a+b)—<?,則2sinA+2sinB=csinC=

”.271

所以sinA+sinB=sinB+sin(——B)=|sinB+挈c(diǎn)osB=苧c,

3ZZ4

所以V^sin(5+^-)

o4

因?yàn)?<sin(5+g)Wl,

o

所以即0<cW4,

4

所以2(a+b)W16,

故a+bW8,a+6+cW12.

故△ABC周長(zhǎng)的最大值為12.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角基本關(guān)系，正弦定理，和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用，

屬于中檔題.

17.(15分)已知函數(shù)/(久)=竽，g(x)=g(aeR).

(1)求/(無(wú))的單調(diào)區(qū)間及最值；

(2)令h(無(wú))=/(x)+g(x),若4(x)在區(qū)間(1,￡)上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

【分析】(1)對(duì)/(%)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間，從而可得最值；

(2)對(duì)h(x)求導(dǎo)得"(%)=2%，個(gè)2。,令(x)=?*-xlnx-2a,再對(duì)(p(x)求

導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出<p(x)得最值及端點(diǎn)值，結(jié)合已知可得關(guān)于a的不等式組，求解即可.

【解答】解：(1)[0)=*竺，且定義域?yàn)?0,+8),

令f(x)>0,解得0<x<e,即/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e)；

令f（x）<0,解得x>e,即/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（e,+-）,

1

所以/'COmax=/(e)=無(wú)最小值.

(2)因?yàn)橐?=竽V+爰(lVxVe2),

所以拉，（久）=審+《_2a2x—xlnx—2a

%3%3

令隼(x)—2x-xlnx-2a,貝！J(p'(x)=2-lnx-1=1-Inx,

令(p‘(％)>0,得OVxVe；令(p'(元)<0,得x>e；又xE(Le2),

所以(p(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，在(e,/)上單調(diào)遞減，

所以<p(x)max—g(e)—e-la,cp(1)—2-2a,<p(J)=-2a,

若/7（x）在（1,e2）上存在極值點(diǎn)，則f-2a>0或c—2ax)

（2-2a<0-2a<0'

解得1<a<|^<0<a<|,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0,j）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

x2y2-

18.（17分汨知橢圓C：—+—=l（a>6>0）的左,右頂點(diǎn)分別為48,左焦點(diǎn)為尸（一百，0）,

azb乙

點(diǎn)（0,1）在橢圓上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線/與C交于不同于8的M,N兩點(diǎn)，且證明直線/恒過(guò)定點(diǎn)；

（3）在（2）的條件下，求IBM?|B'的最大值.

【分析】（1）由題意可得b,c的值，進(jìn)而求出a的值，即求出橢圓的方程；

（2）分直線/的斜率不存在和存在兩種情況討論，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立,

可得兩根之和及兩根之積，由BM1BN,BM-BN=0,整理可得參數(shù)的關(guān)系，求出直線

恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）由（2）可得當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，取到最大值，由（2）可得點(diǎn)M的坐

標(biāo)，進(jìn)而求出|BM|的值，在求出最大值.

【解答】（1）解：由題意可得C=W,b=l,所以02=b2+c2=]+3=4,

所以橢圓的方程為：—+?=1;

4

（2）證明：由（1）可得3（2,0）,

（力當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為>=丘+/,M（xi，yi）,N（12,”），

y=kx+t

聯(lián)立，％2,整理可得：（1+4必）/+8左斤+4金-4=0,

匕+必=1

A=64^?-4X(1+4必)(4?-4)>0,可得P<1+4必,

8kt4產(chǎn)一4

且Xl+X2=—2X1X2=----7,

1+4/c1+4/c

因?yàn)锽M?BN=(xi-2,yi)*(x2-2,>2)=(xi-2)(九2-2)+yiy2

=（xi-2）（X2-2）+（依1+/）（丘+/）=0,

即（l+好）xiX2+Qkt-2）（xi+X2）+4+於=0,

4t2—4—8/ctQ

即（1+好）------7