第二章平面向量本章教材分析1.豐富多彩的背景,引人入勝的內(nèi)容.教材首先從力、位移等量講清向量的實(shí)際背景以及研究向量的必要性,接著介紹了平面向量的有關(guān)知識(shí).學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景,理解平面向量及其運(yùn)算的意義,能用向量語(yǔ)言與方法表述和解決數(shù)學(xué)、物理中的一些問(wèn)題,發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標(biāo)表示的基礎(chǔ),從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā),引出了平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義,接著介紹了向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律及坐標(biāo)表示.向量數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來(lái),這樣為解決有關(guān)的幾何問(wèn)題提供了方便,特別能有效地解決線段的垂直問(wèn)題.最后介紹了平面向量的應(yīng)用.2.教學(xué)的最佳契機(jī),全新的思維視角.向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”,這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來(lái)的.反過(guò)來(lái),向量的理論和方法,又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具,向量之所以有用,關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì),通過(guò)向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算,這樣通過(guò)向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問(wèn)題.這一章的內(nèi)容雖然概念多,但大都有其物理上的來(lái)源,雖然抽象,卻與圖形有著密切的聯(lián)系,向量應(yīng)用的優(yōu)越性也是非常明顯的.全新的思維視角,恰當(dāng)?shù)慕膛c學(xué),使得向量不僅生動(dòng)有趣,而且是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與能力的極佳契機(jī).3.本章充分體現(xiàn)出新教材特點(diǎn).以學(xué)生已有的物理知識(shí)和幾何內(nèi)容為背景,直觀介紹向量的內(nèi)容,注重向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的對(duì)比,特別注意知識(shí)的發(fā)生過(guò)程.對(duì)概念、法則、公式、定理等的處理主要通過(guò)觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括得出結(jié)論.這一章中的一些例題,教科書不是先給出解法,而是先進(jìn)行分析,探索出解題思路,再給出解法.解題后有的還總結(jié)出解決該題時(shí)運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,有的還讓學(xué)生進(jìn)一步考慮相關(guān)的問(wèn)題.對(duì)知識(shí)的處理,都盡量設(shè)計(jì)成讓學(xué)生自己觀察、比較、猜想、分析、歸納、類比、想象、抽象、概括的形式,從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.向量的坐標(biāo)實(shí)際上是把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來(lái),進(jìn)而可把曲線與方程聯(lián)系起來(lái),這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問(wèn)題,同時(shí)也可以用幾何的觀點(diǎn)處理某些代數(shù)問(wèn)題.4.本章教學(xué)約需12課時(shí),具體分配如下,僅供參考.標(biāo)題課時(shí)2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念1課時(shí)2.2向量的線性運(yùn)算3課時(shí)2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2課時(shí)2.4平面向量的數(shù)量積2課時(shí)2.5平面向量的應(yīng)用舉例2課時(shí)本章復(fù)習(xí)2課時(shí)2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析本節(jié)是本章的入門課,概念較多,但難度不大.學(xué)生可根據(jù)原有的位移、力等物理概念來(lái)學(xué)習(xí)向量的概念,結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.由于向量來(lái)源于物理,并且兼具“數(shù)”和“形”的特點(diǎn),所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用,可通過(guò)幾個(gè)具體的例子說(shuō)明它的應(yīng)用.位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重要對(duì)象.幾何中常用點(diǎn)表示位置,研究如何由一點(diǎn)的位置確定另外一點(diǎn)的位置.位移簡(jiǎn)明地表示了點(diǎn)的位置之間的相對(duì)關(guān)系,它是向量的重要的物理模型.力是常見的物理量.重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向的量.物理中還有其他力,讓學(xué)生舉出物理學(xué)中力的其他一些實(shí)例,目的是要建立物理課中學(xué)過(guò)的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯(lián)系,以此更加自然地引入向量概念,并建立學(xué)習(xí)向量的認(rèn)知基礎(chǔ).三維目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例,利用平面向量的實(shí)際背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及確定平面向量的兩個(gè)要素,搞清數(shù)量與向量的區(qū)別.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判斷向量之間的關(guān)系,并會(huì)辨認(rèn)圖形中的相等向量或作出與某一已知向量相等的向量.3.在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)充分根據(jù)平面向量的兩個(gè)要素加以研究向量的關(guān)系,揭示向量可以平移這一特性.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會(huì)表示向量.教學(xué)難點(diǎn):平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)如圖1,在同一時(shí)刻,老鼠由A向西北方向的C處逃竄,貓?jiān)贐處向正東方向的D處追去,貓能否追到老鼠呢？學(xué)生馬上得出結(jié)論:追不上,貓的速度再快也沒用,因?yàn)榉较蝈e(cuò)了.教師適時(shí)設(shè)問(wèn):如何從數(shù)學(xué)的角度來(lái)揭示這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)？由此展開新課.圖1思路2.兩列火車先后從同一站臺(tái)沿相反方向開出,各走了相同的路程,怎樣用數(shù)學(xué)式子表示這兩列火車的位移？從中國(guó)象棋中規(guī)定“馬”走日,象走“田”,讓學(xué)生在圖上畫出馬、象走過(guò)的路線引入也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題①在物理課中,我們學(xué)過(guò)力的概念.請(qǐng)回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學(xué)的數(shù)學(xué)中的知識(shí)抽象這些具有共同特征的量呢？②新的概念是對(duì)這些具有共同特征的量的描述,應(yīng)怎樣定義這樣的量呢？③數(shù)量與向量的區(qū)別在哪里？活動(dòng):教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,思考討論并解決上述問(wèn)題,學(xué)生討論列舉與位移一樣的一些量.物體受到的重力是豎直向下的,物體的質(zhì)量越大,它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的動(dòng)量與矢量都有方向,且有大??；物理學(xué)中存在著許多既有大小,又有方向的量.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考這些量的共同特征,我們能否在數(shù)學(xué)學(xué)科中對(duì)這些量加以抽象,形成一種新的量.至此時(shí)機(jī)成熟,引入向量,并把那些只有大小,沒有方向的量,如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等稱為數(shù)量,物理學(xué)上稱為標(biāo)量.顯然數(shù)量和向量的區(qū)別就在于方向問(wèn)圖5分析:本例是一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.解:表示A地至B地的位移,且||≈232km;(AB長(zhǎng)度×8000000÷100000)表示A地至C地的位移,且||≈296km.(AC長(zhǎng)度×8000000÷100000)點(diǎn)評(píng):位置是幾何學(xué)研究的重要內(nèi)容之一,幾何中常用點(diǎn)表示位置,研究如何由一點(diǎn)的位置確定另外一點(diǎn)的位置.如圖5,由A點(diǎn)確定B點(diǎn)、C點(diǎn)的位置.變式訓(xùn)練一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)沿東北方向走了100m到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向,沿南偏東15°方向又走了100m到達(dá)C點(diǎn),求此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移.圖6解:根據(jù)題意畫出示意圖,如圖6所示.||=100m,||=100m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC為正三角形.∴||=100m,即此人從C點(diǎn)返回A點(diǎn)所走的路程為100m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向?yàn)槲髌?5°.故此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移為沿西偏北15°方向100m.圖7例2判斷下列命題是否正確,若不正確,請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.(1)ABCD中,與是共線向量;(2)單位向量都相等.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生畫出平行四邊形,如圖7.因?yàn)锳B//CD,所以∥.由于上面已經(jīng)明確,單位向量只限制了大小,方向不確定,所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.解:(1)正確;(2)不正確.點(diǎn)評(píng):本題考查基本概念,對(duì)于單位向量、平行向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好.圖8例3如圖8,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中所示向量與相等的量.活動(dòng):本例是結(jié)合正六邊形的一些幾何性質(zhì),讓學(xué)生鞏固相等向量和平行向量的概念,正六邊形是邊長(zhǎng)等于半徑并且對(duì)邊互相平行的正多邊形,它既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,具有豐富的幾何性質(zhì).教科書中要求判斷與,與是否相等,是要通過(guò)長(zhǎng)度相等方向相反的兩個(gè)向量的不等,讓學(xué)生從反面認(rèn)識(shí)向量相等的概念.解:==;==;===.點(diǎn)評(píng):向量相等是一個(gè)重要的概念,今后經(jīng)常用到.讓學(xué)生在訓(xùn)練中明確,向量相等不僅大小相等,還要方向相同.變式訓(xùn)練本例變式一:與向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？(11個(gè))本例變式二:是否存在與向量長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？(存在)例4下列命題正確的是()A.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行活動(dòng):由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確.由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上,而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),所以B不正確.向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān),所以D不正確.對(duì)于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮,假若a與b不都是非零向量,即a與b至少有一個(gè)是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有a與b共線,不符合已知條件,所以有a與b都是非零向量,即只有C正確.答案:C點(diǎn)評(píng):對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查,可以從概念特征入手,也可以從反面進(jìn)行考慮.即要判斷一個(gè)結(jié)論不正確,只需舉一個(gè)反例即可.要啟發(fā)學(xué)生注意這兩方面的結(jié)合.變式訓(xùn)練1.判斷:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)與任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若兩個(gè)向量在同一直線上,則這兩個(gè)向量一定是什么向量？(平行向量)(6)兩個(gè)非零向量相等當(dāng)且僅當(dāng)什么？(長(zhǎng)度相等且方向相同)(7)共線向量一定在同一直線上嗎？(不一定)2.把一切單位平面向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn),那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是()A.一條線段B.一段圓弧C.兩個(gè)點(diǎn)D.一個(gè)圓答案:D3.將平行于一直線的所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一始點(diǎn),則這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是()A.一個(gè)點(diǎn)B.兩個(gè)點(diǎn)C.一個(gè)圓D.一條線段答案:B知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1.通過(guò)具體的例子,讓學(xué)生動(dòng)手畫兩個(gè)方向不同、大小不等的力(向量),圖略.2.||,||,這兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等,但它們不等.點(diǎn)評(píng):向量是既有大小,又有方向的量.長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量未必是兩個(gè)相等的量.3.||=2,||=2.5,||=3,||=2.點(diǎn)評(píng):方格紙是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何、向量等內(nèi)容的好工具.在方格紙中,長(zhǎng)度和角度非常容易表現(xiàn).建議在向量?jī)?nèi)容的學(xué)習(xí)中把方格紙作為重要的學(xué)具.4.(1)它們的終點(diǎn)相同;(2)它們的終點(diǎn)不同.點(diǎn)評(píng):方向相同的兩個(gè)向量,如果它們的起點(diǎn)相同,它們的終點(diǎn)只與長(zhǎng)度有關(guān).課堂小結(jié)本節(jié)課從平面向量的物理背景和幾何背景入手,利用類比的方法,介紹了向量的兩種表示方法:幾何表示和字母表示,幾何表示為用向量處理幾何問(wèn)題打下了基礎(chǔ),字母表示則利于向量的運(yùn)算；然后又介紹了向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念,這些概念是進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ),必須要在理解的基礎(chǔ)上把握好.作業(yè)課本習(xí)題2.11、2.設(shè)計(jì)感想本節(jié)是平面向量的第一節(jié),顯然屬于“概念課”,概念的理解無(wú)疑是重點(diǎn),但也是難點(diǎn).本教案設(shè)計(jì)