遼寧省沈陽市2024-2025學年七年級下學期數(shù)學診斷試題（第一、第二章）一、單選題1.氣凝膠是一種具有納米多孔結(jié)構(gòu)的新型材料，質(zhì)量輕、隔熱能力強，可應用于航天、軍工、建筑等領(lǐng)域，氣凝膠顆粒尺寸通常小于．數(shù)據(jù)“”用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較小數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：，故選：A．2.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】本題考查了合并同類項，同底數(shù)冪的除法，積的乘方，冪的乘方，根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪的除法，積的乘方，冪的乘方運算法則逐一判斷即可求解，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、，原選項運算錯誤，不符合題意；、，原選項運算錯誤，不符合題意；、，原選項運算錯誤，不符合題意；、，原選項運算正確，符合題意；故選：．3.如圖，圖中陰影部分是由兩個正方形組成．若兩個正方形面積的和與周長的和分別為20、24，則圖中空白部分的面積共等于（

）A.20 B.18 C.16 D.14【正確答案】C【分析】本題考查完全平方公式的變形．設大正方形的邊長為x，小正方形的邊長為y，根據(jù)題意得：，，然后得出即可．【詳解】解：設大正方形的邊長為x，小正方形的邊長為y，根據(jù)題意得：，，，，，空白部分的面積為，空白部分的面積共等于16，故選：C．4.已知不含x的一次項，則a的值為（）A. B. C.1 D.2【正確答案】D【分析】本題考查了多項式乘多項式，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．先根據(jù)多項式乘多項式法則展開，再根據(jù)不含x的一次項，得到，即可求出a的值．【詳解】解：，若不含x的一次項，則，解得：，故選：D．5.如圖，四點在直線上，點在直線外，，若，，，則點到直線的距離是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】本題考查了點到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離的定義即可求解，理解定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴點到直線的距離是，故選：．6.已知是的余角，且，則的補角等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】本題主要考查了互余角關(guān)系、互補角關(guān)系，會用互為余角、互為補角求解是解題的關(guān)鍵．先利用互余求出，再求出的補角．【詳解】解：∵知是的余角，且，∴，∴的補角．故選：C．7.如圖，小菲同學的周末作業(yè)被調(diào)皮的弟弟給撕掉了一個角，作業(yè)上的問題變成了一個不全的題目．根據(jù)小菲同學記錄的內(nèi)容，可得到被除式應該為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】本題主要考查了整式乘除運算，熟練掌握多項式乘單項式乘法運算法則，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)被除式除式商，求出結(jié)果即可．【詳解】解：被除式應該為：．故選：B．8.如圖為一個彎折鐵絲，，工人師傅對該鐵絲進一步加工，在處進行第二次彎折，最終保證彎折后的部分與保持平行，那么彎折后形成的（）A. B.C. D.或【正確答案】D【分析】本題主要考查平行的性質(zhì)，熟練掌握平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行的性質(zhì)進行推理即可．【詳解】解：根據(jù)平行線的性質(zhì)，當點在點左側(cè)時，，當點在點右側(cè)時，，故選：D．9.如圖，下列推理不正確的是（）

A.，∴ B.∵，C.∵，∴ D.∵，【正確答案】B【分析】本題考查平行線的知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)，進行解答，即可．【詳解】解：A、∵，∴，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，正確；B、∵，∴，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，錯誤；C、∵，∴，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，正確；D、∵，∴，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，正確；故選：B．10.將一副三角板按如圖所示方式擺放在一張對邊平行的長方形紙片上，其中含角的直角三角板的斜邊與紙片一邊貼合，含角的直角三角板的一個頂點與含角的直角三角板的直角頂點重合，且兩個直角三角板的一條直角邊貼合，而含角的直角三角板的另一個頂點恰好落在紙片的另一邊上，那么的度數(shù)是（）

A. B. C. D.【正確答案】B【分析】本題考查三角板中角度的計算，平行線的性質(zhì)，過點作，進而得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】解：如圖，過點作，由題意，得：，∴，∴，∴，∴；故選B．二、填空題11.數(shù)學源于生活，寓于生活，用于生活．下列各選項中能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象有___________個．【正確答案】1【分析】本題考查了垂線段最短，線段的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短，線段的性質(zhì)分別判斷即可．熟記垂線段最短是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①測量跳遠成績是求腳后跟到起跳線的距離，數(shù)學常識為垂線段最短，故該選項符合題意；②木板上彈墨線，能彈出一條筆直的墨線，數(shù)學常識為兩點確定一條直線，故該選項不符合題意；③彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數(shù)學常識為兩點之間，線段最短，故該選項不符合題意；④彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數(shù)學常識為兩點之間，線段最短，故該選項不符合題意；故能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象有1個，故1．12.若，則A＝_____，B＝_____．【正確答案】①.4n②.7m【分析】根據(jù)平方差公式的特點進行解答即可．【詳解】解，即可得A=4n，B=7m，故4n，7m．本題考查了平方差公式，熟知是解本題的關(guān)鍵．13.如圖，，直線分別交、于點、，平分，則的度數(shù)為_______．【正確答案】或度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．根據(jù)可得，由平分可得，最后根據(jù)平角的定義求解．【詳解】解：∵，∴，又∵平分，∴，∴，故．14.用簡便方法計算的結(jié)果是___________．【正確答案】1【分析】本題考查了完全平方公式，先根據(jù)完全平方公式進行變形，再求出答案即可．【詳解】解：

．故1．15.一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架與吊線平行，燈桿與底部支架所成銳角．頂部支架與燈桿所成銳角，則與所成銳角的度數(shù)為_____．【正確答案】##57度【分析】本題考查了平行線判定和性質(zhì)，平行公理的推論．過點作，可得，即得，，根據(jù)求出即可．【詳解】解：過點作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴與所成銳角的度數(shù)為為，故．三、解答題16.計算：（1）已知，，求值．（2）；（3）；（4）．【正確答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）先利用同底數(shù)冪除法的逆運算和冪的乘方的逆運算恒等變形，再將，代入求解即可得到答案；（2）先計算乘方運算、負整數(shù)指數(shù)冪運算，再由積的乘方的逆運算恒等變形后求解即可得到答案；（3）先計算積的乘方運算、冪的乘方運算及同底數(shù)冪的乘法運算，再合并同類項即可得到答案；（4）先將恒等變形為，再由平方差公式及完全平方差公式展開即可得到答案．【小問1詳解】解：，，；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：；【小問4詳解】解：．本題考查綜合計算，涉及同底數(shù)冪的乘法運算、同底數(shù)冪除法的逆運算、冪的乘方運算及其逆運算、乘方運算、負整數(shù)指數(shù)冪運算、積的乘方運算及其逆運算、合并同類項、平方差公式及完全平方差公式等知識，熟練掌握相關(guān)運算法則是解決問題的關(guān)鍵．17.先化簡，再求值：已知a、b滿足，求代數(shù)式：的值．【正確答案】，2025【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據(jù)平方差公式，完全平方公式，單項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項，再根據(jù)多項式除以單項式的計算法則化簡，最后利用整體代入法求解即可．【詳解】解：，∵∴，即原式．18.如圖，是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點為格點，線段的兩個端點及點C均在格點上．（1）過點C作的平行線．（2）過C點作線段的垂線，交于H．（3）點D是線段與網(wǎng)格線交點，連結(jié)，，比較線段，，的大?。?，理由是．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）；垂線段最短【分析】此題考查了作圖-平行線；作圖-垂線；線段的長短比較；（1）根據(jù)作圖-平行線結(jié)合題意畫圖即可求解；（2）根據(jù)作圖-垂線結(jié)合題意畫圖即可求解；（3）根據(jù)線段的比較結(jié)合題意填空即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】解：如圖所示，即所求；【小問3詳解】解：由圖可知，，理由是垂線段最短．故；垂線段最短．19.如圖，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，求證：∠BDC＋∠DGF＝180°．【正確答案】見解析【分析】若證∠BDC+∠DGF=180°，則可證GF、CD兩直線平行，利用圖形結(jié)合已知條件能證明．【詳解】解：∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，∴∠2=∠DCF．∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCF，∴CD∥FG，∴∠BDC+∠DGF=180°．20.從邊長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2），（1）上述操作能驗證的等式是___________；（請選擇正確的一個）A．B．C．（2）應用你從（1）選出的等式，完成下題：已知，，求的值．【正確答案】（1）B（2）3【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，運用平方差公式計算,掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．（1）分別用代數(shù)式表示圖1、圖2陰影部分的面積即可；（2）令，，根據(jù)（1）中的公式得到，再將，代入計算，即得答案．【小問1詳解】解：圖1陰影部分可以看作兩個正方形的面積差，即，拼成的圖2是長為，寬為的長方形，因此面積為，．故選：B．【小問2詳解】解：根據(jù)（1），令，，則，當，時，，．21.[問題情境]在綜合實踐課上，老師組織班上的同學開展了探究兩角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學活動，如圖1，已知直線

，點分別為直線上的點，點是平面內(nèi)任意一點，連接．[探索發(fā)現(xiàn)]（1）當時，求證：；[拓展探究]（2）如圖2點分別是直線上的點，且

，直線，交于點，“智勝小組”探究

與之間的數(shù)量關(guān)系．請寫出它們的關(guān)系，并說明理由．【正確答案】（1）證明過程見詳解（2），理由見詳解【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）如圖所示，過點作，可得，由平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)，即可求解；（2）設，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系得到，由此即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖所示，過點作，∵，∴，∴，∵，∴；（2），理由如下，設，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．22.【背景閱讀】在數(shù)學的學習中，我們經(jīng)?？梢岳脠D形的面積關(guān)系理解代數(shù)公式，使抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化．【問題解決】（1）填空：根據(jù)圖1所示圖形的面積關(guān)系，可以寫出的一個乘法公式是_______；（2）如果圖2中陰影部分的面積為25，一個小長方形的面積為14，求的值；【拓展應用】（3）如圖3，有兩個正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得到圖甲，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得到圖乙．設正方形A的邊長為x．正方形B的邊長為，且圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為4和30．現(xiàn)將三個正方形A和兩個正方形B如圖丙擺放，求圖丙中陰影部分的面積．（4）時，求的值．【正確答案】（1）；（2）；（3）76；（4）2016【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．（1）從“整體”和“部分”兩個方面分別用代數(shù)式表示圖1的面積即可；（2）根據(jù)圖2可得，再將，代入計算即可；（3）由圖甲和乙中陰影部分的面積分別為4和30得到，，求得，，再根據(jù)代入計算即可；（4）根據(jù)求解即可．【詳解】解：（1）圖1中大正方形的邊長為，因此面積為，拼成圖1的四個部分的面積和為，所以有，故；（2）圖2中，大正方形的邊長為，因此面積為，陰影部分是邊長為的正方形，因此面積為，四個空白長方形的面積和為，所以有，∵圖2中陰影部分的面積為25，一個小長方形的面積為14，∴，，∴，∵，∴；（3）∵圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為4和30，即，，∴，，∵，∴，；∴．（4）設，由（2）知，，∴，．23.已知，，點C在上方，連接．（1）如圖1，若，，求的度數(shù)；（2）如圖2，過點C作交的延長線于點F，寫出和之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，的平分線交于點G，連接并延長至點H，若平分，求的值．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】本題主要考查平行