第04講5.3誘導(dǎo)公式

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①掌握誘導(dǎo)公式的內(nèi)容、規(guī)律適用范圍。

②了解誘導(dǎo)公式的作用。理解與掌握誘導(dǎo)公式的內(nèi)容，會用誘導(dǎo)公式進(jìn)行相關(guān)的

③會用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡、求值、證明恒運(yùn)算

等式

知識點(diǎn)一：公式二

sin()sin

cos()cos

tan()tan

知識點(diǎn)二：公式三

sin()sin

cos()cos

tan()tan

知識點(diǎn)三：公式四

sin()sin

cos()cos

tan()tan

知識點(diǎn)四：公式五

sin()cos

2

cos()sin

2

知識點(diǎn)五：公式六

sin()cos

2

cos()sin

2

知識點(diǎn)六：公式七

3

sin()cos

2

3

cos()sin

2

知識點(diǎn)七：

3

sin()cos

2

3

cos()sin

2

題型01給角求值問題

【典例1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知的終邊上有一點(diǎn)P(1,3)，則cos(π)

的值為（）

11010310

A．B．C．D．

3101010

【答案】C

【詳解】因?yàn)榈慕K邊上有一點(diǎn)P(1,3)，

110

所以cos，

123210

10

cos(π)cos，

10

故選：C

【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求值：

3π

(1)sin150；(2)tan1020；(3)sin()；(4)sin750.

4

121

【答案】(1)(2)3(3)(4)

222

1

【詳解】（1）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得sin150sin(18030)sin30.

2

（2）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得tan1020tan(108060)tan(60)3.

3π3πππ2

（3）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得sinsinsinπsin.

44442

1

（4）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得sin750sin72030sin30.

2

【典例3】（2023·全國·高一課堂例題）利用公式求下列三角函數(shù)值：

8π16π

(1)cos225：(2)sin；(3)sin；(4)tan2040.

33

233

【答案】(1)(2)(3)(4)3

222

2

【詳解】（1）cos225cos18045cos45；

2

8π2π2πππ3

（2）sinsin2πsinsinπsin；

333332

16π16πππ3

（3）sinsinsin5πsin；

33332

（4）tan2040tan2040tan6360120

tan120tan18060tan603.

【變式1】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高三衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）tan420tan510．

【答案】23

3

【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得：

23

tan420tan510tan602180tan303180tan60tan30tan60tan30．

3

23

故答案為：.

3

【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）求下列各三角函數(shù)值：

π2π535π

(1)sin；(2)cos；(3)tan；(4)cos．

6346

113

【答案】(1)(2)(3)1(4)

222

ππ1

【詳解】（1）sinsin；

662

2πππ1

（2）coscosπcos；

3332

5πππ

（3）tantanπtan1；

444

35πππ3

（4）coscos6πcos．

6662

【變式3】（2023·全國·高一課堂例題）求值：

7π11π

(1)sin；(2)cos；(3)tan1560.

64

12

【答案】(1)(2)(3)3

22

7πππ1

【【詳解】（1）sinsinπsin.

6662

11π3π3ππ

（2）coscos2πcoscosπ

4444

π2

cos.

42

（3）tan1560tan1560tan4360120

tan120tan18060tan603.

題型02給值(式)求值問題

π3ππ

【典例1】（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知sin，且,，

6344

π

則sin（）

3

3326

A．B．C．D．

3333

【答案】D

ππππ5ππ3

【詳解】因?yàn)?，所以,，又sin0，所以

446121263

ππππ2π6

sinsincos1sin.

326663

故選：D

3π

【典例2】（2023春·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）已知tan2，則sinsin.

2

2

【答案】/0.4

5

【詳解】因?yàn)閠an2，

sincostan2

所以原式sincos

sin2cos2tan215

2

故答案為：.

5

【典例3】（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸

3

非負(fù)半軸重合，終邊與射線y2x（x0）重合，則sin.

2

5

【答案】

5

sin2cos21

【詳解】由題意，tan2，且sin0，cos0，則由sin，

tan2

cos

535

解得cos，則sincos.

525

5

故答案為：.

5

π3

【變式1】（2023秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若(,π),cos(π)，則tan.

25

41

【答案】/1

33

333π4

【詳解】由cos(π)，得cos，解得cos，而(,π)，則sin=1-cos2=，

55525

sin4

所以tan.

cos3

4

故答案為：

3

π3

【變式2】（2023春·湖南株洲·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知,π，sin，則cosπ.

25

4

【答案】/0.8

5

π324

【詳解】因?yàn)?π，sin，所以cos1sin，

255

4

又因?yàn)閏os()cos，所以cosπ，

5

4

故答案為:

5

1

【變式3】（2023秋·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知sinx,tanx0，則

3

π

sinx．

2

222

【答案】/2

33

π122

【詳解】由sinxcosx，又sinx,tanx0，故cosx1sin2x.

233

22

故答案為：

3

題型03三角函數(shù)的化簡求值問題

【典例1】（2023秋·安徽·高二安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M2,4在

sin3πcos3

角終邊上，則（）

sin32cos3

2335

A．B．C．-D．

3253

【答案】B

【詳解】由題意可得tan2，

sin3cos3tan31813

所以原式.

sin32cos3tan32822

故選：B.

【典例2】（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山市紅星中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知

3π

sinπcos2πcos

2

f.

π

cossinπ

2

(1)化簡f；

1

(2)若是第三象限角，且sinπ，求f的值.

5

【答案】(1)f(α)=-cosα；

26

(2).

5

【詳解】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式

3π

sinπcos2πcos

2

f

π

cossinπ

2

sincossin

cos，

sinsin

所以fcos;

11

（2）由誘導(dǎo)公式可知sinπsin，即sin，

55

又是第三象限角，

26

所以cos1sin2，

5

26

所以fcos.

5

【典例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，鈍角的始邊與x軸的非負(fù)半軸

2

重合，終邊與半徑為1的圓相交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)B，OB．

3

(1)求sin的值；

2sinπsinπ

(2)求的值．

cos2π

5

【答案】(1)

3

5

(2)

2

2

【詳解】（1）由三角函數(shù)定義知：cosOB，又為第二象限角，

3

5

sin1cos2.

3

5

2sinπsinπ2sinsinsin5

（2）3.

2

cos2πcoscos2

3

【典例4】（2023秋·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學(xué)校考開學(xué)考試）已知

3π7π

cossin

22

f.

sinπ

1

(1)若f，求tan的值；

3

π15π

(2)若f，求f的值.

636

【答案】(1)22

1

(2)

3

3π7π

cossin

【詳解】（）22sincos，

1fcos

sinπsin

122

由f，得sin1cos2，

33

所以tan22；

π1π1

（2）由f，得cos，

6363

5π5πππ1

則fcoscosπcos.

66663

【變式1】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是第三象限角，且tan22tan30，則

4sin(π)

π．

coscos()

2

【答案】2

【詳解】由tan22tan30得tan1tan30，

解得tan1或tan3，

又是第三象限角，所以tan1，

4sinπ4sin4sin4tan41

2

故πsincossincostan111．

coscos

2

故答案為：2

sinπtan2πcos2π

【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）化簡：．

tanπcosπsinπ

【答案】1

sintancos

【詳解】原式1．

tancossin

25π

【變式3】（2023秋·北京·高三北京市第六十六中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知sin，,π，求

52

5π

sin

2

tanπ的值.

5π

cos

2

5

【答案】/2.5

2

25π

【詳解】因?yàn)閟in0且,π，且為第二象限角，

52

5sin

所以cos1sin2，可得tan2，

5cos

5π

sin

2cos15

又由tanπtan2.

5πsin22

cos

2

【變式4】（2023春·四川眉山·高一校聯(lián)考期中）（1）已知方程sin3π2cos4π，求

sinπ5cos2π

3π的值．

2sinsin

2

π1

（2）已知x0,sinxcosx，求sinxcosx的值；

25

37

【答案】（1）；（2）

45

【詳解】（1）∵sin3π2cos4π，

∴-sin=2cos，

可知cos0，

sinπ5cos2πsin5cos2cos5cos3

所以3π2cossin2cos2cos4.

2sinsin

2

11

（2）由sinxcosx可得，sin2xcos2x2sinxcosx，

525

24

所2sinxcosx，

25

π

因?yàn)閤0，所以sinx0，cosx0，

2

2247

則sinxcosxsinxcosx12sinxcosx1.

255

題型04利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式

3

2sin()cos()1tan(9)1

【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）求證：22＝．

2tan()1

12sin()

【答案】證明見解析

2sin()sin122

【詳解】左邊2sincos12sincossincos

2

12sin212sin2sin2cos22sin2

2

sincossincos

.

cossincossinsincos

sin

1

tan()1tan1sincos

右邊cos.

sin

tan()1tan11sincos

cos

∴左邊＝右邊，故原等式成立．

1513

sin3cos

877m3

【典例2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)tanm.求證：.

72022m1

sincos

77

【答案】證明見解析

【詳解】證明：左邊

88888

sin3cos3sin3costan3

77

777

88888

sin4cos2sincostan1

77777

8m3

把tanm代入，得原式右邊，故原等式成立.

7m1

11

sin2coscoscos

22

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求證：tan．

9

cossin3sinsin

2

【答案】證明見解析.

sincossinsin

【詳解】左邊==–tanα=右邊，

cossinsincos

∴等式成立．

sin(kπ)cos(kπ)

【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若kZ，求證：1.

sin[(k1)π]cos[(k1)π]

【答案】證明見解析

【詳解】證明：若k為偶數(shù)，則

sin()cos

左邊

sin(π)cos(π)

sincos

(sin)(cos)

1；

若k為奇數(shù)，則

sin(π)cos(π)

左邊

sincos()

sin(cos)

sincos

1；

左邊=右邊，所以原式成立.

題型05誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用

ABC

【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）ABC中，若sinsin，則ABC形狀為．

22

【答案】直角三角形

AπBC

【詳解】解：ABCπ，，

222

AπBCBCBCBCBC

sinsincossin，即tan1，又0,π

2222222

BCππ

，即ABC，

242

則ABC為直角三角形．

故答案為：直角三角形.

1

【典例2】（2023春·四川廣安·高一廣安二中校考階段練習(xí)）已知角A為銳角，sinAcosAtanA，

2

(1)求角A的大??；

2023π

(2)求sinπAcosA的值．

2

π

【答案】(1)A

4

1

(2)

2

sinA11

【詳解】（1）由sinAcosAtanAsinAcosAsin2A，可得sin2A，

cosA22

由角A為銳角，則sinA0，

2π

所以sinA，故A．

24

2023π3π3π2

（2）∵sinπAcosAsinAcos1010πAsinAcosAsinA，

222

1

由（1）可得sin2A，

2

2023π1

即sinπAcosA．

22

【變式1】（2023秋·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）若ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sinAcosBtanC，

則A與B的關(guān)系為（）

ππππ

A．ABB．ABC．BAD．AB

2223

【答案】A

π

【詳解】因?yàn)閟inAcosB，且A，B，C為ABC的內(nèi)角，因?yàn)閟inAcosB0,所以0B,

2

ππ

所以AB或AB，

22

ππ

若AB，則C，此時(shí)tanC不存在，故舍去；

22

π

∴AB.

2

故選：A.

【變式2】（多選）（2023春·福建南平·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知銳角三角形ABC中，設(shè)atanAtanB，

f(x)logax則下列判斷正確的是（）

A．sinAcosBB．a(chǎn)1

sinAsinB

C．2D．f(cosA)f(sinB)

cosBcosA

【答案】ABC

ππ

【詳解】解：因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，所以AB，則AB0，

222

π

所以sinAsinBcosB0，A選項(xiàng)正確；

2

sinAsinB

同理sinBcosA0，則1，1，

cosBcosA

sinAsinBsinAsinB

因此tanAtanB1，2，B，C選項(xiàng)正確；

cosBcosAcosBcosA

由于a1，所以f(x)logax在(0,)是增函數(shù)，

又sinBcosA0，所以f(sinB)f(cosA)，D選項(xiàng)錯誤．

故選：ABC．

題型06誘導(dǎo)公式與同角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用

sin5cos2π

【典例1】（2023春·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)校考期中）已知tan=-2，則3π．

3sinsin

2

3

【答案】/－0.6

5

【詳解】因?yàn)閠an=-2，

sin5cos2πsin5costan5253

所以3π3cossin3tan325．

3sinsin

2

3

故答案為：-．

5

【典例2】（2023春·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，

終邊經(jīng)過函數(shù)fx2ax4（a0且a1）的定點(diǎn)M.

(1)求sin2cos的值；

π

sinπcos

(2)求2的值.

tan5π

cos2πsin

11

【答案】(1)-

5

45

(2)

28

【詳解】（1）∵函數(shù)fx2ax4（a0且a1）的定點(diǎn)M的坐標(biāo)為4,3，

∴角的終邊經(jīng)過點(diǎn)M4,3，

2

∴OM4235（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），

34

根據(jù)三角函數(shù)的定義可知sin，cos，

55

3411

∴sin2cos2.

555

343

（2）sin，cos，tan，

554

π

sinπcos

2sinsin2sin

tan5πtantan

cos2πsincossincossin

3

2

536345

.

4347428

55

【典例3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）給出下列三個條件：①角的終邊經(jīng)過點(diǎn)

sincos1

P(3m,4m)(m0)；②；

sincos7

③3cos24sincos3(kπ,kZ)．

請從這三個條件中任選一個，解答下列問題：

(1)若為第四象限角，求sin2cos的值；

sin(π)

(2)求22π的值．

sin(π)cos()sin(2π)sin

2

【答案】(1)-2

25

(2)

21

【詳解】（1）選①，

方法一：角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3m,4m)(m0)，因?yàn)闉榈谒南笙藿牵蕀0，

點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為(3m)2(4m)25|m|5m，

4m43m3

所以sin，cos

5m55m5

46

故sin2cos2

55

4m4

方法二：角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3m,4m)(m0)，所以tan，

3m3

4

sincos3

所以3，解得cos，

225

sincos1

34

又為第四象限角，所以cos,sin

55

46

故sin2cos2

55

4

sincos1tanα114sincos

選②，由得，tan，所以3

sincos7tanα17322

sincos1

34

所以cos,sin

55

46

故sin2cos2

55

選③，由3cos24sincos3得4sincos33cos23sin2，

4

4sincos

因?yàn)閗π，kZ，所以sin0，故tan，所以3

322

sincos1

334

解得cos，又為第四象限角，所以cos，sin，

555

46

故sin2cos2．

55

4

（2）方法一：由（1）得tan，

3

sin(π)sin

22

22πsincossincos

sin(π)cos()sin(2π)sin

2

1sin2cos2tan2125

sincoscos2sincoscos2tan121

sin(π)sin

221

方法二：22πsincossincos(*)

sin(π)cos()sin(2π)sinsincoscos2

2

4

由（1）得tan0，所以為第二或第四象限角

3

3434

選①②③都可得，若為第二象限角，則cos，sin．為第四象限角，則cos，sin．

5555

125125

22

所以*式43321,或*式43321

555555

2912

【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）（1）求sinπcosπtan4π的值.

65

1tan2

（2）求證：cos2sin2.

1tan2

1

【答案】（1）；

2

（2）證明見解析.

2912

【詳解】（1）sinπcosπtan4π

65

7π2

=sin6π+cos2ππtan4π

65

π2

=sinπ+0cosπ

65

π

=sin

6

1

=；

2

sin2

21222

1tancossin22

（2）因?yàn)閏oscossin，

1tan2sin2cos2sin2