目緒 電動力學的基本觀 電磁場作為一種物理實 電與磁的統(tǒng) 講義的內容安 學習電動力學的意 靜電 庫倫定 一般電荷分布的電場計 補充：關于計算機軟件的使 靜電場的宏觀性 靜電場中的曲 靜電場中的曲 應 梯度 矢量代數與張 梯度 電 一般矢量場的微積 一般矢量場的宏觀性 一般矢量場的微觀性 靜電場的微觀性 散度公 泊松方程、拉普拉斯方 靜電場的能量密 靜電問題的 一般矢量場的分 存在有限邊界的靜電問 庫侖定律在有限區(qū)域靜電問題中的擴 導 鏡像 拉普拉斯方程的分 笛卡爾坐標系下的變量分 正交曲線坐標 變量的分 靜電場的正交函數展 正交函 笛卡爾坐標 球坐標 多極子與靜電場的多極展 靜磁 磁場的探 畢奧–薩伐爾定 靜磁場的微觀與宏觀性 靜磁場的基本性 靜磁場的矢 靜磁場的多極展 介質中的靜電場與靜磁 電介 極化矢 有電介質存在時的靜電定 線性電介 磁化矢 有介質存在時的靜磁定 從靜電/一個幾何觀 場作為一種幾何 第一組運動方 第二組運動方 磁生電與電生 麥克斯韋方程 電磁場的一般動力學性 等效原 洛倫茲變 閔氏時空里的張量 能量與動 真空中的電磁 動力學變量與規(guī)范不變 真空中電磁場的波動方 平面 有宏觀介質存在時的電磁 宏觀介質中的電磁 導體中的電磁 帶有邊界的電磁場動力 一般電磁場的邊界條 電磁波在兩種介質界面上的傳 全反 波 電磁輻 推遲 單個帶電質點的電磁輻 電偶極輻 磁偶極輻 輻射的一般性 動體的電動力 索 電動力學的基本觀 電磁場作為一種物理實 電與磁的統(tǒng) 講義的內容安 學習電動力學的意 電動力學的基本觀 磁場（electromagneticfield。注意這即不是電場也不是磁場，而是電磁場。當然在我們最初接觸電磁現(xiàn)象的時候，在最簡單的情形中電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象往往是分立的，至少乍看上去如此。在這些情形中我們經常看到電荷與電荷間的吸引與排斥，磁體與磁體間的吸引與排斥。在初等的電學與磁學中我們甚至學到這些吸引與排斥力在理想情況下可以由一些簡單的定律指導。依據最初的經驗我們很容易傾向與把這些相互作用力描述為電荷與電荷間、磁體與磁體間直接發(fā)生的作用，就好比牛頓力學中我們經常研究的兩個相互接觸的物體之間發(fā)生的壓力與拉力，雖然現(xiàn)在這種相互作用是超距電場與磁場不是兩種獨立的物理存在，而是同一種場（電磁場）電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野11.2.電磁場作為一種物理實 事實上每個人無時無刻不在與這種存在形式打交道。但在歷史上對于這種存在形式的明確認知是在人們完全掌握了電磁場的規(guī)律后作為一個推論獲得的。電磁波的發(fā)現(xiàn)反過來也佐證了我們對電磁現(xiàn)象構建的理論的正確性。微觀層面深究這種探測方式的機理，便會知道我們真正直接覺細胞的接受器里與特定分子發(fā)生作用使其電子激發(fā)到更高能量的運動狀態(tài)，并進也是電磁相互作用。我們之所以沒有察覺電磁場本身的存在，僅僅是在于我們的感受器從這些觸發(fā)事件中所提取的信息是有限的，它并沒有細致到去測量電磁場本身的性質，而只是把電磁相互作用作為一種途徑去獲知產生這種作用的物質的有與無。（1理量–這些物理量隨時間滿足什么規(guī)律、公式、運動方程?·E(t,x)?B(t,

ρ(t, ?×E(t,x)?×B(t,x)?

= ?E(t,=μ0J(t,?·B(t,x)= 簡便起見，這里我們只寫出麥克斯韋方程組在真空中的形式。?0μ0是兩個常數，E(tx)為電場，B(tx)J(tx)tx處穿過每單位面積的電流強度。由于電流在?ρ(t, +?·J(t,x)=F=q(E+v× 這里我們把物質抽象為一個質點，qv第一個式子與第四個式子不依賴于對時間的導數，并它們具有相似的結構。EρB而言存在某種類似的規(guī)律，只不過相應的“磁荷”在我們所考慮的電動力學的范疇里（至少被假定）是不存在的。麥克斯韋方程組本身是一階微分方程組，這與我們在經典力學中經常遇到的動力學方程看上去不太一樣（后者關于時間的微分是二階的EB的二階微分方BE的二階微分方程。因此這組方程確實描述了電磁場的動力學演化規(guī)律。事實上上述得到的二階微分方程與經典力學里討論的波動方程具有非常相似的結構。在后續(xù)的講解中我們將看到這些方程的確存在隨時間震蕩的解，亦即波動解。并這其中具有單一振蕩頻率的解總是具有固定的傳播速度c=(?0μ0)?1/2在電動力學中，我們不再說電磁場由電荷或電流激發(fā)產生。在麥克斯韋方程組ρ(t,x)=0，J(t,x)=0。如此得到的方程依然是非平庸的，后面我們會看到這種情況下方程依然有非平庸的解。?·E(x)

?×E(x)= ?×B(x)= ?·B(x)= EB之間的耦合完全被解除了。因而這種情況下它們知傾向于把它作為獨立的電場與磁場分別對待。畢竟，同樣作為矢量場，EB在電與磁的統(tǒng) EB在時間演化上是相互耦合的。以EB表征了另一種稱為磁E。這個參考系里我們既能觀測到電場E也能觀測到磁場B。EB的耦合。在兩個參考系中所涉及的EB看作是共同表征了某種唯一的物理實體的構形，而在慣性參考v做勻速運動。在牛頓力學的框架下我們知道這兩個參考系間的變換涉及坐x′=x+ y′= z′= t′= ?表示的是對空間坐標求導數的操作，?·?×之間?=

+v

EB做適當線性組合，并把所得到的組合結果看作是新的參考系中的E′或者B′。電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野11.4.tx(tx的分量，在慣性參transformation另一方面，EB在參考系變換下發(fā)生混合的事實也告訴我們，把它們各自看作是EB具體變換方式的深入研44） cB2Fμν

dF= d(?F)+J= J相當于電荷密度與電流密度組成的四維矢量。關于這組方程在后面的講座里講義的內容安 2不考慮非線性變換。高維空間里的非線性變換一般是沒法在全空間很好定義的，而我們不會期待對伽利略變換做出很大改動，畢竟在日常經驗中伽利略變換是一個非常好的近似?？赡芘c過去大多數教材所采取的路線不同的是，這里我們從已知的靜電與靜磁規(guī)律出發(fā)，直接利用電磁場作為不依賴于具體參考系的物質這一要求，從幾何的角度導出麥克斯韋方程組。在得到該方程組后我們再反過來回顧實驗中觀測到的電磁感應現(xiàn)象。在把場作為一個物理系統(tǒng)的觀點指導下，我們也將詳細介紹如何在拉格朗日力學的框架下描述電磁場，并在這個基礎上探討電磁場所具有的對稱性以及相應的守恒律與守恒量。第一個部分一般性地討論微觀粒子的動力學行為如何能夠與電磁規(guī)律相協(xié)調，亦即動體的電動力學。學習電動力學的意 毫不夸張地說，電動力學是人類跨入現(xiàn)代文明的關鍵基石之一。支撐現(xiàn)代社會的能如何將其它形式的能量高效地轉換為電能、如何將電能進行高效地安全地遠距離傳輸，在動力方面如何將電能高效地穩(wěn)定地轉化成機械能（特別例如現(xiàn)在的高速鐵路以及新能源汽車在制造方面如何提高傳感器以及加工的精度、如何為工程設計提供一個可靠的物理電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野11.5.電動力學之所以對我們的日常生活如此重要，歸根結底在于電磁相互作用在自然界所有已知的四種相互作用中其特征尺度與我們大部分日常生活所涉及的尺度是最為（而引力相互作用的影響只有大到星球、星系或者更大的尺度才會變得顯著。雖然放眼整個宇宙所有這些相互作用都有著自身不可忽視的角色，但是迄今人類生活所真內的一切物理現(xiàn)象與物理過程，電磁相互作用的影響無疑都是占有主導地位前面提到在學習電動力學的過程中我們會順帶學習狹義相對論。它源自于電磁場運動規(guī)律與等效原理這一物理學普遍原理的調和，而其意義則又超出了電磁場的范疇。由于我們平時生活中所接觸到的特征速度普遍遠小于光速，我們極少會接觸到顯著的狹義相對論效應。這也是為什么我們每個人在頭一次接觸到這一理論的時候或多或少都會感受到震撼的原因。同樣出于這個原因狹義相對論似乎顯得并沒有那么有用。不過設想隨著人類對太空探索的技術不斷進步、范圍不斷擴展，在將來我們需要涉足的速度與尺度勢必要不斷增大。事實上在現(xiàn)今的太空探索中為了精度的要求我們已經必須考慮相對論效應的影響，而人類生產活動進入到星系的層面，狹義相對論乃至廣義相對論不可避免地會像如今的電動力學一樣成為不可或缺的指導工具，甚至進入我們的日常生活。這個將來不一定那么遙遠。格上的質點，它們相互間通過某種作用關聯(lián)，在取特定的連續(xù)極限下它們的運動也類似于一個場（前面提到以太就是采用了這樣的機械觀點。這確實是一種用來構造場的常用方法，在凝聚態(tài)物理中我們其實會遇到不少類似的問題。但是這樣的研究場的方法自身也會帶來不少問題。–并非所有種類的場都能夠用這種方法構造。對于大多數的場，如果目的是研究深入學習，會了解到它可以被看作是具有內稟自旋為1的場，并是“無質量”的1決定了電磁場與其它物質之間相至于它的運動方程（麥克斯韋方程組）幾乎是唯一在往后的課程中我們會看到，電磁場具有所謂的規(guī)范變換不變性，也稱規(guī)范對稱性。這種不變性與局域的電荷變換有關，因此又稱為局域對稱性。這是電磁場的一種內秉的性質。事實上已知的其它三種相互租用都可以看作是對電磁場概念的某種拓展，而它們同樣都具有規(guī)范對稱性。–米爾斯場。強相互作用與弱相互作用皆屬于這一大類。此外，電磁場也孕育了（EB交換這種對偶思想為人們理解強耦合系統(tǒng)的物理性質提供了莫大的幫助。2，我們會得到引力相互作用。細心的同學可能早已注意FEM=kQ1Q2 4。4有興趣的同學可以閱讀一下激光干涉儀引力波天文臺（LIGO）官網給的介紹：\h\hlearn-more 庫倫定 一般電荷分布的電場計 補充：關于計算機軟件的使 庫倫定 庫侖定律（Coulomb’s

F= Qq 4π?0Q的點狀物體（點源）q的點狀物體施加的作用力。兩個物體相對距離為r，?0為真空介電常數1 力的大小:（1）正比于各自的電荷（2）（Qx′qxQqF為F=

x?

注意|x?x′

4π?0|x?x′x′xQQ，F(xiàn)= E

x?

4π?0|x?x′Ex處的電場強度ExE(x)（亦即空間中每個點所1\h/cgi-電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野22.2.只與點電荷的位置以及電量有關，大小正比于試驗電荷的電量q。一般電荷分布的電場計 E并非一定來自于單一點源，因而需要對(2.5)進行擴展。當電在任意給定的空間點x上同樣遵循矢量疊加原理。在數學處理上有兩種情況：ixE(x)=1∑Qix?xi′

4π?0

如果一個系統(tǒng)具有連續(xù)的電荷分布，如前所述我們假想把帶電物體切成許多小份，其中每一份在尺度趨近于零的極限下可看作是一個獨立的點源。假設電荷ρ(x)x′ρ(x′)dV≡ρ(x′)d3x′，由此電場強度可以表述成一個關于空間的積分E(x)=

d3x′ρ(x′)x? |x?x′

（）ρ(x′0長度上的電荷量）為λ(x′)（單位Cm?1。那么我們在(2.6)中做替換 txi′=xi′(t)。注意曲線上任意線段的實際長度并不一定等同于對應參數t改變的值。當t改變了一個微小量dt時，曲線上的點產生了微小位移 ?t≡?/?tdl≡|dl|=q(?tx1′)2+(?tx2′)2+(?tx3′ tx1 –m?2 dS指代微小面元的面積。例如，如果用球坐標處理半徑為r的球面，其面元dS=r2sinθdθd?。更一般地，假定曲面可以由一個函數f(x1x2′)描述， 1 1 cosdS 1+(?′f)+(?′f)dxdx dxdx （?x≡?/?x）θx1-

?在上面公式中我們把曲面按沿第三軸投影方向分割。曲面由方程F(x′)f(x1x2x3′0x′F出（關于梯度的概念后面將進一步介紹 θcosθ=(?F)3=

(?x′f)2+(?x′f)2+

dx1dx2，因此我們得到表達?dS在三個方向上 dS則為這個矢量的模長（為了使這個關系嚴格成立我們需要引入微分形電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野22.3.q(?a0,0處，另一個在(a,0,0)處。我們分兩種情況考慮y-z平面上的場強。第一種情況下兩個電荷同為正電荷，由對稱性不難發(fā)現(xiàn)E的指向背離坐標原點。我們有（|E|然E=q (a,y, + (?a,y,

(a2+y2+z2(0,y,

(a2+y2+z2

=2π?0(a2+y2+z2)3/2E=q (a,y, ? (?a,y, (a2+y2+z2 (a2+y2+z2 (a,0,

=2π?0(a2+y2+z2)3/2我們可以研究更一般的位置，甚至在例如Mathematica等軟件里繪制出電場E(x)x總是連續(xù)變化的。于是從任意一點–λ。那么對于任意空間點x我們有 λ∫0

(x1?x1′,x2,=4π?0 1((x1?x′)2+x2+x2

x2+ 1x2+

1?x1

1?x1x2+ x2+r√x2x2x2補充：關于計算機軟件的使 computation（matrixlaboratory運算能力，不過是通過額外的函數庫實現(xiàn)的。我們學校已經購買有MATLABMapleMathematica相比相對小眾一點，不Mathematica。除了上述現(xiàn)成的應用軟件外，科學計算也往往涉及到計算程序的直接編寫。前面介紹的應用軟件也有各自專用的交互語言，依托應用平臺可以編寫簡單的程序，但這因此特別是當一個計算程序有在大量事例上反復應用的需求時，使用通用語言直接ortraC/C++ytho（除非自己把所有需要的功能自己寫起來。它對科學計算的支持是通過各種事先專門設計、編寫、優(yōu)化并編譯好的函數庫實現(xiàn)的。每一個函數庫往往只針對一類特定的問題而設計。C/C++(+gsl,ginac,gmp,mpi...)（之一gsl（GNUScienceLibrary，集成了許多科學計算常用的函數和方法mkl（另一個常用Itel處理器的數值計算庫ginac（用于符號運算的函數庫，定義了不少常見的代數結構和運算方法。這個庫最早實際上是高能粒子物理中為了計、gm（用于實現(xiàn)任意精度數值計算的函數庫mp（用于實現(xiàn)大規(guī)模并行計算等等。ython(+um,sci,sym,matplotlib...。近幾年非常流行的通用高級編程語言。該語言語法結構非常簡單，因此其日常使用的調試和維護成本很低，對于初學者來講也非常容易上手，但是該語言的解釋和運行效率較低。該語言之所以會在科學計算（甚至許多其它領域）中有相當廣泛的應用，核心原因在于它對于其它語言（C/C++）提供了非常便利的接口，從而能夠便利地調ython2其公司還運營了一個包含各種標準數學函數的各種常見與不常見性質的百科網站：\hnumpy（C編寫的、用于數據制圖的matplotlib、用于符號運算的sympy等等。我們以課上同學們舉的一個例子3我們假設圓柱面的軸線為x3軸，半徑R=1，用x2=0的平面切去了其x2>0的部分。此外假設面電荷密度σ=1（計算機模擬時候我們暫忽略物理量單位。該半圓柱面可以方便地用參數(x3′,t)建立坐標，其上任意一點為(x1′,x2′,x3′)=(cost,?sint,x3′),x3′∈(?∞,+∞),t∈[0, xx={x[1],x[2],x[3]}-{Cos[txx={x[1],x[2],x[3]}-{Cos[t],-Sin[t],x3i};InteIntegrate[xx/((xx.xx)^{3/2}),x3i]int=Limit[%,x3i->+Infinity]-Limit[%,x3i->-Infinity]//Factor 2(x1?cos , 2(x2+sin ,0.1+x2+x2?2x1cost+2x2sint1+x2+x2?2x1cost+2x2sinFlattenTable[{x,y},{x,-2,2,1FlattenTable[{x,y},{x,-2,2,1/100},{y,-3/2,1/2,1/100data=Pardata=ParallelTable{item32021-2022NIntegrateNIntegrate[int[[1]]/.{x[i_]:>item[[i]]},{t,0,Pi}]NIntegrate[int[[2]]/.{x[i_]:>item[[i]]},{t,0,Pi}]}},{item,points}]ShowListStreamDensityPlot[data,RegionFunction->FunctionShowListStreamDensityPlot[data,RegionFunction->Function[{x,y,vx,vy,n}(Abs[Sqrt[x^2+y^2]-1]>1/10&&y<1/10)||y>=1/10],StreamPoints->Fine,PlotRange->{{-2,2},{-1.5,0.5}}AspectRatio->1/2]Graphics[{Red,Thickness[0.01],Circle[{0,0},1,{Pi,2Pi}]}Table[{x[Table[{x[2],NIntegrate[int[[2]]/.{x[1]->0},{t,0,Pi}],{x[2],-6,5,1/22}]ShowListPlot[%]Graphics[{Red,Dashed,Thick,Line[{{-1,-10},{-1,5}}]}]x2x1軸上各點處電場的第一分量。所使用的代碼也是與上一段 靜電場中的曲 靜電場中的曲 應 我們把這種相互作用看作是源電荷直接對任意帶電物體的影響，只不過在引入了電如果我們所面對的系統(tǒng)中所有的源都已經知曉，那么我們完全可以放心地使用前一特定的邊界及其相應的邊界條件，但我們對邊界上以及邊界之外的可能的電荷分布E(x)下面我們利用庫侖定律中平方反比律中心指向性靜電場中的曲 rd?rdS，其|dS|=|r|2d?dS是一個矢量，其方向與它的法矢量一致。此處電場的場強|E|=4 12，并與dS是平行的。我們現(xiàn)在考慮兩種變換π?0 Q|E||dS|=4π?0rcosrθ，那么掠過該立體角的平面面積為|dS|=|r|2d?cosE·dS≡|E||dS|cosθ=Q是一個不變量，并與前面例子（θ=0）的結果等同E·dS再求和，基于上述討論我們知道在無限切割的極限下這等同于對一∫E·dS=Q∫d?=Q 3.2.∫SE·dS= E·dSE本身滿足矢量EdS=Q包圍 QS上述關系是我們這門課程中遇到的第一個關于電磁場的積分恒等式，這里涉及到矢量場在曲面上的積分。我們把這個積分稱為電場的通量（flux。這個式子告訴我們，一個曲面所包圍的電荷量正比于這個曲面上的電場通量。–dS靜電場中的曲 其次我們看一下中心指向性的另一個推論依然考慮單個點源Q（假定位于坐標原點xqEx的方向相同。如果把這個電荷做一個微小位移dl0，dl0平行于x，那么靜電力對電荷做的功為q|E||dl0|。dlxθq|E||dl|cosθ≡qE· 同于dl0，那么現(xiàn)在做的功與原先的情況相等。在幾何上我們看到這兩種位移換一種情況，如果我們考慮出發(fā)點為x′，并做位移dl0′，其方向依然沿著徑|x|=|x|，|dl0′|=|dl0|，那么兩種情況下靜電力做的功依然相等。qx1電動力學講義（袁野：第3講、靜電場的宏觀性 r的rdr的球殼，雖然兩條路徑的具體起止點不同，依據上x1L1x2L2x1，由此走過一條完整的閉1+∫LLE(x)·dl=1+看到這個結論依然成立。因此，對任意閉合路徑L∫LE·dl= 應 3.3. 矢量代數與張 梯度 電 矢量代數與張 有(x1,x2,x3)。這種表示往往在實際計算中更加實用，因為它把相對抽象的符xi（i1,2,3），但不特意指（ijk）。這種標記方法是（tensor分內容里我們幾乎只討論三維矢量，并不需要對上標與下標作出明確區(qū)分1，因此在這一階段我們暫可以把張量僅僅當作是一種便捷的表示方法。在同學們適應了這種描述語言后，等到討論電磁場的動力學時我們將進一步了解張量的一般意義和用法。x=x1=xi=x2=x3=1這種特殊性是由三維歐幾里得空間中距離的定義（數學上稱為度規(guī)）的意義。簡單起見我們暫忽略這個問題并約定所有指標都寫在下面，以免與指數混淆電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野44.1.(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)=(x1+y1,x2+y2,x3+ xy可以定義一個點乘x·y道這個標量等于兩個矢量模長的乘積再乘以兩矢量夾角的余弦，x·y=|x||y|cosθ。這個點乘的幾何意義是其中一個矢量在另一個矢量方向上的投影長度與另一矢量長度間的乘積。在前面的討論中我們已經看到，它會出現(xiàn)在許多從矢量性質的物理量中提取標量的問題里，例如通量或者功。 x·y=x1y1+x2y2+x3y3=∑xiyi≡xiyi 在張量表達式的最后一個式子里我們使用了愛因斯坦約定（Einstein’scoetio：每當一個指標在同一個張量表達式里出現(xiàn)僅出現(xiàn)兩次時，我們默認對它所有的取值求和（數學上也稱為縮并（cotraction。不參與求和的指標實際都只會出現(xiàn)一次。因此雖然這個表達式乍看起來帶了兩個指標，但它實際上并不依賴于任何指標，x·y=y· (ax+by)·z=a(x·z)+b(y· x·(ay+bz)=a(x·y)+b(x· xy我們也可以定義一個叉乘x×y，該運算返回另一個矢量。這個新的矢量的模長等于兩矢量模長的乘積再乘以夾角的正弦，其方向垂直于兩矢量所張成的平面并滿足右手定則（因而兩個相互平行或反平行的矢量的叉乘為零。xy所張成的平行四邊形的面積。(x1,x2,x3)×(y1,y2,y3)=(x2y3?x3y2,x3y1?x1y3,x1y2? Levi–Civita符號?ijk?1231(x×y)i= Levi–Civita符號的x×y=?y× (ax+by)×z=a(x×z)+b(y× x×(ay+bz)=a(x×y)+b(x× 如果z=x×y并x與y是通常所說的矢量，那么嚴格說來z并不是矢量，而是所謂的贗矢量（pseudo-ecto。普通矢量與贗矢量在三維空間的連續(xù)平移或旋轉變（或者換個角度說坐標系的連續(xù)變換不會特意在意它們之間的區(qū)別。但它們的區(qū)別在于前者在空間反演變換（x→?x）下其各個分量是取反號的，而后者在該變換下保持不變。類似地，如果我們有三個xyzLevi–Civita?ijkxiyjzk也稱為贗標量（pseudo-scalar，在一般的張量表達式里我們會看到許多不同的指標。所有這些指標可以分為兩(4.8ijk張量的階（rank第二類指標做了求和，確切地說它們并不是（表達式整體作為一個張量的）張dumyindex。對于這類指標我們在書寫的時候甚至可以根據需要隨意改變它們的記號而保持表達式的意義不變，例如(x×y)i=?ijkxiyk≡?ixy 標看作行的標記，第二個指標看作列的標記ST。當我Sij= 2STSij= STT（右側是矩陣的轉置。從這個例子我們看到–盡管存在可能的指標縮并，一個寫成乘積的具體張量表達式里乘積的各個因子點的例子，假如我們用二階張量Aij、BijCi通過指標縮并定義一個新的三階張量Tijk=AilBljCk，那么它等價地也可以寫為Tijk=AilCkBlj=BljAilCk=BljCkAil=CkAilBlj=CkBljAil x·(yz)x·(y×z)=?ijkxiyjzk. 由Levi–Civita符號的全反對稱性質我們知道這個標量關于三個矢量的交換也是全x·(y×z)=?ijkxiyjzk=?ijkyjxizk==??ijkyixjzk=?y·(x×

Levi–Civita符號的反對稱性，第四個等號純粹改變了兩組偽指 x·(y×zx·(y×z)= y3 我們也可以考慮由兩個叉乘組成的復合運算x×(y×z)vx、y、z上重新做線性v=ax+by+ v·(y×z)=ax·(y×z)= a0x·v=b(x·y)+c(x·z)= bc中的一個自由度，剩下一個整體的待定因子。所以我們可以x×(y×z)=A((x·z)y?(x· Ax·y、y·zz·x的乘除法所得，亦即A∝(x·y)p1(x·z)p2(y·z)p3 p1p2p30為了得到這個常數我們不妨假設一個特殊情形：令y·z=0x與z平行。那么等式(4.22)|x||z|yc|x||z|yc1。于是我們得到了一個恒x×(y×z)=(x·z)y?(x· (x×(y×z))i=?ijmxj(y×=?ijm?mklxjykzl

Levi–Civita符號構成的四階張量（依賴于四個指?ijm?mkl=δikδjl?δilδjk δij是Kronecker

= i=

Kroneckerδ首先由定義它顯然關于兩個指標置換是對稱的，δijAi1i2i3...Kroneckerδ做縮并只不過相當δjiaA···ia···= δijxjxi，δijδjkδik–Kroneckerδδii(x×(y×z))i=δikδjl?δilδjk

=(δikyk)(δjlxjzl)?(δilzl)(δjkxjyk=((x·z)y?(x·y)z)i

關于4.26)是非常簡單直接的。這里我們簡單聊一下如果事先不知道能夠寫成等式右邊的形式，?i1i2i3?123Levi–Civita{i1,i2,i3}{1,2,3}這兩組指標自身的任意置換是反對稱的（來自Levi–Civita符號本身的定義。當這些指標取一些特殊值時我們很容易看出表達式返回的數值，比如?123?123=1（而對于任何指標我們顯然只能得到{?1,0,1}這三種結果。為了湊出這個特殊結果我們可以猜想 {j1,j2,j3}有關的對稱條件，一{j1,j2,j3}這三個指標之間所有可能的

+δi1j2δi2j3δi3j1+δi1j3δi2j1δi3j2?δi1j3δi2j2δi3j1?123?1231，并{j1,j2,j3}的對稱條件。此時又很容易看出這個式子其實也直接符合了{i1i2i3}?i1i2i3?j1j2j3的所有要求。通過簡單的利用Kroneckerδ的性質我們有+δi1j2δi2j3δi3i1+δi1j3δi2i1δi3j2?δi1j3δi2j2δi3+δi2j3δi3j2+δi2j3δi3j2?δi2j2δi3=δi2j2δi3j3?δi2j3δi3j2

為了尋求整體的比例系數，我們看到當i2、i3的值具體取定后，為了獲得非零的貢i1Levi–Civita符號的反對稱性定死的，這解釋了這個比例系數得1（當然我們最終還是要實際檢驗所得到的表達式。類似地，如果有兩對指標做?mni?mnj= 2im、n的取值會有非零的貢獻。而所有指?mno?mno= Levi–Civita梯度 space磁學的討論中這個空間是三維歐氏空間R3，而在后面有關動力學的討論中我fieldfieldR：上的標量場，雙變量函數f(xy)R2上的標量場，等等。更復f(θ)θ～θ2πsinθ，那么這個函數可以看作是圓環(huán)S1上的標量場。我們暫只討論基底空間為R3的情況。?=?,?,?≡ ?i≡電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野44.2.（）于是給定一個標量函數/標量場f(x)以后我們可以得到一?f(x)=?f(x),?f(x),?f(x)≡?igradient，potetial–在微積分課程中我們學到過多元函數沿特定路徑的導數。具體地，指定一條由tx(t)。那么函數f(x)x處沿這條路徑的導數為d

3dxi(t)?f

(x(t))=

·?f 不失一般性我們假定|dx/dt|=13，那么這個量表征了函數沿曲線方向的變不難發(fā)現(xiàn)當dx/dt與f夾角為零時上述乘積達到最大值。因而我們說函數f(x)的梯度在每個點上表征了函數在該點處最速增大的方向以及快慢。–?tx·f0?txf(x)f(xC（C為任意常數）在空間中定義了一個曲面，稱為等（equipotetial)在任意矢量場u(x)上得到一個新的矢量場?×u(x)==?u3??u2,?u1??u3,?（curl?×?f(x)=?ijk?j?kf?x2?x3?x3?x1?x1?x2=??f???f,???x2?x3?x3?x1?x1?x2?×?f(x)= v(x在一個單連v(x)=0，那么在這個區(qū)域里我們總是能夠x3這一點總是可以通過參數重定義t=t(τ)

Ei= 4π?0(xkxk

xi

?jEi=Qδij(xkxk)?3xixj (xmxm?xi/?xj=δij?jEi=?iEj?×E(x)= u(x) ?·u(x)=?iui=?x1+?x2+?x3 ?·?f(x)=( ?·?f(x)=(?i?i)f?x2+?x2+f ?operator?·E(x)=?iEi= （δii=3）這個式子在原點處并不成立，對于更一般–dx，我們把這稱為微分形式（differential（wedge，dx1∧ dx1∧dx2∧ dxdx044dx1···dxn=

·· ·· ·· .dx1′···· 把這些微分形式看作（帶方向的）面積元與體積元。尤其在三維空間中，我們dxi∧dxj楔積只有三個，這對應于曲面（法矢量）的三維指向性：dS在三個方向上的投影（1-2平(dx1,0,0)(0,dx2,0)兩個位移框出的平行四邊形的面積，因此相應的面積元投影必須與兩者的叉乘相關，而后者是反對稱的）dS=(dx2∧dx3,dx3∧dx1,dx1∧dx2). dx的楔積只有唯一一個，而我們也知道體積分的積分元是可dV=dx1∧dx2∧ –S在某個區(qū)域內如果可以用變量t1、t2x≡x(t1t2)∈S，那么(4.50)中任意一個楔積可dxi∧dxj=?xidt1+?xidt2∧?xjdt1+ x,x x,x

?(

?x

?x/?tdt1∧dt2≡?(t1,t2)dt1∧S?(t1,?(t1,?(t1,dS=?(x2,x3),?(x3,x1),??(t1,?(t1,?(t1,而它的模長（亦即面積元的絕對面積）而它的模長（亦即面積元的絕對面積）dS≡|dS|

s?(x2,x3) ?(t1,

(x,x(x,x?(t1,

+?(x1,x2) dt 1 ?(t1 1 (t1t2)=(x1,x2)時，上述表達式退化為前面關于面積分討論k-形式（k-form。普通的函數f(x)0-形式。一般所做的（多元）（0-形式f(x)）微分形式的一個常用構造方法是所謂的外微分（exteriordifferentiationdd=dx1

+dx2

+dx3

dx。它可以作用在任意的微分形式ω上，具體作用方式為 ω=∑dxi∧?xi?ω/?xiω的楔積展開中的每個展開系數分別求導。當然它也可以作用在普通函數f上，其結果為一個一階微分形式df=dx·?f –d=(dx1∧dx2+dx2∧dx1)?x1?x2+···= 作為一個直接推論，對于任意一個標量場f(x)d2f= ?x2?x3d2f=dx2∧dx3??f???x2?x3=(dx2∧dx3,dx3∧dx1,dx1∧dx2)·(?×?f)理論上d2不僅可以作用在標量函數上，而可以作用在任何微分形式上，等以參考《Geometry,TopologyandPhysics（MikioNakahara著，第二版）的5.4節(jié)。當然我們這個課程里用不到這些更一般化的討論，我們暫只需要了電 x?|x?x′

=??|x?x′| ?(x)，稱為電勢x′處的點電荷這個勢函數?(x)

4π?0|x?x′E(x)= 4.3.的線性性質我們可以得知電場與電勢的關 (x)=1 d3x′ρ(x′) . 4π?0 |x?x′0。上述點電荷的電勢公式(4.62)即是遵循了這一約定。x2txi=xi(t)，那么dl=(?tx1,?tx2,?tx3) E·dl=?d 也就是說，上式左側在這條曲線的一維空間中是一個全微分，而是勢函數?(x)約∫L(qE)·dl=q?(x1)? 我們看到這個勢與前面討論靜電力做功的結論是一致的：q?(x對應于試驗電荷在點xJ/CVL∫LE·dl= ?×E(x)= 一般矢量場的宏觀性 一般矢量場的微觀性 一般矢量場的宏觀性 在沒有外力距影響的情況下剛體的運動具有守恒的角動量。對于流體我們在自然界中也觀察到諸如龍卷風、臺風這樣的渦旋狀態(tài)。從直觀感受上這樣的狀態(tài)在一定條件下能夠長時間穩(wěn)定存在，這反映出其背后某種（被微弱破缺了的）守恒性質。我們也需要引入合適的概念來表征這種守恒性。先我們在邊界上點x取一個微小面元dS。注意這個面元雖然帶面積單位但是是一x處流速為v(x)dt后總共有(vdt)· 體積的流體通過這一面元，這個標量取正號時為流出，負號時為流入。除去時間v·dSv(xdS上的通量（flux，電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野55.1.Φ=∫Sv(x)· 的邊界?V是一個閉合曲面1，于是流的守恒意味著矢量場v(x)在整個閉合曲面上0∫?Vv(x)·dS= V ρ(x) v(x)dS v(x)· L(具有兩個端點)f1?f0=∫Lv(x)· ?0?1?！?v(x)·dl= Γ被稱為環(huán)量（circulation）。所受的外力（場）均為保守力，那么對于與流體協(xié)動的任意閉合路徑L(t)其環(huán)量是dΓ= theorem1?V?23關于開爾文定理的證明，有興趣的同學可以參考\h/en/kelvin’s_circulation_theorem一般矢量場的微觀性 R?R（1的閉合區(qū)域）上積分。我們有一個一般的關∫?Rω=∫R 有興趣的同學可以參考《Geometry,TopologyandPhysics（MikioNakahara著，第二版）的6.1節(jié)。 ·v(x)dl= f(x) ·

dxi?f=df dt到的相應的例子是ω=v(x·dS（這也是我們在三維空間中能夠寫出的最一v(x)·dS=v1(x)dx2∧dx3+v2(x)dx3∧dx1+v3(x)dx1∧ d(v·dS)=?v1dx1∧dx2∧dx3+?v2dx2∧dx3∧dx1+?v3dx3∧dx1∧

=(?·v)dx1∧dx2∧dx3=(?·

v(x)的散度有關。因此重新改回矢量的語言(5.9)∫?Vv(x)·dS=∫V(?· ω1ω=v(x·dl（這v(x)·dl=v1(x)dx1+v2(x)dx2+ 4電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野55.2.d(v·dl)=?v1dx2+?v1dx3∧dx1+?v2dx1+?v2d+?v3dx1+?v3dx2∧=?v3??v2dx2∧dx3+?v1??v3dx3∧dx1+?v2??=(?×v)·v(x)

v(x)·dl=∫(?×v(x))·

v(x)·dS?

ρ(x)dV=

(?·v?ρ)dV= ?·v(x)?ρ(x)= 定面區(qū)域S我們有

v·dl=∫S(?×v)·dS= ?×v(x)= 反之，在任意單聯(lián)通區(qū)域內如果v(x)的旋度處處為零，那么由斯托克斯定理我們知道該區(qū)域內任意一條閉合路徑對應的環(huán)量也恒為零。這意味著在該區(qū)域內v(x)可以以由區(qū)域S上的某種其它通量積分得到，相應的另外一種矢量場記作u(x)，亦即∫?Sv·dl=∫Su· ∫S(?×v?u)·dS= ?×v(x)?u(x)= 電動力學中的應用。這里我們僅討論u(x)的一個一般性質從(5.23)u(x)的散度為零（有關張量用法見下一節(jié)點 ?·u(x)=?·(?×v(x))

vk= ?xiu(x由此，如果我們給矢量場u(x)畫場線的話，這些場線只能要么沒有端點，要的性質。該算符作用在一個? ?if ?i≡?xi 這里微分算符所帶的指標完全可與普通張量的指標一樣處理，唯一不同是我們得記??的指標與相應的指標縮并。在三維空間中，這種縮并只有兩種可能性?· ?×

∑ ∑ ?i?i(af+bg)=a?if+ ?i(fg)=f?ig+g?if ab–為了幫助大家熟悉這種分析方法，我們這里舉一個例子，(uv)。張量方(?×(u×v))i=?ijk?j(?kmnumvn =?ijk?kmn?j( =δimδjn? vn?jum+=vj?jui?vi?juj+ui?jvj?

?×(u×v)=(v·?)u?v(?·u)+u(?·v)?(u· 散度公 泊松方程、拉普拉斯方 靜電場的能量密 散度公

E·dS≡

d3x(?·E)=1

V成立，我們于是知道對于每一個點x?·E(x)

ρ(xE(x滿反過來，通過這個微分等式我們也可以把電荷看作是靜電場散度的一種度量。如果把這個等式看作是電場的一個基本性質，那么庫倫定律所給出的電場分布則是該方程的一個特解。事實上，這個方程是作為麥克斯韋方程組的一員出現(xiàn)的，也就是說它其實適用于一般的電磁場，因而相對于庫倫定律來講更加基本（雖然到目前為止我們是從庫倫定律出發(fā)“推導”出這個等式的定了一個體電荷分布ρ(x)。如果系統(tǒng)里的電荷是構成面分布或者線分布或者甚至是紹一下狄拉克delta函數δ(x)。–δ(x的范疇1x/δ(x0δ(0∞，此外對任意試驗函數f(x)（要求f(x)x0的+∞

δ(x)

(x)

f 電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野66.1.換句話說，δ(x)?δ(x)?δ(x)的積分是亥維賽（Heaviside）dtδ(t)=

x)

x≥0 x<??δ(x)+∞

δ′(x)

(x)=

+∞

f

x)=

f

?g(x)x=x?的鄰域內單調g(x?0（x?為某個具體數字，那么（t=g(x)）∫x?+?

δ(g(x))

(x)

∫+?

δ(t)

??∫+? = |g′(g?1(t))|δ(t)f

= f(x?)|g′(x)|δ(x?|g′(x)|δ(x?x)f這里第一個等式右邊出現(xiàn)的絕對值考慮到了g(x)在x=x?鄰域內的單調遞增或遞減兩種情況2。因此一般性地，如果g(x)有n{x1?x2?xn?}n δ(g(x))=∑|g′(x)|δ(x?xiδ(kx)

—?δ—δ(x)=lim

a 在不同x上的取值很容易通過等式右邊的極限驗證。δ(x)所滿足的積分?δ(x)δ(x)=1lim ?1 . 2πi x? x+2如果g(x)在x=x?處有重根，那么我們在實際操作時候需要先對g(x)進行微小調整使得重根分裂為幾個不同的單根，這種定義方式的好處在于在必要的時候我們可以把原先實軸上的積分解析延拓到復平面上的軌道積分。?δ(xi)δ–δ函數的概念，我們便可以利用電荷密度的方式描述離散點電荷。假定點x?處存在一個離散電荷Q，那么這種情況下電荷密度可以寫成ρ(x)=Qδ3(x? δ3(x)≡ ?x??|x?x′

=4πδ3(x? ?x–上面我們把離散的點電荷用體電荷密度替代了。我們同樣可以問是否能利用δσλρ。答案是肯定的，?以面電荷密度為例，假如電荷所分布的曲面可以由某個方程f(x)=0ρ(x)=σ(x)δ(f x2-x3x10x20，甚arctan(x1)=0δ函數的性質(6.7)我們知道這些不?這門課程中我們不要求大家掌握關于面密度與線密度的體密度描述方法。方向做積分的時候我們能夠恰好遇到一個標準的δ(x)函數（從而只留下σ(x本身）f(xf的值沿法方向的增減速度。由此我們便知道首先得確保f(x)在曲面上不能有重根，在這個前提下正確的表達式實際只需再額外乘以f(x)梯度矢量的模長ρ(x)=σ(x)|?f(x)|δ(f ·作為驗證，我們看一下第一次作業(yè)中的例子。我們假設曲面x3?(x2+x2)?1/2上均勻分布有面密度恒為σ用面分布的話，我們以{x1,x2}電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野66.2.σs1

?x3

?x3

dx1dx2=

s dxs (x2+x2 f=x3x2x2)?1/2 x3∫∫

?∞?∞σ|?fx3+(x1+

2

=σ|?fx=(x1,x2,?(x2x2)?1/2)(x2+x2(x2+x2?f(x)=? (x2+x2(x2+x2?λ(x)，我們首先要明確三維空間中的曲線一般可以由兩個g(x)h(x)。因此在它的體電荷密度描?h(x)這兩個矢量張成。與面電荷分布的情況類似，g(x)h(x)的選ρ(x)=λ(x)|(?g(x))×(?h(x))| 泊松方程、拉普拉斯方 ??(x)+ = ??(x)≡?· equation爾坐標系中這里的二階微分算符?2實際為 ?=?x2+?x2+?x2 ρ(x)=0，那么上述方程?2?(x)= equation靜電場的能量密 q而言，當它在移動過程中其所處位置的電勢改變了??時，我們說它在靜電場中的勢能改變了?E，滿足?E= 如果一個靜電系統(tǒng)中只有一個點電荷Q1，電勢在無限遠處衰落至零，那么這個電由此我們可以假定這樣的系統(tǒng)的靜電勢能E=0。Q2x2， Q1Q2 4π?0|x1?Q1Q2荷Qn移動至xn，那么移動過程中外界做的功為n∑4π?0|xi?n∑4π?0|xi?n個電荷組成的系統(tǒng)整體的靜電勢能增量。因此遞推可知，如果一個系統(tǒng)由n個離散的點電荷組成，并在無窮遠處電勢衰減至零，那么系統(tǒng)所擁E=1

QiQj 1n

QiQj 4π?01≤i<j≤n|xi?xj

|xi?為零，但是構成密度為ρ(x)的連續(xù)分布，那么系統(tǒng)的總電勢能為E=1∫d3xid3xjρ(xi)ρ(xj)

|xi?上述表達式也可以寫成一個等價的形式：如果已知每一點處的電勢為?(x)，那么總E=1∫ 電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野66.3.E==

d3x(?· d3x?·(ΦE)??0

d3x(E·

=

Φ(x)E(x)dS+

d3x 2|E(x)| 現(xiàn)在我們反過來看一下前面提到的所謂電荷自身勢能的情況。為了說明問題，我們Q1x1Q2x2。按照6.29)計算，系統(tǒng)的總電勢能為E=?0

x?

+

x?

V4π?0|x? 4π?0|x?=?0

x?

dV

?0

x?

V4π?0|x? V4π?0|x?+Q1Q2 (x?x1)·(x?x2)dV 16π2?0V|x?x1|3|x? Q1Q2時候電場依照能量密度(6.29)I。為了方便計算這個積分我們可以以x2作為原點，并以x1?x2標記第三軸正向（假定其笛卡x1?x2=(0,0,a)）建立球坐標系，于是x?x1=(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ? x?x2=(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcos 2∫∞dr∫πd r?acos sin=π θ(r2+a2?2racos

2π∫ ∫ s? (s2+1?ras，cosθt2。我 . 4π?0|x1?當然，這并不能說明兩種計算之間存在什么矛盾。前面我們看到電勢的取值存在一我們不難看到，這部分貢獻不會參與系統(tǒng)與外界的任何作用：它完全不會由于電荷系統(tǒng)對外界的做功而增加或者減少。因此這部分貢獻到底取什么值在物理上是沒有(6.29計算的話這部分貢獻是發(fā)散的。 一般矢量場的分 存在有限邊界的靜電問 導 鏡像 一般矢量場的分 ?·v(x)= 出發(fā)，并已知源的分布ρ(x)（假設這個分布是局域的現(xiàn)在問存在什么樣的矢量v(xv1(x來，v1(x)=1∫d3x′ρ(x)x?x′ |x?x′v(x)?×v(x)= (?·u= v1(x)v(x)v(x)=v1(x)+ ?·v1(x)= ?×v1(x)= ?·v2(x)= ?×v2(x)= v1有源v2則有旋而無源。到此我們看到矢量場的散度與旋度是兩種相電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野77.1.我們可以進一步挖掘上述分解蘊含的信息。從靜電場電勢的討論我們得知v1(x)可v1(x)=?f 代一個一階微分形式ω1的外微分為零dω1= ω1=v1·(dx1,dx2, fω1=df v2ω2=v2·(dx2∧dx3,dx3∧dx1,dx1∧ dω2= ω2= A=A·(dx1,dx2, R3dA=(?×A)·(dx2∧dx3,dx3∧dx1,dx1∧ v2(x)=?× AR3v(x)=?f(x)+?× 存在有限邊界的靜電問 ??(x)=

在利用微分方程求解靜電場分布的時候我們首先面對的問題是什么樣的已知邊界條件能夠幫助我們唯一確定出電場的分布。顯然，如果沒有足夠的邊界條件輸入的話，微分方程本身往往會給出多種可能的解，此時邊界條件的信息還不足以完全替代缺失掉的有關完整電荷分布的信息。而如果邊界條件不小心設置的過多的話，我們同樣有可能沒法保證微分方程給出的任何一個解都與所有邊界條件相符合（作為類比，在研究一個質點的運動時，如果我們在初始時刻和終止時刻把質點的坐標以及速度（一個一元二次常微分方程往往是無解的?！?·v(x)d3x= v(x)· φ(x)ψ(x)v(x)= 把這個選擇代入高斯定理，并注意到恒等?·(ψ?φ)=?i(ψ?i

=(?iψ)(?iφ)+ψ(?i?i=(?ψ)·(?φ)+ψ?2

∫?ψ·?φ+ψ?2φd3x= ψ(?φ)· 該等式稱為格林第一恒等式（Green’sFirstIdentity(??·dSφ在?V上任意點沿曲面法矢量方向的方向導數與該點處曲面面元（模長）再次強調，作為一個數學恒等式，(7.22)V以及任意的標量場（或函數）φ(x)ψ(x)都是成立的。特別地，這里的兩個函數一般甚至可以是多元函數，只不過在該恒等式中我們僅關注它們對積分變量x的依賴。電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野77.2.V內靜電場的電勢函數有兩個不同的解都滿足同樣的泊松方程(7.18)，那么它們的差u(x)=?1(x)??2(x)在區(qū)域V內滿足拉普拉斯方程?2u(x)= φ(x)ψ(x)u(x)，我們看到恒等式左側∫|?u|2d3x=

u(?u)·(?1??2)(E2·dS?E1·

u在整個區(qū)域V一定總是有|?u(x)|≡|E1(x)?E2(x)|= E1(x)=E2(x)，我們從而得到唯一的解。當然，如果是看電勢函數的話，?1(x)?1(x)?2(x))況下靜電問題的解是唯一的。這種已知電勢函數?(x)在邊界上取值的條件稱為狄利希里條件（Dirichletcondition）。這里取值可以是一個常數也可以是依E2·dSE1·dS0，靜電問題的解也是唯一的。這種已知邊界上電場（或電勢梯condition域邊界?V拆分成若干互不重疊的區(qū)域，在每個區(qū)域上分別給出狄利希里條件或者庫侖定律在有限區(qū)域靜電問題中的擴 場φψ對調，再減去(7.22)自身，可以得到一個更對稱的恒等式∫φ?2ψ?ψ?2φd3x= (φ(?ψ)·dS?ψ(?φ)·dS) 這稱為格林第二恒等式（Green’sSecondIdentity）V以及任意函數φ(x)和ψ(x)都成立。在格林第二恒等式(7.26)左側的體積分里我們看到了一個熟悉的結構?2。同樣的算符出現(xiàn)在了泊松方程里。于是我們直接令φ(x)=?(x)就是我們想要求解的靜電系??(x)= ??(x)=

G(y,x)?2G(y,x)=?4πδ3(y? ?x∫?4πδ3(y?x)?(x)+G(y,x)ρ(x)= (?(x)(?G(y,x)·dS)+G(y,x)(E(x)·dS))

G函數的要求(7.28)y∈VV (x)=

G(x,

14π

G(x,x′)(E(x′)·dS)?1

?(x′)(?′G(x,x′)·x′。?′勢函數?(x)寫成了三個貢獻的加和。電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野77.3.–Vρ(x′是作為已知數據G(x,x′)= , |x?x′G(xx′)xx′之間幾何關系對電勢的影響。這個function–另外兩項貢獻都源自于區(qū)域邊界上的積分，因而會與靜電問題中設置的邊界條G(xx′)是已知的，那么當邊界上指定狄利希里條件的G(xx′)的微分方程(7.28)G(x,x′)所滿足的邊界條件，使得在唯一確定它的表達式的同時將(7.31)中兩個邊界G(x,x′)= ?x′∈ GG自身GV內的電勢便 (x)=

G(x, 1

?(x′)(?′G(x,x′)· 積分（因為我們不知道電勢在邊界上的值G函數提供一?′G(x,x′)法向分量= ?x′∈ G的表達式后我們便可以利用(7.30)退化 (x)=

G(x, 1

G(x,x′)(E(x′)· V場分布時，我們首先都需要根據微分方程(7.28)GGfunction在從微分方程出發(fā)求解靜電問題時我們輸入的信息往往分為三個部分導 E(x)·S=(???)·S

電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野77.5.結論，σ(x)=?0|E(x)|。這種電荷分布也稱為感應電荷(inducedcharge)，因為–當導體具有空腔時，如果空腔不存在額外的電荷，那么導體的空腔中電場恒為零。這里我們在導體的內表面及其包圍的空腔中討論靜電問題的解。因為空腔c。很容?(x)=c一定是滿足這些條件的一個解。依據上一講介紹的解的唯一而與導體外表面的感應電荷分布以及其它可能存在的空腔均無關。Vρ(x)定會有感應電荷分布，內表面上的感應電荷總量—∫V 鏡像 例一。假設x1≤0的整個空間中布滿了導體，導體的電勢為零。在點A=(a,0,（a>0）Qx1>04π?0(a2+x2+x2–這個問題中空間的邊界是一個導體，相應地我們有一個狄利希里條件，即導體4π?0(a2+x2+x24π?0|x?4π?0|x?

(?a,x2,

(?a0,0)?Q的電荷（稱4π?0|x+4π?0|x+

=? (a,x2,

4π?0(a2+x2+x2E(x)= x?A? x+A x1> 4π?0|x? 4π?0|x+x1>0之外，它顯然滿足該區(qū)間里的泊松方程。我們需要再檢查一下它是?(x)=Q1?1

|x?(x1(x1?a)2+x2+

|x+ (x1+(x1+a)2+x2+

! x1> x1=0時恒為零（不過這里已經被所假設的導體電勢大小固定了。由狄利希里條件下電場解的唯一性我們于是知道7.40)就是最終的答案。–現(xiàn)在我們回過來反觀一下上一講介紹的格林函數方法。對于狄利希里條件一般(x)=

G(x, 1

?(x′)(?′G(x,x′))· V為x1>0的區(qū)域，?V為x2-x3坐標平面。由于導體的電勢為V中的體積分。ρ(x′)=Qδ3(x′? G(x,x′)= ? , |x?x′ |x?′我們也可以首先從格林函數的角度出發(fā)，問格林函數的具體形式應該是什么。1）鏡像電荷一定在所考察區(qū)域之外（否則會破壞泊松方程2|x?x′|?1–當有了格林函數的表達式(7.44)以后，對于區(qū)域x1>0ρ(x) (x)=

G(x, x∈V意點(0,x2,x3)處總的場強為() ∈E Q (?a,0, () ∈2π?0(a2+x2+x3 σ(x)=?2π(a2+x2+x2)3/2 x∈ ?如果我們是觀察導體的受力，那么這等效于導體表面每個面元上電荷受力F=

rdr,0, 2 (a 2

,0,0（切向受力對于完整的導體而言相互抵消了?如果我們是觀察點電荷，計算方法則更為簡單。原則上我們需要計算導體F′= 2a 4π?0例二–為了理解最一般的情況，我們首先研究一下兩個帶有相反符號的點電荷所產生Q1?Q2x?r0,0處。我們x1軸旋轉對稱。我們還是取無窮遠處參考電勢為零。加入點x位于電勢為C的等勢面上，那么我們有如下關系式 Q2

4π? |x|?|x?x′|=√x2+x2+x2?

+r)2+x2+x3 CC?Q1Q22x1+r= ?Q1/Q2時（Q1Q2x1x1

+x2+x2 Q2? +x2+x2 ((?

r,0,0)為圓心，Q1 Q2Q2為R，兩個電荷距該球面距離分別為r1和r2，那么我們總是有r1r2= rr rr –0)?|a|<R?|a|>R。R2 （這個位置一定是在導體里面，并帶電荷—|a| x4π?0|x?a|?4π?04π?0|x?a|?4π?0|a|x?R2G(x,x′)= ? . |x′|x?x′ |x′|x?Rx|x′ 笛卡爾坐標系下的變量分 正交曲線坐標 變量的分 ?(?(x)= ?x2+?x2+?x2+

這是一個二階三變量的齊次方程。直接嘗試從邊界條件出發(fā)對這樣的方程做積分是這里的核心思想包括兩個方面：笛卡爾坐標系下的變量分 ?(x)=

+

+

= 電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野88.2.A1、A2A3，于是對于這個試探解拉普

+A1U(x1)= +A2V(x2)= +A3W(x3)= 并并A1+A2+A3= 于是我們確實得到了三個因子函數U(x1)、V(x2)以及W(x3)各自所滿足的一元常正交曲線坐標 ??在笛卡爾坐標系中不會特意強調這個問題，因為按照一般約定我們直接用x=(x1,x2,x3)、y=(y1y2y3)，那么它們之間距|x?y|=q(x1?y1)2+(x2?y2)2+(x3? dldl=(dx1,dx2,dx3)≡dx1?1+dx2?2+dx3?3, {?1,?2,?3}?i?j dxii?然而在一般的坐標系中上述刻度與距離間的直接對應不再適用。作為解釋xtxsinhtt∈(?+∞與一維空間中的點也具有一一對應關系。然而，這時我們的線元dl則為dl=dx=cosht coshtttt刻度所對參數為{t1,t2,t3}。為了避免混淆，我們把任意一點上三個坐標方向的單位矢量記為{?1,?2,?3}，?i?j dl=f1dt1?1+f2dt2?2+f3dt3?3, f1,f2,f3}三個標量因子分別指代三個坐標參數相關的標度，類似于(8.11)coshtdS=f2f3dt2∧dt3?1+f3f1dt3∧dt1?2+f1f2dt1∧dt2?3, dV=f1f2f3dt1∧dt2∧ ∫Rdω=∫R （–∫L(??·dl=??=∫??dt1+??dt2+

=∫??,??,??·(dt1,dt2,?(8.17)中第一個等號是從宏觀角度考慮要求斯托克斯定理(8.16)是一個不??。?第二個等號是拋開了幾何尺度不談純粹從參數角度在指定鄰域內我們定?第三個等號是利用了區(qū)域內任意一點上坐標架的正交歸一性質(??)將被積e?的線性展開。a1?1a2?2a3?3. 由(8.13)dl(dt1dt2dt3)e?每一個分量都多出了一個標度fi，因此在梯度的每一個分量中除了對新坐標的偏導外我們也需要把這些??=1???1+1???2+1???3. f1 f2 f3∫S(?×v)·dS=∫Sv· 注意這里矢量場的三個分量為新坐標系下的分量而非笛卡爾坐標系里的分量，v=v1?1+v2?2+v3?3。用分量形式右側的積分元可以寫為v·dl=(v1,v2,v3)e?·(f1dt1,f2dt2,=(f1v1,f2v2,f3v3)e?·(dt1,dt2,

(?×v)·dS=?(f3v3)??(f2v2),?(f1v1)??(f3v3),?(f2v2)·(dt2∧dt3,dt3∧dt1,dt1∧dt2)e?dS的定義(8.14)?×v=1?(f3v3)??(f2v2)?1+1?(f1v1)??(f3v3)?2

f2

f3

f1+1?(f2v2)??(f1f1∫V(?·v)dV=∫Vv· (v1,v2,v3)e?·(f2f3dt2∧dt3,f3f1dt3∧dt1,f1f2dt1∧ (f2f3v1,f3f1v2,f1f2v3)e?·(dt2∧dt3,dt3∧dt1,dt1∧dt2)e?(?·v)dV=?(f2f3v1)+?(f3f1v2)+?(f1f2v3)dt1∧dt2∧dV的定義(8.15)f1f2?·v= ?(f2f3v1)+?(f3f1v2)+?(f1f2拉斯算符?2的表達式為f1f2?2?= ?f2f3??+?f3f1f2–對于所有這些表達式，我們看到當選取笛卡爾坐標系的時候，f1=f2=f31，r與兩個角度參數θ與φ。它們與笛卡爾坐標之間的關系為x1=rsinθcos x2=rsinθsin x3=rcos dx1?1dx2?2dx3?3=(drsinθcosφ+dθrcosθcosφ?dδ?rsinθsinφ)?1+(drsinθsinφ+dθrcosθsinφ+dφrsinθcosφ)?2+(drcosθ?dθrsinθ)?3 =dr(sinθcosφ?1+sinθsinφ?2+cosθ fr+dθ(rcosθcosφ?1+rcosθsinφ?2?rsinθ?3)

?θ ?1?2) ?φ dr、dθdφ分別乘的矢量的單位矢量，由此得到球坐標系中任意一點上?r(x)?1?2?3, ?θ?1?2?3, ?φ(x)?1?2. ?r?θ?φ. fr= fθ= fφ=rsin ??=r2+r2sinθsin+??=r2+r2sinθsin+r2sin2θ?φ2 1]， 1?

2

1

2

??=r2

r

+r2

(1?t)

+r2(1?t2)?φ2 z12平面上使{rφ}，它們與笛卡爾坐標之間的關系為x1=rcos x2=rsin x3= ?r?φ?z. fr= fφ= fz= ??=r+r2?φ2+??=r+r2?φ2+?z2 變量的分 ?(t1,t2,t3)= 拉普拉斯算符里每一項只作用在其中一個因子上。當?2作用完以后我們再除以?(r,t,φ)= 1?r2 1? t2 R +P ) +(1?t2)F?φ2?r2?R+A1R=?(1?t2)?P?A1+A2P=

???φ2+A2F= ?(r,t,φ)= 8.3.

1

1

1?2H

Rr

+Fr2?φ2+

r?R?(A1+r2A2)R= ???φ2+A1F= ???z2+A2H= 正交函 笛卡爾坐標 球坐標 多極子與靜電場的多極展 正交函 (ab)Un(x)n用以區(qū)分∫bU?x

x

=那么我們稱它們?yōu)檎粴w一的（=里每一個“點”都對應于某個函數f(x)，并可以一般性地展開為f(x)=∑ cn為線性展開系數。有了上述正交歸一關系后我們甚至可以非常方便地利用f（如果已知它的具體表達式的話）cn

∫n(x∫

電動力學講義（袁野電動力學講義（袁野99.1.Un(x)是：是否存在一組基函數Un(x)使得這樣構造出來的函數集合與（一定條件下）區(qū)間(ab)上所有函數的集合等價(ab)Un(x)該問題涉及到基矢量Un(x)