第二章邏輯代數(shù)基礎§2.1概述§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式§2.4邏輯代數(shù)的基本定理§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法§2.7具有無關項的邏輯函數(shù)及其化簡1本章目標要求邏輯代數(shù)的公式和定理。邏輯函數(shù)的表示方法及其互相轉(zhuǎn)換。邏輯函數(shù)的公式化簡法和卡諾圖化簡法掌握最小項、最小項編號、最小項之和、與－或式、與非－與非式、無關項等基本概念。2§

2.1概述邏輯：事物的因果關系邏輯代數(shù)：在數(shù)字電路中，主要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關系，因此數(shù)字電路又稱邏輯電路，其研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)或開關代數(shù)）。用來解決數(shù)字邏輯電路的分析與設計問題。在邏輯代數(shù)中，參與邏輯運算的變量叫邏輯變量，用字母A，B……表示。每個變量的取值非0即1（二值變量）。0、1不表示數(shù)的大小，而是代表兩種對立的邏輯狀態(tài)，如電位的高低、開關的開合、燈的亮滅、電機的啟動和停止等。在正邏輯中：1表示條件具備、開關接通、高電平等。

0表示條件不具備、開關斷開、低電平等。3§2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算在邏輯代數(shù)中有三種基本邏輯運算----與、或、非

與（AND）或（OR）

非（NOT）以A=1表示開關A合上，A=0表示開關A斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；

三種電路的因果關系不同：4（1）與運算當決定某一事件的全部條件都具備時，該事件才會發(fā)生，這樣的因果關系稱為與邏輯關系，簡稱與邏輯。ABY000010100111與邏輯的真值表

例：串聯(lián)開關電路邏輯表達式Y(jié)＝A·B＝ABABY邏輯符號與門有0出0全1出15若開關數(shù)量增加，則邏輯變量增加。

ABCY00000010010001101000101011001111A、B、C全1，Y才為1。Y＝A·B·C＝ABCABYC6（2）或運算當決定某一事件的所有條件中，只要有一個具備，該事件就會發(fā)生，這樣的因果關系叫做或邏輯關系，簡稱或邏輯。ABY000011101111或邏輯的真值表

例：并聯(lián)開關電路有1出1全0出0邏輯表達式Y(jié)＝A+B邏輯符號或門ABY7（3）非運算當某一條件具備了，事情不會發(fā)生；而此條件不具備時，事情反而發(fā)生。這種邏輯關系稱為非邏輯關系，簡稱非邏輯。非邏輯的真值表A與Y相反例：開關與燈并聯(lián)電路AY0110邏輯表達式Y(jié)＝A'邏輯符號非門AF8（1）與非運算“有0出1，全1出0”幾種常用的復合邏輯運算

與非門AYBABY001011101110與非邏輯的真值表

邏輯表達式Y(jié)＝(A·B)'

＝(AB)'9（2）或非運算“有1出0，全0出1”幾種常用的復合邏輯運算ABY001010100110或非邏輯的真值表

邏輯表達式Y(jié)＝(A+B)'AYB或非門10（3）與或非運算幾種常用的復合邏輯運算邏輯表達式Y(jié)＝（A·B

+

C·D)'

與或非門

ABCDY11（4）異或運算相同出0相異出1幾種常用的復合邏輯運算ABY000011101110異或邏輯的真值表

邏輯表達式Y(jié)＝A⊕B=A·B'

+

A'·B異或門ABY12（5）同或運算相同出1相異出0幾種常用的復合邏輯運算ABY001010100111同或邏輯的真值表

邏輯表達式Y(jié)＝A⊙B=A·B

+

A'

·B'同或門ABYA⊕B＝(A⊙B)'A⊙B＝(A⊕B)'13§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1基本公式證明方法：推演真值表請?zhí)貏e注意與普通代數(shù)不同之處14公式（17）的證明（公式推演法）：15公式（17）的證明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111在ABC的所有取值情況下，等式左與等式右相等，故等式成立16摩根定理的證明方法：列出輸入的所有取值情況，算出對應的等式左、右的值填入表中，驗證等式左、右相等，則等式得證。

A0＝A

A1＝A'

A⊙0＝A'

A⊙1＝A兩種常用的運算17？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?請注意與普通代數(shù)的區(qū)別！182.3.2若干常用公式序號公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;

A′(AB)′=A′原變量的吸收反變量的吸收混合變量的吸收19證明：20f(A1,A2,…,An)＋f(A1,A2,…,An)＝1任何一個含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。例如：給定邏輯等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，則該等式仍然成立，即：

(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C

由式(A+A=1)，故同樣有等式：2.4.1代入定理§2.4邏輯代數(shù)的基本定理利用代入定理可以很容易地將基本公式表中的公式推廣到多變量的情況。（例：摩根定理的推廣）212.4.2反演定理例：則：對于任意一個邏輯式Y(jié)，如果把其中的“?”與“+”互換，“0”與“1”互換，原變量與反變量互換，那么得到的就是若：摩根定理是反演定理的一個特例。又稱反演定理。利用反演定理可以很容易地求得原函數(shù)的反函數(shù)則：若：所以：注意兩個順序：①不能破壞原表達式的運算優(yōu)先次序。②不屬于單個變量上的反號應保留不變。22例2：已知例3：已知長非號不變與變或時要加括號232.4.3對偶定理例：其對偶式也成立利用對偶定理可以很容易地由基本公式表中左邊的公式得到右邊的公式。對偶式：對于任意一個邏輯式Y(jié)，如果把其中的“?”與“+”互換，“0”與“1”互換，則得到其對偶式對偶定理：若兩邏輯式相等，則他們的對偶式也相等。24在一種邏輯關系中，當輸入變量的取值確定后，輸出的取值也隨之確定，因此輸入與輸出之間是一種函數(shù)關系，記作：任何一件具體事物的因果關系都可以用一個邏輯函數(shù)來描述！2.5.1邏輯函數(shù)§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法25例：舉重裁判電路中，

A為主裁判開關，B、C為副裁判開關，Y為指示燈。電路功能：當主裁判開關閉合，同時至少有一名副裁判開關閉合，指示燈才會亮。CBA若以1表示開關閉合，0表示開關斷開；1表示燈亮，0表示燈不亮，則A,B,C的不同取值，對應Y的不同取值。即Y是ABC的函數(shù)，Y=A(B+C)262.5.2邏輯函數(shù)的表示方法表示邏輯函數(shù)的方法有：真值表，邏輯式，邏輯圖，波形圖，

卡諾圖，硬件描述語言等。一、真值表將輸入所有的取值情況及其對應的輸出取值情況，全部列表表示A

B

C

Y00000010010001101000101111011111注意：①全面完整列出②按序列出當輸入變量個數(shù)為n時，真值表共有2n行。舉重裁判的真值表：優(yōu)缺點：能方便地將實際問題抽象成數(shù)學問題；直觀明了；可由輸入直接查輸出；IC手冊常用它描述器件的邏輯功能；不適用于變量較多的情況27二、邏輯式把邏輯函數(shù)的輸入輸出關系寫成與或非等邏輯運算的組合式，就叫做邏輯函數(shù)式。BC中至少有一個閉合，可表示為：B+C同時還要求A閉合，可表示為：A(B+C)故：Y=A(B+C)三、邏輯圖將邏輯函數(shù)式中的與或非等運算關系用相應的邏輯符號表示出來，就可以畫出邏輯圖。特點：便于運算、化簡；便于畫邏輯圖；不便從邏輯問題直接得到。舉重裁判的邏輯式：舉重裁判函數(shù)的邏輯圖：特點：AYBC更接近于工程實際，與實際使用的電路器件有明顯的對應關系28四、波形圖（時序圖）將邏輯函數(shù)的輸入變量每一組可能的取值與其對應的輸出值按時間順序依次排列起來，就得到了表示該邏輯函數(shù)的波形圖。A0tB0tC0tY0t00001111001100110101010100000111舉重裁判的波形圖：特點：通常在一些計算機仿真工具和邏輯分析儀中，利用波形圖得到分析結(jié)果。29請注意同一個邏輯函數(shù)可用不同的邏輯表達式表示，邏輯式不是唯一的；一般由邏輯式畫出邏輯圖，所以邏輯圖也不是唯一的，但是真值表列出了輸入變量的所有組合與輸出之間的對應關系，所以真值表是唯一的，而波形圖實質(zhì)是一種變形的真值表，所以波形圖也是唯一的。30五、各種表示方法之間的互相轉(zhuǎn)換1.真值表--->邏輯式例：已知真值表如下，求邏輯式A

B

C

Y00000010010001111000101111011110此表表明，只要滿足下列三種情況之一，則Y=1A=0，B=1，C=1A=1，B=0，C=1A=1，B=1，C=0故：只要上述三個乘積項有一個為1，則Y=1總結(jié)：真值表轉(zhuǎn)換邏輯式的方法---

將輸出為1對應的乘積項（最小項）相或。312.邏輯式--->真值表A

B

C

Y00000011010101101001101111011111例：已知邏輯式如下，求真值表。方法：將ABC的所有取值情況下Y的值求出，列于表中32例：ABC3.邏輯式--->邏輯圖方法：將運算符號轉(zhuǎn)換成圖形符號Y334.邏輯圖--->邏輯式方法：將圖形符號轉(zhuǎn)換成運算符號整理，得：ABY345.波形圖<--->真值表A

B

C

Y00000010010001101000101111011111A0tB0tC0tY0t00001111001100110101010100000111將真值表中所有輸入變量和對應的輸出函數(shù)取值依次畫成以時間為橫軸的時序圖。從波形圖上找出每個時間段里輸入變量與輸出變量的取值，然后對應列表。352.5.3邏輯函數(shù)的兩種標準表達式邏輯函數(shù)可以用多種不同形式的邏輯式來表示與或式與或非式與非與非式標準與或式標準或與式（最小項之和）（最大項之積）例：362.5.3邏輯函數(shù)的兩種標準表達式任一邏輯式都可以寫成最小項之和與最大項之積的形式一、最小項和最大項1.最小項（標準乘積項）在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項。例：A、B、C三個變量的最小項共有8個：n個變量的最小項共有2n個。37最小項的編號注意順序例A、B、C的最小項m5是ABC，B、A、C的最小項m5是BAC38最小項的性質(zhì)①在輸入變量的任何取值下，必有一個最小項，而且只有一個最小項的值為1②任意兩個最小項的乘積為0③全體最小項之和為1④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一個因子例：第④條是卡諾圖化簡的根據(jù)392.最大項（標準和項）在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量之和，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。例：A、B、C三個變量的最大項共有8個：n個變量的最大項共有2n個。40最大項的編號41最大項的性質(zhì)①在輸入變量的任何取值下，必有一個最大項而且只有一個最大項的值為0②任意兩個最大項之和為1③全體最大項之積為0④具有相鄰性的兩個最大項之積可以合并成一項并消去一個因子例：42相同編號的最大項和最小項的關系例：43二、邏輯函數(shù)的最小項之和的形式：標準與或式例1：任一邏輯式都可以寫成最小項之和的形式變換形式：還可寫成：44例2：45由一般表達式直接寫出最小項表達式例：函數(shù)F=AB+AC所以:

F=∑m(1,3,4,5)46A

B

C

Y00000010010001111000101011011111由真值表直接寫出最小項表達式47三、邏輯函數(shù)的最大項之積的形式（標準或與式）任一邏輯式都可以寫成最大項之積的形式推導：設：(全體最小項之和為1)由此得出最小項之積和最大項之積的關系式：最大項之積48例：求下面函數(shù)的最大項之積表達式。

49【例】求最小項之和和最大項之積表達式。50與或式→與非與非式 例1：方法：兩次求反，用摩根定理。2.5.4邏輯函數(shù)形式的變換由與或式可得到其它形式的函數(shù)式。51與或式→與或非式方法：先將與或式化為最小項之和的形式，再利用例2：將最簡與或式轉(zhuǎn)換為其它形式的函數(shù)式時，所得結(jié)果不一定是最簡的。52§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法化簡的必要性：邏輯函數(shù)最簡，易于用最少的器件實現(xiàn)，又能提高電路的可靠性。例：用2個非門，2個與門，1個或門用1個或門化簡得：邏輯式的幾種形式與或式：與非與非式：與或非式：與－或式是最常用的一種，本節(jié)的化簡即針對與或式?；喌臉藴剩撼朔e項最少，乘積項中的因子最少。532.6.1公式化簡法1.并項法利用進行合項。2.吸收法利用,將AB項消去。例：例：公式法化簡的原理是反復使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)式中多余的乘積項和多余因子，來得到最簡函數(shù)形式。543.消項法利用，消去BC項。4.消因子法利用，消去因子。例：例：55在化簡過程中應靈活、交替地運用上述方法。公式法化簡的缺點：①需要經(jīng)驗和技巧，沒有固定的步驟可循。

②難以判斷是否是最簡。5.配項法例1：例2：利用A+A=A，A+A=1進行配項，以便消去更多的因子。562.6.2卡諾圖化簡法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1.卡諾圖的引入觀察真值表：3，4行相鄰，1，5行相鄰，對應的最小小項可合并化簡問題：能否將邏輯相鄰性，與幾何相鄰鄰性結(jié)合起來？57卡諾圖就是使邏輯相鄰項在幾何位置上也相鄰的一種圖形。例：三變量卡諾圖ABC可以看出相鄰的兩個格都具有邏輯相鄰性將上述真值表轉(zhuǎn)換為對應的卡諾圖，可以直觀地找出兩對相鄰項。ABC010001111010111000ABC0100011110卡諾圖即變形的真值表，它的特點是邏輯相鄰項也具有幾何相鄰性。58二變量卡諾圖m0

m1m2

m30 101BABA0 101m0

m1m3

m2m4

m5m7

m60001111001BCA三變量卡諾圖0001111001BCA590001111000011110CDAB01

324

5

76121315148911100001111000011110CDAB四變量卡諾圖60五變量卡諾圖000

00101101000011110CDEAB110

111101100202123221819171628293130262725241213151410119845762310對稱軸n≥5變量的卡諾圖，可由n－1變量卡諾圖在需要增加變量的方向采用鏡像變換而生成。612.卡諾圖的特點3.卡諾圖表示邏輯函數(shù)既然卡諾圖是真值表的變形，則卡諾圖肯定可以表示邏輯函數(shù)。相鄰兩格具有邏輯相鄰性。頂行和底行、左列和右列具有邏輯相鄰性。對稱于中心軸的兩行或兩列具有邏輯相鄰性。62（1）真值表→卡諾圖舉重裁判電路卡諾圖：A

B

C

Y00000010010001101000101111011111632.邏輯式→卡諾圖方法：將邏輯式化成最小項之和形式，在與各最小項對應的格內(nèi)填1，其余位置填0。例：ABCD00011110

00011110m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10ABCD00011110

00011110010

0100100101111畫卡諾圖時應注意ABCD的位置。64由一般與或式直接填卡諾圖示例:三變量11

11

0001111001BCA0001111001BCA1

11

165示例:四變量0001111000011110CDAB111111111110001111000011110CDAB111111

1

11663.卡諾圖

→邏輯式方法：將1格對應的最小項或起來即可。ABC010001111010011010例：已知卡諾圖如圖示，求對應的邏輯式解：67二、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡的依據(jù)：相鄰的最小項可以合并，并消去變化的因子。（1）合并最小項的規(guī)則1．相鄰兩格中的最小項之和可以合并為一項并消去一個因子，合并后的結(jié)果只剩下公共因子。2．相鄰四格中的最小項之和可以合并為一項并消去兩個因子，合并后的結(jié)果只剩下公共因子。例：例：CDAB0001111000011110消去D消去AC，保留BD683．相鄰八格中的最小項之和可以合并為一項并消去三個因子，合并后的結(jié)果只剩下公共因子。消去BCD，保留A例：AB0001111000011110CD69（2）卡諾圖化簡法的步驟1.將函數(shù)式化為最小項之和的形式。（可省略）2.填卡諾圖。3.找出可以合并的相鄰項，用矩形框圈出。

①將相鄰的1格圈出，圈的格數(shù)必須為2、4、8、16……，即2n。②圈的個數(shù)應最少，保證乘積項最少。③每個圈的格數(shù)應最多，保證乘積項中的因子最少。④可以重復圈，不能漏圈。4.合并最小項。

每個圈對應一個合并項，將所有的合并項相或。例1：01111101ABC0100011110解：1.填卡諾圖2.畫圈3.合并70ABC010001111001111101圈法2：該例說明結(jié)果不唯一例2：解：1.填卡諾圖2.畫圈3.合并AB0001111000011110CD71AB0001111000011110CD(因全體最小項之和為1，故一部分最小項之和為Y，則其余部分之和為Y)畫0圈，求YAB0001111000011110CD不好的圈法72畫圈原則：圈盡量大→消去的變量多圈盡量少→結(jié)果乘積項少要有新成份→沒有冗余項使用方法：圈1→得到F原函數(shù)圈0→得到F反函數(shù)畫的圈法不同，結(jié)果的表達式形式可能不同，但肯定是最簡的結(jié)果。圈1個格→消0個變量圈2→1

圈4→2

圈8→3…………小結(jié)：73ABCD0001111000011110不是矩形無效圈示例174無效圈示例2ABCD0001111000011111111111111101沒有新變量.無效圈.75ABC0001111001ABBCF=AB+BC例1：卡諾圖化簡76F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A例2：化簡77ABCD0001111000011110ABD例3：化簡78F(A,B,C,D)=

m(0,5,7,9,10,12,13,14,15)10001111000011110CDAB11111111解：例4：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)79【例5】ABCD0001111000011110000000001111111180任何一個邏輯函數(shù)既可以等于其卡諾圖上填1的那些最小項之和，也可以等于其卡諾圖上填0的那些最大項之積，因此，如果要求出某函數(shù)的最簡或與式，可以在該函數(shù)的卡諾圖上合并那些填0的相鄰項。這種方法簡稱為圈0合并，其化簡步驟及化簡原則與圈1合并類同，只要按圈逐一寫出或項，然后將所得的或項相與即可。但需注意，或項由K圈對應的沒有變化的那些變量組成，當變量取值為0時寫原變量，取值為1時寫反變量?！舅伎碱}】

求函數(shù)Y

的最簡或與式。

810CDAB0001111011001111011110000011110B+CB+D82例：用卡諾圖把邏輯函數(shù)

F(A,B,C,D)=

M(3,4,6,7,11,12,13,14,15)

化簡成最簡"或與"表達式。00011110110000011110CDAB011001100001①填卡諾圖②畫圈（圈0圈）③寫表達式（1取反變量，0取原變量）解：832.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)中的無關項1.約束項在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的取值受到某種約束例：A、B、C表示一臺電動機的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)、停止命令，A=1

表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止。顯