課程基本信息

學(xué)

課例編號2020QJ10SXRA056數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期

科

課題兩角和與差的正弦，余弦和正切公式（2）

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊（A版）

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師許綺菲北京一七一中學(xué)教育集團(tuán)

指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，用邏輯推理的方法得到兩角和與差的正弦，余

弦及正切公式，熟記公式，掌握公式的功能及其結(jié)構(gòu)；

2.初步應(yīng)用這些公式，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，比較確定差異，尋找聯(lián)系及聯(lián)系

的途徑的過程中，幫助學(xué)生認(rèn)識三角函數(shù)式的特征，體會三角恒等變換的特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)

學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；

3.提升學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)，

培養(yǎng)數(shù)學(xué)整體觀．

教學(xué)重點(diǎn)：

兩角和與差的正弦、余弦和正切公式及其功能、結(jié)構(gòu)、簡單應(yīng)用．

利用已知的函數(shù)模型解決實(shí)際問題.

教學(xué)難點(diǎn)：

兩角和與差的三角函數(shù)與圓旋轉(zhuǎn)對稱性間的聯(lián)系及對公式的全面理解．

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)

時(shí)間主要師生活動

節(jié)

１分新課引一新課引入

鐘入上節(jié)課我們利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，請同學(xué)們

在回顧推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)上寫出差角的余弦公式

cos()coscossinsin

此公式給出了任意角的正弦、余弦與其差角的余弦之間的關(guān)系．

二新課講解

問題１由兩角差的余弦出發(fā)，你能推導(dǎo)出兩角和的余弦公式嗎？

追問1：比較cos()與cos(+)，它們的異同點(diǎn)是什么？

它們都是角的余弦，只是角的形式不同．

追問２：與+之間有何種聯(lián)系呢？

一方面從運(yùn)算的角度看，將加法轉(zhuǎn)化為減法：

cos(+)cos[()]；另一方面可以從換元角度考慮，將兩角差的

余弦公式中的換為．

追問３：基于上述差異與聯(lián)系，如何由兩角差的余弦公式得到兩角和

的余弦公式？

新課講

cos()cos()

解

coscos()sinsin()．

coscossinsin

問題２你能根據(jù)兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)出用任意角，的

正弦、余弦表示的sin()及sin()公式嗎？

８分

鐘

追問1：比較cos()與sin()，它們的異同點(diǎn)是什么？

它們包含的角相同，但是函數(shù)種類不同．

追問2：角的正弦與余弦是否可以建立聯(lián)系呢？

通過誘導(dǎo)公式五（或六）可以實(shí)現(xiàn)正弦與余弦的互化．

追問3：誘導(dǎo)公式五及誘導(dǎo)公式六是什么呢？

π

sin()cos，

2

π

cos()sin，

2

π

sin(+)cos，

2

π

cos()sin．

2

追問４：基于上述差異與聯(lián)系，如何由兩角差的余弦公式得到兩角差

的正弦公式？

ππ

sin()cos()cos()

22

ππ

cos()cossin()sin

22

sincoscossin

追問５：依照上述解決問題的思路，你能直接寫出兩角和的正弦公式

嗎？

sin()sincoscossin

問題３你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系，從兩角

和與差的正弦，余弦公式出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角，的正切表示

tan()，tan()的公式嗎？

追問１：如何用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)表示正切函數(shù)？

sin

tan．

cos

追問２：:兩角和的正切公式是否可以利用兩角和的正弦公式與余弦公

式求得？

sin()sincoscossin

tan()．

cos()coscossinsin

追問３：如何進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為用任意角，的正切表示tan()？

通過對分子、分母同時(shí)除以coscos轉(zhuǎn)化，即

sincoscossin

tan()

coscossinsin

tantan

=.

1tantan

追問4：如何用任意角，的正切表示tan()？

tantan

tan()=.

1tantan

教師小結(jié)：用邏輯推理的方法我們以兩角差的余弦公式

cos()coscossinsin為基礎(chǔ)，將兩角差的余弦公

式中的換為或者利用cos(+)cos[()]得到兩角和的余弦

公式cos()coscossinsin．

例利用誘導(dǎo)公式五（或六）建立余弦與正弦的關(guān)系，得到

９分題

sin()sincoscossin；進(jìn)而類似的得到

鐘講

解

sin()sincoscossin．

利用正切函數(shù)與正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的聯(lián)系得到

tantan

tan()=；

1tantan

tantan

tan()=.

1tantan

同學(xué)們要逐步掌握公式的功能及其結(jié)構(gòu)，熟記公式．

公式，，給出了任意角，的三角函數(shù)值與

S()C()T()

其和角+的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．為方便起見，我們把這三個公式都

叫做和角公式．類似地，，，都叫做差角公式．

S()C()T()

問題４如何利用利用兩角和與差的正弦公式求sin75的值呢？

sin75sin(4530)

sin45cos30cos45sin30

62

.

4

sin75sin(12045)

sin120cos45cos120sin45

62

.

4

問題５和（差）角公式中，，都是任意角．如果令為某

些特殊角，就能得到許多有用的公式．你能從和（差）角公式出發(fā)推導(dǎo)出

誘導(dǎo)公式嗎？你還能得到哪些等式？請同學(xué)們課下思考．

三例題講解

3π

例３已知sin，是第四象限角，求sin()，

54

ππ

cos()，tan()的值．

44

π

問題６根據(jù)題目已知條件，求解sin()的值會聯(lián)系到什么公

4

式？

聯(lián)系到兩角差的正弦公式

sin()sincoscossin．

追問１：本題利用兩角差的正弦公式求解時(shí)兩角分別是什么？

π

及．

4

π

追問２：在求解過程中需要用到及哪些三角函數(shù)值？哪些值需要

4

根據(jù)已知進(jìn)一步求解？

ππ

需要用到cos，sin，sin，cos四個值，cos需要根據(jù)已知

44

條件進(jìn)一步求解．

3

解：由sin，是第四象限角，得

5

34

cos1sin21()2

55

3

sin3

所以tan5．

cos44

5

于是有

πππ

sin()sincoscossin

444

242372

()；

252510

追問３：如果去掉已知條件中給出的“是第四象限角”這一限制條

件，對求解過程和結(jié)果會有什么影響？

3

由于sin0，是第三象限或第四象限角，去掉這一限制條

5

42

件后要分類討論，當(dāng)是第三象限的角時(shí)，cos．結(jié)果為．

510

追問４：能否借鑒第（1）問經(jīng)驗(yàn)求解第（2），（3）問？

πππ

cos()coscossinsin

444

242372

()；

252510

π

tantan

πtan1

tan()4

π

41tantan1tan

4

3

1

4=-7.

3

1()

4

追問5：由以上解答可以看到，在本題條件下有

ππ

sin()cos()．

44

那么對于任意角，此等式成立嗎？若成立，你能予以證明嗎？

這一計(jì)算結(jié)果具有一般性，對于任意角，

ππππ

sin()sin[()]cos()成立．

4244

例４利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：

（1）sin72cos42cos72sin42；

（2）cos20cos70sin20sin70；

1tan15

（3）

1tan15

問題７和、差角公式把的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成了，的三

角函數(shù)式．本題呈現(xiàn)的為，的三角函數(shù)式，如何求解呢？

我們可以嘗試從右到左使用公式，就可以將上述三角函數(shù)式化簡．

（1）sin72cos42cos72sin42

追問1：在（1）中涉及了哪些角？

涉及了兩個角：72及42．

追問２：（１）式的形式能聯(lián)系到哪個公式？

能夠聯(lián)系到兩角差的正弦公式

sin()sincoscossin．

解：由上述分析有

sin72cos42cos72sin42

=sin(7242)

sin30

1

.

2

追問３：根據(jù)第（1）問的經(jīng)驗(yàn)，能否獨(dú)立解決第（2）問？

３分

（2）中涉及了兩個角：及，能夠聯(lián)系到兩角和的余弦公式，

鐘2070

課堂小于是有

結(jié)

cos20cos70sin20sin70

cos(2070)

cos90

0.

1tan15

追問４：能夠聯(lián)系到哪個公式？

1tan15

形式與兩角和的正切公式

tantan

tan()=

1tantan

相似，但是只涉及了一個角15．

追問５：回顧例3求解過程

π

tantan

πtan1

tan()4

π

41tantan1tan

１分4

鐘3

1

4=-7.

3

1()

作業(yè)4

能否有啟發(fā)？

可以考慮把1轉(zhuǎn)化為tan45，利用兩角和的正切公式求解．

解：

1tan15tan45tan15

=

1tan151tan45tan15

tan(4515)

tan60

3.

四課堂小結(jié)

本節(jié)課我們以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，用邏輯推理的方法得到兩角

和與差的正弦，余弦及正切公式．

問題８你能準(zhǔn)確寫出這些公式嗎？