第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

【知識與技能】

1.使學(xué)生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能將一

元二次方程化成一般式,正確識別二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

2.會判斷一個數(shù)是否是一元二次方程的根.

【過程與方法】

經(jīng)歷由實際問題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過程，讓學(xué)生體會到方

程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型.

【情感態(tài)度】

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、類比、歸納能力，體驗數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和深刻性.

【教學(xué)重點】

一元二次方程的概念及其一般表現(xiàn)形式.

【教學(xué)難點】

從實際問題中抽象出一元二次方程的模型；識別方程中的“項”及“系數(shù)”.

一、情境導(dǎo)入,初步認(rèn)識

(課件展示問題)雷鋒紀(jì)念館前的雷鋒雕像高為2m，設(shè)計者當(dāng)初設(shè)計它的上

部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，

即下部高度的平方等于上部與全部的積，如果設(shè)此雕像的下部高為xm，則其上

部高為（2-x）m，由此可得到的等量關(guān)系如何？它是關(guān)于x的方程嗎？如果是，

你能看出它和我們以往學(xué)過的方程有什么不同嗎？

【教學(xué)說明】設(shè)置上述從美學(xué)角度而構(gòu)建的人體雕像（教師可適時補充有關(guān)

簡單黃金分割問題）可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而增強求知欲望.

二、思考探究，獲取新知

由上述問題，我們可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.顯然這個方程只含有一

個未知數(shù)，且x的最高次數(shù)為2，這類方程在現(xiàn)實生活中有廣泛的應(yīng)用.

探究1見教材第2頁問題1.(課件展示問題)

【教學(xué)說明】針對上述問題可給予5~8分鐘時間讓學(xué)生討論，教師可相應(yīng)設(shè)

置如下問題幫助學(xué)生分析：如果設(shè)四角折起的正方形的邊長為xm，則制成的無

蓋方盒的底面長為多少?寬為多少?由底面積為3600cm2,可得到的方程又是怎樣

的?

【討論結(jié)果】設(shè)切去的正方形的邊長為xcm,則盒底的長為(100-2x)cm,寬為

(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理為:4x2-300x+1400=0,化簡,

得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.

探究2見教材2~3頁問題2.

【教學(xué)說明】教學(xué)過程中,教師可設(shè)置如下問題:

(1)這次排球賽共安排場;

(2)若設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽，則每個隊與其它個隊各賽一場，這樣

共應(yīng)有場比賽；

(3)由此可列出的方程為，化簡得.

教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考方程的建模過程，同時注重激發(fā)學(xué)生解決問題的欲

望和興趣.（課件展示）

1

【討論結(jié)果】設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽，通過分析可得到·x·（x-1）=28,化

2

簡，得x2-x=56，即x2-x-56=0.

觀察思考觀察前面所構(gòu)建的三個方程，它們有什么共同點？可讓學(xué)生先獨立

思考，然后相互交流，得出這些方程的特征：

（1）方程各項都是整式；

（2）方程中只含有一個未知數(shù)；

（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

【歸納結(jié)論】

1.一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方

程稱為一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次項，a是

二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.

想一想

1.二次項的系數(shù)a為什么不能為0?

2.在指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項時，a、b、c都一定是正數(shù)嗎？

談?wù)勀愕目捶?

【教學(xué)說明】本環(huán)節(jié)為學(xué)生提供了多次觀察、比較、歸納的活動過程，教學(xué)

時應(yīng)讓學(xué)生進(jìn)行充分的探索和交流.注重類比是幫助學(xué)生正確理解概念的有效方

法.

探究3從探究2中我們可以看出，由于參賽球隊的支數(shù)x只能是正整數(shù)，

因此可列表如下：

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=8時，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次

方程的解也叫做一元二次方程的根.

思考

1.一元二次方程的根的定義應(yīng)怎樣描述呢？

2.方程x2-x-56=0有一個根為x=8，它還有其它的根嗎？

【探討結(jié)論】1.一元二次方程根的定義：使一元二次方程左右兩邊相等的未

知數(shù)的值叫做一元二次方程的根；

2.由于x=-7時，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一個

根.事實上，一元二次方程如果有實數(shù)根，則必然有兩個實數(shù)根，通常記為

x1=m,x2=n.

三、典例精析，掌握新知

例1已知關(guān)于x的方程(m+2)x|m|+3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次

方程.

分析:觀察方程特征，依定義建立關(guān)于m的方程，再考慮其二次項系數(shù)不能

為0，可得到結(jié)論.

m2

解：由題意有,∴m=2.

m20

因此原一元二次方程為4x2+3x+2=0.

例2將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中二次

項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.

解：去括號，得3x2-3x=5x+10,移項、合并同類項，得一元二次方程的一般

形式為3x2-8x-10=0.

其中二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為-8，常數(shù)項為-10.

【教學(xué)說明】以上兩例均可讓學(xué)生獨立思考，自主完成.教師巡視，了解學(xué)

生的掌握情況，最后選取幾個優(yōu)秀作業(yè)和有代表性問題作業(yè)通過幻燈片展示給全

班同學(xué)學(xué)習(xí)與思考，加深對本節(jié)知識的理解和掌握.

四、運用新知，深化理解

1.下列各式中，是一元二次方程的是（）

A.3x2+1x=0

B.ax2+bx+c=0

C.(x-3)(x-2)=x2

D.(3x-1)(3x+1)=3

2.關(guān)于x的方程（k-1）x|k|+1-2x=3是一元二次方程，則k=.

3.已知方程5x2+mx-6=0的一個根為4，則m的值為.

4.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式，

指出其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項：

（1）4個完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x;

（2）一個長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長x;

（3）把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一

段的平方，求較短一段的長x.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生當(dāng)堂完成上述練習(xí)，達(dá)到鞏固新知目的.最后

全班同學(xué)核對答案即可.

【答案】1.D2.-13.-37/2

4.(1)4x2-25=0,其中二次項系數(shù)為4，一次項系數(shù)為0，常數(shù)項為-25；

(2)x2-2x-100=0,其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為1,-2,-100;

(3)x2-3x+1=0，其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為1，-3，1.

五、師生互動，課堂小結(jié)

教師提出以下問題，讓學(xué)生交流，加強反思、提煉及知識歸納.

(1)一元二次方程的定義，一般式及二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項；

（2）一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括號是否可有可無？為

什么？

（3）通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你還有哪些收獲？

【教學(xué)說明】師生共同回顧，注重學(xué)生的交流發(fā)言.

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題21.1”中選取.

2.完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時練習(xí)的“課時作業(yè)”部分.

1.注重知識的