高中數(shù)學(xué)知識(shí)匯總

熟悉這些解題小結(jié)論，啟迪解題思路、探求解題佳徑，

總結(jié)解題方法，防止解題易誤點(diǎn)的產(chǎn)生，對(duì)提升高考數(shù)學(xué)成

績(jī)將會(huì)起到立竿見(jiàn)影的效果。

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯

1.集合的元素具有無(wú)序性和互異性.

2.對(duì)集合A、B,4n8=0時(shí),你是否注意到“極端”情況：

A=0或5=0;求集合的子集時(shí)是否注意到。是任何集合的子

集、。是任何非空集合的真子集合

3.對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合其子集、真子集、非

空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2",2"-1,2"-1,2"-2.

4.“交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并，即Cu（An5）="UGB”；“并的

補(bǔ)等于補(bǔ)的交，即Cu（4U5）=Cu4nqB”.

5.判斷命題的真假

關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”；注意："不'或'即'且'，

不'且‘即'或'".

6.“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且

命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”；“非命題”

的真假特點(diǎn)是“一真一假”.

7.四種命題中"‘逆'者'交換'也"、"‘否'者’否

定'也”.

原命題等價(jià)于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不

等價(jià).反證法分為三步：假設(shè)、推矛、得果.

注意：血題的查定是“命題的韭龕題，也就是'條件丕變」

■僅■■■否■■■定■■■結(jié)■■■論-I'所得命題"，但(■■?否■■■?■■命■■■■■■題■是“■■■既■■?(■?否■■■■■定■■■■■原■■■■■■命■■■■■題■■■■■的■■■■■條■■■

件作.為條件.，...又查定原血題的結(jié)論作為結(jié)論的所得?血題”a

8.充要條件

二、函數(shù)

1.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，

tnIm[

=a,"°g"N=N

a"

a〃=N=log“N=/a>0M，l,N>0),.

a0=1,log,,1=0>log?a=1,1g2+1g5=1,logf尤=Inx,

log"m

2.(1)映射是“‘全部射出‘加‘一箭一雕'"；映射中第

一個(gè)集合A中的元素必有像，但第二個(gè)集合8中的元素不一

定有原像(A中元素的像有且僅有下一個(gè)，但3中元素的原

像可能沒(méi)有，也可任意個(gè))；函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，

其中“值域是映射中像集8的子集”.

(2)函數(shù)圖像與X軸垂線至多一個(gè)公共點(diǎn)，但與y軸垂線的

公共點(diǎn)可能沒(méi)有，也可任意個(gè).

(3)函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線

不一定能成為函數(shù)圖像.

(4)原函數(shù)與反函數(shù)有兩個(gè)“交叉關(guān)系”：自變量與因變

量、定義域與值域.求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，分三步：逆解、交

換、定域(確定原函數(shù)的值域，并作為反函數(shù)的定義域).

注意：@f(a)=b^f~'(b)=a,f[f~\x)]=x,f-'[f(x)]=X,

但力尸(X)卜尸"(x)].

②六函數(shù)y=/(x+1)的反函數(shù)是y=，而不是y=/-l(x+l).

3.單調(diào)性和奇偶性

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其

單調(diào)性完全相同.

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)

性恰恰相反.

單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)和原函數(shù)有相同的性；如果奇函數(shù)有

反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).

注意：(1)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定

義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱須確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定

義法、圖像法等等.

對(duì)于偶函數(shù)而言有：/(-x)=/(x)=/(|x|).

(2)若奇函數(shù)定義域中有0,則必有/(0)=0.即0e/(x)的

定義域時(shí)，f(0)=0是f⑺為奇函數(shù)的必要韭充分條件.

(3)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：

定義法(取值、作差、鑒定)、導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中

還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等.

（4）函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的一個(gè)充分非必要條件.

（5）定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可

表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和（或差）”.

（6）函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的充分非必要條件，奇函

數(shù)可能反函數(shù)，但偶函數(shù)只有〃x）=0（x€{0}）有反函數(shù)；既奇又

偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（/（x）=0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意

一個(gè)數(shù)集）.

（7）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同性得增，增必同性；

異性得減，減必異性”.

復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化。（即復(fù)合有意義）

4.對(duì)稱性與周期性（以下結(jié)論要消化吸收，不可強(qiáng)記）

⑴函數(shù)尸?。┡c函數(shù)），=/（一）的圖像關(guān)于直線x=0（y軸）

對(duì)稱.

推廣一：如果函數(shù)y=/（x）對(duì)于一切xwR,都有

%+司=/（1）成立，那么八人）的圖像關(guān)于直線x=?（由

“x和的一半九=（°±幻；-X）確定”）對(duì)稱.

推廣二：函數(shù)y=/（a+x）,y=/（b-x）的圖像關(guān)于直線x=

（由a+x=Z?-x確定）對(duì)稱.

⑵函數(shù)y=/（x）與函數(shù)y=-〃x）的圖像關(guān)于直線y=0（x軸）

對(duì)稱.

推廣：函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=A-/(x)的圖像關(guān)于直線y=/

對(duì)稱(由“)，和的一半y=IZ"!竽二3確定”).

(3)函數(shù))，=%)與函數(shù)y=T(r)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心

對(duì)稱.

推廣：函數(shù)y=/(X)與函數(shù)y=加-/(〃-%)的圖像關(guān)于點(diǎn)號(hào)，啰

中心對(duì)稱.

⑷函數(shù)y=/(x)與函數(shù)尸尸(力的圖像關(guān)于直線產(chǎn)x對(duì)稱.

推廣：曲線/(3)=0關(guān)于直線y=x+b的對(duì)稱曲線是

f(y-b,x+h)=Oi

曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=—x+b的對(duì)稱曲線是

f(-y+b,-x+b)=O.

(5)曲線/(y)=0繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，所得曲線是

/(y,-x)=0(逆時(shí)針橫變?cè)俳粨Q).

特別：)，=/")繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得r=/(y),若y=/(x)

有反函數(shù)y=./(x),則得＞=/T(T).

曲線/(x,y)=0繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，所得曲線是

/(-)㈤=0(順時(shí)針縱變?cè)俳粨Q).

特別：y=/(x)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得X=f(-y)，若y=/(x)

有反函數(shù))，=/T(X),則得丁=-尸(%).

(6)類比“三角函數(shù)圖像”得：

若y=/(x)圖像有兩條對(duì)稱軸％=。,》=%。，。)，則y=/(x)必是

周期函數(shù)，且一周期為T(mén)=2|”們.

若y=/(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,O),B(b,O)(a*b),則y=f(x)

是周期函數(shù)，且一周期為T(mén)=2|a'|.

如果函數(shù)〉=/a)的圖像有下一個(gè)對(duì)稱中心A(a,O)和一條對(duì)

稱軸則函數(shù)y=/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為

T=4\a-b\.

如果y=/(x)是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為T(mén),那么

f(x+nT)=f(x)(n&Z).

特別：若/(x+a)=-/(x)(aH0)怛成立，貝T=2a.

若f(x+a)=—-—(&H0)恒成立，則T=2a.若

/(x)

f(x+a)彳怛成乂，貝」

f(x)30)lT=2a.

如果k了⑴是周期函數(shù)，那么尸了⑴的定義域“無(wú)

界”.

5.圖像變換

(1)函數(shù)圖像的平移和伸縮變換應(yīng)注意哪些問(wèn)題？

函數(shù)y=f(x)的圖像按向量￡=伙,人)平移后，得函數(shù)=f(x-k)

的圖像.

(2)函數(shù)圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點(diǎn)、特殊

線也作相應(yīng)的變換.

⑶圖像變換應(yīng)重視將所研究函數(shù)與常見(jiàn)函數(shù)(正比例函

數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)

函數(shù)、三角函數(shù)、“魚(yú)鉤函數(shù)y=x+（（Z〉0）”及函數(shù)

y=x+^（女<0）等）相互轉(zhuǎn)化.

注意：①形如>=加+法+c的函數(shù)，不一定是二次函數(shù).

②應(yīng)特別重視“二次三項(xiàng)式”、“二次方程”、“二次函

數(shù)”、“二次曲線”之間的特別聯(lián)系.

③形如y="書(shū)（c豐O,ad,歷）的圖像是等軸雙曲線，雙曲線

cx-\-a

兩漸近線分別直線（由分母為零確定）、直線）=紅（由分

CC

子、分母中X的系數(shù)確定），雙曲線的中心是點(diǎn).六

三、數(shù)列

1.數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)

列的通項(xiàng)與數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的關(guān)系：（必

要時(shí)請(qǐng)分類過(guò)論）?

汪思:an-（??-0,,_］）+-??_2）^'…+Q-4）+4；

一%14:

an--------—?q.

%an-2a\

2.等差數(shù)列｛”“｝中：

（1）等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.

（2）〃〃=4+（〃一V）d=am+（〃一m）d;p+q=m+n=a口+生,=am+an.

（3）｛冊(cè).儲(chǔ)、｛他｝也成等差數(shù)列.（4）兩等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)

和（差）組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.

（5）a]+4+???+〃,〃，％—+〃八1+?.?+%+切7,?一仍成等差數(shù)列.

(6)S“=〃("；%),s“=叫+〃(；1)d,S?=-|n2+(?],

an="i,A.=/(〃)=>2=/(2〃-1).

"2〃一1B?2

(7)ap=q,aq=p(pap+q=0;

Sp=q,Sq=p(p豐q)=>Sp+q=-(p+q);Sm+n=Sm+S?+mnd.

(8)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最大值是所

有非負(fù)項(xiàng)之和；

“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最小值是所

有非正項(xiàng)之和；

(9)有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然

聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶

數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”一“奇數(shù)項(xiàng)和”=總項(xiàng)數(shù)的一半與其公

差的積；若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),則“奇數(shù)項(xiàng)和”一“偶數(shù)項(xiàng)和”

=此數(shù)列的中項(xiàng).

(10)兩數(shù)的等差中項(xiàng)惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等

差數(shù)列時(shí)，常考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

(11)判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、

中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法、圖像法(也就是說(shuō)數(shù)列是等差數(shù)列

的充要條件主要有這五種形式).

3.等比數(shù)列也｝中：

(1)等比數(shù)列的符號(hào)特征(全正或全負(fù)或一正一負(fù))，等

比數(shù)列的首項(xiàng)、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性.

m

（1）an=a^"-'=amq"-;p+q=m+n=>bp-bq=bm-bn.

（3）｛|。“|｝、U、｛與｝成等比數(shù)列；｛4｝、依｝成等比數(shù)

列=｛m｝成等比數(shù)列.

（4）兩等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積（商）組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)

列.

⑸4+a2+---+ain,ak+ak+i+■?-+成等比數(shù)列.

na{(q=Dnay(q-1)

(6)s〃=4

a“qq(j")a\〃"+4

(qwi)19十1w

l-q\-q[i-q"q

特另U:an-bn=(a-b)(a'-'+an-2b+a^b2+…+abn-2+bn-x).

⑺Si=S“,+q,0=S,+q"S,”.

(8)“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前〃項(xiàng)積的最

大值是所有大于或等于1的項(xiàng)的積；“首小于1”的正值遞

增等比數(shù)列中，前〃項(xiàng)積的最小值是所有小于或等于1的項(xiàng)

的積；

（9）有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然

聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶

數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”=“奇數(shù)項(xiàng)和”與“公比”的積；若總

項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，.則“奇數(shù)項(xiàng)和”=“首項(xiàng)”加上“公比”與二偶

數(shù)項(xiàng)和”積的和.

（10）并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng).僅當(dāng)實(shí)數(shù)岫同號(hào)時(shí)，

實(shí)數(shù)S存在等比中項(xiàng).對(duì)同號(hào)兩實(shí)數(shù)好的等比中項(xiàng)不僅存在,

而且有一對(duì)G=±疝.也就是說(shuō)，兩實(shí)數(shù)要么沒(méi)有等比中項(xiàng)（非

同號(hào)時(shí)），如果有，必有一對(duì)（同號(hào)時(shí)）.在遇到三數(shù)或四數(shù)成

等差數(shù)列時(shí)，常優(yōu)先考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

（11）判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、

中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法（也就是說(shuō)數(shù)列是等比數(shù)列的充要條

件主要有這四種形式）.

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

⑴如果數(shù)列應(yīng)｝成等差數(shù)列，那么數(shù)列｛?。涌傆幸饬x）

必成等比數(shù)列.

（2）如果數(shù)列｛%｝成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛log.|*｝（。＞0,”1）必

成等差數(shù)列.

（3）如果數(shù)列｛叫既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列k｝

是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列｛%｝是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)

列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

（4）如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由他們的公共項(xiàng)順次

組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等

差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

如果一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng)順次組成新

數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進(jìn)行研討，且以

其等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中那些項(xiàng)是他們的公共

項(xiàng)，并構(gòu)成新的數(shù)列.

注意：（1）公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即

研究/=*但也有少數(shù)問(wèn)題中研究乙=久，這時(shí)既要求項(xiàng)相同,

也要求項(xiàng)數(shù)相同.⑵三（四）個(gè)數(shù)成笠差（比）的中項(xiàng)轉(zhuǎn)化和通項(xiàng)

轉(zhuǎn)化法.

5.數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式（三種形式），②等

比數(shù)列求和公式（三種形式），

@l+2+3+---+/2=1/J（n+l）,『+22+32+…+〃2得〃（〃+1）（2〃+1）,

1+3+5+---+（2/1-1）=?2,1+3+5+---+（2/?+1）=（/?+1）2.

（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常

將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離

相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常

可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等

差數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法）.

（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的

通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減

法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的的等比數(shù)列的和”求解（注意：

一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)

減一的差”?。ㄟ@也是等比數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法之

一）.

（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”

的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求

和.常用裂項(xiàng)形式有：

QJ——二上一一區(qū)一［—二上(上一一」),

n(n4-1)n鹿+1〃(〃+2)k'nn+k

肉11_1/11、

k2k2-\2左一1k+V

1111111

kk+1(k+l)kk2(k-l)kk-1k

④一1—1----------i—］，⑤

n(n-l)(n+2)2n(n+1)(〃+l)(〃+2)(714-1)!n\(〃+l)!

(6)2(J〃+1—Vn)<!—<2(V^-J.-1),

yin

⑦冊(cè)=sn-Szt_,(?>2),⑧CLC：：'+l=>C：：'=C禽一C：I.

特別聲明：③運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與

1的關(guān)系，必要時(shí)分類討論.

(6)通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。

6.分期付款型應(yīng)用問(wèn)題

(1)重視將這類應(yīng)用題與等差數(shù)列或等比數(shù)列相聯(lián)系.

(2)若應(yīng)用問(wèn)題像“森林木材問(wèn)題”那樣，既增長(zhǎng)又砍伐，

則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.

(3)“分期付款”、“森林木材”等問(wèn)題的解決過(guò)程中，

務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算“年限”作為相應(yīng)的“指數(shù)”.?

四、三角函數(shù)

1.夕終邊與e終邊相同(口的終邊在。終邊所在射線上)°

a=9+2k兀(kuZ).

a終邊與。終邊共線(a的終邊在6終邊所在直線上)

=.

a終邊與8終邊關(guān)于x軸對(duì)稱qa=-0+2k7r(keZ).

a終邊與。終邊關(guān)于y軸對(duì)稱Qa=兀-B+2k兀(kwZ).

a終邊與。終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱Qa=兀+9+2k兀(kwZ).

一般地：a終邊與6終邊關(guān)于角夕的終邊對(duì)稱o

a=2,一8+2攵%(左eZ).

2.弧長(zhǎng)公式：/=|a|R,扇形面積公式：5=押='|&|叱，1

弧度(Irad)=57.3°.

3.三角函數(shù)符號(hào)特征是:一是全正、二正弦正、三是切正、

四余弦正.

注意：sin15°=cos75°=,sin75°=cosl5°=近，

tan15f=cot75°=2-73,tan750=cotl5°=2+V3,

5山18。=立二.

4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在x軸上(起點(diǎn)在九軸

上”'、余弦線”躺在x軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線“站在

點(diǎn)41,0)處(起點(diǎn)是A)”.務(wù)必重視“三角函數(shù)值的大小與單位

圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，‘正弦'Q'縱坐標(biāo)'、'余

弦'0'橫坐標(biāo)'、‘正切'0'縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商'”；

務(wù)必記?。?jiǎn)挝粓A中角終邊的變化與sina±cosa值的大小變化

的關(guān)系.a為銳角=>sina<a<tana.

5.三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運(yùn)用中，務(wù)必重視

“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值,精確確定角的范圍,

并進(jìn)行定號(hào)”；

6.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是:奇變偶不變,符號(hào)看象限.

7.三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)(常值)

的變換，其核心是“角的變換”！

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目

標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.

如a=(a+(3)-/3=(a-+B，2a=(a+￡)+(&_￡)，

2a—(B+a)—(2—cc)

…*卡+-"?？?/p>

常值變換主要指“1”的變換：

1-sin2x+cos2x-sec2x-tan?x=tanx-cot龍=tan￡=sin=cos0=…等.

三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化(切割化弦)、三角函

數(shù)次數(shù)的降升(降次、升次)、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(和式與積式的

互化).解題時(shí)本著“三看”的基本原則來(lái)進(jìn)行：“看角、看

函數(shù)、看特征”，基本的技巧有:巧變角，公式變形使用，化切

割為弦,用倍角公式將高次降次.

注意：和（差）角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號(hào)特征；余弦倍角公式的

三種形式選用；降次（升次）公式中的符號(hào)特征.“正余弦'三

兄妹一sinx±cosx、sinxcosx'的內(nèi)存聯(lián)系”（常和二角換兀法聯(lián)系

在~"起f=sinx±cosx

e[-V2,V2],sinxcosx=）.

輔助角公式中輔助角的確定：Qsinx+bcosx=yja2+b2sin（x+

（其中。角所在的象限由a,b的符號(hào)確定，。角的值由tan”2確

a

定）在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.尤其是兩者系數(shù)絕對(duì)值

之比為1或百的情形.Asinx+3cosx=C有實(shí)數(shù)解<=>A?+3?>C2.

8.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：

（1）三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性

和周期性

注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域；絕對(duì)值對(duì)三角函

數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值

或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是

偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變；其他不定.如

y=sin2x,y=|sinjrj的周期都是乃，但y=binx|+|cosx|y=|sinx|+|cosx|的周期為

%,y=|taru|的周期不變，問(wèn)函數(shù)y=cos|x|,

y=sinx2,y=sin|x|,y=cos4x,y=COS|X|是周期函數(shù)嗎?

（2）三角函數(shù)圖像及其幾

j何性質(zhì)：

《鄰中心鬲-匕|=772☆器軸\xrx2\=T/2

無(wú)劣對(duì)稱中心：無(wú)窮對(duì)稱軸：

由尸0確定由尸A或確定

tan（①x+夕）

(3)三角函數(shù)圖像的變換:

“也兩軸方向的平移、伸縮及其向

4F漸近線M*2l=T

★無(wú)對(duì)稱軸

無(wú)劣對(duì)稱中心：、任意一條)率的垂線與正切量的平移變換.

由y=0或)，無(wú)意義確定的數(shù)圖象都相交,a相鄰兩

支點(diǎn)的跑離為一個(gè)周期?、热呛瘮?shù)圖像的作法:

三角函數(shù)線法、五點(diǎn)法(五點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列)和變換法.

9.三角形中的三角函數(shù)：

(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為乃，任意兩角和與第三

個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角

三角形O三內(nèi)角都是銳角Q三內(nèi)角的余弦值為正值O任兩

<WWWv<vwww

角和都是鈍角與任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：3=』f=2R(R為三角形外接圓的半

sinAsinBsinC

徑).

注意：已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正

弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.

⑶余弦定理：

a2=/+c?_2、cc0sA,cosA=及十看一'，=("&一］等,常選用余弦

2bc2bc

定理鑒定三角形的類型.

(4)面積公式：S=gah”二absinC=嗯.

224K

10.反三角函數(shù)：

(1)反正弦arcsinx、反余弦arccosx、反正切arctanx的取值范

圍分別是[gg,[o,G（g9.

（2）異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角、

向量的夾角的范圍依次是（o,g,1o,g,【o㈤,[o㈤.直線的傾斜角、

/,到4的角、4與?2的夾角的范圍依次是[0,乃）,[0,乃）,（0。.

五、向量

1.向量運(yùn)算的幾何形式和坐標(biāo)形式，請(qǐng)注意：向量運(yùn)算中

向量起點(diǎn)、終點(diǎn)及其坐標(biāo)的特征.

2.幾個(gè)概念：零向量、單位向量（與赤共線的單位向量是

+垂特別：（普+普小普-普））、平行（共線）向量（無(wú)傳

~\AB\卜4\AC\]畫(huà)\AC\

遞性，是因?yàn)橛?）、相等向量（有傳遞性）、相反向量、向量

垂直、以及一個(gè)向量在另一向量方向上的投影（，在B上的投

影是=COS<a,bR）.

11w

3.兩非零向量平行（共線）的充要條件￡/力01二

22

<^（ab）=（\a\\b\）x^x2+y}y2=0.

兩個(gè)非零向量垂直的充要條件a.Lba-b=0<=>\a+b\=\a-b\

<^xtx2+y}y2=0.

特別：零向量和任何向量共線.1總是向量平行的充

分丕必要條件!

4.平面向量的基本定理:如果坊和是同一平面內(nèi)的兩

個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量跖有且只有一

對(duì)實(shí)數(shù)4、4，使。=4。1+462.

5.三點(diǎn)A、B、C共線=而、恁共線；

向量麻麗玩中三終點(diǎn)4B、。共線=存在實(shí)數(shù)a、￡使得:

PA=aPB+(3PC^a+/3=\.

22

6.向量的數(shù)量積：|a|=(a)=aa,a-b=\a\\b\cos0=xyx2+y1y2,

cosd=夕一x,x2+y2

\a\\b\Jx；+y；Jx；+￡

a在5上的投影=|a|cos<a,b>==X'5-+~y'~y-?

網(wǎng)后商

注意：<>為銳角Q>0且a、B不同向；

<a,b>為直角<=>ab=0且a、BH6;

<工行>為鈍角0￡/<0且￡、6不反向

是d>為鈍角的必要非充分條件.

向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：一個(gè)封閉圖

形首尾連接而成的向量和為零向量，這是題目中的天然條件,

要注意運(yùn)用；對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩

邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，

但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量；向

量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即癡珀?加，切記兩向量

丕能相除_（相約）.

7.|內(nèi)一由國(guó)辦引〈同+㈤

注意：￡、B同向或有。Q\a+b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\=\a-h\；

a、B反向或有。<=>+>||a|-|^||=|a+i|；

Z、B不共線o土樂(lè)|Z|+訪|.（這些和實(shí)數(shù)集

中類似)

8.平移與定比分點(diǎn)

(1)線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式

設(shè)P(%,y)、P](%1,力)，尸2(必仍)，且聆=%屜，貝！J.

士也12k里21,赤—砒+彳詼

特別：分點(diǎn)的位置與a的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

中點(diǎn)坐標(biāo)公式,而=網(wǎng)上空OP為[鳥(niǎo)的中點(diǎn).

A1A2

I-2

中，而+恁過(guò)BC邊中點(diǎn)；(9+至川垂__善)；

JABI14cl(\AB\\AC\

與A磔線的單位向量是士絲.

\AB\

PG=1(PA+PB+PC)=G為A/WC的重心；

特別可+而+定=6=P為AABC的重心.

中歷=而.定=正.西Q尸為ZV1BC的垂心;

〃上邑+旦邑)(400)所在直線過(guò)AABC的內(nèi)心(是4AC的角平

|A8||AC|

分線所在直線);

|而|正+|反|西+|瓦|而=GoPMBC的內(nèi)心.

s"C=；I而11次卜inA=g^|AB|2|AC|2-(AB-AC)2.

(2)平移公式：如果點(diǎn)尸(%,y)按向量“=(〃，2)平移

至p(4y),則仁+〃.

[y'=y+&

曲線/(x,y)=O按向量a=(h,2)平移得曲線/(x-/z,y-Z)=O.

六、不等式

1.（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式

表示；不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不

等式有意義范圍的端點(diǎn)值.

（2）解分式不等式綱>“（e）的一般解題思路是什么？

（移項(xiàng)通分，分子分母分解因式，X的系數(shù)變?yōu)檎?標(biāo)根

及奇穿過(guò)偶彈回）；

⑶含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去絕對(duì)值？（一般是

根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化）;

（4）解含參不等式常分類等價(jià)轉(zhuǎn)化，必要時(shí)需分類討論.

注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集，但若

族未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.

2.利用重要不等式4+此2J拓以及變式而〈（竽）2等求函

數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意。，尻R+（或。，人非負(fù)），且“等

號(hào)成立”時(shí)的條件是積ab或和a+b其中之一應(yīng)是定值（一正

二定三等四同時(shí)）.

3.常用不等式有:?。ǜ鶕?jù)目標(biāo)不等式

L_L-Li

左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）。、b、CeR,a2+b2+c2>ab+be+ca（當(dāng)且

僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取等號(hào)）

4.比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、

商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析法和放縮法（注意：對(duì)

“整式、分式、絕對(duì)值不等式”的放縮途徑,“配方、函

數(shù)單調(diào)性等”對(duì)放縮的影響）.

5.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：

。、b同號(hào)或有0<^>\a+b\=\a\+\b\'>||a|-|Z?||=|?-Z?|；

。、b異號(hào)或有。<^>\a-b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\=\a+b\^

注意：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用方

程函數(shù)思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題）.

七、直線和圓

1.直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍；直線方向向

量的意義（L或2（o,i）a^o））及其直線方程的向量式

（（*-2-%）=垢儲(chǔ)為直線的方向向量））.應(yīng)用直線方程的點(diǎn)斜式、

斜截式設(shè)直線方程時(shí)，一般可設(shè)直線的斜率為k,但你是否

注意到直線垂直于無(wú)軸時(shí)，即斜率左不存在的情況？

2.知直線縱截距如常設(shè)其方程為y=或x=0;知直線

橫截距尤0，常設(shè)其方程為尤=陽(yáng)+工0（直線斜率上存在時(shí)，機(jī)為左

的倒數(shù)）或y=0.知直線過(guò)點(diǎn)（方，為），常設(shè)其方程為y二以工-城+為

或X=X。.

注意：（1）直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)

式、截矩式、一般式、向量式.以及各種形式的局限性.（如

點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截矩式呢？）

與直線/:Ar+3y+C=0平行的直線可表示為小:+3y+G=0；

與直線l,Ax+By+C=0垂直的直線可表示為反-Ay+G=0;

過(guò)點(diǎn)尸（%,%）與直線/：士+3y+C=0平行的直線可表示為：

A(x-xo)+B(y-yo)=O;

過(guò)點(diǎn)與直線/:士+B)，+C=o垂直的直線可表示為：

B(x-xo)-A(y-yo)=O.

(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩

截距相等o直線的斜率為-1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距互為

相反數(shù)。直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距絕對(duì)值

相等=直線的斜率為±1或直線過(guò)原點(diǎn).

(3)在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能

這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以

理解為它們不重合.

3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個(gè)不同的概

念：夾角特指相交兩直線所成的較小角，范圍是(0,冬，而其

到角是帶有方向的角，范圍是(0，辦相應(yīng)的公式是：夾角公式

1

tan31=1空「煞?,直線4到右角公式tan8=S蕓L=二煞.

1+匕匕A4+8］用1+女#‘AA,+B［B)

注：點(diǎn)到直線的距離公式公也心±g.

VA2+B2

特別：<=>kxk2=-1(給■都存在時(shí))<=>A4+=o；

w］索小國(guó)都存在時(shí))=收第筮j

卜建合H鼠”、為都存在時(shí))0?。核杌駼￡=W

4.線性規(guī)劃中幾個(gè)概念：約束條件、可行解、可行域、目

標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解.

5.圓的方程：最簡(jiǎn)方程/+/=火2；

標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(—R2；

一般式方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)；

參數(shù)方程仁黑濡(6為參數(shù))；

直徑式方程(%-%)(》72)+?-%)(3;72)=0.

注意：(1)在圓的一般式方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是

(-^,-f),/?=1Vo2+E2-4F.

(2)圓的參數(shù)方程為“三角換元”提供了樣板，常用三

角換元有：

f+>2=]—x=cos&y=sine,

x2+y2=2—>x=V2COS8,y=V2sin6，

x2+y2<1x=rcos6,y-rsin^(0</*<1)，

x2+y2<2—>x=rcos^,y=rsin^(0<r<>/2).

6.解決直線與圓的關(guān)系問(wèn)題有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)

形結(jié)合思想”兩種思路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解，重要的是發(fā)揮“圓

的平面幾何性質(zhì)(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形,

切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等)的作用!”

⑴過(guò)圓公+代找上一點(diǎn)p(“0)圓的切線方程是：

*0+?o=，

過(guò)圓(x“)2+(y-02=R2上一點(diǎn)圓的切線方程是：

2

(x-a)(x0-a)+(y-?)(y0-a)=/?，

過(guò)圓/+>2+6+4+尸=o(加+￡2_4F>0)上一點(diǎn)「(%,%)圓的切線

方程是："o+”o+ga+/o)+g(y+y())+尸=0?

如果點(diǎn)P(%,%)在圓外，那么上述直線方程表示過(guò)點(diǎn)P兩切

線上兩切點(diǎn)的“切點(diǎn)弦”方程.

如果點(diǎn)P5,%）在圓內(nèi)，那么上述直線方程表示與圓相離且

垂直于qp（a為圓心）的直線方程，|0F“=R2（d為圓心q到直

線的距離）.

7.曲線G：/*,y）=o與C2：g（x，y）=o的交點(diǎn)坐標(biāo)=方程組

俄嚼:弼解;

過(guò)兩圓G：/（x,y）=o、G：g*，y）=o交點(diǎn)的圓（公共弦）系為

f（x,y）+Ag（x,y）=O＞當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)平方項(xiàng)時(shí)，/（x,y）+2g（x,y）=0為兩圓

公共弦所在直線方程.

八、圓錐曲線

1.圓錐曲線的兩個(gè)定義，及其“括號(hào)”內(nèi)的限制條件,在

圓錐曲線問(wèn)題中，如果涉及到其兩焦點(diǎn)（兩相異定點(diǎn)），那么

將優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線（一

定點(diǎn)和不過(guò)該點(diǎn)的一定直線）或離心率，那么將優(yōu)先選用圓錐

曲線第二定義；涉及到焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題，也要重視焦半徑

和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

（1）注意：①圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運(yùn)用；②

圓錐曲線第二定義是：”點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，

橢圓O點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是小于1的正數(shù)，雙曲線0點(diǎn)點(diǎn)

距除以點(diǎn)線距商是大于1的正數(shù)，拋物線0點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線

距商是等于L③圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：

K1

2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對(duì)稱性、圓錐曲線的

范圍、圓錐曲線的特殊點(diǎn)線、圓錐曲線的變化趨勢(shì).其中e”,

a

橢圓中先后、雙曲線中9n.重視“特征直角三角形、

焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其'頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等相

互之間與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的幾何性質(zhì)’”，尤其是雙曲線中焦半

徑最值、焦點(diǎn)弦最值的特點(diǎn).注意：等軸雙曲線的意義和性質(zhì).

3.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題中，有“函數(shù)方程思

想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解.特別是：

①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組

有實(shí)數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時(shí)，務(wù)必“判別式三0”，尤

其是在應(yīng)用韋達(dá)定理解決問(wèn)題時(shí),必須先有“判別式、0”.

②直線與拋物線（相交不一定交于兩點(diǎn)）、雙曲線位置關(guān)系

（相交的四種情況）的特殊性，應(yīng)謹(jǐn)慎處理.?

③在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題中，常與“弦”相關(guān),

“平行弦”問(wèn)題的關(guān)鍵是“斜率"、"中點(diǎn)弦”問(wèn)題關(guān)鍵是‘韋

達(dá)定理”或小小直角三角形"或點(diǎn)差法"、"長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)）”

問(wèn)題關(guān)鍵是長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)）公式

=2

J(X—％尸+(y，Il+\x2-x2|=\J\+k-,

*WWWWWWWVWWWWWWVW>A^ZWWWWVWWWWWW'II

IAB卜/+/|乂一%|=或'”小小直角三角形”.

④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么

可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化.

4.要重視常見(jiàn)的尋求曲線方程的方法（待定系數(shù)法、定義

法、直譯法、代點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等），以及如

何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)（定義法、幾何法、代

數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和等價(jià)

轉(zhuǎn)化思想等），這是解析幾何的兩類基本問(wèn)題，也是解析幾何

的基本出發(fā)點(diǎn).

注意：①如果問(wèn)題中涉及到平面向量知識(shí),那么應(yīng)從已知

向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或

脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫

靴子”轉(zhuǎn)化.

②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)丕同的概念,

尋求軌跡或軌跡方程時(shí)應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備

性與純粹性”的影響.

③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何

性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如角平分線的雙重身份）、“方程與函數(shù)性

質(zhì)”化解析幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題、”分類討論思想”化整為

零分化處理、”求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”

守守.

九、直線、平面、簡(jiǎn)單多面體

1.計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是受移(補(bǔ)形)轉(zhuǎn)化為兩直

線的夾角，或建立空間坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角計(jì)算

222

(|a|=y[(ay=y/x+y+z>a+b=(x]+x2,yi±y2,z]+z2)>

ab=xxx2+yyy2+zxz2、Aa=)(2eR)、

allh(bH6)=%=AX2,yy=Ay2,Z)=AZ2,(2GR),

?

a_LB=x]x2+yxy2+z,z2=0

特別：人蟲(chóng)公如馬)，B=(x2,y2,z2),

貝IjAB=OB-OA=(x2,y2,z2)~(xi,y[,z])=(x2-xl,y2-yi,z2-zt).

cos<Z,B>=,一+”2,

Jx；+y；+z；《x；+y；+z；

222

|研7(W=^-x2)+(yi-y2)+(z]-z2)

2.計(jì)算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線戰(zhàn)射影，或

向量法(直線上向量與平面法向量夾角的余角)，三余弦公式

zwwwwwwwwwvy/、，wvwvwwwwwwwwvwwwvwvx

(最小角定理，cos^=cos^cos^2),或先運(yùn)用等積法求點(diǎn)到直線

的距離，后虛擬直角三角形求解.注：一斜線與平面上以斜足

為頂點(diǎn)的角的兩邊所成角相等n斜線在平面上射影為角的平

分線.

3.計(jì)算二面角的大小主要有:定義法(先作其平面角后計(jì)算

大小)、公式法(cos8=黑)、向量法(兩平面法向量的夾角)、等

'原

價(jià)轉(zhuǎn)換法等等.二面角平面角的主要作法有：定義法(取點(diǎn)、

作垂、構(gòu)角）、三垂線法（兩垂一連，關(guān)鍵是第一垂（過(guò)二面角

一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)，作另一個(gè)面的垂線））、垂面法.

4.計(jì)算空間距離的主要方法有：定義法（先作垂線段后計(jì)

算）、等積法、轉(zhuǎn)換法（平行換點(diǎn)、換面）等.

5.空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、

定理和空間向量進(jìn)行，模式是：

線線關(guān)系口線面關(guān)系口面面關(guān)系，請(qǐng)重視線面平行關(guān)系、

線面垂直關(guān)系（三垂線定理及其逆定理）的橋梁作用.注意：書(shū)

寫(xiě)證明過(guò)程需規(guī)范.

特別聲明：①證明計(jì)算過(guò)程中，若有“中點(diǎn)”等特殊點(diǎn)

線，則常借助于“中位線、重心”等知識(shí)轉(zhuǎn)化.

②在證明計(jì)算過(guò)程中常將運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將具體問(wèn)題轉(zhuǎn)

化（構(gòu)造）為特殊幾何體（如三棱錐、正方體、長(zhǎng)方體、三

棱柱、四棱柱等）中問(wèn)題，并獲得去解決.

③如果根據(jù)已知條件，在幾何體中有“三條直線兩兩垂

直”，那么往往以此為基礎(chǔ)，建立空間直角坐標(biāo)系，并運(yùn)用

空間向量解決問(wèn)題.

6.直棱柱、正棱柱、平行六面體、長(zhǎng)方體、正方體、正

四面體、棱錐、正棱錐關(guān)于側(cè)棱、側(cè)面、對(duì)角面、平行于底

的截面的幾何體性質(zhì).

如長(zhǎng)方體中：對(duì)角線長(zhǎng)/="2+o2+c2,棱長(zhǎng)總和為4（a+8+c）,

全（表）面積為2（ab+bc+ca），（結(jié)合

（a+b+c）2=a2+b2+c'+2a"+20c+2ca可得關(guān)于他勿］的等量關(guān)系，結(jié)

合基本不等式還可建立關(guān)于他們的不等關(guān)系式），

cos2a+cos2P+cos2y=2（1）；

如三棱錐中：側(cè)棱長(zhǎng)相等（側(cè)棱與底面所成角相等）。頂

點(diǎn)在底上射影為底面外心，側(cè)棱兩兩垂直（兩對(duì)對(duì)棱垂直）Q

頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心，斜高長(zhǎng)相等（側(cè)面與底面所成相

等）且頂點(diǎn)在底上在底面內(nèi)Q頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心.

如正四面體和正方體中：

7.求幾何體體積的常規(guī)方法是：公式法、害I」補(bǔ)法、等積（轉(zhuǎn)

換）法、比例（性質(zhì)轉(zhuǎn)換）法等.注意：補(bǔ)形：三棱錐n三棱柱n

平行六面體分割：三棱柱中三棱錐、四三棱錐、三棱

柱的體積關(guān)系是.

8.多面體是由若干個(gè)多邊形圍成的幾何體.棱柱和棱錐

是特殊的多面體.

正多面體的每個(gè)面都是相同邊數(shù)的正多邊形，以每個(gè)頂

點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱，這樣的多面體只有五種，

即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面

體.

關(guān)于多面體的概會(huì)間有如下關(guān)系:

｛多面體｝會(huì)簡(jiǎn)單多面體｝｛凸多面體｝｛正多面

體｝;

｛凸多面體｝共｛棱柱｝｛直猿柱｝｛正棱柱｝｛正

方體｝;

｛凸多輸本｝｛棱錐產(chǎn)｛正棱錐｝｛正四面體｝.

歐拉公式（V+尸一￡=2）是簡(jiǎn)單多面體的重要性質(zhì)，在運(yùn)

用過(guò)程中應(yīng)重視“各面的邊數(shù)總和等于各頂點(diǎn)出發(fā)的棱數(shù)總

和、等于多面體棱數(shù)的兩倍”.“簡(jiǎn)單多面體各面的內(nèi)角總和

是（片2）x360°”.

過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)有n條棱，每個(gè)面是m邊形的一般方法是什

么？

10.球是一種常見(jiàn)的簡(jiǎn)單幾何體.球的位置由球心確定,

球的大小僅取決于半徑的大小.球包括球面及球面圍成的空

間區(qū)域內(nèi)的所有的點(diǎn).球面是到球心的距離等于定長(zhǎng)（半徑）

的點(diǎn)的集合.球的截面是圓面，其中過(guò)球心的截面叫做大圓

面.球面上兩點(diǎn)間的距離，是過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的

劣弧長(zhǎng)，計(jì)算球面距離的關(guān)鍵是“根據(jù)已知經(jīng)緯度等條件,

先尋求球面上兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)”，因?yàn)榇讼议L(zhǎng)既是球面上兩點(diǎn)

間的弦長(zhǎng)，又是大圓上兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng).注：“經(jīng)度是‘小小

半徑所成角'，緯度是'大小半徑的夾角

球體積公式球表面積公式S=4頷2,是兩個(gè)關(guān)于球

3

的幾何度量公式.它們都是球半徑及的函數(shù).解決球的相關(guān)

問(wèn)題務(wù)必注意球的幾何性質(zhì)（尤其是“球的半徑、球心截面

距、小圓半徑構(gòu)成直角三角形”；球與多面體相切或相接時(shí)，

組合體的特殊關(guān)聯(lián)關(guān)系）.

十、排列、組合和概率

1.排列數(shù)父、組合數(shù)中n>/兒n>1,//7>0,〃、meN.

（1）排列數(shù)公式

n!

A；=n（n—1）（H—2）…（〃一相+1）=----（m<〃）；

（n-m）\

（2）組合數(shù)公式

禺,二生（〃1）彳七￡1）=〃！宗―〃）；父=心禺.

（3）組合數(shù)性質(zhì)：

as*4=01+圖（旌〃），￡：=〃*,

C；+C-=C：：：.

2.解排列組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有

序排列，無(wú)序組合.

3.解排列組合問(wèn)題的規(guī)律是（優(yōu)限法和間接法）：相鄰問(wèn)

題捆綁法；不鄰（相間）問(wèn)題插空法；多排問(wèn)題單排法；定位

問(wèn)題優(yōu)先法；多元問(wèn)題分類法；有序問(wèn)題用除法（組合法）；

選取問(wèn)題先選后排法；至多至少問(wèn)題間接法，特別地還有隔

板法（什么時(shí)候用？）、字典法、構(gòu)造法等.

4.(1)二項(xiàng)式定理:(a+by=-a"++…+C：a"-E+■?-+C'b",

其中各系數(shù)就是組合數(shù)C，它叫做第共1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；

展開(kāi)式共有n+1項(xiàng)，其中第r+1項(xiàng)/=C"F.某項(xiàng)“加數(shù)匕”

的指數(shù)三該項(xiàng)的“項(xiàng)數(shù)減去1的差”,也可看成組合數(shù)的上標(biāo).

(2)二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)(組合數(shù))的性質(zhì)：對(duì)稱性、

等距性、單調(diào)最值性和C；+C：+.??+6+???+C；；=2".

(3)應(yīng)用“賦值法”同樣可得相關(guān)性質(zhì)或?qū)で蠖?xiàng)式展

開(kāi)式中“奇次(數(shù))項(xiàng)”“偶次(數(shù))項(xiàng)”的系數(shù)和.如

C：+C；+C+…=C：+C；+C；+...=2"T,奇(偶)次項(xiàng)系數(shù)和得"(1)T(F

注意：二項(xiàng)式展開(kāi)式中區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)”，

尋求其中項(xiàng)的系數(shù)的最大值是將相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)構(gòu)建不等

式進(jìn)行.

二項(xiàng)式的應(yīng)用主要是進(jìn)行應(yīng)用其前幾項(xiàng)近似計(jì)算、整除性

計(jì)算或證明、應(yīng)用其首尾幾項(xiàng)進(jìn)行放縮.

5.概率的計(jì)算公式：

(1)等可能事件的概率計(jì)算公式：p(A)="=絲”；

ncard(I)

(2)互斥事件的概率計(jì)算公式：尸(A+8)=尸(A)+P(B)；

(3)對(duì)立事件的概率計(jì)算公式是：P(A)=1-P(A)；

(4)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式是：P(A?8)=

P(A)?P(3)；

(5)獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式是：

居㈤=CP（「p尸（是二項(xiàng)展開(kāi)式[（1—P）+/f的第

（狂1）項(xiàng)）.

注意：探求一個(gè)事件發(fā)生的概率，常應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和

分解（分類或分步）轉(zhuǎn)化思想處理:把所求的事件轉(zhuǎn)化為等可

能事件的概率（常常采用排列組合的知識(shí)）；轉(zhuǎn)化為若干個(gè)互

斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率；利用對(duì)立事件的概率，轉(zhuǎn)化為

相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率；看作某一事件在〃次實(shí)驗(yàn)中

恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件.事件互斥

是事件獨(dú)立的必要非充分條件，反之，事件對(duì)立是事件互斥

的充分非必要條件.

十一.統(tǒng)計(jì)

1.抽樣方法：（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)樣數(shù)表法）

常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的主要特征是從總體中逐個(gè)抽

取.（2）分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體

中有明顯差異.共同點(diǎn)：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等（2）

N

2.總體分布的估計(jì)就是用總體中樣本的頻率作為總體的

概率.

3.用樣本的算術(shù)平均數(shù)作為對(duì)總體期望值的估計(jì)；用樣

本方差的大小估計(jì)總體數(shù)據(jù)波動(dòng)性的好差（方差大波動(dòng)差）.公

式如下：

小儲(chǔ)一（"XJ2,5=7F（標(biāo)準(zhǔn)方差）

nni=]ni=]ni=]

故x；=axi+b,則x'=ax+/?,（S'）?=/相-

總體估計(jì)還要掌握：⑴一“表”（頻率分布表）一“圖”（頻

率分布直方圖）.

注意：直方圖的縱軸（小矩形的高）一般是頻率除以組距

的商?（而不是頻率），橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面

積表示頻率領(lǐng)

十二,導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)的意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率（幾何意義）、

瞬時(shí)速度、邊際成本（成本為因變量、產(chǎn)量為自變量的函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)）.'（C）z=0（C為常數(shù)）,[/（x）±g（x）y=f\x）±gz（x）,

q（x）r=qf（x）?

2?多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性：

在一個(gè)區(qū)間上f（x）>0（個(gè)別點(diǎn)取等號(hào)）Qf（x）在此區(qū)間上為

增函數(shù).

在一個(gè)區(qū)間上/"（x）W0（個(gè)別點(diǎn)取等號(hào)）Qf（x）在此區(qū)間上為

減函數(shù).

3.導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值：

（1）函數(shù)〃幻在與處有八%）=0且“左正右負(fù)"QAx）在方處取

極大值；

函數(shù)f（x）在/處有/"（Xo）=o且"左負(fù)右正"在X。處

取極小值.

注意：①在4處有八X。）=0是函數(shù)/（x）在/處取極值的必

要非充分條件.

②求函數(shù)極值的方法：先找定義域,再求導(dǎo),找出定義

域的分界點(diǎn)，列表求出極值.特別是給出函數(shù)極大（?。┲档?/p>

條件，一定要既考慮八不）=0,又要考慮驗(yàn)“左正右負(fù)”（“左

負(fù)右正”）的轉(zhuǎn)化，否則條件沒(méi)有用完，這一點(diǎn)一定要切記.

③單調(diào)性與最值（極值）的研究要注意列表！

（2）函數(shù)/⑺在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上

的極大值與其端點(diǎn)值中的“最大值”；

函數(shù)/⑺在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上

的極小值與其端點(diǎn)值中的“最小值”；

注意：利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟：先找定義域再求出

導(dǎo)數(shù)為0及導(dǎo)數(shù)不存在的的點(diǎn)，然后比較定義域的端點(diǎn)值和

導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)對(duì)應(yīng)