專題7.6多邊形及其內(nèi)角和【十大題型】

【蘇科版】

【題型?多邊形及正多邊形的概念辨析】..........................................................1

【題型2多邊形的不穩(wěn)定性】....................................................................2

【題型3多邊形的對(duì)角線】......................................................................3

【題型4多邊形的內(nèi)角和】......................................................................4

【題型5多邊形的外角和】......................................................................5

【題型6截角問題】............................................................................6

【題型7多邊形內(nèi)角和和外角和?平行線】........................................................7

【題型8多邊形內(nèi)角和和外角和?角平分線】......................................................8

【題型9多邊形內(nèi)角和和外角和的實(shí)際應(yīng)用】.....................................................9

【題型10多邊形內(nèi)角和和外角卻的的綜合應(yīng)用】.................................................10

”片聲*三

【知識(shí)點(diǎn)1多邊形的概念】

平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形，叫做多邊形.

【知識(shí)點(diǎn)2正多邊形的概念】

各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.

【題型1多邊形及正多邊形的概念辨析】

【例1】（2022?秦都區(qū)校級(jí)月考）如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）

C.5個(gè)D.6個(gè)

【變式1-1]（2022春?煙臺(tái)期中）下列說(shuō)法：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形；②多邊形的邊

數(shù)是不小于4的自然數(shù)；③從一個(gè)多邊形（邊數(shù)為〃）的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各

頂點(diǎn)，可以把這個(gè)多邊形分割成（〃-2）個(gè)三角形；④半圓是扇形，其中正確的結(jié)論有（）

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式1-2】（2022?瀘西縣期末）下列圖形：①等邊三角形：②直角三角形：③平行四邊形：④正方形,

其中正多邊形的個(gè)數(shù)有（

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【知識(shí)點(diǎn)3多邊形的不穩(wěn)定性】

多邊形具有不穩(wěn)定性.

【題型2多邊形的不穩(wěn)定性】

【例2】（2022?瀘西縣期末）如圖的伸縮門，其原理是（）

A.三角形的穩(wěn)定性B.四邊形的不穩(wěn)定性

C.兩點(diǎn)之間線段最短D.兩點(diǎn)確定一條直線

【變式2-1］（2022春?彼山區(qū)校級(jí)期末）下列圖形中具有穩(wěn)定性有（）

區(qū)I

(1)(2)(3)(4)

A.2個(gè)B.3個(gè)D.5個(gè)

【變式2-2］（2022?長(zhǎng)春月考）如圖，一個(gè)六邊形木框顯然不具有穩(wěn)定性，要把它固定下來(lái)，至少要釘上

幾根木條,造畫出相應(yīng)木條所在線段.

【變式2-3］（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）以線段〃=7,Q8,c=9,4=10為邊作四邊形，可以作（）

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【知識(shí)點(diǎn)4多邊形的對(duì)角線】

連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)n邊形分割成（n?2）個(gè)三角形，

共有）（〃-3）條對(duì)角線.

【題型3多邊形的對(duì)角線】

【例3】（2022春?單縣期末）已知從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線將該多邊形分成7個(gè)三角形，則該多

邊形對(duì)角線一共有（）

A.14條B.18條C.20條D.27條

【變式3-1］（2022?北流市期中）三角形具有穩(wěn)定性，要使一個(gè)四邊形框架穩(wěn)定不變形，至少需要釘—根

木條.

【變式3-2】連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線，如圖所示畫出的是四邊形、五邊形、

六邊形的所有對(duì)角線請(qǐng)回答下列問題：

（1）尋找規(guī)律，試用含〃的代數(shù)式表示〃邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)；

（2）求20邊形的所有對(duì)角線的條數(shù).

【變式3-3］（2021秋?長(zhǎng)春月考）【教材重現(xiàn)】如圖是數(shù)學(xué)教材第135頁(yè)的部分截圖.

在多邊形中，三角形是最基本的圖形.如圖所示，每一個(gè)多邊形都可以分割成若干個(gè)三角形.

數(shù)?數(shù)每個(gè)多邊形中三角形的個(gè)數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

在多邊形中，連接不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，所得到的線段稱為多邊形的對(duì)角線.

【問題思考】結(jié)合如圖思考，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以得到的對(duì)角線的數(shù)量，并填寫表:

多邊形邊四五六…十二…〃

數(shù)

從-■個(gè)頂］條??????

點(diǎn)出發(fā)，得

到對(duì)角線

的數(shù)量

【變式4-2］（2022?西平縣期中）一個(gè)多邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和等于2012。，求這個(gè)內(nèi)角

的度數(shù)及多邊形的邊數(shù).

【變式4-3］（2022春?寶應(yīng)縣校級(jí)月考）小馬虎同學(xué)在計(jì)算某人多邊形的內(nèi)角和時(shí)得到1840。，老師說(shuō)他

算錯(cuò)了，于是小馬虎認(rèn)真地檢查了一遍

（1）若他檢查發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)直角多算了一次，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)是多少？

（2）若他檢查發(fā)現(xiàn)漏算了一個(gè)內(nèi)角，求漏算的那個(gè)內(nèi)角是多少度？這個(gè)多邊形是幾邊形？

【知識(shí)點(diǎn)6多邊形的外角和】

在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的外角和恒等于

360°,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).

【題型5多邊形的外角和】

【例5】（2022?蒼溪縣月考）如圖，Zl,Z2,N3,N4是五邊形A4c的四個(gè)外角.若乙4=120°,

求N1+N2+N3+N4的度數(shù).

【變式5-1]（2022?路北區(qū)期末）已知，正多邊形的一個(gè)外角是30°,則這個(gè)正多邊形是（）

A.六邊形B.九邊形C.十邊形D.十二邊形

【變式5-2]（2022?海口模擬）六邊形的外角和為（）

A.360°B.540°C.720°D.1080=

【變式5-3]（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)與四邊形8COE的外角和的

度數(shù)分別為a，P，則正確的是（）

A.a-p=0B.a-p<0

C.a-p>0D.無(wú)法比較a與p的大小

【題型6截角問題】

[例6]（2022?驛城區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后變成了六邊形，則原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是

（）

A.5或6B.6或7C.5或6或7D.6或7或8

【變式6-1]（2022?安陸市期末）一個(gè)四邊形剪去一個(gè)角后，它不可能是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【變式6-2]（2022春?雨花區(qū)校級(jí)期末）把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線截下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)18

邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）

A.16B.17C.18D.19

【變式6?3】（2022?懷柔區(qū)期末）如圖是一個(gè)正方形，把此正方形沿虛線A8剪去一個(gè)角，得到一個(gè)五邊形,

則這個(gè)五邊形的周長(zhǎng)原來(lái)王方形的周長(zhǎng).（填“大于”“小于”或“等于"），理由是.

【題型7多邊形內(nèi)角和和外角和?平行線】

【例7】（2022春?侯馬市期末）如圖，六邊形ABCDE”的內(nèi)角都相等.

（1）若N1=6（T，求NA/JC'的度數(shù)；

（2）A8與石。有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

【變式7-1]（2022?平山縣期末）嘉淇在折幸運(yùn)星時(shí)將一張長(zhǎng)方形的紙條折成了如圖所示的樣子（內(nèi)部有

一個(gè)正五邊形），則N1的度數(shù)為（）

A.36°B.54°C.60°D.72°

【變式7-2]（2022春?市中區(qū)期末）如圖，在四邊形A8CD中，ZA=108°,ZC=82°,N分別是

AB、BC上的點(diǎn)，將△BMN沿著MN翻折，得到若ME〃AD,EN〃OC,則NE的度數(shù)為（）

【變式7-3]（2022?臨清市三模）如圖，正五邊形A8C￡B點(diǎn)。、E分別在直線〃?、〃上.若加〃*Z1

=20",貝IJN2為()

A.52°B.60°C.58°D.56°

【題型8多邊形內(nèi)角和和外角和?角平分線】

【例8】（2022?藁城區(qū)二模）如圖，六邊形A8CI比產(chǎn)中，NA,NB,NC,NO的外角都相等，即Nl=

N2=N3=/4=62°,分別作底/和/E的的平分線交于點(diǎn)P,則NP的度數(shù)是（）

【變式8-1]（2022?興化市一模）如圖，在四邊形A8CO中，乙4=150°,ZC=60°,NABC與NAOC

的平分線交于點(diǎn)。，則NBOD的度數(shù)為（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

【變式8-2]（2022春?蘇州月考）如圖，在四邊形A5co中，NA+N4=210°,作N4QC、//SCO的平

分線交于點(diǎn)。，再作NOQCNOC。的平分線交于點(diǎn)Q，則NOz的度數(shù)為.

【變式8-3]（2022春?惠民縣期末）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角/。。/，并與NE48的平分線

交于點(diǎn)O，則/AOG的度數(shù)為（）

B

A.144B.126°C.120°D.108°

【題型9多邊形內(nèi)角和和外角和的實(shí)際應(yīng)用】

【例9】（2022春?井研縣期末）如圖，大建從A點(diǎn)出發(fā)沿直線前進(jìn)8米到達(dá)3點(diǎn)后向左旋轉(zhuǎn)的角度為a,

再沿直線前進(jìn)8米，到達(dá)點(diǎn)C后，又向左旋轉(zhuǎn)a角度，照這樣走下去，第?次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí)，他共走

了72米，則每次旋轉(zhuǎn)的角度a為（）

A.30°B.40。C.45°D.60°

【變式9-1]（2022春?昌平區(qū)校級(jí)期中）科技館為某機(jī)器人編制了一段程序，如果機(jī)器人在平地上按圖所

示的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為（）

A.12米B.8米C.6米D.不能確定

【變式9-2]（2022?桓臺(tái)縣期末）如圖，桐桐從A點(diǎn)出發(fā)，前進(jìn)3m至U點(diǎn)B處后向右轉(zhuǎn)20°,再前進(jìn)3m

到點(diǎn)C處后又向右轉(zhuǎn)20°,…，這樣一直走下去，她第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)?，一共走了（）

A.100〃？B.9（）mC.54〃？D.60m

【變式9-3]（2022?株洲模擬）如圖，若干相同正五邊形排成環(huán)狀.圖中已經(jīng)排好前3個(gè)五邊形，還需一個(gè)

五邊形完成這一圓環(huán).

【題型10多邊形內(nèi)角和和外角和的的綜合應(yīng)用】

【例10】（2022春?臨汾期末）在五邊形A8CQE中，ZA,NB,ZC,ZD,NE的度數(shù)之比為3：5：3：

4；3,則/。的外角等于（）

A.60°B.75°C.90°D.120°

【變式10-1】（2022春?定陶縣期末）請(qǐng)根據(jù)下面x與y的對(duì)話解答下列各小題：

X：我和），都是多邊形，我們倆的內(nèi)角和相加的結(jié)果為144（）。；

產(chǎn)上的邊數(shù)與我的邊數(shù)之比為1：3.

（1）求x與y的外角和相加的度數(shù)？

（2）分別求出“與），的邊數(shù)？

（3）試求出），共有多少條對(duì)角線？

【變式10-2】（2022?富縣月考）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，每個(gè)內(nèi)角與相鄰?fù)饨堑牟顬?00,，求這

個(gè)多邊形內(nèi)角和的度數(shù)和邊數(shù).

【變式10-3］（2（）22?孝昌縣期中"、明計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)誤把一個(gè)外角加進(jìn)去了，得其和為2620°.

（1）求這個(gè)多加的外角的度數(shù);

（2）求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

專題7.6多邊形及其內(nèi)角和【十大題型】

【蘇科版】

型

題

1多邊形及正多邊形的概念辨析】..........................................................1

型

題

2多邊形的不穩(wěn)定性】....................................................................2

型

題

3多邊形的對(duì)角線】......................................................................3

型

題

4多邊形的內(nèi)角和】......................................................................4

型

題

5多邊形的外角和】......................................................................5

型

題

6截角問題】............................................................................6

型

題

7多邊形內(nèi)角和和外角和-平行線】.........................................................7

型

題

型

題8多邊形內(nèi)角和和外角和-角平分線】.......................................................8

型

題9多邊形內(nèi)角和和外角和的實(shí)際應(yīng)用】.....................................................9

10多邊形內(nèi)角和和外角和的的綜合應(yīng)用】.................................................10

以％聲一共三

【知識(shí)點(diǎn)1多邊形的概念】

平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形，叫做多邊形.

【知識(shí)點(diǎn)2正多邊形的概念】

各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.

【題型1多邊形及正多邊形的概念辨析】

[例1]（2022?秦都區(qū)校級(jí)月考）如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）

人一。。0

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【分析】根據(jù)多邊形的定義；平面內(nèi)不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的

圖形叫多邊形.顯然只有第一個(gè)、第二個(gè)、第四個(gè).

【解答】解：所示的圖形中，屬于多邊形的有第一個(gè)、第二個(gè)、第四個(gè)，共有3個(gè).

故選：A.

【變式（2022春?煙臺(tái)期中）下列說(shuō)法：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形:

②多邊形的邊數(shù)是不小于4的自然數(shù)：③從一個(gè)多邊形（邊數(shù)為〃）的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),

分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)多邊形分割成（〃-2）個(gè)三角形；④半圓

是扇形，其中正確的結(jié)論有（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)多邊形的定義以及弧的定義即可判斷.

【解答】解：①由許多條線段首尾順次連接而成的圖形叫做多邊形，命題錯(cuò)誤；

②多邊形的邊數(shù)是不小于3的自然數(shù)，命題錯(cuò)誤；

③從一個(gè)多邊形（邊數(shù)為〃）的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以

把這個(gè)多邊形分割成（〃-2）個(gè)三角形，命題正確；

④半圓是弧，不是扇形，命題錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式1-2]（2022?瀘西縣期末）下列圖形：①等邊三角形；②直角三角形；③平行四邊

形；④正方形，其中正多邊形的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.依據(jù)正多邊形的概念進(jìn)

行判斷即可.

【解答】解：①等邊三角形是正多邊形，正確；

②直角三角形不是正多邊形，錯(cuò)誤；

③平行四邊形不是正多邊形，錯(cuò)誤；

④正方形是正多邊形，正確.

故選：B.

【解答】解：下列圖形是多邊形的有③④,

故答案為：③④.

【知識(shí)點(diǎn)3多邊形的不穩(wěn)定性】

多邊形具有不穩(wěn)定性.

【題型2多邊形的不穩(wěn)定性】

【例2】（2022?瀘西縣期末）如圖的伸縮門，其原理是（)

A.三角形的穩(wěn)定性B.四邊形的不穩(wěn)定性

C.兩點(diǎn)之間線段最短D.兩點(diǎn)確定一條直線

【分析】根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性，可得答案.

【解答】解：如圖的伸縮門，其原理是四邊形的不穩(wěn)定性，

故選：B.

【變式2?1】(2022春?霞山區(qū)校級(jí)期末)下列圖形中具有穩(wěn)定性有()

OZS7B區(qū)。0

(1)⑵(3)(4)(5)(6)

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，只要圖形分割成了三角形，則具有穩(wěn)定性.

【解答】解.：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，只要圖形分割成了三角形，則具有穩(wěn)定性.顯然

(2)、(4)、(5)三個(gè).故選艮

【變式2-2](2022?長(zhǎng)春月考)如圖，一個(gè)六邊形木框顯然不具有穩(wěn)定性，要把它固定下

來(lái)，至少要釘上幾根木條，請(qǐng)畫出相應(yīng)木條所在線段.

【分析】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使六邊形木架不變形需把它分成三角形，即過六邊

形的?個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，有幾條對(duì)角線，就至少要釘.卜.幾根木條.

【解答】解：如圖所示：

至少要定3根木條.

【變式2-3](2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考)以線段〃=7,b=8,。=9,d=10為邊作四邊

形，可以作()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【分析】根據(jù)四邊形具有不穩(wěn)定性，可知四條線段組成的四邊形可有無(wú)數(shù)種變化.

【解答】解：四條線段組成的四邊形可有無(wú)數(shù)種變化.

故選：D.

【知識(shí)點(diǎn)4多邊形的對(duì)角線】

連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)n邊形分割成

（n-2）個(gè)三角形，

共有）（〃?3）條對(duì)角線.

【題型3多邊形的對(duì)角線】

【例3】（2022春?單縣期末）已知從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線將該多邊形分成7個(gè)

三角形，則該多邊形對(duì)角線一共有（）

A.14條B.18條C.20條D.27條

【分析】根據(jù)對(duì)角線分多邊形成三角形的個(gè)數(shù)，得出多邊形的邊數(shù)，從而求解.

【解答】解：從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可引出（〃?3）條對(duì)角線，得到（?-2）個(gè)三角形，

所以2=7,

解得〃=9,

所以共有0.5X9X（9-3）=27條對(duì)角線.

故選：

【變式3-1]（2022?北流市期中）三角形具有穩(wěn)定性，要使一個(gè)四邊形框架穩(wěn)定不變形，

至少需要釘1根木條.

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得答案.

【解答】解：如圖所示：

要使這個(gè)木架不變形，他至少還要再釘上1個(gè)木條，

故答案為：1

【變式3-2】連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線，如圖所示畫出的是

四邊形、五邊形、六邊形的所有對(duì)角線請(qǐng)回答下列問題：

（1）尋找規(guī)律，試用含"的代數(shù)式表示〃邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)；

（2）求20邊形的所有對(duì)角線的條數(shù).

【分析】（1）根據(jù)三角形以及對(duì)角線的概念，不難發(fā)現(xiàn)：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線除了

和2邊不能組成三角形外，其余都能組成三角形，故從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有3；-3）

條，所以〃邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)為獨(dú)尸2;

（2）把〃=20代入（1）的結(jié)論即可.

【解答】解：（1）正方形的對(duì)角線的條數(shù)為：生妥=2；

五邊形的對(duì)角線的條數(shù)為：四|二1二5；

六邊形的對(duì)角線的條數(shù)為：空戶=9；

〃邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)為：與阻；

（2）當(dāng)〃=20時(shí)，20X（：。-3）=]70,

即20邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)為170.

【變式3-3]（2021秋?長(zhǎng)春月考）【教材重現(xiàn)】如圖是數(shù)學(xué)教材第135頁(yè)的部分截圖.

在多邊形中，三角形是最基本的圖形.如圖所示，每一個(gè)多邊形都可以分割成若干個(gè)三

角形.

數(shù)一數(shù)每個(gè)多邊形中三角形的個(gè)數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

在多邊形中，連接不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，所得到的線段稱為多邊形的對(duì)角線.

【問題思考】結(jié)合如圖思考，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以得到的對(duì)角線的數(shù)量，并

填寫表：

多邊形邊四五六…十二…八

數(shù)

從一個(gè)頂1條23…9…〃-3

點(diǎn)出發(fā)，得

到對(duì)角線

的數(shù)量

【問題探究】〃邊形有〃個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)分別連接對(duì)角線后，每條對(duì)角線重復(fù)連接了一

次，由此可推導(dǎo)出，〃邊形共有%（〃-3）條對(duì)角線（用含有〃的代數(shù)式表示）.

【問題拓展】

（1）已知平面上4個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接6條線段.

（2）已知平面上共有15個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接105條線

段.

（3）已知平面上共有x個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接型1）條

線段（用含有x的代數(shù)式表示，不必化簡(jiǎn)）.

【分析】【問題思考】利用圖象法解決問題即可;

【問題探究】利用規(guī)律解決問題即可.

【問題拓展】（1）利用圖象法可得結(jié)論；

⑵過一個(gè)點(diǎn)可■以連接14條線段，15個(gè)點(diǎn)，有：X15X14=1O5條；

（3）過一個(gè)點(diǎn)可以連接（x-1）條線段，x個(gè)點(diǎn)，有夕（x-1）條.

【解答】解：【問題思考】從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，五邊形有2條對(duì)角線，六邊形有3條對(duì)角

線，十二邊形有9條對(duì)角線，〃邊形有（〃-3）條對(duì)角線.

故答案為：2,3,9,z!-3；

【問題探究】〃邊形有〃個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)分別連接對(duì)角線后，每條對(duì)角線重復(fù)連接了一

次，由此可推導(dǎo)出，〃邊形共有）（〃?3）條對(duì)角線.

故答案為：）（〃?3）:

【問題拓展】（1）已知平面上4個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接：x4X

3=6條線段.

（2）已知平面上共有15個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連居X15X14=105

條線段.

（3）已知平面上共有/個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段-I）.

故答案為：6,105,%（x-1）.

【知識(shí)點(diǎn)5多邊形的內(nèi)角和】

n邊形的內(nèi)角和為（n?2）?180°（n23）.

【題型4多邊形的內(nèi)角和】

【例4】（2022?孝感月考）如圖，將六功形紙片A8C。即沿虛線剪去一個(gè)角（N8C。）后，

得至|JN1+N2+N3+N4+N5=4OO°,求NBGO的度數(shù).

【分析】由多邊形的內(nèi)角和公式，即可求得六邊形ABCQ石產(chǎn)的內(nèi)角和，又由N1+N2+N

3+Z4+Z5=400°,即可求得NG8C+NC+NCOG的度數(shù)，繼而求得答案.

【解答】解：:六邊形A8CQE廣的內(nèi)角和為：180°X（6-2）=720°,且N1+/2+N

3+Z4+Z5=400°,

/.ZG^C+ZC+ZCDG=720°-400°=320°,

AZG=360°-（ZGBC+ZC+ZCDG）=40°.

【變式4-1]（2022?梁園區(qū)校級(jí)期中）已知〃邊形的內(nèi)角和0=（〃-2）X180°.

（I）甲同學(xué)說(shuō)，。能取720。；而乙同學(xué)說(shuō)，。也能取820。，甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì),

求出邊數(shù)小若不對(duì)，說(shuō)明理由；

（2）若"邊形變?yōu)椋ā?x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°,用列方程的方法確定工

【分析】（I）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，列出方程求得0的值，判斷是否為整數(shù)即可；

（2）根據(jù)題意，列出方程5-2）X180“+360“=（〃+x-2）X180“，求得x的值即

可.

【解答】解：（1）甲對(duì)，乙不對(duì).

理由：???當(dāng)。取720°時(shí)，720°=（〃-2）X1800,

解得0=6；

當(dāng)0取820°時(shí)，820°=（〃-2）X18O0,

解得e=弓；

???〃為整數(shù)，

???0不能取820°；

（2）依題意得，

（?-2）X180°+360°=（w+x-2）X180°,

解得x=2.

【變式4-2]（2022?西平縣期中）一個(gè)多邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和等于2012°,

求這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及多邊形的邊數(shù).

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（〃?2）?18（T533）且〃為整數(shù)），可得：多邊

形的內(nèi)角和一定是180°的倍數(shù)，而多邊形的內(nèi)角一定大于0°,并且小于180°,用2012

除以180,根據(jù)商和余數(shù)的情況，求出這個(gè)多邊形的邊數(shù)與2的差是多少，即可求出這個(gè)

多邊形的邊數(shù)，再用這個(gè)多邊形的內(nèi)角和減去2012°,求出這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少即可.

【解答】解：???2012+180=11???32,

???這個(gè)多邊形的邊數(shù)與2的差是12,

，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是：12+2=14,

???這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是：

180°X12-20120

=21600-2012°

=148°

答：這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為148°,多邊形的邊數(shù)為14.

【變式4-3]（2022春?寶應(yīng)縣校級(jí)月考）小馬虎同學(xué)在計(jì)算某個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)得到

1840。，老師說(shuō)他算錯(cuò)了，于是小馬虎認(rèn)真地檢查了一遍

（1）若他檢查發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)內(nèi)角多算了一次，求這人多邊形的邊數(shù)是多少？

（2）若他檢杳發(fā)現(xiàn)漏算了一個(gè)內(nèi)角，求漏算的那個(gè)內(nèi)角是多少度？這個(gè)多邊形是幾邊

形？

【分析】（1）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是〃，重復(fù)計(jì)算的內(nèi)角的度數(shù)是x,根據(jù)多邊形的內(nèi)

角和公式（〃-2）-180°可知，多邊形的內(nèi)角度數(shù)是18（）。的倍數(shù)，然后利用數(shù)的整除性

進(jìn)行求解

（2）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是“沒有計(jì)算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù)是x,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和

公式（〃?2）?180°可知，多邊形的內(nèi)角度數(shù)是180°的倍數(shù)，然后利用數(shù)的整除性進(jìn)行

求解.

【解答】解：（1）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是〃，重復(fù)計(jì)算的內(nèi)角的度數(shù)是X,

則（〃-2）*180°=1840°-x,

“=12~40°.

故這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12.

（2）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是〃，沒有計(jì)算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù)是x,

則（n-2）-1800=1840°+斯

〃=12…40。.

180°-40°=140°,

故漏算的那個(gè)內(nèi)角是140度，這個(gè)多邊形是十三邊形.

【知識(shí)點(diǎn)6多邊形的外角和】

在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的

外角和恒等于360。,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).

【題型5多邊形的外角和】

【例5】（2022?蒼溪縣月考）如圖，Zl,Z2,N3,N4是五邊形44co七的四個(gè)外角.若

ZA=120°,求N1+N2+N3+N4的度數(shù).

【分析】先求出NA對(duì)應(yīng)的外角度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和等于3600求出即可.

VZA=120°,

???N5=180°-ZA=60°,

VZl+Z2+Z3+Z4+Z5=360°,

.*.Zl+Z2+Z3+Z4=300°.

【變式5-1](2022?路北區(qū)期末)已知，正多邊形的一個(gè)外角是30°,則這個(gè)正多邊形是

()

A.六邊形B.九邊形C.十邊形D.十二邊形

【分析】多邊形的外隹和是360。，正多邊形的每個(gè)外角都相等，且一個(gè)外角的度數(shù)為

30。，由此即可求出答案.

【解答】解:因?yàn)?60?30=12,

則正多邊形的邊數(shù)為12.

故選：

【變式5-2］（2022?海口模擬）六邊形的外角和為（）

A.360°B.540°C.7203D.10800

【分析】根據(jù)多邊形的外角和為3600直接得出答案.

【解答】解：由多邊形的外角和為360°可知，六邊形的外角和為360°,

故選：4.

【變式5-3］（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△回，與四邊形BCDE

的外角和的度數(shù)分別為a,p,則正確的是（）

A.a-0=0B.a-p<0

C.a-p>0D.無(wú)法比較a與p的大小

【分析】利用多邊形的外角和都等于360°,即可得出結(jié)論.

【解答】解：???任意多邊形的外角和為360°,

/.a=p=360°.

Aa-p=0.

故選：A.

【題型6截角問題】

［例6］（2022?驛城區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后變成了六邊形，則原來(lái)多邊

形的邊數(shù)可能是（）

A.5或6B.6或7C.5或6或7D.6或7或8

【分析】實(shí)際畫圖，動(dòng)手操作一下，可知六邊形可以是五邊形、六邊形、七邊形截去一

個(gè)角后得到.

【解答】解：如圖可知，原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是5,6,7.

故選：C.

【變式6-1］（2022?安陸市期末）一個(gè)四邊形剪去一個(gè)侑后，它不可能是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【分析】根據(jù)一個(gè)四邊形截一刀后得到的多邊形的邊數(shù)即可得出結(jié)果.

【解答】解：一個(gè)四邊形沿對(duì)角線截一刀后得到的多邊形是三角形；

?個(gè)四邊形沿平行于邊的直線截?刀后得到的多邊形是四邊形；

一個(gè)四邊形沿除上述兩種情況的位置截一刀后得到的多邊形是五邊形；

所以不可能是六邊形，

故選：D.

【變式6-2］（2022春?雨花區(qū)校級(jí)期末）把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線截下一個(gè)三角形后,

變成一個(gè)18邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）

A.16B.17C.18D.19

【分析】一個(gè)〃邊形剪去一個(gè)角后，剩下的形狀可能是〃邊形或（〃+1）邊形或（n-1）

邊形.

【解答】解：當(dāng)剪去一個(gè)角后，剩下的部分是一個(gè)18邊形，

則這張紙片原來(lái)的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是16邊形.

故選：A.

【變式6?3】（2022?懷柔區(qū)期末）如圖是一個(gè)正方形，把此正方形沿虛線A8剪去一個(gè)角，

得到一個(gè)五邊形，則這個(gè)五邊形的周長(zhǎng)」原來(lái)正方形的周長(zhǎng).（填“大于”“小

于”或“等于"），理山是兩點(diǎn)之間線段最短.

【分析】利用兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所

有的線中，線段最短，可以得出結(jié)論.

【解答】解：將止方形沿虛線裁去一個(gè)角得到五邊形，則這個(gè)五邊形的周長(zhǎng)小于原來(lái)止

方形的周長(zhǎng)，

理由是兩點(diǎn)之間線段最短.

故答案為：小于；兩點(diǎn)之間線段最短.

【題型7多邊形內(nèi)角和和外角和?平行線】

【例7】（2022春?侯馬市期末）如圖，六邊形4/3CQEF的內(nèi)角都相等.

（1）若Nl=60°,求的度數(shù);

（2）AB與有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

【分析】（1）由于六邊形的內(nèi)角和為720°,然后利用六邊形痔的內(nèi)角都相等得

到每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為120°,而Nl=60°,四邊形A8CZ）的內(nèi)角和為360°,由此即可

分別求出/AQC的度數(shù)：

（2）四邊形ABCO的內(nèi)角和為360°,求出NAOCE勺度數(shù)，進(jìn)一步求出NED4的度數(shù),

利用平行線的判定方法即可求解.

【解答】解：（1）六邊形的內(nèi)角和為：（6-2）X18O0=720°,

???六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等，

???每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：720°4-6=120°,

又???/1=60°,四邊形ABC。的內(nèi)角和為360°,

???NCOA=360°-ZDAB-ZB-ZC=3600?60°?120°720°=60°:

（2）AB//ED,

理由如下：

VZCDA=60°,ZEDC=\20°,

???NEQA=1200-ZCDA=120°-60°=60°,

AZ￡DA=Z1=6O°,

:.AB〃ED.

【變式7-1]（2022?平山縣期末）嘉淇在折幸運(yùn)星時(shí)將一張長(zhǎng)方形的紙條折成了如圖所示

的樣子（內(nèi)部有一個(gè)正五邊形），則N1的度數(shù)為（）

A.36°B.54°C.60°D.72°

【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和是540°可得NR4C的度數(shù)，再利用角的和差解決此題.

【解答】解：如圖，

由題意得：多邊形A3DEC是正五邊形，

/.ZBAC=ZABD=18O°X（5-2）=108°,

5

ZABC=|x（180°-108°）=36°,

AZI=108°-36°=72°.

故選：D.

【變式7-2]（2022春?市中區(qū)期末）如圖，在四邊形ABC。中，ZA=108°,NC=82°,

M、N分別是A3、8c上的點(diǎn)，將△8MN沿著MN翻折，得到△￡MN,ME//AD,EN

〃OC,則/E的度數(shù)為（）

c

87°C.86°D.85°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得/8ME=NA=108°,NENB=/C=82°,再利用四邊形

內(nèi)角和定理可得答案.

【解答】解：

???NBME=N4=108°,

?:NE"CD,

:?NENB=NC=82°,

???將△BMN沿著MN翻折，得到

AZB=ZE,

???NE=[360°-(NEMB+NENB)]+2=(360°-190°)+2=85°,

故選：。.

【變式7-3](2022?臨清市三模)如圖，正五邊形48COE,點(diǎn)。、E分別在直線加、〃上.若

m//n,Zl=20°,則N2為()

A.52°B.60°C.58°D.56°

【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和求得每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，在計(jì)算NGE。的度數(shù)，根據(jù)平行線

計(jì)算接著計(jì)算NCQ”，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算得NC”。的度數(shù)，從而得N

2度數(shù).

【解答】解：如圖：

直線in交AB于G,直線n交BC于H,

???五邊形ABCDE是正五邊形，

???NC=NAEO=NCZ)E==F也=108。，

VZl=20°,

/.ZDEG=ZAED-Z1=108°-20°=88°,

■:tn//n,

AZHDE=I8O°-ZGED=I8O°-88°=92°,

AZCDH=ZCDE-ZHDE=108°-92°=16°，

在△CO”中，

ZC/7D=180°?4CDH?4C

=180°-16°-108°

=56。,

，N2=NC”D=56°,

故選：。.

【題型8多邊形內(nèi)角和和外角和?角平分線】

【例8】（2022?藁城區(qū)二模）如圖，六邊形4BCDE尸中，NA,/B,NC,/￡＞的外角都

相等，即N1=N2=N3=N4=62°,分別作NOE尸和N￡用的平分線交于點(diǎn)P,則NP

的度數(shù)是（）

A.55°B.56°C.57°D.60°

【分析】根據(jù)多邊形的外角和定理可得N5+N6+Nl+N2+N3+N4=360°,再根據(jù)鄰補(bǔ)

角的性質(zhì)可得N5+N6-NA/E+NQE尸=360°,可得乙4/E+NQEr=NI+N2+/3+N4,

進(jìn)而求出NEPF+NEFP的度數(shù)，再求出/P的度數(shù)即可.

【解答】解：VZ5+Z6+Zl+Z2+Z3+Z4=360°,N5+N6+NAFE+NOE尸=360。,

.,MF￡+ZDEF=Z1+Z2+Z3+Z4=2480,

???分別作/。E尸和的平分線交于點(diǎn)P,

：?4EPFMEFP=L2QAFE+NDEF)=124°，

，/P=180°-(NEPF+NEFP)

=180°-124°

=56。,

故選：B.

【變式81]（2022?興化市一模）如圖，在四邊形人BCD中，ZA=150°,ZC=60°,Z

ABC與NA。。的平分線交于點(diǎn)。，則N8O。的度數(shù)為（）

A.120°B.125°C.130'D.135°

【分析】根據(jù)角平分線的定義得出NAQO=：乙4QC,乙44。=：乙44。，根據(jù)/4+/43。+

ZC+ZADC=3600求出NA4C+NAQC=150°,求出N4OO+N/WO=75°,根據(jù)四邊

形的內(nèi)角和定理求出答案即可.

【解答】解：:/ABC與N4DC的平分線交于點(diǎn)。，

/.ZADO=；LADC,ZABO=；&BC,

22

VZA+ZABC+ZC+ZADC=360°,NA=150°,ZC=60°,

AZASC+ZADC=36(f°-150°-60"=150°,

AZADO+ZABO=-x150°=75°,

2

???N8OO=36(T-ZA-(ZABO+^ADO)=360°-150°-75°=135°,

故選：D.

【變式8?2】(2022春?蘇州月考)如圖，在四邊形A8CD中，ZA+ZB=210°,作NAOC、

N8CQ的平分線交于點(diǎn)OI，再作NOQC、/OCO的平分線交于點(diǎn)Q,則NQ的度數(shù)

為142.5°.

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°可得/48+/5。。=150°,再根據(jù)角平分線的

定義可得NCQO2+NQCO2=37.5°,再根據(jù)內(nèi)角和定理可得答案.

【解答】解：:四邊形的內(nèi)角和是360°,NA+NB=210°,

AZACD+ZBCD=\50a,

VZADC.N8c。的平分線交于點(diǎn)Oi，NOiQC、NOC。的平分線交于點(diǎn)O2，

???ZCDO==NCQO產(chǎn)：NAOC,ZDCO=:NDCOI=:/BCD,

224224

/.ZCDO2+^DCO=-（NAOC+NBCD）=37.5°，

24

???NO2=180°-37.5°=142.5°.

故答案為：142.5°.

【變式8-3］（2022春?惠民縣期末）如圖，CG平分正五邊形4BCQE的外角NQCA并與

NE48的平分線交于點(diǎn)O,則/人0G的度數(shù)為（）

A.144°B.126°C.120'D.108°

【分析】欲求NAOG,可求/AOC,則需求N3CO、ZOAB.NB.因?yàn)槲暹呅蜛OCCK

是正五邊形，所以NE4B=/E=ZBCD=108°.又因?yàn)锳O平分NEAB,CG平分NDCR

所以可求得NOA3=54°,ZBCG=108°=144°.

【解答】解：???任意多邊形的外角和等于360。，

ZDCF=36（r+5=72°.

，這個(gè)正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°-72°=108°.

AZB=ZEAB=ZBCD=108°.

又?.?4O平分NE4從

.?.Z^=1ZE^=AX108O=54O.

又???CG平分NOCK

.?.ZDCG=|zDCF=|x720=36o.

/.^BCO=ZBCD+ZDCG=108°+36°=144°.

???N4OC=360°-（/BAO+N8+N8CG）=360°-（54°+108°+144°）=54c.

/.ZAOG=1800-ZAOC=180°-54°=126°.

故選：B.

【題型9多邊形內(nèi)角和和外角和的實(shí)際應(yīng)用】

【例9】（2022春?井研縣期末）如圖，大建從A點(diǎn)出發(fā)沿直線前進(jìn)8米到達(dá)8點(diǎn)后向左旋

轉(zhuǎn)的角度為a,再沿直線前進(jìn)8米，到達(dá)點(diǎn)。后，又向左旋轉(zhuǎn)a角度，照這樣走下去，

第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí)，他共走了72米，則每次旋轉(zhuǎn)的角度a為（）

A.30°B.40°C.45°D.60°

【分析】根據(jù)多邊形的外角的定義解決此題.

【解答】解：???72?8=9,

A3600+9=40".

???每次旋轉(zhuǎn)的角度a=40°.

故選：B.

【變式9-1］（2022春?昌平區(qū)校級(jí)期中）科技館為某機(jī)器人編制了一段程序，如果機(jī)器人

在平地上按圖所示的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為（）

A.12米B.8米C.6米