2024年福建省泉州一中高考數(shù)學(xué)模擬最終一卷（理科）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)全集集R,集合行權(quán)|0<*忘1},2以k忘0},則MA（CuN）=（）

A.{x|0WxVl}B.{x10<x^l}C.{xOWxWl}D.{x|x<

1}

2.已知復(fù)數(shù)z=3+i（i為虛數(shù)單位），則z的共短復(fù)數(shù)》在復(fù)平面內(nèi)對

應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.設(shè)W、吊都是非零向量，下列四個(gè)條件中，肯定能使工且三成立

laiIbI

的是（）

A.Z二一與B.a!lbC.a=2bD.aj_b

3

4.等比數(shù)列{a。}中，a3=6,前三項(xiàng)和S3=J赳xdx,則公比q的值為（）

A.1B.-1C.1或-1D.-1或-1

222

5.下列四個(gè)命題中正確命題的是（）

A.學(xué)校抽取每個(gè)班級(jí)座號(hào)為21-30號(hào)的同學(xué)檢查作業(yè)完成狀況,

這是分層抽樣

B.可以通過頻率分布直方圖中最高小矩形的高來估計(jì)這組數(shù)據(jù)的

眾數(shù)

C.設(shè)隨機(jī)變量自聽從正態(tài)分布N(0,1),若P(&>l)=p,則P

(-1<€<0)=1-p

D.在散點(diǎn)圖中，回來直線至少經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)

6.已知f(x)=x2-2x+3,g(x)=kx-1,則“|k|W2”是"f(x)

Ng(x)在R上恒成立”的()

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，假如輸入x,t的值均為2,最終輸出S

的值為n,在區(qū)間上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)D,則DWn的概率為()

/悵5/

IAf=lSn3|

B.Ac.7

A.京1010

8.正項(xiàng)等差數(shù)列瓜｝中的a1、a3是函數(shù)f(x)=lnx-x2+8x-1的極

值點(diǎn)，則log2a202’尸()

A.2B.3C.4D.1

9.過拋物線xMy的焦點(diǎn)F作傾斜角為Q的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn),

過點(diǎn)P作拋物線的切線1交y軸于點(diǎn)T,過點(diǎn)P作切線1的垂線交y

軸于點(diǎn)N,則4PNE為()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

10.定義：若對定義域D內(nèi)的隨意兩個(gè)X”x2(XiWx2),均有|f(X1)

-f(x2)|v|x「X21成立,則稱函數(shù)Sf(x)是D上的“平緩函數(shù)”.則

以下說法正確的有()

①f(x)=-lnx+x為(0,+8)上的“平緩函數(shù)二

②g(x)=sinx為R上的“平緩函數(shù)”

③h(x)=x2-x是為R上的“平緩函數(shù)”；

④已知函數(shù)尸k(x)為R上的“平緩函數(shù)”，若數(shù)列｛xj對Vn￡N’總有

Xn”-Xn|W—?jiǎng)tIk(X)-k(J

(2n+l)2nn++11X14

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答

題卡相應(yīng)位置.

11.若(4)8綻開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為.

xX

X-y>l

12.已知實(shí)數(shù)x,y滿意約束條件.x+y>l,則z=x+2y的最大值

2x-y<4

為.

13.己知雙曲線￡-41(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,

ab

以FF2為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P.若NPFF2=30°,

則該雙曲線的離心率為.

14.已知函數(shù)f(x)=asin(ax十6)-b的部分圖象如圖，其中3>

0,|0|<2L,a,b分別是AABC的角A,B所對的邊,CosC=f(-^)+b

22

貝IJ/XABC的面積S=.

15.已知單位向量彳，j,了兩兩的夾角均為0(0V。Vn,且0士工)，

若空間向量W滿意；r：+yG+zE(x,y,zER)，則有序?qū)崝?shù)組(X,y,z)

稱為向量索E“仿射”坐標(biāo)系O-xyz(0為坐標(biāo)原點(diǎn))下的“仿射”坐

標(biāo).記作；二(X,y,z)a有下列命題：

①已知￡(1,3,-2)0,b=(4,0,2)則看后。；

②已知全(x,y,0)R,b=(0,0,z)1r其中xyzWO,則當(dāng)且僅當(dāng)x=y

T-石

時(shí)，向量二E的夾角取得最小值；

③已知

z+z

a=(X],yj>Z[)Q>h=(x2?y2?z2)9，貝lla+b=(Xj+x2?了]+丫2，l28

④已知贏二（1,0,0）1T，礫（0,1,0）R,oc=（0,0,1）七則三棱

~3~3~3

錐0-ABC的表面積S二五，其中真命題有（寫出全部真命

題的序號(hào)）

三、解答題：本大題共5小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明

過程或演算步驟.

16.已知A、B分別在射線CM、CN（不含端點(diǎn)C）上運(yùn)動(dòng),ZMCN=in,

Vq

在aABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.

（I）若a、b、c依次成等差數(shù)列，且公差為2.求c的值；

（II）若/ABC二（）,試用0表示AABC的周長，并求周長的最

大值.

17.某個(gè)海邊旅游景點(diǎn)，有小型游艇出租供游客出海游玩，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)

如下：租用時(shí)間不超過2小時(shí)收費(fèi)100,超過2小時(shí)的部分按每小時(shí)

100收?。ú蛔阋恍r(shí)按一小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)甲、乙兩人獨(dú)立來該景點(diǎn)租

用小型游艇，各租一次.設(shè)甲、乙租用不超過兩小時(shí)的概率分別為L

V3

-1；租用2小口寸以上且不超過3小時(shí)的概率分別為2,2,且兩人租用的

223

時(shí)間都不超過4小時(shí).

（I）求甲、乙兩人所付費(fèi)用相同的概率；

(II)設(shè)甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和為隨機(jī)變量g,求之的分布列與

數(shù)學(xué)期望.

18.如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，ZBCD=120°,AB=PC=2,

AP二BP二表.

(I)求證：AB_LPC；

(Il)在線段AD上是否存在點(diǎn)Q,使得直線CQ和平面BCP所成角0的

正弦值為亞？若存在，請說明點(diǎn)Q位置；

7

若不存在，請說明不存在的理由.

19.已知橢圓C：(a>b>0)的中心為0,右頂點(diǎn)為A,在線

a2b”

段0A上隨意選定一點(diǎn)M(m,0)(0<m<2),過點(diǎn)M作與x軸垂直的直

線交C于P,Q兩點(diǎn).

(I)若橢圓C的長半軸為2,離心率及，

2

(i)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(ii)若點(diǎn)N在0M的延長線上，且|0M|,|0A|,|0N|成等比數(shù)

列，試證明直線PN與C相切；

(II)試猜想過橢圓(a>b>0)上一點(diǎn)G(x0,y0)(x0>0,

ab

yo>0)的切線方程的一種方法，再加以證明.

20.己知函數(shù)f(x)=x|Inx-a|,a￡R.

(I)當(dāng)a=l時(shí)?，試求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若對隨意的a&2,方程f(x)=x+b恒有三個(gè)不等根，試求實(shí)數(shù)

b的取值范圍.

本題有21、22、23三個(gè)選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，

滿分7分，假如多2做，則按所做的前兩題計(jì)分，作答時(shí)，先用2B鉛

筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)

中.選修4-2：矩陣與變換

21.已知直線1：2x-y=3,若矩陣b￡R所對應(yīng)的變換。

把直線1變換為它自身.

(I)求矩陣A；

(II)求矩陣A的逆矩陣.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是P=4cos().以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系

的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線1的參數(shù)

方程是:(t是參數(shù)).

y=a+—t

(I)寫出曲線C的一般方程；

(II)若直線1與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=舊，求a的值.

選修4-5：不等式選講

23.函數(shù)y=|x+l|+|x-2］的最小值為M；

(I)求實(shí)數(shù)M的值；

(II)若不等式正式+V?忘WM,(其中a>0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

2024年福建省泉州一中高考數(shù)學(xué)模擬最終一卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)全集U=R,集合M={x|OVxWl},N={x|xWO},則MPl（［1：N）=（）

A.{x|0^x<1}B.{x10<x^1}C.{xOWxWl}D.（x|x<

1}

考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

專題：集合.

分析：依據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

解答：解：TN={x|xWO},

C（：N={xx>0},

則MG={x|O<x^l},

故選：B

點(diǎn)評：本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ).

2.已知復(fù)數(shù)z=3+i（i為虛數(shù)單位），則z的共扼復(fù)數(shù)；在復(fù)平面內(nèi)對

應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

考點(diǎn)：第數(shù)的代數(shù)表示法與其幾何意義.

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

分析：利用共加復(fù)數(shù)的概念即得結(jié)論.

解答：解：?.'z=3+i,???；=3-i,

???；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（3,-1）,

故選：D.

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的兒何意義，留意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題.

3.設(shè)W、吊都是非零向量，下列四個(gè)條件中，肯定能使成立

la|IbI

的是（）

A.a=--ifcB.a'/bC.a=2bD.aJ_b

考點(diǎn)：平行向量與共線向量.

專題：計(jì)算題；平面對量與應(yīng)用.

分析：依據(jù)向量共線定理，可得若馬工與成立，則向量W、E共線

laiIbI

且方向相反，比照各個(gè)選項(xiàng)并結(jié)合數(shù)乘向量的含義，可得本題答案.

解答:角隼：由工j?二旗工二一二,即E二一國G，貝力句量彳、石共

laiIblIbllaiIaI

線且方向相反,

能使工工耳成立.

因此當(dāng)向量：、三共線且方向相反時(shí),

IaIlbI

比照各個(gè)選項(xiàng)，可得B項(xiàng)中向量W、5的方向相同或相反;

C項(xiàng)中向量W、E的方向相同;D項(xiàng)中向量W、三的方向相互垂直.

只有A項(xiàng)能確定向量w、E共線且方向相反.

故選：A

點(diǎn)評：本題給出非零向量W、K求使成立的條件.著重考

IaIIbI

查了數(shù)乘向量的含義與向量共線定理等學(xué)問，屬于中檔題.

4.等比數(shù)列｛a#中，@3=6,前三項(xiàng)和S.3=J^4xdx,則公比q的值為（）

J0

A.1B.-1C.1或-2D.-1或-1

222

考點(diǎn)：定積分；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

專題：計(jì)算題.

分析?：依據(jù)題意，干脆找出被積函數(shù)4x的原函數(shù)，干脆計(jì)算在區(qū)間

上的定積分即可得S3,再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得公比q的值即可.

3

解答：ft?：VS3=f04xdx=18,

=—

?,a1+a2|（1+q）=12

q

=>2q2-q-1=0

=q=l或q=-L

2

故選C.

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、定積分的基本運(yùn)算，求定積分

關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，本題屬于基礎(chǔ)題.

5.下列四個(gè)命題中正確命題的是（）

A.學(xué)校抽取每個(gè)班級(jí)座號(hào)為21-30號(hào)的同學(xué)檢查作業(yè)完成狀況,

這是分層抽樣

B.可以通過頻率分布直方圖中最高小矩形的高來估計(jì)這組數(shù)據(jù)的

眾數(shù)

C.設(shè)隨機(jī)變量自聽從正態(tài)分布N(0,1),若P(&>l)=p,則P

(-1<€<0)=1-p

D.在散點(diǎn)圖中，回來直線至少經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)

考點(diǎn)：命題的真假推斷與應(yīng)用.

專題：簡易邏輯.

分析：A項(xiàng)考查分層抽樣的概念.

B項(xiàng)頻率分布直方圖的概念理解

C項(xiàng)畫出正態(tài)分布N(0,1)的密度函數(shù)的圖象，由圖象的對稱性可得

結(jié)果.

I)項(xiàng)由散點(diǎn)圖的概念可知.

解答：解：對于A項(xiàng)每個(gè)班級(jí)座號(hào)為21-30號(hào)的同學(xué)不具有層次性,

故A項(xiàng)不對.

對于B項(xiàng)，可以通過頻率分布直方圖中最高小矩形的高來估計(jì)這組數(shù)

據(jù)的眾數(shù)，故B對.

對于C項(xiàng)解：畫出正態(tài)分布N(0,1)的密度函數(shù)的圖象如下圖：

由圖象的對稱性可得，若P(g>1)=p,則P(&<-1)=p,

???則P(-IV&VI)=1-2p,：.P(-1<€<0)=2-p.c不對

對于D項(xiàng)散點(diǎn)圖中，回來直線不肯定過任何散點(diǎn)，故D不對.

故選：B

點(diǎn)評：本題主要考查了分層抽樣，頻率分布直方圖、正態(tài)分布N(0,

1)的密度函數(shù)，散點(diǎn)圖的概念，屬于基礎(chǔ)題型.

6.已知f(x)=x2-2x+3,g(x)=kx-1,貝ij”|kIW2”是“f(x)

Ng(x)在R上恒成立”的()

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)：必耍條件、充分條件與充耍條件的推斷.

專題：函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用.

分析：將不等式f(x)2g(x)在R上恒成立化簡，再與條件|k|W2

比較，然后依據(jù)充分性與必要性的定義進(jìn)行推斷即可得出所耍的答案.

解答:解：由二次函數(shù)的性質(zhì)知，由f(x)2g(x)得X,-(2+k)

x+420

故“f(x)2g(x)在R上恒成立"成立=△=(2+k)2-16W0Q-6

WxW2；

而|k|W2=-2WxW2.

??.|k|W2可推出“f(x)2g(x)在R上恒成立”，而“f(x)2g(x)

在R上恒成立"不能保證|k|W2.

則“|k|W2”是“f(x)2g(x)在R上恒成立”成立的充分但不必

要條件.

故選A.

點(diǎn)評：本題考查充分條件與必要條件的推斷，以不等式的大小比較為

載體，屬于簡潔題型.

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，假如輸入x,t的值均為2,最終輸出S

的值為n,在區(qū)間上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)D,則DWn的概率為()

//L/

一

IAf?lS?3|

A.書?r?

考點(diǎn)：程序框圖；幾何概型.

專題：算法和程序框圖.

分析：由已知中的程序算法可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算

并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的改

變狀況，可得答案.

解答：解：???輸入X,t的值均為2,

當(dāng)k=l時(shí)，滿意條件kWt,執(zhí)行完循環(huán)體后，M=2,S=5,k=2,

當(dāng)k=2時(shí)，滿意條件k<t,執(zhí)行完循環(huán)體后，M=2,S=7,k=3,

當(dāng)k二3時(shí)，不滿意條件k〈t,

故輸出的S值為7,

故在區(qū)間上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)D,則DWn的概率P二3，

1C

故選：D

點(diǎn)評：本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)

行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

8.正項(xiàng)等差數(shù)列｛aj中的a)>ag是函數(shù)f(x)=lnx-x2+8x-1的極

值點(diǎn)，則10g2a2024=()

A.2B.3C.4D.1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值.

專題：導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用.

分析?：利用導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的極值點(diǎn)，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)與其

對數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.

2

解答：解：f'(x)T-2X+8」-2X+8X,

Vai>a/是函數(shù)f(x)=lnx-x2+8x-1的極值點(diǎn),

???4、④儂是方程1-2X2+8X=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

則a.。29=4.而｛a｝為等差數(shù)列,

??a】+a.1029=2a202.l,BP32024=2,從向從而10g2a2024=10g24=l.

故選D.

點(diǎn)評：嫻熟駕馭利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值、等差數(shù)列的性質(zhì)與其對數(shù)

的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

9.過拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F作傾斜角為。的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn),

過點(diǎn)P作拋物線的切線1交y軸于點(diǎn)T,過點(diǎn)P作切線1的垂線交y

軸于點(diǎn)N,則4PNE為()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

考點(diǎn)：拋物線的簡潔性質(zhì).

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

分析：設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，對拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)表示出PN和PT的斜率,

則直線PN的方程可得，令x=0,求得N點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出|NF|,

由拋物線定義可知IPF

推斷出PF|二|NF|,把x=0代入直線1的方程求得T點(diǎn)坐標(biāo),表示出|TF|,

進(jìn)而可知|NF|=|TF|=|PF|.

解答：解：由x、4y,得焦點(diǎn)F(0,1),設(shè)P(A),

Ax04c

由y'=lx知L=y'|二七，則女二-2,

fyPN

2'x=x020x0

直線PN的方程為：y-l=-A(x-xo),

4xUXc

2

令x=0,得N(0,2-+2),點(diǎn)F(0,1),

4

2

則|NF|二當(dāng)_+i.

由拋物線定義知IPF|二至-(-1)二立+1,

44

即|PF|二|NF

直線1的方程為y-宣=1(x-xo),

42

22

令x=0,得到y(tǒng)二-①，.?.|TF|二迎+1,

T44

故|NF|=|TF|=|PF|,

???△PNF為等腰三角形.

故選：C.

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的定義與性質(zhì)的運(yùn)用.考查了學(xué)生綜合

分析問題的實(shí)力，屬中檔題.

10.定義：若對定義域D內(nèi)的隨意兩個(gè)X”x2(X1WX2),均有|f(x1)

-f(x2)|V|x「X21成立，則稱函數(shù)尸f(x)是D上的“平緩函數(shù)”.則

以下說法正確的有()

①f(x)=-lnx+x為(0,+8)上的“平緩函數(shù)”；

②g(x)=sinx為R上的“平緩函數(shù)”

③h(x)=x?-x是為R上的“平緩函數(shù)”；

④己知函數(shù)尸k(x)為R上的“平緩函數(shù)”，若數(shù)列｛右｝對Vn￡N*總有

IX"i-X』WJ,WJ|k(Xn+1)-k(X1)|<|

(2n+l)

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

考點(diǎn)：抽象函數(shù)與其應(yīng)用；命題的真假推斷與應(yīng)用.

專題：函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用；簡易邏輯.

分析：對于①②③新定義函數(shù)類型的題目，解答時(shí)要先充分理解定義:

“平緩函數(shù)”才能答題，對于(1)只需依據(jù)定義作差：If(x。-f

(x2)I，然后尋求[f(x2)-f(Xi)|W|x2-X』成立的條件.

對于④的解答略微困難一些，此處除了用到放縮外，還有添項(xiàng)減項(xiàng)的

技巧應(yīng)用與對數(shù)列拆項(xiàng)求和的充分利用.

解答：解:對于①|(zhì)f(xD-f(x2)1=1-lnxi+xi-(-lnx2+x2)|=|ln-^+xi

xi

-X2IW|ln%|+|xi-X2,故均有|f(xi)-f(x2)l<|x「X2|不肯定

xi

成立，

故f(x)=-Inx+x不為(0,+8)上的“平緩函數(shù)"，故①錯(cuò)誤；

對于②設(shè)小(x)=x-sinx,則“'(x)=1-cosx>O,則6(x)=x-

sinx是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，

不妨設(shè)x】Vx2,則。(Xi)<(X2),即X】-sinx1<X2-sinx2,

則sinx?-sinx】VX2-x”①

又y=x+sinx也是R上的增函數(shù),則xi+sinxl<x2+sinx2,

B[Jsinx2-sinxi>xi-x2,②

由①、②得-(x2-Xi)<sinx2-sinx1<x2-Xi

因此|sinx2-sinx』Vk2-X/，對x【Vx2的實(shí)數(shù)都成立,

當(dāng)X]>X2時(shí)，同理有Isinx?-sinxil<|x2-xj成立

又當(dāng)Xi=X2時(shí),不等式Isinx2-sinx1|=|x2-x,|=C,

故對隨意的實(shí)數(shù)Xi,X2^R均有|sinx2-sinx』W|x2-x』

因此sinx是R上的“平緩函數(shù)，故②正確

對于③取Xi=3,x2=l,則|h(Xi)-h(x2)|=4>|xi-x2|,因此h(x)

二x2?x不是R上的“平緩函數(shù)”，故③錯(cuò)誤，

對于④函數(shù)y二k(x)為R上的“平緩函數(shù)，

則|k(X2)-k(xi)K|x2-XiI,所以ly^i-y"Wlx*1-x］，

因?yàn)镮Xn+l-XnIW-------------(--)，

(2n+l)24-n+1

而|ynr-y』=l(ynn-y?)+(yn-yn-i)+(yn-i-yn-2)+…(y2-yJI

所以lyn+i-y-<|yn+i-y』+|yn-i-yn-2|+-+|y2-yd?

??.|yn.「y』W』"(1-，)<2,故④正確.

44n+14

故選：C.

點(diǎn)評：本題抽象函數(shù)、新定義函數(shù)類型的概念，不等式的性質(zhì)，放縮

法的技巧，對于新定義類型問題，在解答時(shí)要先充分理解定義才能答

題，避開盲目下筆，遇到困難才來重頭讀題，費(fèi)時(shí)費(fèi)勁，另外要在充

分抓住定義的基礎(chǔ)上，對式子的處理要敏捷，各個(gè)式子的內(nèi)在聯(lián)系耍

充分挖掘出來，可現(xiàn)有結(jié)論向上追溯，看看須要哪些條件才能得出結(jié)

果，再來尋求轉(zhuǎn)化取得這些條件

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答

題卡相應(yīng)位置.

11.若(x4)8綻開式中含X?的項(xiàng)的系數(shù)為56.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

專題：二項(xiàng)式定理.

分析：寫出二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)，由x得指數(shù)等于2求得r,則答案可

求.

解答：解：由北X…心〔中8一工

r?1oxo

令8-2r=2,得r=3,

?,?含X?的項(xiàng)的系數(shù)為需二56?

U

故答案為：56.

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對通項(xiàng)的記憶與應(yīng)用，是

基礎(chǔ)題.

x-

12.已知實(shí)數(shù)x,y滿意約束條件x+y>l,則z=x+2y的最大值為7.

2x-y<4

考點(diǎn)：簡潔線性規(guī)劃.

專題：不等式的解法與應(yīng)用.

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，即可得到

結(jié)論.

解答：解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=x+2y得y=-lx+lz,

22

平移直線y二-」x+』z由圖象可知當(dāng)直線y二-lx+2z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線

2222

y二-1x+』z的截距最大，

22

此時(shí)z最大，

由，即產(chǎn)3,

2x-y=4(y=2

即A(3,2),此時(shí)z=3+2X2=7,

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)

鍵.

22

13.已知雙曲線三-4二1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F”F2,

ab

以FE為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P.若NPFF2=30°,

則該雙曲線的離心率為—在+1_.

考點(diǎn)：雙曲線的簡潔性質(zhì).

專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

分析：先設(shè)FR=2c,由題意知△FFJ是直角三角形，利用NPFF2=30°,

求出|PFj、|PF2|,依據(jù)雙曲線的定義求得a,c之間的關(guān)系，則雙曲

線的離心率可得.

解答：解：設(shè)FF2=2C,由題意知AFF2P是直角三角形，ZPF.F,=30°

，IPF/W^c,IPF2I二c,

_

PFr-|PF2|=V3cc=2a,

.e=U_2二V3+1.

aV3-1

故答案是后1.

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡潔性質(zhì).考查了學(xué)生綜合分析問題

和數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用.

14.已知函數(shù)f(x)=asin(ax+0)-b的部分圖象如圖，其中3>

0,|0|<2L,a,b分別是△ABC的角A,B所對的邊，cosOf(&)+1，

22

則△ABC的面積S二亞.

-5—

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象.

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

分析：依據(jù)函數(shù)的圖象，先求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角形的面積公

式進(jìn)行求解即可.

解答：解：由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的最大值為a-b二加-1,最小值為

-a-b二-亞-1,

解得a二亞，b=l,

T=7H_3冗=4冗_(dá)冗

1~~~8=2'

即函數(shù)的周期T二兀，

即2九二JI,

3

BPCO=2,

故f(x)二點(diǎn)sin(2x+0)-1,

?.?f(空)二加sin(2X12L+0)

88

.,.sin(121+0)=1,

4

即空+0=2kJi+2￡,

42

即e=2kJT-2L,kez.

4

vI0I<Z,

2

???k=o時(shí)，0=-2L,

4

故f(x)二亞sin(2x-《)-1,

,cosC=f*)+1?

.*.cosC=V2sin(C-—)-l+l=sinC-cosC,

4

即sinC=2cosC,

平方得sinJC=4cos2C,

5sin0=4,解得sinO&E

5

則AABC的面積S=1bsinC=lx①xix耍華，

故答案為：VK.

5

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，以與三角形面積公式的

計(jì)算，依據(jù)圖象求出三角函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.

15.已知單位向量彳，彳，了兩兩的夾角均為0（0V。V冗，且0Wg）,

若空間向量W滿意；r￡/+zE（x,y,z￡R），則有序?qū)崝?shù)組（X,y,z）

稱為向量彳在“仿射”坐標(biāo)系O-xyz（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐

標(biāo)，記作全（x,y,z）.有下列命題：

□

①已知￡（1,3,-2）0,b=（4,0,2）0?則=0;

②已知全（x,y,0）R,b=（0,0,z）1r其中xyzHO,則當(dāng)且僅當(dāng)x=y

T-與

時(shí)，向量二E的夾角取得最小值；

③已知

a=（X],y[,Z]）&,b=（x2?丫2'Z2）8，則a+b=（X[+X2，丫廿丫？，Z[+z2）g

④已知贏二（1,0,0）1T，/（0,1,0）R,oc=（0,0,1）…則三棱

TTT

錐0-ABC的表面積S二五，其中真命題有②③（寫出全部真命題的

序號(hào)）

考點(diǎn)：命題的真假推斷與應(yīng)用.

專題：新定義；簡易邏輯.

分析：理解仿射坐標(biāo)的概念，利用空間向量的共線定理與數(shù)量積運(yùn)算

即可求解.

解答：解：①若H（2,0,-1）c?護(hù)（1，0,2）c，則a*b=（2]_-

k）*Ci+2k）=2+3l*k-2=3cos0,

V0<o<Ji,且87f：[,2*b^o；

②2二（X,y,0）R,b=（0,0,z）其中xyzHO,向量W的夾角取得

~3~3

最小值，兩向量同向

存在實(shí)數(shù)入＞0,滿意7入E，依據(jù)仿射坐標(biāo)的定義，易知②為正確：

③已知券(X”yi,Zi)o,b=(X2,y2,z2)°,則左(xi-x2)T+(yi

-丫2)彳+(Zi-z2)k，

a-b二(X「X2，y「y”Z1-z2^8

@0A=(1,0,0)0E=(0,1,0)e0C=(0,0,1)1r已知，則三棱

T~3~3

錐0-ABC為正四面體，棱長為1,???表面積為S=4X4X；XIX亨會(huì).

故答案為：②③.

點(diǎn)評：本題主要考察了向量的相關(guān)概念，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.

三、解答題：本大題共5小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明

過程或演算步驟.

16.已知A、B分別在射線CM、CN(不含端點(diǎn)C)上運(yùn)動(dòng)，ZMCN=-2JI,

q

在aABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.

(I)若a、b、c依次成等差數(shù)列，且公差為2.求c的值；

(H)若c=加，ZABC=0,試用()表示△/$€：的周長，并求周長的最

大值.

考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理.

專題：解三角形.

分析：(I)由題意可得a二c-4、b=c-2.乂因NMCN二兀，cosC二-3

222

可得a+b-c二一」,，、亙等變形得C2-9C+14=0,再結(jié)合C>4,可得C

2ab2

的值.

(II)在aABC中，由正弦定理可得AC=2sin0,BC=2sin(--6).△

3

ABC的周長f(0)=|AC|+|BC|+|AB|=2sin(8+匹)+&.再由

3

eg(o,工)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f(0)取得最大

3

值.

解答：解：(I)Ta、b、c成等差，且公差為2,?飛=c-4、b=c-2.

XVZHCN=iK，cosC=-f

?a2+b2_c2__1?(c-4)2+(C-2)2_C2__1

2^b~~~~22(c-4)(c-2)2f

恒等變形得c2-9c+14=0,解得c=7,或c=2.

又；c>4,.*.c=7.…(6分)

(11)在4413(：中，由正弦定理可得y二_單

sinZABCsinZBACsinZACB

ACBC

=2?AC_2sin°,BC=2sin(--B).

esinB".九—Q.2九

sm(--W)sinr^-3

???△ABC的周長f(0)=|AC|+|BC|+|AB|=2sine+2sin(工-0)+?

3

=zgsinB+坐cos8]+V?2sin(8+￡)+加,…(1。分)

又?.?0￡(o,5),Y<e吟<W，

JJJJ

???當(dāng)eTJ,即8』時(shí).，f(0)取得最大值2+加.…(12分)

326

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域

和值域，屬于中檔題.

17.某個(gè)海邊旅游景點(diǎn)，有小型游艇出租供游客出海游玩，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)

如下：租用時(shí)間不超過2小時(shí)收費(fèi)100,超過2小時(shí)的部分按每小時(shí)

100收取（不足一小時(shí)按一小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)甲、乙兩人獨(dú)立來該景點(diǎn)租

用小型游艇，各租一次.設(shè)甲、乙租用不超過兩小時(shí)的概率分別為L

Vq

工租用2小時(shí)以上且不超過3小時(shí)的概率分別為11,且兩人租用的

223

時(shí)間都不超過4小時(shí).

（I）求甲、乙兩人所付費(fèi)用相同的概率：

（II）設(shè)甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和為隨機(jī)變量求g的分布列與

數(shù)學(xué)期望.

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量與其分布列.

專題：概率與統(tǒng)計(jì).

分析：（I）首先求出兩個(gè)人租車時(shí)間超過三小時(shí)的概率，甲乙兩人

所付的租車費(fèi)用相同即租車時(shí)間相同：都不超過兩小時(shí)、都在兩小時(shí)

以上且不超過三小時(shí)和都超過三小時(shí)三類求解即可.

（II）隨機(jī)變量&的全部取值為200,300,400,500,600,由獨(dú)立事

務(wù)的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可.

解答：解：（I）甲、乙所付費(fèi)用可以為100、200元、300元…（1

分）

甲、乙兩人所付費(fèi)用都是100元的概率為…（2分）

甲、乙兩人所付費(fèi)用都是200元的概率為…（3分）

甲、乙兩人所付費(fèi)用都是300元的概率為

p=(1----)x(1---—)」

1322336

故甲、乙兩人所付費(fèi)用相等的概率為p二…(6分)

1/J36

(II)隨機(jī)變量g的取值可以為200,300,400,500,600…(7分)

P(€=200)=-lx』」

236

P(=400)=(1----)xl+(1-A-A)

2323332236

P(€=500)=lx(i-l-l)+(i-A-1)xl=A

22323336

P(1=600)=(i-1-l)x(1-1-1)4

232336

故&的分布列為：

€200300400500600

p213H_5

-636363636

…(11分)

J&的數(shù)學(xué)期望是Eg二200'1300'譽(yù)400義務(wù)500*梟600X、3503

636363636

(13分)

點(diǎn)評：本題考查獨(dú)立事務(wù)、互斥事務(wù)的概率、離散型隨機(jī)變量的分布

列和數(shù)學(xué)期望，考查利用所學(xué)學(xué)問解決問題的實(shí)力.屬于中檔題型.

18.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，NBCD=120°,A四PC=2,

AP二BP二表.

(I)求證：AB1PC：

（II）在線段AD上是否存在點(diǎn)Q,使得直線CQ和平面BCP所成角0的

正弦值為2G?若存在，請說明點(diǎn)Q位置；

7

若不存在，請說明不存在的理由.

考點(diǎn)：直線與平面所成的角；棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

專題：空間位置關(guān)系與距離；空間向量與應(yīng)用.

分析：（I）取AB的中點(diǎn)0,連接P0,CO,AC；證明AB_L平面PCO

即可；

（II）依據(jù)題意，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以0C,OB,0P為x軸，y軸，z

軸建立空間直坐標(biāo)系0-xyz,

求出平面BCP的一個(gè)法向量，假設(shè)存在點(diǎn)Q滿意題意，求滿意條件的

點(diǎn)Q坐標(biāo)是否存在.

解答：解：（I）證明：取AB的中點(diǎn)0,連接P0,CO,AC；…（1分）

VAP=BP,AP01AB；…（2分）

又四邊形ABCD是菱形，且NBCD=120°,

???△ACB是等邊三角形，???CO_LAB；

又CO門P0=0,平面PCO；—（4分）

又PCu平面PCO,.\AB_LPC；…（5分）

(II)由AB二PC二2,AP二BP二血，得P0=1,OC=VS，

/.OP^OC'-PC%OP±OC；???(6分)

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C,OB,0P分別為x軸，y軸，z軸建立空間直

坐標(biāo)系0-xyz,

則B（0,1,0）,C（5，0,0）,P（0,0,1）,D（近，-2,0）,

BC=（73?-1,0），PC=（?,0,-1）yAD=（V3，7,0）；…（7

分）

設(shè)平面BCP的一個(gè)法向量為W二（1,b,c），則WjL玩，nlBC，

.[n*PC=V3-c=0

n?BCR5-b二。

**,n=（1,V3?V3）（10分）

假設(shè)存在點(diǎn)Q滿意題意，設(shè)Q（a,b,0）,

??,點(diǎn)Q在線段AD上，則設(shè)而二人標(biāo)（a,b+1,0）二入（近，-1,0）,

解得Q（尺,-1-入，0）,

,,CQ=（V5入--1-入，0）；…（11分）

依題意sine二cos〈而，\〉-，可與,

ICQl-lnl7

代入解得人」；

2

???存在點(diǎn)Q滿意題意，點(diǎn)Q為AD中點(diǎn).…（13分）

點(diǎn)評：本題考查了空間中的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間向量

的應(yīng)用問題，考查了空間想象實(shí)力與邏輯思維實(shí)力的應(yīng)用問題，是綜

合性題目.

19.己知橢圓C：(a>b>0)的中心為0,右頂點(diǎn)為A,在線

ab

段0A上隨意選定一點(diǎn)M(m,0)(0<m<2),過點(diǎn)M作與x軸垂直的直

線交C于P,Q兩點(diǎn).

(I)若橢圓C的長半軸為2,離心率立，

2

(i)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(ii)若點(diǎn)N在0M的延長線上,且|0M|,|0A|,|0N|成等比數(shù)

列，試證明直線PN與C相切；

(II)試猜想過橢圓乂+￡=1(a>b>0)上一點(diǎn)G(x0,y0)(x0>0,

ab

yo>0)的切線方程的一種方法，再加以證明.

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題.

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方

程.

分析：(I)(i)運(yùn)用橢圓的離心率公式和a,b,c的關(guān)系，計(jì)算

即可得到橢圓方程；

(H)運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，求得P,N的坐標(biāo)，求出直線PN的方程,

代入橢圓方程，計(jì)算判別式，即可得到直線PN與C相切；

(II)在x軸上取點(diǎn)N(S,0)，連結(jié)GN,則直線GN為點(diǎn)G處的切線

xo

方程.設(shè)直線GN的方程為：產(chǎn)k(x-S)，代入橢圓方程，計(jì)算判別

xo

式為0,即可得到切線方程.

解答:解：(I)(i)因?yàn)閍=2,星彥，

a2

所以a=2,c=V2,b=V2?

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：［+［二1.

(ii)由已知條件得:|0M|=l,|OA|=2,

設(shè)P(1,y),則所以P(i,土當(dāng)).

因?yàn)閨OM|,|0A|,|0N|成等比數(shù)列,

所以|OA「二|OM||ON|,即|ON|二黑臺(tái)4,所以N(4,0).

直線PN的方程為：尸土坐(x-4)代入橢圓C：彳+晨1，

642

整理得:x2-2x+l=0.

因?yàn)椤?4-4=0,

所以直線PN與C相切.

(II)在x軸上取點(diǎn)N(￡,0)，連結(jié)GN,則直線GN為點(diǎn)G處的切線

xo

方程.

證明：設(shè)直線GN的方程為：y=k(x-^)(其中k，°2二鏟與).

x

0_a_x0-a

x。xY0

222

把產(chǎn)k(x-^-)代入二+y1(a>b>0)，

x0a2b2

整理得：(b?+a2k2)x2-^!kx+M~-a2b2工，

x0xj

判別式△二門4

22

因?yàn)辄c(diǎn)G在橢圓C上，所以T+之二1，…(2)

ab

式

判別

明以直線GN為所求的切線.

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方

程的運(yùn)用，留意直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式為0,考查化簡

整理的運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.

20.已知函數(shù)f(x)=x|Inx-a|,a￡R.

(I)當(dāng)好1時(shí)-，試求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若對隨意的a22,方程f(x)=x+b恒有三個(gè)不等根，試求實(shí)數(shù)

b的取值范圍.

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用；根的存在性與根的個(gè)數(shù)推斷.

專題：函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

分析：(I)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)rllnx-lljx-xlnx'*<上利用導(dǎo)

[xlnx-x,x/e

數(shù)法，可求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)利用導(dǎo)數(shù)法，可得f(x)在(0,ea-2)上遞增，在(C-2,/)

上遞減，在(e",+8)上遞增，若方程f(x)=x+b有三個(gè)不等根，則

必需在(0,e1))上有兩個(gè)不等根，在(e“，十8)上有一個(gè)根.分類探

討后，可得實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解答：解：(I)Sa=lBt,f(X)=x|lnx-l|=(X"XlnX，

當(dāng)0<x<e時(shí)，f>(x)=-Inx,可得f(x)在(0,1)上遞增，在(1,

e)上遞減；

當(dāng)x2c時(shí)，f'(x)=lnx,可得f(x)在(c,+8)上遞增.

\.fax-xlnx,0<x<e?

(zITIT)f(x)=|lnx-a|=，

xxlnx-ax,x)/

當(dāng)0<xVe"時(shí)，f'(x)=a-1-Inx,

當(dāng)時(shí)，f'(x)=lnx+l-a,

a2a

???f(x)在(0,e-)上遞增，在(3*,/)上遞減，在(e,+8)

上遞增.

若方程f(x)=x+b有三個(gè)不等根，則必需在(0,ea)上有兩個(gè)不等根,

在(e:1,+8)上有一個(gè)根.

①當(dāng)OVxVe"時(shí)，令g(x)=f(x)-(x+b),則g'(x)=-lnx+a

-2；令g'(x)=0,得x=e"Y.

所以當(dāng)OVxVe…時(shí)，g(x)是增函數(shù)，當(dāng)?！?VxVe"時(shí)，g(x)是

減函數(shù)，所以若g(x)在(0,e)上有兩個(gè)不等根，此時(shí)應(yīng)滿意

a2a2

fg(e_)=e--b>0俎―

aa

g(e)=-e-b<0

又因?yàn)楫?dāng)x-0時(shí)，可得k>0,所以0<bVei.

②當(dāng)x>e"時(shí)，令h(x)=f(x)-(x+k),貝Uh'(x)=lnx-a；令

h'(x)=0,得x=e".

所以當(dāng)x>3時(shí)，h(x)是增函數(shù).所以若h(x)在(ea,+8)上有

一個(gè)根，則應(yīng)滿意g(不)=-e-kVO,解得b>-e>

由①、②可得，OVbVcF

又對于隨意的a22,方程f(X