上海市建平中學2024-2025學年高二(下)開學考試數(shù)學試卷

一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如果曲線C上任一點的坐標都是方程F(x,y)=0的解，那么下列命題中正確的是()

A,曲線C的方程為尸(x,y)=0

B.F(x,y)=0的曲線是C

C.以方程=0的解為坐標的點都在曲線C上

D.曲線C上的點都在方程F(%,y)=0的曲線上

2.已知4(—l,0),B(l,0)兩點，過動點M作x軸的垂線，垂足為N,若而=XAN-NB,當4<0時，動點M的

軌跡為

A,圓B,橢圓C.雙曲線D.拋物線

3.擲兩顆骰子，觀察擲得的點數(shù).設事件4為：至少一個點數(shù)是奇數(shù)；事件B為：點數(shù)之和是偶數(shù)；事件4的

概率為PQ4),事件B的概率為P(B),則1—PQ4CB)=()

1113

A-8ByC.-Dy

4.若一個四面體的四個側(cè)面是全等的三角形，則稱這樣的四面體為“完美四面體”，現(xiàn)給出四個不同的四

面體4cB欠金。式々=1,2,3,4),記△冬冬。的三個內(nèi)角分別為七，Bk,Ck,其中一定不是“完美四面體”的

為()

A.Ar\Bi：Ci=3:5:7B.sin/2：sin%:sinC2=3:5:7

C.C0Si43:COSF3:COSC3=3:5:7D.tani44:tanB4:tanf4=3:5:7

二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。

5.已知直線2%+y+1=0的傾斜角大小是仇則tan26=.

6.已知等邊AABC的平面直觀圖A4B'C'的面積為噂，則等邊AABC的面積是

16

7.已知兩條平行直線小辦分別過點為(1，0)，22(。，3)，且。與％的距離為3，則直線。的斜率是.

8.從2,3,8,12中任取兩個不同的數(shù)字，分別記為a,b,用(a,b)表示該試驗的樣本點，則事件“，石為

有理數(shù)”可表示為.

9.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率是.(結(jié)果用最簡分數(shù)表示).

10.已知圓/+y2-4x-m=0的面積為兀，則?n=.

11.雙曲線C：t—=1的右焦點F到其一條漸近線的距離為___.

Z4

第1頁，共11頁

12.已知橢圓C：4+￥=1的左、右焦點分別為尻，F(xiàn)2,直線y=x—爪與C交于4B兩點，me（—1,1）若4

43

FMB的面積是△F24B面積的3倍，則爪=.

13.在空間中，給出下面四個命題：①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直；②垂直于同一個平面的

兩條直線互相平行：③垂直于同一個平面的兩條直線平行；④平行于同一個平面的兩條直線平行：其中正

確的命題是（填序號）

14.如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為2cm,高為2cm,AB,CD分別是兩底面的直徑，AD,BC是母線.若一

71

只小蟲從4點出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點，則小蟲爬行的最短路線的長度是cm（結(jié)果保留根式）.

15.我國古代數(shù)學著作仇章算術(shù)》中研究過一種叫“鱉（b⑥腌（九占。）”的幾何體，它指的是由四個直角三

角形圍成的四面體，那么在一個長方體的八個頂點中任取四個，所組成的四面體中“鱉夥”的個數(shù)是.

16.已知實數(shù)x、y滿足竽一y|y|=l,則,一2y+，司的取值范圍是.

三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題12分）

直線1：）/=￡1%+1與雙曲線。：3/-y2=i相交于a,B兩點.

（l）a為何值時，以為直徑的圓過原點；

（2）是否存在這樣的實數(shù)a,使4B關于直線x-2y=0對稱，若存在，求a的值，若不存在，說明理由.

18.（本小題12分）

如圖，在三棱柱48C—4iBiCi中，/.BAC=90°,AB=AC=2,AA1=4,21在底面ABC的射影為BC的中

點，M為ZG的中點.

第2頁，共11頁

(1)求該三棱柱的表面積；

(2)求直線4B1與平面BCC1BI所成角的正弦值.

19.(本小題12分)

某餐廳提供自助餐和點餐兩種服務，其單人平均消費相近，為了進一步提高菜品及服務質(zhì)量，餐廳從某日

中午就餐的顧客中隨機抽取了100人作為樣本，得到以下數(shù)據(jù)表格.

(單位：人次)

第3頁，共11頁

滿老年人中年人青年人

,防一

自助餐點餐自助餐點餐自助餐點餐

度

10

分

（

121202201

滿

）

5

分

（

2263412

般

）

0

分

(

不116232

滿

.老一

)

(1)由樣本數(shù)據(jù)分析，三種年齡層次的人群中，哪一類更傾向于選擇自助餐？

(2)為了和顧客進行深入溝通交流，餐廳經(jīng)理從點餐不滿意的顧客中選取2人進行交流，求兩人都是中年人

的概率；

(3)若你朋友選擇到該餐廳就餐，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會建議你朋友選擇哪種就餐方式?

20.(本小題12分)

交通擁堵指數(shù)(TP/)是表征交通擁堵程度的客觀指標，TP/越大代表擁堵程度越高.某平臺計算TP/的公式為:

TP1：鬻&并按7P/的大小將城市道路擁堵程度劃分為如下表所示的4個等級:

第4頁，共11頁

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

擁堵等級暢通緩行擁堵嚴重擁堵

某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TP/的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖:

0.5-

%月29日；2月30日’12月31日1月舊‘1月2日‘1月3日’1月4日

--?--2023年—2022年

(1)從22年元旦及前后共7天中任取1天，求該天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率：

(2)從23年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TP/比22年同日TP/高的天數(shù)記為X,

求所有X的可能值及其發(fā)生的概率：

(3)把12月29日作為第1天，將23年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TP/依次記為的，a2,a7,

將2022年同期TP/依次記為瓦，b2,b7,記b=%—九(i=1,2,…,7),QQ,請直接寫出&—心取

得最大值時i的值.

21.(本小題12分)

已知橢圓廠9+4=1.

(1)求橢圓廠的離心率e；

(2)設4、4分別為「的左、右頂點，E為橢圓「上一點且在第一象限內(nèi)，若麗〉砒=一/求點E的坐標；

(3)設橢圓廠的右焦點為尸，過點F的直線與橢圓廠相交于P、Q兩點，點Q關于x軸的對稱點為Q',且直線PQ'不

與工軸平行.求證：直線PQ'過萬軸上的定點并求aFPQ'面積的最大值.

第5頁，共11頁

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】|

6.【答案】當19n

7.【答案】0或］

8.【答案】{(2,8),(8,2),(3,12),(12,3)}

9.【答案】蔡

10.【答案】-3

11.【答案】2

12.【答案】1或0.5)

13?【答案】①②③

14.【答案】272

15.【答案】24

16.【答案】(遮,2/1+司.

17.【答案】【詳解】(1)聯(lián)立方程q%+1=y與3/一y2=1,消去y得：(3-M)/一一2=0(*)

又直線與雙曲線相交于48兩點，3—標。。，所以a?！?3,

???4=4(6—a2)>0,.,?—V"6<a<V-6.

又依題知。A1。8,令4B兩點坐標分別為(%i，yi),(%2，丫2)，

則。4?OB=xrx2+yi72=0.

22

y1y2=(a%i+l)(a%2+1)=axrx2+a(%i+%2)+1=—xrx2=>%i%2(l+a)+a(%i+%2)+1=0，

而由方程(*)知：%i+x2=等，*=用代入上式，

得_2^普+1++1=0=。2=1=。=±1,滿足條件.

(2)假設這樣的點48存在，則：y=a%+1的斜率a=—2.

又中點("1；犯,丫1)在y=9上，

第6頁，共11頁

貝+%2)，又yi+丫2=a(%i+%2)+2，

代入上式知2a(久1+%2)+4=X]+%2，結(jié)合+%2=解得a=6,

這與a=-2矛盾.

故這樣的實數(shù)a不存在.

18.【答案】解：(1)取BC中點N,連接AN、MN,

因為出在底面ABC的射影為BC的中點，所以4N1平面4BC,

又因為M為4Ci的中點，所以MN//48,MN//A±A,

因為NB4C=90°,AB=AC=2,所以AN=BN=CN=yf2,

222

A/=JArA-AN=V4-2=/14,

取4B中點D,連接QN、ArD,貝1]DN〃4C,DN=^AC=1,

因為NB4C=90。，所以AB1DN,

又因為DN為冬。在平面ABC內(nèi)投影，所以&OLAB,

ArD=<A”+DN2=V14+1=715,

所以該三棱柱的表面積為

1,—「

S=2s△4BC+2s44遇遇+SBBI/C=2X—X2X2+2X2XV15+2AA2X4

=8VI+4V15+4.

(2)由(1)知8C_L4N,BC1ATN,ANCiA/=N,

ANANu平面A、MN,

所以BC_L平面&MN,

因為BCu平面BCC/i，所以平面&MN，平面BCG/,

過Ai作AiP1MN于P,又因為平面&MNC平面BCG/=MN,&Pu平面A、MN,

所以4P，平面BCC/i，于是&P="誓=送/=?,

MIV4Z

n

所以直線4Bi與平面BC。1當所成角的正弦值為黑=3=?.

第7頁，共11頁

19.【答案】【詳解】(1)由題知，老年人選擇自助餐的頻率B=器,

中年人選擇自助餐的頻率P2=譽

青年人選擇自助餐的頻率P3=焉

則P2>P]>P3,

即中年人更傾向于選擇自助餐.

(2)點餐不滿意的人群中，老年人1人(設為a),中年人2人(設為b,c),青年人2人(設為d,e).

從中選取2人,其基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),

(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10個

基本事件，其中2人都是中年人僅有一個(b,c)符合題意；

故兩人都是中年人的概率為P=京

52x10+12x5+10x0_580

(3)由表可知,自助餐滿意的均值為：%!=

52+12+10—~74

4x10+17x5+5x0125

點餐滿意的均值為:±2=

4+17+5~26

%1>%2,故建議其選擇自助餐.

20.【答案】【詳解】(1)由圖可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”

的共2天，

所以這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為今

第8頁，共11頁

(2)由圖可知，23年元旦及前后共7天中比22年同日TP/高的天數(shù)只有1月3日和1月4日這2天,

所以P(X=0)/44P(X=1)=等喘.，

P(X=2)=等=￡蕓,

所以X的分布列為:

X012

241

P

777

數(shù)學期望E(X)=0*'+"'2義六*

(3)由題意,q=%—瓦=1.908-2.055=-0.147,c2=a2-b2=2.081-2.393=-0,312,

。3=。3—仇=1.331—1.529=—0.198,c4=a4—b4=1.202—1.302=—0.1,

C5=的一b5=1-271—1.642=-0.371,c6=a6—b6=2.256—1.837=0,419,

c7=a7—b7=2.012—1.755=0.257,

所以e=轉(zhuǎn)kQ=/(-0,147-0.312-0.198-0.1-0.371+0.419+0,257)?-0.065,

C6=0.419絕對值最大，結(jié)合以上數(shù)據(jù)可知&-己取得最大值時，i=6.

21.【答案】【詳解】(1)由橢圓方程可知a?=4,b2=3則a=2,

所以°?=a2-fa2=4-3=1,貝l]c=1,所以橢圓廠的離心率e=-=

(2)由(1)可得4式-2,0),4(由0)，設，(x,y)，%>0,y>0,

貝！JEN1=(-2—x,—y),EA2=(2—X,—y),因為EA】,EA2=-p

得

1解

2，即點的坐標為3

則’(—2—%)(2—x)-Fy=2-E

<x>0,y>0

(3)

由(1)可得F(l,0),

第9頁，共11頁

依題意直線尸Q的斜率不為0,則設直線PQ的方程為％=my+l,

2

聯(lián)乂卜/+4y=12'消去式行（3病+4曠+6my-9=0,

由直線過點F,則4>0恒成立，設Q（%2，y2），則Q'（%2,一月），

則為+%=1?火力=向，

因為kpQ，=卉，則直線PQ'的方程為y—%=件（%—右），

人1x2人1A2

令y=0,則％=/力（巧一%2）_嗎為+%1及-%，i+%2yl

yi+y2-丫1+丫2'

-18m