上海市交大附中2024-2025學(xué)年高二(下)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.關(guān)于直線a,瓦1以及平面M,N,下列命題中正確的是()

A.若a〃M,b“M,貝ija〃b

B.若a〃M,b1a,則b1M

C.若auM,bu",且/_LcUJ_6,貝W1M

D.若a_LM,a〃N,則M_LN

2.若空間中有兩條直線，則”這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

&a是偶數(shù)

3.正整數(shù)數(shù)列｛&J滿足與+1=2'“，使得d6=4的不同的個(gè)數(shù)為()

3an+是奇數(shù)

A.8B.7C.6D.5

4.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線Z上，線段“尸與y軸交于點(diǎn)4與拋物線

C交于點(diǎn)B,若=3,則p=()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。

5.在等差數(shù)列中，已知%=1,S3=S6,則ag=.

6.不等式-2|>1的解集為.

7.已知sina=則cos2a=.

8.曲線/'(>)=ex+ln(x+1)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線的斜率為.

9.已知2+i是關(guān)于久的方程a/+x+b=0(a,beR)的一個(gè)根，則a+b—.

10.已知函數(shù)/(x)=需是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為.

11.若lim八=3,則/''(1)=

12.若直線k：%+16y-4=0與直線%：%+m2y+m=0平行，則實(shí)數(shù)7n=.

13.已知拋物線y2=2p%(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(TH,6)在拋物線上，若|PF|=6,則血=.

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14.定義：已知一個(gè)點(diǎn)集口及一點(diǎn)P,任取點(diǎn)集。中一點(diǎn)Q,線段PQ長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)P到點(diǎn)集。的距離，

記作d（P,0）.現(xiàn)已知空間中一點(diǎn)P,平面上一個(gè)長(zhǎng)為2、寬為1的矩形及其內(nèi)部的所有點(diǎn)構(gòu)成點(diǎn)集0,則點(diǎn)的集

合｛P|d（P,。）＜1｝所表示幾何體的體積為.

15.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐光啟在儂政全書(shū)》中用圖畫(huà)

描繪了筒車的工作原理（圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，將筒

車抽象為一個(gè)半徑為R的圓，如圖2建立平面直角坐標(biāo)系，已知筒車按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120

秒，當(dāng)t=0時(shí)，某盛水筒位于點(diǎn)P°（3,-3門），經(jīng)過(guò)t秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)PQ,y）,則當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)40秒時(shí)，此盛水

筒對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為.

圖1圖2

16.平面向量瓦，石為兩個(gè)相互垂直的單位向量.a,3滿足同+標(biāo)切=忖―Y虧同+4,后—6同=1,則

加在，方向上的數(shù)量投影的取值范圍是.

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.（本小題12分）

如圖，已知圓柱的高為2,直三棱柱ABC—AB'C'的頂點(diǎn)4、B'C'在圓柱上底面的圓周上，頂點(diǎn)2、B、C在

圓柱下底面的圓周上，已知乙4cB=9（T,BC=2C=1,。為48的中點(diǎn).

（1）求二面角A——4的余弦值；

（2）求4到平面4BC的距離.

18.（本小題12分）

已知等差數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)為1,a2n=2an+l,數(shù)列｛匕｝的前n項(xiàng)和為土,瓦=1,bn+1=2Sn+l.

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(1)求數(shù)列｛即｝,｛,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛的1?g｝的前71項(xiàng)和4.

19.(本小題12分)

如圖，有一塊扇形草地MON,已知半徑為R,乙MON=爭(zhēng)現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場(chǎng)地4BCD作為兒童樂(lè)

園使用，其中點(diǎn)2、B在弧MN上，且線段4B平行于線段MN

(1)若點(diǎn)4為弧加的一個(gè)三等分點(diǎn)，求矩形48C。的面積S；

(2)當(dāng)弧薪長(zhǎng)為多少時(shí)，矩形4BCD的面積S最大？最大值為多少？

20.(本小題12分)

已知橢圓。4+*1(61＞匕＞0)的離心率為右&,尸2分別是橢圓。的左，右焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)尸2且斜率不為。的直

線/與橢圓。交于4B兩點(diǎn).A4B0的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/的斜率為1,求線段4B的長(zhǎng)；

(3)若點(diǎn)P在橢圓。上，S.\PA\=\PB\,試問(wèn)是否存在直線/,使得入48P的重心在y軸上？若存在，請(qǐng)求出直

線/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(本小題12分)

已知函數(shù)y=/(%)的定義域?yàn)?,非空集合AfUR.若對(duì)任意meM,任意xeD且％+zn6。，都有/(x)W

f(x+m)恒成立，就稱函數(shù)y=f(x)具有性質(zhì)M.

(1)當(dāng)M=｛1｝時(shí)，判斷下列函數(shù)是否具備性質(zhì)M.

①/'(x)=X3

②g(x)=sin(?rx)

(2)當(dāng)M=[1,+8),函數(shù)/0)=｛以,久€(-8,0),若y=f(x)具有性質(zhì)M,求a的取值范圍.

(3)當(dāng)M=｛-2,t｝,t€Z,若D=Z且具有性質(zhì)”的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所有符合條件的t的值.

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22.(本小題12分)

已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意的xGR,有/(x+1)--1)>x且+3)-/(%-3)<3%.

若/(1)=1,求/'(2025)的值.

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1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】-1

6.【答案】(—8,1)u(3,+8);

7.【答案】—*—0.5

8.【答案】2

9.【答案】一|

10.【答案】1

11.【答案】-3

12.【答案】4

13.【答案】3

14.【答案】4+亨

15.【答案】3門

16.【答案】［。,空|±百

17.【答案】【詳解】⑴

AB

如圖，連接a'c,a'8,

因A4'，平面ABC,BCU平面力BC,則441BC,

又BC1AC,AC(yAA'=A,AC,AA'u平面4AC,

故BC，平面44C,

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又ACu平面44C,故BC14C,

則乙4匕4即二面角A-BC一4的平面角.

在RtAa'AC中，AA'=2,AC=1,A'C=ylA'A2+AC2=V22+l2=后

CcoOsSZN-AA'LCA-—A，c-——^-——5'

由圖知二面角4一BC-4是銳二面角，

故二面角4—BC—4的余弦值為g.

(2)設(shè)點(diǎn)4到平面4BC的距離為d,

則由%,TBC=KI-4，BC，可得：5x^xlxlx2=|x^xlx^5xd-

解得：d=手，

即4到平面ABC的距離為爭(zhēng).

18.【答案】【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列5｝的公差為d,由a2n=2(1n+1,則%+(2n-l)d=2[。1+(n—l)d]+1,

化簡(jiǎn)可得a1—d+1=0,由a1=1,則d=2,所以%i=a1+(幾—l)d=2n—1；

由力九+i=2s九+1,則%=2szit+l(n>2),兩式相減可得b九+i-bn=2bn,

所以鏟=3(n>2),當(dāng)n=1時(shí)，為=2S1+1=2瓦+1=3,

bn

可得乎?A?3??…察=3"-2,則.=3X(7122),顯然b=1可使上式成立，

bn-lbn-23“2

所以&=3叱1.

(2)由題意可得加=1X1+3X3+5X32+???+(2n-1)?3"-】，

貝i]3&=1x3+3x33+5x33+???+(2n-1)-3",

n—n

兩式相減可得—2T7t=1+2X3+2X3?+…+2x3—(2n—1),3>

rl

nl3x(1—3T)

則-2&=l+2x\-(2n-1)-3n=-2+(2-2n)-3n,

1—3o

所以加=l+0i—1)-3巳

19.【答案】【詳解】(1)如圖，作。于點(diǎn)H,交線段CO于點(diǎn)E,連接040B,

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o

17T

OE=DE==Rsin運(yùn)

***EH=OH—OE—R(cos—sin

nnn\=R2(2sinAcos金-2sin2J)

S=AB-EH=2Rsin^RC0S12-sinT27

/nn\V3-1

=R2sin丁+cos77—1=----R4

\6o/z

(2)設(shè)〃08=0(O<8<()則

0a1°

AB=2Rsin],OH=Reos],OE=^AB=Rsin]

.-.EH=OH-OE=R(cosg-sing)

e(ee\/ee

S=AB?EH=2Rsin]?R(cos-sin(2sincos,—2sin2,

=7?2(sin0+cos。-1)=R2^V_2sin(6+；)—1]

???。?嗚),，。+注&帶

2

■1-0+^=P即。=押,5max=(<2-l)/?,

此時(shí)乙40M=1?！狫)=[弧施長(zhǎng)為/=篙.

Z\Z4/oo

答：當(dāng)弧AM長(zhǎng)為I=軟時(shí)，矩形4BCD的面積S最大，Smax=(2—1)R2

20?【答案】【詳解】(1)因?yàn)槿階BF1的周長(zhǎng)為8,所以4a=8,得a=2.

因?yàn)闄E圓。的離心率為所以c=1,b=V4—1=V~3,

故橢圓a的標(biāo)準(zhǔn)方程為。+4=1.

43

(2)由題意,FA-1,0),尸2(1,0),所以直線/的方程是y=%-1,

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%2y2

設(shè)以上女）?由~4~^~3~L得7人一8%-8=0,

y=x-lt

所以％1+%2=y,%1%2=-y

一

所以1&用=vmx824

+4X?=T

(3)設(shè)直線Z的方程為久=ty+l.

由六+卜L得（3/+4）y2+6ty-9=0,4=144t2+144>0.

（x=ty+1,

設(shè)4(右,乃)，B(x2,y2),P(x3,y3),線段4B的中點(diǎn)為H,

則+丫2=費(fèi);4,%1+%2=f（yi+丫2）+2=，+4,H/4—3t\

（3產(chǎn)+4,3/+4）

若aABP的重心在y軸上，則/+無(wú)2+盯=0，即^^+%3=0，所以“3=一五%?

3t

由%p.;=_l,得，啊=—t,

3t2+43t2+4

解得效=品，所以P(一品，品)'

2

9t

13

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓。上，所以衛(wèi)7I13t2+4/_1

4

解得t=0或t=士?.故存在直線1,使得△48P的重心在y軸上,

其方程為-y-73=0或+y-<3=0或％=1.

21.【答案】【詳解】(1)①因/(%)=/在R上單調(diào)遞增，所以％3工(%+1)3對(duì)任意％ER恒成立，即/(%)工

/(%+1)對(duì)任意久GR恒成立，故函數(shù)y=/(%)具有性質(zhì)M；

②假設(shè)函數(shù)y=g(%)具有性質(zhì)M,則g(x)<g(x+1)對(duì)任意久eR恒成立，即sin(7i%)<sin(7rx+兀)對(duì)任意

%6R恒成立，即sing)<0對(duì)任意％GR恒成立，而當(dāng)％=時(shí)，sin6)=1,與假設(shè)矛盾，故函數(shù)y=g(%)

不具有性質(zhì)M;

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(2)fO)=人為偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

①若a<0,因％、x+mG(-oo;a],貝!J/(%)W/(%+TH)恒成立，滿足題意；

②若a>0,對(duì)于任意mE[l,+8),有％+THE(―8,旬，則XE(—8,a—m],

若a-TH之0,貝行(a—m)2/(a),矛盾；

若a-7n<0,欲使函數(shù)y=/(%)具有性質(zhì)M,只需/(a-zn)W/(a)即可，

得2。4TH,則2。工(7H)min=L即

綜上，a的取值范圍為(-8,斗