第四章因式分解（B卷能力提升）一北師大版八年級(jí)下冊(cè)

數(shù)學(xué)單元雙測(cè)卷

【滿分：120】

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分，給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.把標(biāo)―2儲(chǔ)+“分解因式，結(jié)果正確的是（）

A.a（tz-l）22。）

C.+D.a2（tz-2）+a

2.小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息：a-b,x-y,x+y,a+b,

f—/方一〃分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：林、愛、我、桂、游、美，現(xiàn)將12_,2）。2_卜2—3；2膽2因

式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）

A.我愛美B.桂林游C.我愛桂林D.美我桂林

3.生活中我們經(jīng)常用到密碼，如到銀行取款.有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原

理是：將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，如多項(xiàng)式%4-/因式分解的結(jié)果是（％-y）（%+y）（x2+丁）,當(dāng)取

工=94=9時(shí)各個(gè)因式的值是：（%-?。?0,（%+目=18,（f+力=162,于是就可以把“018162”

作為一個(gè)六位數(shù)的密碼.類似地，對(duì)于多項(xiàng)式4/一孫2,當(dāng)取x=io,y=io時(shí)，用上述方法可以產(chǎn)

生一個(gè)六位數(shù)密碼.則這個(gè)密碼可以是（）

A.102030B.103020C.101030D.102010

4.如果一個(gè)數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們稱這個(gè)數(shù)為“幸福數(shù)”.下列數(shù)中為“幸福數(shù)”

的是（）

A.285B.330C.512D.582

5.224—1可以被60和70之間某兩個(gè)數(shù)整除，這兩個(gè)數(shù)是（）

A.61,63B.61,65C.63,65D.63,67

6.甲、乙兩人在因式分解x?+?x+b時(shí)，甲看錯(cuò)了a的值，分解的結(jié)果是（了+6）（%-2）,乙看錯(cuò)

了6的值，分解的結(jié)果為（x-8＞（x+4）,那么〃-a的值為（）

A.-8B.-6C.-4D.2

7.已知a=^—+2020,Z?=^—+2021,c=—^—+2Q22,則代數(shù)式/+〃+。2一“匕一加一

202120212021

的值是（）

A.OB.-C.2D.3

2

51

8.若多項(xiàng)式X+〃優(yōu)2+初一］2含有因式（九一3）和（尤+2）,則W的值為（）

A.1B.11C.—8D.——

8

9.已知關(guān)于x的整式":at"+陵3+c無(wú)2+^+e,其中a,b,c,d,e為整數(shù)，且a<Z?<c<d<e,下歹!］說(shuō)

法：①M(fèi)的項(xiàng)數(shù)不可能小于等于3；②若e=0,則M不可能分解為一個(gè)整式的平方；③若

a+b+c+d+e=18,且a,b,c,d,e均為正整數(shù)，則滿足條件的M共有4個(gè).其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.OB.lC.2D.3

10.任何一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=sxt（s,t是正整數(shù)，且s</）,如果pxq在n的

所有分解中兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱pxq是〃的最優(yōu)分解，并規(guī)定：例如

q

24可以分解成1x24,2x12,3x8,4x6這四種，這時(shí)就有尸（24）='=二給出下列關(guān)于尸⑺的說(shuō)

63

法：①網(wǎng)6）=}②/16）=1；③網(wǎng)=③若〃是一個(gè)完全平方數(shù),網(wǎng)〃）=1.其中

說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

A.lB.2C.3D.4

二、填空題（每小題4分，共20分）

11.分解因式：x3-9x=.

12.若a=2021x589—588x2021,〃=2019x2018—2017x2020,則。與6的大小關(guān)系為.

13.新定義：對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,都有〃%）=依2+法，若/⑴=5,"2）=12,貝IJ將/■（/—4%）

因式分解的結(jié)果為.

14.觀察以下等式：

（x+2?+（2x-y）2=5（x2+/）；

(2X+3J)2+(3X-2J)2=13(x2+y)；

①+今了+(4九一3寸=25#+力；

(4x+6yy+(6x-4yy=52(x?+/).

運(yùn)用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決以下問題：已知X*為實(shí)數(shù),/+/=1,則(6x+8y)2的最大值為.

15.已知一個(gè)長(zhǎng)方形的四條邊的長(zhǎng)度都是小于10的正整數(shù)(單位：cm),由這個(gè)長(zhǎng)方形的四條

邊的長(zhǎng)度數(shù)可構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，且是一個(gè)完全平方數(shù)，若這個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與百位數(shù)字相

同，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為cm2.

三、解答題(本大題共6小題，共計(jì)60分，解答題應(yīng)寫出演算步驟或證明過程)

16.(8分)因式分解：

(1)-2?3+4a2b-lab2；

(2)9a之(x一y)+4b2(y一同.

17.(8分)如圖，將一張矩形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為機(jī)的大正方形,

兩塊是邊長(zhǎng)都為72的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m、寬為72的全等小矩形，且加〉〃.(以上長(zhǎng)度單位:

(1)用含m,n的代數(shù)式表示所有裁剪線(圖中虛線部分)的長(zhǎng)度之和;

⑵觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m2+5mn+可以因式分解為

(3)若每塊小矩形的面積為10cm?泗個(gè)正方形的面積和為58cm之,試求(加+〃)2的值.

18.(10分)我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)因式

分解的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等.

①分組分解法：

例如：x2-2xy+y?_25=(x2-2xy+_y2)-25=(x-y)2-52=(x-y-5)(x-y+5),

②拆項(xiàng)法：

例如：/+2x—3=%2+2x+l—4=(x+l—2)(x+l+2)=(x—l)(x+3).

(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：

22

①用分組分解法：x+2x-y+l;

②用拆項(xiàng)法：X2-4X+3；

(2)已知：a,b,c為Z^ABC的三條邊,a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0△ABC的周長(zhǎng).

19.(10分)“試根法”是一種常見的數(shù)學(xué)方法可以應(yīng)用于分解因式、多項(xiàng)式的除法等運(yùn)算，其算

法如下：對(duì)于多項(xiàng)式無(wú)2—2x—3,令x=3時(shí),%2一2%—3=0,貝I7—2x—3必有一個(gè)因式是X—3,且

x2-2x-3可以分解為(x—3)(%+1)，對(duì)于多項(xiàng)式d-2x2-4x+8,令尤=2時(shí)-2必-4x+8=0,

貝1Jx3—2/—4x+8必有一個(gè)因式是x—2,且Y—2/—4x+8可以分解為(x+2)(x—2)2

⑴分解因式：尤3_2%2_4尤+3(當(dāng)％=3時(shí),原式為0)(方法任意)；

(2)已知多項(xiàng)式4%3+9/+3+〃既能被％+3整除,又能被1—1整除,求機(jī)、n的值(方法任意)

20.(12分)(1)若(％+。)(X-5)=%2+反一10,則。6的值是；

⑵分解因式：

①4x~-4x-_y2+4y-3；

②x?-3xy-4y2-x+9y-2；

(3)若多項(xiàng)式(3+a)X+4a—2能分解成兩個(gè)一次式(常數(shù)項(xiàng)為整數(shù))的乘積，求a的值.

21.(12分)(1)【閱讀與思考】

整式乘法與因式分解是方向相反的變形.如何把二次三項(xiàng)式依2+fov+c(aw0)分解因式呢？我

們已經(jīng)知道：(/X+q)+。2)=.反過來(lái),

就得到：01a+(/。2+。2。1)%+。1。2=(4%+。1)(。2]+。2).我們發(fā)現(xiàn)，二次三項(xiàng)式

at2+Z?x+c(a^0)的二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a。，常數(shù)項(xiàng)。分解成。臼，并且把《，出，9,c2,如圖1

所示擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加，就得到a,+。2。1，如果+。2cl的值正好等于+bx+C

的一次項(xiàng)系數(shù)瓦那么加+bx+c就可以分解為+淇中4,q位于圖的上一行,火，

。2位于下一行.像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法,

通常叫做“十字相乘法”.

例如,將式子好-x-6分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即

1=1x1,把常數(shù)項(xiàng)-6也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即-6=2x(-3)；然后把1,1,2,-3按圖2所示的擺

放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到1x(-3)+lx2=-l,恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)-1,于是

f-X-6就可以分解為(x+2)(x—3).

請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式:

f+X-6=.

(2)【理解與應(yīng)用】

請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：

①2/+5%-7=.；

②6x2-7xy+2y2-.

(3)【探究與拓展】

對(duì)于形如ax?+g+cy2+力；+ey+/的關(guān)于的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來(lái)分

解，如圖4.將a分解成機(jī)〃乘積作為一列,c分解成pq乘積作為第二列,f分解成jk乘積作為第三

歹U,如果2+=左+切=e,相上+何=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規(guī)

則，則原式=(如+加+/)(依+4+左)，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：

①分解因式3/+5xy-2y2+x+9y-4=；

②若關(guān)于的二元二次式X?+7孫-18y2一5%+如-24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求m的

值.

圖I圖2圖3圖4

答案以及解析

1.答案：A

解析：—2a2+a

=a(a2_2a+1)

故選：A.

2.答案：C

解析：（

=（x+y）（%_y）（a+3（a叫，

??.結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：我愛桂林，

故選：C.

3.答案：C

解析：4三一盯2

=x（4x2-y2）

=x（2x-y）（2x+y）,

"：x=10,y=10,

A（2x-y）=2x10-10=10,（2x+y）=2x10+10=30

...這個(gè)密碼可以101030,

故選：C.

4.答案：C

解析：???一個(gè)數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差,那么我們稱這個(gè)數(shù)為“幸福數(shù)”,

???設(shè)“幸福數(shù)”為（2〃+_（2〃一l）2（n為整數(shù)）,

V（2n+l）2-（2n-l）2=8n,

???“幸福數(shù)”是8的倍數(shù)，

觀察各選項(xiàng)，是8的倍數(shù)的只有512,

故選：C.

5.答案：C

解析：V224-1

=（2-1）

=（212+1）（26+1）（26-1）,

I.224—1能被26+1和26—1整除，

26+1=65,26-1=63,

V60<65<70,60<63<70,

...2〃一1能被65和63整除，

，這兩個(gè)數(shù)為:65和63.

故選：C.

6.答案：A

解析：甲、乙兩人在因式分解好+or+b時(shí)，甲看錯(cuò)了a的值，分解的結(jié)果是（x+6）（x-2）,

.?2=6x（—2）=—12.乙看錯(cuò)了b的值，分解的結(jié)果為（x—8）（x+4）,，a=—8+4=Y,

.?.Z?-?=-12-(-4)=-8.

7.答案：D

解析:a=」一+2020,人=」~+2021,c=」一+2022,

202120212021

a—b=—1,b—c=9a—c=-2,

2

Q?+Z?+c?—ab—be—etc

=3.

故選：D.

8.答案：A

5

解析：多項(xiàng)式x+32+改一］2的最高次數(shù)是3,(x—3)(x+2)=必一X一6的最高次數(shù)是2,

,多項(xiàng)式d+儂：2+依一12含有因式(工一3)和(尤+2),

多項(xiàng)式的最后一個(gè)因式的最高次數(shù)應(yīng)為1,可設(shè)為(x+a),

即%3+mx2+nx-12=(x-3)(x-2)(x+a),

整理得：x3+m)c+nx-12=x3+(a-l)x2-(?+6)x-6a,

m=a-l

比較系數(shù)得：<〃=-(a+6),

6a=12

m=1

解得：<〃=-8,

a=2

：.m"=r8=1.

故選：A.

9.答案:C

解析：根據(jù)a<人<c<d<e,且a,b,c,d,e為整數(shù)，可得a最小為0,則M的項(xiàng)數(shù)至少是4項(xiàng),故不可

能小于等于3,故①正確；

若e=0,則a<A<c<d<0,假設(shè)〃可以分解為一個(gè)整式的平方，

設(shè)M=(px2+qx+,

則Af=(px2+qx+r)

=(px2+qx+r)(px2+qx+r)

=p2x4+pqx3+prx?+pqx3+q2x2+qrx+prx2+qrx+r2

1

-夕214+2〃"3+(2〃r+g2)%2+2qrx+r.

a=p2,b=2pq,c=2pr+q1,d=2qr,e=r2,

e=0,

.,.r—Q,d=0,

這與。＜e矛盾，

???假設(shè)不成立，

故e=0,則“不可能分解為一個(gè)整式的平方，

???②正確；

若a+Z?+c+d+e=18,且a,b,c,d,e均為正整數(shù)，

則有a=\,b=2,c=3,d=4,e=8,

或a=l,b=2,c=3,d=5,e=7,

或a=l,b=2,c=4,d=5,e=6共三種情況，故③錯(cuò)誤;

故選：C.

10.答案:D

解析：@76=1x6=2x3,

故本小題正確；

(2)716=1x16=2x8=4x4,

4

E(16)=z=1，故本小題正確；

③“2="(〃一1),

F(n2-n\=—~=1-2,故本小題正確；

、'nn

③是一個(gè)完全平方數(shù)，

：.n分解成兩個(gè)完全相同的數(shù)時(shí)，差的絕對(duì)值最小，

/.E(n)=L故本小題正確.

綜上所述，說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是4,

故選：D.

11.答案：x(x-3)(x+3)

解析：尤3-9%=%(無(wú)2-9)=x(無(wú)一3)(%+3),

故答案為：x(x-3)(x+3).

12.答案：a>b

解析：Va=2021x589-588x2021

=2021x(589-588)

=2021x1

=2021.

Z?=2019x2018-2017x2020

=2019x(2017+1)-2017x(2019+1)

=2019x2017+2019-2017x2019-2017

=2019-2017

=2.

故答案為：a>b.

13.答案：x(x+2)(x-2)3

解析：由/⑴=5,42)=12得,

a+b=5

4a+2Z?=12

a=1

解得，,，

b=4

2

/.f^x_4X)=(%2+4(尤2_以)，

2

=(%2-4%^x—4%+4),

=x(^x2-4^(x-2)2,

=x(x+2)(x-2)(x-2)2,

=X(A:+2)(X-2)3,

故答案為：x(x+2)(x-2)3.

14.答案：100

解析：???(%+2yy+(2x-y)2=5(x2+/)=(l2+22)(x2+/

(2x+3y)2+(3x—2y)2=13(/+/)=(22+32)(x2+/)；

(3x+4y)2+(4x—3y)2=25(x2+/)=(32+42)(x2+/)；

(4x+6y)2+(6x-4j)2=52(x2+y2)=(42+62)(x2+/).

A(6X+8J)2+(8X-6J)2=(62+82)(X2+/)=100(X2+J2)

???(6尤+8j)2=100(X2+/)-(8X-6y產(chǎn)

x2+y2=l,

：.(6x+8y)2=100-(8x-6y)2

V(8x-6y)2>0,

A0<100-(8%-6y)2<100,

，(6x+8y)2的最大值為100,

故答案為：100.

15.答案:28

解析：設(shè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為xcm、_ycm,

貝U四位數(shù)N=1000x+100x+10y+y=1100x+lly=n(100x+y)=ll(99x+x+y),

N是一個(gè)完全平方數(shù)，H為質(zhì)數(shù)，

+y能被11整除，

又,1<%<9.1<y<9,

/.2<x+y<18>得x+y=ll,

N=ll(99x+x+y)=ll2(9x+l),

.?.9x+l是一個(gè)完全平方數(shù)，

經(jīng)試算知當(dāng)x=7時(shí)滿足條件，故y=4,

從而長(zhǎng)方形的面積=7x4=28cn?.

16.答案：-

(2)(X-y)(3a+2Z?)(3a-2Z?)

解析：⑴-2/+4八—2加

=-2q(/-2ab+b?)

=-2〃(〃-6)2.

(2)9<72(X-J)+4Z?2(j-x)

=9a2(x-y)-4b2(x-y)

2

=(1_y)(9〃2-4Z?)

=(%-y)(3a+2Z?)(3a-2Z?).

17.答案：(1)6加+6〃

(2)(m+2n)(2m+ri)

⑶49

解析：(1)圖中一條豎直裁剪線長(zhǎng)為(2冽+〃),一條水平裁剪線長(zhǎng)為(加+2〃)，

，所有裁剪線(虛線部分)長(zhǎng)度之和為：2(m+2n)+2(2m+n)=6m+6n=6(m+n)；

(2)解：大長(zhǎng)方形的面積由長(zhǎng)乘寬可得(根+2n)(2m+〃),由九個(gè)小圖形之和可得2m?+5nm+2》,

/.2m2+5mn+2n2=(m+2n)(2m+n)

即2m2+5根〃+2/可以因式分解為：(加+2〃)(2加+〃)，

故答案為：(加+2〃)(2加+〃)；

(3)依題意得,2療+2*=58,3=10,

/.后+/=29,

.(m+n)2=m2+2mn+n2,

/.(m+n)2=29+20=49.

18.答案：⑴①(％+l+y)(x+l—y)；(2)(X-1)(X-3)

(2)14

解析：（I）（D%2+2X-/+I

=x2+2x+l-y2

=-2

=(x+l+y)(x+l-y)；

②爐―4x+3

-x2-4x+4-l

=(X-2)2-1

=(x-2+l)(x-2-l)

=(x-l)(x-3)；

(2)a2+5b2+c2-4ab—6b—10c+34=0

a2-4ab+4b2+b2-6b+9+c2-10c+25=0

(?-2Z?)2+(Z?-3)2+(c-5)2=0,

??Z?—3,c—5,〃=6,

???△ABC的周長(zhǎng)為3+5+6=14.

19.答案：(1)(%-3乂7+%_1)

(2)m=-10,n=—3

解析：(1)當(dāng)x=3時(shí),％3—2f—41+3=33-2x32-4x3+3=。,

/.多項(xiàng)式X3-2x2一4%+3必有一個(gè)因式x—3,

九^—2%2—4九+3—(x—3)(%2+(JX—1),

犬^—2%2—4-x+3—X，+(〃-3)九2—(3d+l)x+3,

比較同類項(xiàng)的系數(shù)得：a-3=-2,-(3a+l)=-4,

由Q—3=—2,解得：a=l,

由—(3Q+1)=-4,解得：〃=1,

九^—2%2—4元+3—(x-3)(九2+x—1)；

(2)多項(xiàng)式4丁+9/+如+〃既能被1+3整除,又能被x—1整除,

/.多項(xiàng)式4Y+9/+mx+〃必有因式x+3和x-l,

.,.當(dāng)二一3或x=l時(shí),4A3+9/+mx+n=G.

.??當(dāng)％=—3時(shí),4x(—3)3+9x(—3)2—3zn+〃=0,

整理得：—3加+幾=27①，

當(dāng)x=l時(shí),4xF+9xl2+m+〃=o,

整理得：M+〃=—13②，

①一②，得：-4m=-40,

/.m=-10,

將加=—10代入②，得：〃=—3.

/.m=-10,〃=-3.

20.答案：(1)-6

(2)①(2x+y-3)(2x-y+l)；②(x-4y+l)(x+y-2)

(3)〃=2或Q=8

解析：(1);(%+〃)(％—5)=f+區(qū)一10,

x2+ax-5x-5a=x2+/?x-10,

??%2+(?！?^x—5ci—Jr2+/?%—10,

ci—5=b,Sei——10,

〃=2,/?=—3,

*,?次?=2x(—3)=—6,

故答案為：-6；

(2)04x2-4x-/+4y-3

=(4/一41+1)一(/一分+4)

=(21)2—3—2)2

=(2x-l+y-2)(2x-l-j+2)

=(2x+y-3)(2x-y+l)；

2

②元之一3xy-4y-x+9y-2

=X2-(3J+1)X-(4/-9J+2)

-(3y+l)x-(4y-l)(y-2)

=[X-(4J-1)][X+(J-2)]

=(x-4y+l)(x+y-2)；

（3）：X2—（3+a）x+4a—2能分解成兩個(gè)一次式（常數(shù)項(xiàng)為整數(shù)）的乘積,

可設(shè)f-(3+a)x+4a