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2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市武安市高二下學(xué)期第一次月考(3月)數(shù)學(xué)檢測試題注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上,并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑;非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答;字體工整,筆跡清楚.4.考試結(jié)束后,請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容:選擇性必修第二冊第五章,選擇性必修第三冊第六章6.1.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.某大學(xué)食堂備有4種葷菜?8種素菜?2種湯,現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐,則可以配成不同套餐的種數(shù)為()A.14 B.64 C.72 D.80【正確答案】B【分析】按照分步乘法計數(shù)原理計算可得.【詳解】因為備有4種素菜,8種葷菜,2種湯,所以素菜有4種選法,葷菜有8種選法,湯菜有2種選法,所以要配成一葷一素一湯的套餐,可以配制出不同的套餐有種.故選:B.2.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3,則()A.3 B. C.6 D.【正確答案】B【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3,所以,所以.故選:B.3.若函數(shù),則()A.0 B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后將代入導(dǎo)函數(shù)中進(jìn)行計算.【詳解】對于函數(shù),求導(dǎo).
將代入中.
所以.
故選:A.4.現(xiàn)有5名同學(xué)去聽同時進(jìn)行的4個課外知識講座,每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座,不同選法的種數(shù)是()A. B. C.20 D.9【正確答案】A【分析】將此事分為5步,每一步均為1名同學(xué)選擇講座,后由分步計數(shù)原理可得答案.【詳解】將完成此事分為5步.第1步為第一名同學(xué)完成選擇,有4種方法;第2步為第二名同學(xué)完成選擇,有4種方法;;第5步為第五名同學(xué)完成選擇,有4種方法.則由分步計數(shù)原理可知,不同選法的種數(shù)位為.故選:A5.已知函數(shù),則的極小值為()A.2 B. C. D.【正確答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟及函數(shù)的極小值的定義即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為,因為所以,令,則,解得或(舍),x2-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此表可知,當(dāng)時,的取得極小值為.故選:D.6.已知函數(shù),若,則下列式子大小關(guān)系正確的是()A. B.C. D.【正確答案】A分析】求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合得到,由函數(shù)單調(diào)性得到,故,從而得到,得到答案.【詳解】在上恒成立,故在上單調(diào)遞增,因為,故,所以,故,所以,當(dāng)時,,故,,則,故,綜上,,A正確.故選:A7.已知函數(shù),若,使得,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.【正確答案】B【分析】由題意的值域包含于的值域,再分別求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值,進(jìn)而根據(jù)值域區(qū)間端點(diǎn)滿足的不等式列式求解即可.【詳解】,,令,解得,令,解得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,所以的值域為.當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,又,所以值域為,又,使得,所以,解得,即實數(shù)的取值范圍是.故選:B.8.已知直線是曲線與曲線的公切線,則()A.2 B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)是圖象上的切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線上的切點(diǎn),繼而求出t的值,結(jié)合切線方程,即可求得答案.【詳解】由題意知直線是曲線與曲線的公切線,設(shè)是圖象上的切點(diǎn),,所以在點(diǎn)處的切線方程為,即①令,解得,即直線與曲線的切點(diǎn)為,所以,即,解得或,當(dāng)時,①為,不符合題意,舍去,所以,此時①可化為,所以,故選:A二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.設(shè)函數(shù),則下列說法正確的是()A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則逐項計算判斷即可.【詳解】對于A:因為,所以,所以,故A錯誤;對于B:因為,所以,故B正確;對于C:因為,所以,故C正確;對于D:,故D正確.故選:BCD.10.已知函數(shù),則()A.在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.的最小值為0C.的對稱中心為 D.方程有3個不同的解【正確答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)考察函數(shù)的單調(diào)性及極值畫出函數(shù)的大致圖象,逐項判斷,可判斷A,B,D,對于C,利用中心對稱定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對于A:,令或,令,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且,可畫出函數(shù)的大致圖象如圖所示,故A正確;對于B:此函數(shù)無最小值,故B錯誤;對于C:根據(jù)解析式易知,故C正確;對于D:根據(jù)圖象可知有2個不同的解,故D錯誤,故選:AC.11.已知函數(shù)的最大值為1,則()A.B.當(dāng)時,C.D.當(dāng)時,【正確答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)求最值,結(jié)合已知可得,可判斷A;利用單調(diào)性可判斷BC;將目標(biāo)不等式轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求最值可判斷D.【詳解】對A,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以當(dāng)時取得最大值,解得,A正確;對B,由上可知,在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,因為,所以,B錯誤;對C,因為,所以,所以,C正確;對D,當(dāng)時,,不等式成立,當(dāng)時,,記,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得最大值,綜上,當(dāng)時,不等式成立,D正確.故選:ACD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.家住廣州的小明同學(xué)準(zhǔn)備周末去深圳旅游,從廣州到深圳一天中動車組有30個班次,特快列車有20個班次,汽車有40個不同班次.則小明乘坐這些交通工具去深圳不同的方法有__________.【正確答案】90種【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求解.【詳解】根據(jù)分類加法計數(shù)原理,得方法種數(shù)為(種).故90種13.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式,則_____________.【正確答案】【分析】對函數(shù)兩邊求導(dǎo),然后賦值,解得代入即可求解.【詳解】由,函數(shù)兩邊求導(dǎo)得:,令,則,所以代入函數(shù)得:.故14.設(shè)實數(shù),對于任意的,不等式恒成立,則k的最小值為_______.【正確答案】##【分析】將整理為,然后構(gòu)造函數(shù),根據(jù)的單調(diào)性得到,即,再構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)分析單調(diào)性得到,即可得到的范圍.【詳解】由得,即,令,則.因為,所以在上單調(diào)遞增,因為,所以,即,令,則,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,所以,即,所以k的最小值為.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1);(2);(3).【正確答案】(1)(2)(3)【分析】由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,根據(jù)求導(dǎo)法則,可得答案.【小問1詳解】.【小問2詳解】.【小問3詳解】.16.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求的值;(2)求的極值.【正確答案】(1);(2)極小值為,無極大值.【分析】(1)求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切點(diǎn)坐標(biāo)列方程求解即可;(2)求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可確定極大值和極小值.【小問1詳解】由題意知,所以,解得;【小問2詳解】由(1)知,令,所以,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,所以的極小值為,無極大值.17已知函數(shù).(1)若在處取得極值,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.【正確答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為,的單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2).【分析】(1)求出,由題意可知,即可解得的值,然后利用和,求出的單調(diào)區(qū)間.(2)由條件可得在區(qū)間上恒成立,得在區(qū)間上恒成立,結(jié)合二次函數(shù),可得答案.【小問1詳解】,,解得,則,,令,解得或,令,解得,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,的單調(diào)遞增區(qū)間為和.【小問2詳解】,因為在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以在區(qū)間上恒成立,因為恒大于,所以在區(qū)間上恒成立,設(shè),當(dāng)時,得在區(qū)間上不恒成立,所以不滿足題意,當(dāng)時,由于函數(shù)的對稱軸,所以要在區(qū)間上恒成立,只需不等式組無解,或解得,當(dāng)時,函數(shù)的對稱軸,要在區(qū)間上恒成立,則只需,無解,綜上,實數(shù)的求值范圍是.18.已知函數(shù).(1)若恰有兩個極值點(diǎn),求實數(shù)的取值范圍;(2)若的兩個極值點(diǎn)分別為,證明:.【正確答案】(1);(2)證明見解析.【分析】(1)由題意導(dǎo)函數(shù)在上恰有兩個不同的解,再根據(jù)二次函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)值,對稱軸與判別式列式求解即可;(2)根據(jù)題意可得是方程的兩個不同的根,所以再代入化簡,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值,進(jìn)而可證明不等式.【小問1詳解】在上恰有兩個不同的解,令,所以解得,即實數(shù)的取值范圍是;【小問2詳解】證明:由(1)知是方程的兩個不同的根,所以所以,令,令在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減,即在上單調(diào)遞減,所以,所以在上單調(diào)遞減,所以,所以.19.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)令,當(dāng)時,求的極值點(diǎn)個數(shù);(3)令,當(dāng)有且僅有兩個零點(diǎn)時,求的取值范圍.【正確答案】(1)答案見解析(2)兩個極值點(diǎn).(3)或【分析】(1)求導(dǎo),利用一次型含參討論求得單調(diào)性;(2)求導(dǎo),求的極值點(diǎn)個數(shù)即為求的變號零點(diǎn)個數(shù);(3)求導(dǎo),整理得,易知,為一個零點(diǎn),分和分類討論.【小問1詳解】定義域為,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增當(dāng)時,由,得,由,得,綜上,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】,令當(dāng)時,時單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,,又時,,所以分別在和上存在唯一的變號零點(diǎn),即有兩個極值點(diǎn).【小問3詳解】,又為一個零點(diǎn),①若,則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,又,所以只有一個零點(diǎn).②若,令又,
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