2024-2025學年廣東省江門市鶴山市高二下學期3月月考數(shù)學檢測試題一、單選題（本題共8題，每小題5分，共40分）1.已知數(shù)列的前4項依次為，則的一個通項公式為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)規(guī)律，利用觀察法求出通項即可.【詳解】因為的前4項依次為，所以的一個通項公式為．故選：．2.一物體做直線運動，其運動方程為，則時，其速度為（）A.－2 B.－1 C.0 D.2【正確答案】D【分析】由導數(shù)定義求解即可；【詳解】;故選：D3.設(shè)數(shù)列的前項和，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)列前項和與第項的關(guān)系求出.【詳解】數(shù)列的前項和，則.故選：A4.在數(shù)列中，，則（）A12 B.16 C.32 D.64【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求解即可.【詳解】因為，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故.故選：D.5.記為等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)可知，、、成等差數(shù)列，由此可求得的值.【詳解】因為為等差數(shù)列的前項和，則、、成等差數(shù)列，則，所以，.故選：B.6.在遞增的等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的公比為（）A. B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，易知是方程的兩個根，再由已知及等比數(shù)列的通項公式求公比.【詳解】由題設(shè)，易知是方程的兩個根，又為遞增的等比數(shù)列，所以，故公比.故選：B7.數(shù)列中，，，，那么（）A. B.1 C.3 D.【正確答案】B【分析】通過遞推公式找出數(shù)列的周期性計算即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以是以6為周期的周期數(shù)列．因為，所以．故選：B8.某農(nóng)村合作社引進先進技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.964萬元 B.2980萬元 C.3940萬元 D.5170萬元【正確答案】C【分析】該公司從2024年起的每年銷售額依次排成一列可得數(shù)列，由求出通項，再結(jié)合數(shù)列求和即可得解.【詳解】該公司從2024年起的每年銷售額依次排成一列可得數(shù)列，依題意，當時，，即，因此數(shù)列是首項為90，公比為1.3的等比數(shù)列，，即，則，所以從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為3940萬元.故選：C二、多選題（本題共3題，每小題6分，共18分）9.記為等差數(shù)列的前項和，已知，則（）A.的公差為3 B.C.有最小值 D.數(shù)列為遞增數(shù)列【正確答案】BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及等差數(shù)列前n項和基本量運算分別判斷各個選項即可.【詳解】對于A，由題意可得，解得，故A錯誤；對于B，，故，故B正確；對于C，，所以當時，取到最小值，故C正確；對于D，，且，故D錯誤.故選：BC.10.已知在正項等比數(shù)列中，，，則（）A.的公比為2 B.的通項公式為C. D.數(shù)列為遞增數(shù)列【正確答案】AC【分析】應(yīng)用等比數(shù)列的基本量運算求出公比及通項判斷A，B，C，再結(jié)合對數(shù)運算計算判斷單調(diào)性判斷D.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，，所以，又，所以，即，所以，，A，C正確，B錯誤；對于D，，則數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤．故選：AC．11.已知數(shù)列的前項和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則數(shù)列為等差數(shù)列B.若，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列C.若，則D.若，則【正確答案】AD【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，逐一判斷各個選項即可.【詳解】對于A，當時，，數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；對于B，，則是公差為的等差數(shù)列，B錯誤；對于C，當時，，則，，因此，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD三、填空題（本題共3題，每小題5分，共15分）12.數(shù)列是以2為首項，3為公差等差數(shù)列，則__________．【正確答案】【分析】利用等差數(shù)列通項公式計算推理即得.【詳解】依題意，，故得.故答案為.13.曲線在處的切線方程為__________.【正確答案】【分析】對函數(shù)求導求出處的導函數(shù)值，即為所求切線斜率，再求出切點坐標，再利用點斜式方程即可得切線方程．【詳解】當時，，，所以曲線的切線的斜率，切點，故切線方程為，即故14.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù)，第三行的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，則正方形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項是_______，五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的通項公式為_______．【正確答案】①.25②.【分析】根據(jù)正方形數(shù)的前4項特征，即可求解第5項；根據(jù)五邊形數(shù)的特征，列式遞推公式，利用累加法，即可求通項公式.【詳解】正方形數(shù)所構(gòu)成數(shù)列的第5項是，五邊形數(shù)所構(gòu)成數(shù)列滿足，，，，，所以，，累加可得，當時成立，所以.故25；四、解答題（本題共5題，共77分）15.已知等差數(shù)列的前項和為，公差為整數(shù)，，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1）（2）【分析】(1)利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義求解即可；(2)利用裂項相消求和.【小問1詳解】因為，所以，又因為，，成等比數(shù)列，所以，即，所以，聯(lián)立解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得，所以.16.已知函數(shù)，已知.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，求曲線的斜率為的切線方程．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）求出，由可求出的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）求出函數(shù)的解析式，求出，由，求出切點的坐標，利用導數(shù)的幾何意義可求出切線的方程.【小問1詳解】對，求導可得，所以，．解得，則.【小問2詳解】因為，對求導可得．因為曲線切線斜率為，由，整理可得，解得或．當時，，此時，切線方程為，即；當時，．此時，切線方程為，整理得．綜上所得，的斜率為的切線方程為或．17.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列：（2）求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由題意得，即可證明結(jié)論.（2）由（1）計算數(shù)列的通項公式，分組求和即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以，即，又，所以，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得，，所以，所以.18.記為數(shù)列的前項和，且.（1）證明：是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和，證明.【正確答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列的定義及通項即可得解；（2）利用錯位相減法求解即可.【小問1詳解】由，當時，，所以，當時，，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】由（1）得，則，，兩式相減得，所以，因為，所以.19.若遞增數(shù)列的后一項與其前一項的差大于，則稱這個數(shù)列為“超1數(shù)列”.（1）已知數(shù)列是“超1數(shù)列”，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知數(shù)列是“超1數(shù)列”，其前項和為，若，試判斷是否存在實數(shù)，使得對恒成立，并說明理由；（3）已知正項等比數(shù)列是首項為1，公比為整數(shù)的“超1數(shù)列”，數(shù)列不是“超1數(shù)列”，證明：數(shù)列是“超1數(shù)列”.【正確答案】（1）（2）不存在符合要求的實數(shù)，理由見解析（3）證明見解析【分析】（1）利用“超1數(shù)列”的定義得，且，即可求得結(jié)果.（2）先假設(shè)存在實數(shù)，使得對恒成立，等價于對恒成立.推出矛盾即可證明.（3）由正項等比數(shù)列是首項為1，公比為整數(shù)“超1數(shù)列”，數(shù)列不是“超1數(shù)列”，得出公比或4.再分情況討論，利用“超1數(shù)列”的定義證明數(shù)列是“超1數(shù)列”【小問1詳解】由題知，，且，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】不存在，理由如下：由題知，對恒成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且，公差為，所以.假設(shè)存在實數(shù)，使得對恒成立，即對恒成立，所以對恒成立.當時，；當時，恒成立，因為，所以，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故不存在符合要求的實數(shù).小問3詳解】由題意，設(shè)數(shù)列的公比為且，則.因為，所以在數(shù)列中，為最小項.所以在數(shù)列中，為最小項.因為為“超1數(shù)列”，所以只需，即，又，所以.又不是“超1數(shù)列”，且為最小項，所以，即.又，所以，又，所以或4.當時，，令，則，所以為遞增數(shù)列，即，因為，所以對于任意的，都有，即數(shù)列是“超1數(shù)列”.當時，，令，則，