第19頁(yè)（共19頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷常考題之?dāng)?shù)學(xué)歸納法一．選擇題（共5小題）1．（2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1n+2+1n+3A．12k+1 BC．12k+1+2．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n+1+1n+2+?+12nA．增加了12(B．增加了12C．增加了12k+1D．增加了12k3．（2024春?青浦區(qū)校級(jí)期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)任意偶數(shù)n，an﹣bn能被a﹣b整除”時(shí)，其第二步論證應(yīng)該是（）A．假設(shè)n＝k（k為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證n＝k+1時(shí)命題也成立 B．假設(shè)n＝2k（k為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證n＝2k+1時(shí)命題也成立 C．假設(shè)n＝k（k為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證n＝2k+1時(shí)命題也成立 D．假設(shè)n＝2k（k為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證n＝2（k+1）時(shí)命題也成立4．（2023秋?永寧縣期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+4+?+（2n﹣1）+2n＝2n2+n（n∈N*），當(dāng)n＝k+1（k∈N*）時(shí)，等式左邊應(yīng)在n＝k時(shí)的基礎(chǔ)上加的項(xiàng)是（）A．2k+1 B．2k+2 C．（2k+1）+（2k+2） D．15．（2024春?大連期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的初始值n0應(yīng)取（）A．2 B．3 C．4 D．5二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024春?東昌府區(qū)期中）對(duì)于不等式n2①當(dāng)n＝1時(shí)，12②假設(shè)當(dāng)n＝k（n∈N*）時(shí)，不等式成立，即k2則當(dāng)n＝k+1時(shí)，(k故當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式成立．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．過(guò)程全部正確 B．n＝1的驗(yàn)證不正確 C．n＝k的歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k+1的推理不正確（多選）7．（2023春?斗門區(qū)校級(jí)期中）以下四個(gè)命題，其中滿足“假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*，k≥n0）時(shí)命題成立，則當(dāng)n＝k+1時(shí)命題也成立”，但不滿足“當(dāng)n＝n0（n0是題中給定的n的初始值）時(shí)命題成立”的是（）A．2n＞2n+1（n≥2） B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1） C．凸n邊形的內(nèi)角和為f（n）＝（n﹣2）π（n≥3） D．凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)g（多選）8．（2021春?濱湖區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于不等式n2+n＜n+1（n①當(dāng)n＝1時(shí)，12+1②假設(shè)n＝k（k∈N*）時(shí)，不等式成立，即k2+k＜k+1，則n＝k+1時(shí)，(k+1)2+(k+1)=(k2+3關(guān)于上述證明過(guò)程的說(shuō)法正確的是（）A．證明過(guò)程全都正確 B．當(dāng)n＝1時(shí)的驗(yàn)證正確 C．歸納假設(shè)正確 D．從n＝k到n＝k+1的推理不正確三．填空題（共4小題）9．（2024秋?長(zhǎng)沙縣校級(jí)期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+12+13+?+12n-1＜n（n10．（2024春?虹口區(qū)校級(jí)期末）記f（n）＝1+2+3+?+（3n﹣1）+3n，在用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意正整數(shù)n，f（n）＞4n2的過(guò)程中，從n＝k到n＝k+1時(shí)，不等式左邊的f（k+1）比f(wàn)（k）增加了項(xiàng)．11．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12=n(2n2+1)3時(shí)，第（ii）步從n＝k到n＝k+112．（2023秋?普陀區(qū)期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+32+???+n2=n(n+1)(2n+1)6（n∈N，四．解答題（共3小題）13．（2024秋?上海校級(jí)期中）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝2，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn．若a1＝d＝1，用數(shù)學(xué)歸納法證明：i=114．（2024春?西城區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且對(duì)任意n∈N*，都有an（1）直接寫出a2，a3，a4的值；（2）猜想{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．15．（2024秋?泰安期中）數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定的命題在整個(gè)（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立，證明分為下面兩個(gè)步驟：1．證明當(dāng)n＝n0（n0∈N）時(shí)命題成立；2．假設(shè)n＝k（k∈N，且k≥n0）時(shí)命題成立，推導(dǎo)出在n＝k+1時(shí)命題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有自然數(shù)n都成立．已知有窮遞增數(shù)列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定義：集合A={(x，y)|x=ai，y=aj，1≤i，j≤n，i，j∈N*}，若對(duì)?（x1，y1）∈A，?（1）若數(shù)列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性質(zhì)T，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若{an}具有性質(zhì)T，且a2＝1，a3＝2，（?。┎孪氘?dāng)n≥2時(shí){an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想；（ⅱ）求32a2+2

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之?dāng)?shù)學(xué)歸納法參考答案與試題解析題號(hào)12345答案DCDCD一．選擇題（共5小題）1．（2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1n+2+1n+3A．12k+1 BC．12k+1+【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【專題】規(guī)律型．【答案】D【分析】只須求出當(dāng)n＝k時(shí)，左邊的代數(shù)式，當(dāng)n＝k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式，相減可得結(jié)果．【解答】解：當(dāng)n＝k時(shí)，左邊的代數(shù)式為1k當(dāng)n＝k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式為1k故用n＝k+1時(shí)左邊的代數(shù)式減去n＝k時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果為：1k故選：D．【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基）P（n）在n＝1時(shí)成立；2）（歸納）在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．2．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n+1+1n+2+?+12nA．增加了12(B．增加了12C．增加了12k+1D．增加了12k【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法的適用條件與步驟．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；推理和證明；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】分別求出當(dāng)n＝k，n＝k+1時(shí)，不等式左邊的表達(dá)式，通過(guò)比較，即可求解．【解答】解：當(dāng)n＝k時(shí)，不等式左邊為1k當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式的左邊為1k故不等式左邊增加了12k+1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024春?青浦區(qū)校級(jí)期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)任意偶數(shù)n，an﹣bn能被a﹣b整除”時(shí)，其第二步論證應(yīng)該是（）A．假設(shè)n＝k（k為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證n＝k+1時(shí)命題也成立 B．假設(shè)n＝2k（k為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證n＝2k+1時(shí)命題也成立 C．假設(shè)n＝k（k為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證n＝2k+1時(shí)命題也成立 D．假設(shè)n＝2k（k為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證n＝2（k+1）時(shí)命題也成立【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法的適用條件與步驟．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)n為正偶數(shù)，故第二步的假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)n＝2k+2，k∈N*時(shí)命題正確，再推n＝2k+2時(shí)正確．【解答】解：根據(jù)證明的結(jié)論，n為正偶數(shù)，故第二步的假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)n＝2k，k∈N*時(shí)命題正確，即當(dāng)n＝2k，k∈N*時(shí)，a2k﹣b2k能被a﹣b整除，再推n＝2k+2時(shí)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023秋?永寧縣期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+4+?+（2n﹣1）+2n＝2n2+n（n∈N*），當(dāng)n＝k+1（k∈N*）時(shí)，等式左邊應(yīng)在n＝k時(shí)的基礎(chǔ)上加的項(xiàng)是（）A．2k+1 B．2k+2 C．（2k+1）+（2k+2） D．1【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法的適用條件與步驟．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；推理和證明；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】分別令n＝k+1，n＝k，然后作差求解．【解答】解：等號(hào)左邊加的項(xiàng)是[1+2+3+4+?+2k+（2k+1）+（2k+2）]﹣（1+2+3+4+?+2k），＝（2k+1）+（2k+2）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024春?大連期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的初始值n0應(yīng)?。ǎ〢．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法的適用條件與步驟．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，通過(guò)驗(yàn)證n＝1，n＝1，n＝2，n＝4，n＝5，判斷即可．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，當(dāng)n＝1時(shí)，21＞12；當(dāng)n＝2時(shí)，22＝22；當(dāng)n＝3時(shí)，23＜32；當(dāng)n＝4時(shí)，24＝42；當(dāng)n＝5時(shí)，25＞52．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，證明步驟的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024春?東昌府區(qū)期中）對(duì)于不等式n2①當(dāng)n＝1時(shí)，12②假設(shè)當(dāng)n＝k（n∈N*）時(shí)，不等式成立，即k2則當(dāng)n＝k+1時(shí)，(k故當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式成立．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．過(guò)程全部正確 B．n＝1的驗(yàn)證不正確 C．n＝k的歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k+1的推理不正確【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法的適用條件與步驟．【專題】對(duì)應(yīng)思想；歸納法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維．【答案】ABC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的基本過(guò)程可得出結(jié)論．【解答】解：適合命題的第一個(gè)自然數(shù)n＝1，驗(yàn)證n＝1時(shí)過(guò)程正確；假設(shè)當(dāng)n＝k（n∈N*）時(shí)，不等式成立，即k2在n＝k+1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用n＝k時(shí)的假設(shè)，即從n＝k到n＝k+1的推理不正確，故D錯(cuò)誤，ABC正確．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，是基礎(chǔ)題．（多選）7．（2023春?斗門區(qū)校級(jí)期中）以下四個(gè)命題，其中滿足“假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*，k≥n0）時(shí)命題成立，則當(dāng)n＝k+1時(shí)命題也成立”，但不滿足“當(dāng)n＝n0（n0是題中給定的n的初始值）時(shí)命題成立”的是（）A．2n＞2n+1（n≥2） B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1） C．凸n邊形的內(nèi)角和為f（n）＝（n﹣2）π（n≥3） D．凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)g【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法的適用條件與步驟．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；簡(jiǎn)易邏輯；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】對(duì)于命題A，可以驗(yàn)證當(dāng)n等于給定的初始值時(shí)不成立，所以滿足條件；對(duì)于命題B，容易驗(yàn)證假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，則當(dāng)n＝k+1時(shí)命題也成立．對(duì)于初始值n＝1時(shí)，不成立，所以滿足條件；對(duì)于命題C，容易驗(yàn)證假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，則當(dāng)n＝k+1時(shí)命題也成立．對(duì)于初始值n＝3內(nèi)角和為π，不成立．故滿足條件；對(duì)于命題D，凸n邊形對(duì)角線條數(shù)f（n）=n(n-2)2，假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，當(dāng)n＝k+1時(shí)多了一條邊，即多了一個(gè)頂點(diǎn)，故多了k個(gè)【解答】解：對(duì)于命題A，2n＞2n+1（n≥2），當(dāng)n＝2的時(shí)有4＜5，故當(dāng)n等于給定的初始值時(shí)不成立，所以滿足條件；對(duì)于命題B，2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1），假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+2，當(dāng)n＝k+1時(shí)有2+4+6+…+2k+2（k+1）＝k2+k+2+2（k+1）＝k2+2k+1+k+3＝（k+1）2+（k+1）+2，故對(duì)n＝k+1時(shí)命題也成立，對(duì)于初始值n＝1時(shí)有4≠4+2+2，不成立．所以滿足條件；對(duì)于命題C，凸n邊形內(nèi)角和為f（n）＝（n﹣1）π（n≥3），假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即f（k）＝（k﹣1）π，當(dāng)n＝k+1時(shí)有f（k+1）＝f（k）+π＝kπ，故對(duì)n＝k+1時(shí)命題也成立，對(duì)于初始值n＝3內(nèi)角和為π，不成立．故滿足條件；對(duì)于命題D，凸n邊形對(duì)角線條數(shù)f（n）=n假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即f（k）=k當(dāng)n＝k+1時(shí)，有f（k+1）＝f（k）+k﹣1=k(k-2)故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．（多選）8．（2021春?濱湖區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于不等式n2+n＜n+1（n①當(dāng)n＝1時(shí)，12+1②假設(shè)n＝k（k∈N*）時(shí)，不等式成立，即k2+k＜k+1，則n＝k+1時(shí)，(k+1)2+(k+1)=(k2+3k關(guān)于上述證明過(guò)程的說(shuō)法正確的是（）A．證明過(guò)程全都正確 B．當(dāng)n＝1時(shí)的驗(yàn)證正確 C．歸納假設(shè)正確 D．從n＝k到n＝k+1的推理不正確【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法的適用條件與步驟．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維．【答案】BD【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，寫出正確的證明過(guò)程，即可判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明n2+n＜n+1（n①當(dāng)n＝1時(shí)，12+1＜1+1，即②假設(shè)n＝k（k∈N*）時(shí)，不等式成立，即k2+k＜k+1，兩邊平方得，k2+k＜k2+2k+1，即0則n＝k+1時(shí)，(k+1)2+(k+1)所以當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式也成立．由此知，原證明過(guò)程的說(shuō)法中，正確的是BD．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分析與判斷能力，是中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?長(zhǎng)沙縣校級(jí)期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+12+13+?+12n-1＜n（n【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；分析法；推理和證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】觀察不等式的特點(diǎn)，然后寫出結(jié)果即可．【解答】解：1+12+13+?+12n-1左側(cè)的表達(dá)式的分母可知第k項(xiàng)是由1，2，3，到2k﹣1，結(jié)束；第一步要證的不等式是：1+1故答案為：1+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，注意觀察表達(dá)式的特征是解題的關(guān)鍵．10．（2024春?虹口區(qū)校級(jí)期末）記f（n）＝1+2+3+?+（3n﹣1）+3n，在用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意正整數(shù)n，f（n）＞4n2的過(guò)程中，從n＝k到n＝k+1時(shí)，不等式左邊的f（k+1）比f(wàn)（k）增加了3項(xiàng)．【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維．【答案】3．【分析】根據(jù)給定條件，分析從n＝k到n＝k+1時(shí)式子的變化即可作答．【解答】解：因?yàn)閒（k）＝1+2+3+?+（3k﹣1）+3k，f（k+1）＝1+2+3+?+（3k﹣1）+3k+（3k+1）+（3k+2）+3（k+1），所以不等式左邊的f（k+1）比f(wàn)（k）增加了3k+1，3k+2，3（k+1），共3項(xiàng)．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12=n(2n2+1)3時(shí)，第（ii）步從n＝k到n＝k+1時(shí)等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是2k【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法的適用條件與步驟．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；推理和證明；運(yùn)算求解．【答案】2k2+2k+1．【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟解答．【解答】解：n＝k時(shí)，左邊＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；當(dāng)n＝k+1時(shí)，左邊＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；觀察兩式易知增加的項(xiàng)為：（k+1）2+k2＝2k2+2k+1．故答案為：2k2+2k+1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023秋?普陀區(qū)期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+32+???+n2=n(n+1)(2n+1)6（n∈N，n≥1）的過(guò)【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】（k+1）2．【分析】由題意，整理n取不同值時(shí)的式子，對(duì)比可得答案．【解答】解：由題意，當(dāng)n＝k時(shí)，所得式子為12+22+32+?+k2；當(dāng)n＝k+1時(shí)，所得式子為12+22+32+?+k2+（k+1）2；所以當(dāng)n＝k+1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k時(shí)的左端上加上（k+1）2．故答案為：（k+1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?上海校級(jí)期中）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝2，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn．若a1＝d＝1，用數(shù)學(xué)歸納法證明：i=1【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法證明命題；求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)an，前n項(xiàng)和為Sn，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明．【解答】證明：等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝2，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn．若a1＝d＝1，可得an＝1+n﹣1＝n，Sn＝n+12n（n﹣1）=12（n下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a13=1假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時(shí)，原等式成立，即i=1k則當(dāng)n＝k+1時(shí)，i=1k+1ak+13=i=(即當(dāng)n＝k+1時(shí)，原等式成立，所以對(duì)一切n∈N*，等式i=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及數(shù)學(xué)歸納法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．14．（2024春?西城區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且對(duì)任意n∈N*，都有an（1）直接寫出a2，a3，a4的值；（2）猜想{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法證明命題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；推理和證明；運(yùn)算求解．【答案】（1）a2（2）猜想：an【分析】（1）直接結(jié)合數(shù)列遞推式，即可求解；（2）結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的法則，即可證明．【解答】解：（1）a2（2）猜想：an=1下用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，（*）成立．②假設(shè)n＝k（k≥1）時(shí)（*）成立，即ak則當(dāng)n＝k+1時(shí)，ak故（*）對(duì)n＝k+1也成立．由①②，對(duì)任意n∈N*，（*）成立，即an【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2024秋?泰安期中）數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定的命題在整個(gè)（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立，證明分為下面兩個(gè)步驟：1．證明當(dāng)n＝n0（n0∈N）時(shí)命題成立；2．假設(shè)n＝k（k∈N，且k≥n0）時(shí)命題成立，推導(dǎo)出在n＝k+1時(shí)命題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有自然數(shù)n都成立．已知有窮遞增數(shù)列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定義：集合A={(x，y)|x=ai，y=aj，1≤i，j≤n，i，j∈N*}，若對(duì)?（x1，y1）∈A，?（1）若數(shù)列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性質(zhì)T，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若{an}具有性質(zhì)T，且a2＝1，a3＝2，（?。┎孪氘?dāng)n≥2時(shí){an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想；（ⅱ）求32a2+2【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】（1）4；（2）（?。゛n=2【分析】（1）討論（x1，y1）的不同取法，根據(jù)性質(zhì)T的定義，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可求得參數(shù)值；（2）（?。┎孪隺n=2（ⅱ）利用（ⅰ）中所求通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和法，即可求得結(jié)果．【解答】解：有窮遞增數(shù)列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定義：集合A={(若對(duì)?（x1，y1）∈A，?（x2，y2）∈A，使得x1x2+y1y2＝0，則稱{an}具有性質(zhì)T．（1）若數(shù)列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性質(zhì)T，當(dāng)（x1，y1）＝（﹣1，m）時(shí)，?。▁2，y2）＝（m，1），滿足題意；當(dāng)（x1，y1）＝（1，m）時(shí)，?。▁2，y2）＝（m，﹣1），滿足題意；當(dāng)（x1，y1）＝（2，m）時(shí)，2x2+my2＝0，此時(shí)x2，y2中有且僅有一個(gè)數(shù)為﹣1，若x2＝﹣1，則m=若y2＝﹣1，則m＝2x2＝2或4或2m，又因?yàn)閙＞2，故m＝4；綜上所述，m＝4．（2）（?。┤魗an}具有性質(zhì)T，且a2＝1，a3＝2，猜想an運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n＝2時(shí)，an假設(shè)n＝k時(shí)，ak=2k-2若（x1，y1）＝（﹣1，ak+1），則?。▁2，y2）＝（ak+1，1）滿足題意；若（x1，y1）＝（ai，ak+1），i＝2，3，?，k+1，則x2，y2中有且僅有一個(gè)數(shù)為﹣1，當(dāng)x2＝﹣1時(shí)，設(shè)y2＝aj，j＝2，3，?，k+1，則﹣ai+ak+1aj＝0，故ak+1=aiaj≤ai當(dāng)y2＝﹣1時(shí)，設(shè)x2＝aj，j＝2，3，?，k+1，則ai記i+j﹣4＝p，則j＝p﹣i+4；因?yàn)閷?duì)任意的i＝2，3，?，k+1，都有j＝p﹣i+4＝p﹣k+3，p﹣k+4，?，p+2在2，3，4，?，k+1中取到，則2≤p-k+3p+2≤故i+j＝k+3，故ak綜上，an（ⅱ）因?yàn)閚≥2時(shí)，n+1故3=2-【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的新定義和數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點(diǎn)撥】﹣代入計(jì)算：將具體問(wèn)題中的n值代入前n項(xiàng)和公式，計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)和．﹣推導(dǎo)公式：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題推導(dǎo)出數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．﹣綜合應(yīng)用：將前n項(xiàng)和公式與其他數(shù)列性質(zhì)結(jié)合，解決復(fù)雜問(wèn)題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算具體項(xiàng)，推導(dǎo)數(shù)列和公式，解決實(shí)際問(wèn)題．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝a3，a4＝5，則Sn＝_____．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n?a1+n(n-1)2?2＝故答案為：n2﹣2n．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：（1）證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N+，且k≥n0）時(shí)命題成立，證明n＝k+1時(shí)命題也成立．在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要分兩個(gè)步驟，兩者缺一不可．（1）證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ)，但僅靠這一步還不能說(shuō)明結(jié)論的正確性．在這一步中，只需驗(yàn)證命題結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就可以了，沒(méi)有必要驗(yàn)證命題對(duì)幾個(gè)正整數(shù)成立．（2）證明了第二步，就獲得了推理的依據(jù)．僅有第二步而沒(méi)有第一步，則失去了遞推的基礎(chǔ)；而只有第一步而沒(méi)有第二步，就可能得出不正確的結(jié)論，因?yàn)閱慰康谝徊?，我們無(wú)法遞推下去，所以我們無(wú)法判斷命題對(duì)n0+1，n0+2，…，是否正確．在第二步中，n＝k命題成立，可以作為條件加以運(yùn)用，而n＝k+1時(shí)的情況則有待利用命題的已知條件，公理，定理，定義加以證明．完成一，二步后，最后對(duì)命題做一個(gè)總的結(jié)論．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：①明確初始值n0并驗(yàn)證真假．（必不可少）②“假設(shè)n＝k時(shí)命題正確”并寫出命題形式．③分析“n＝k+1時(shí)”命題是什么，并找出與“n＝k”時(shí)命題形式的差別．弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)．④明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上假設(shè)．3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的適用條件與步驟【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：（1）證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N+，且k≥n0）時(shí)命題成立，證明n＝k+1時(shí)命題也成立．在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要分兩個(gè)步驟，兩者缺一不可．（1）證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ)，但僅靠這一步還不能說(shuō)明結(jié)論的正確性．在這一步中，只需驗(yàn)證命題結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就可以了，沒(méi)有必要驗(yàn)證命題對(duì)幾個(gè)正整數(shù)成立．（2）證明了第二步，就獲得了推理的依據(jù)．僅有第二步而沒(méi)有第一步，則失去了遞推的基礎(chǔ)；而只有第一步而沒(méi)有第二步，就可能得出不正確的結(jié)論，因?yàn)閱慰康谝徊?，我們無(wú)法遞推下去，所以我們無(wú)法判斷命題對(duì)n0+1，n0+2，…，是否正確．在第二步中，n＝k命題成立，可以作為條件加以運(yùn)用，而n＝k+1時(shí)的情況則有待利用命題的已知條件，公理，定理，定義加以證明．完成一，二步后，最后對(duì)命題做一個(gè)總的結(jié)論．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：①明確初始值n0并驗(yàn)證真假．（必不可少）②“假設(shè)n＝k時(shí)命題