數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念二、極限思想概述三、數(shù)列極限的定義四、收斂數(shù)列的性質(zhì)劉徽一、數(shù)列的概念定義注1．?dāng)?shù)列的定義

定義2．有界數(shù)列的定義

定義3．單調(diào)數(shù)列的定義注

定義4．子數(shù)列的定義注◎割圓術(shù)：播放——?jiǎng)⒒斩O限思想概述極限概念是由于求某些問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的．例如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（三世紀(jì)）發(fā)明的“割圓術(shù)”

利用圓的內(nèi)接正多邊形的面積來(lái)推算圓面積的方法，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用．“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”

正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積

●極限思想:極限是變量的一種變化趨勢(shì)，極限是由近似過(guò)渡到精確的橋梁．

三、數(shù)列極限的定義考察下列四個(gè)數(shù)列：(1)(2)(3)(4)容易看出：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列（1）的一般項(xiàng)也無(wú)限增大；數(shù)列（2）的始終在1和－1兩點(diǎn)上來(lái)回跳動(dòng)；它們都不趨近于一個(gè)確定的常數(shù)．而數(shù)列（3）與（4）的情形就不一樣，數(shù)列（3）無(wú)限趨近于常數(shù)0；數(shù)列（4）無(wú)限趨近于常數(shù)1．我們就稱常數(shù)0為數(shù)列（3）的極限；常數(shù)1為數(shù)列（4）的極限．

1．?dāng)?shù)列極限的描述性定義問(wèn)題:“無(wú)限趨近”的實(shí)質(zhì)是什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫它.

2．?dāng)?shù)列極限的分析定義（精確定義）注

3．?dāng)?shù)列極限的幾何解釋

例1已知證明數(shù)列的極限為1.

證欲使即只要因此,取則當(dāng)時(shí),就有故

證明證欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N與

有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說(shuō)明:

取

例2已知證明等比數(shù)列證欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N時(shí),就有故的極限為0.

例3設(shè)四、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)１（數(shù)列極限的唯一性）

［簡(jiǎn)言之，收斂數(shù)列的極限是唯一的．］

性質(zhì)２（收斂數(shù)列的有界性）

［簡(jiǎn)言之，收斂數(shù)列必有界．］注20有界是數(shù)列收斂的必要條件而非充分條件，即：有界數(shù)列不一定收斂，無(wú)界數(shù)列一定發(fā)散.例如數(shù)列：有界，但發(fā)散．

證由數(shù)列極限的定義,對(duì)于當(dāng)時(shí)，于是，

證從而有性質(zhì)３（收斂數(shù)列的保號(hào)性）

不妨設(shè)所以對(duì)推論如果數(shù)列從某項(xiàng)起有因?yàn)?/p>

性質(zhì)４（收斂數(shù)列的子列收斂性）

［簡(jiǎn)言之，收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．］注20發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列．

*********************證設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證得*********************

劉徽(約225–295年)我國(guó)古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對(duì)《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評(píng)注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).他的“割圓術(shù)”求圓周率