第四節(jié)直接證明與間接證明A組基礎(chǔ)題組1.用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要作的假設(shè)是()A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根2.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證b2-acA.ab>0 B.ac>0C.(ab)(ac)>0 D.(ab)(ac)<03.在△ABC中,sinAsinC<cosAcosC,則△ABC一定是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定4.設(shè)a,b,c均為正實(shí)數(shù),則三個(gè)數(shù)a+1b,b+1c,c+A.都大于2 B.都小于2C.至少有一個(gè)不大小2 D.至少有一個(gè)不小于25.已知函數(shù)f(x)=12x,a,b為正實(shí)數(shù),A=fa+b2A.A≤B≤C B.A≤C≤BC.B≤C≤A D.C≤B≤A6.不相等的三個(gè)正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,并且x是a,b的等比中項(xiàng),y是b,c的等比中項(xiàng),則x2,b2,y2三數(shù)()A.成等比數(shù)列而不成等差數(shù)列B.成等差數(shù)列而不成等比數(shù)列C.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列7.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值()A.恒為負(fù)值 B.恒等于零C.恒為正值 D.無(wú)法確定正負(fù)8.(2016北京東城一模)每年的三月十二號(hào)是植樹節(jié),某學(xué)校組織高中65個(gè)學(xué)生及其父母以家庭為單位參加“種一棵小樹,綠一方凈土”的義務(wù)植樹活動(dòng).活動(dòng)將65個(gè)家庭分成A,B兩組,A組負(fù)責(zé)種植150棵銀杏樹苗,B組負(fù)責(zé)種植160棵紫薇樹苗.根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì),每個(gè)家庭種植一棵銀杏樹苗用時(shí)25h,種植一棵紫薇樹苗用時(shí)35h.假定A,B兩組同時(shí)開始種植,若使植樹活動(dòng)持續(xù)的時(shí)間最短,則A組的家庭數(shù)為,此時(shí)活動(dòng)持續(xù)的時(shí)間為9.在數(shù)列{an}中,已知a1=14,an+1an=14,bn+2=3log(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.10.若f(x)的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇a,b](a<b),則稱函數(shù)f(x)是[a,b]上的“四維光軍”函數(shù).(1)設(shè)g(x)=12x2x+3(2)是否存在常數(shù)a,b(a>2),使函數(shù)h(x)=1x+2是區(qū)間[a,b]上的“四維光軍”函數(shù)?若存在,求出B組提升題組11.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足:a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am、an使得aman=4a1,則1A.32 B.53 C.25612.(2017北京海淀期中)給定條件:①?x0∈R,f(x0)=f(x0);②?x∈R,f(1x)=f(1+x).下列三個(gè)函數(shù):y=x3,y=|x1|,y=cosπx,其中,同時(shí)滿足條件①②的函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.313.(2015北京海淀第一學(xué)期期末)已知點(diǎn)A在曲線P:y=x2(x>0)上,☉A過原點(diǎn)O,且與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M.若線段OM,☉A和曲線P上分別存在點(diǎn)B,點(diǎn)C和點(diǎn)D,使得四邊形ABCD(點(diǎn)A,B,C,D順時(shí)針排列)是正方形,則稱點(diǎn)A為曲線P的“完美點(diǎn)”.那么下列結(jié)論中正確的是()A.曲線P上不存在“完美點(diǎn)”B.曲線P上只存在一個(gè)“完美點(diǎn)”,其橫坐標(biāo)大于1C.曲線P上只存在一個(gè)“完美點(diǎn)”,其橫坐標(biāo)大于12D.曲線P上存在兩個(gè)“完美點(diǎn)”,其橫坐標(biāo)均大于114.(2016北京西城一模)有三個(gè)房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個(gè)房間只用一種顏色的涂料,且三個(gè)房間的顏色各不相同.三個(gè)房間的粉刷面積和三種顏色的涂料費(fèi)用如下表:房間A房間B房間C35m220m228m2涂料1涂料2涂料316元/m218元/m220元/m2那么在所有不同的粉刷方案中,最低的涂料總費(fèi)用是元.

15.(2015北京豐臺(tái)第一學(xué)期期末)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在非零常數(shù)T,對(duì)于任意x∈D,都有f(x+T)=T·f(x),則稱函數(shù)y=f(x)是“似周期函數(shù)”,非零常數(shù)T為函數(shù)y=f(x)的“似周期”.現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題:①如果“似周期函數(shù)”y=f(x)的“似周期”為1,那么它是周期為2的周期函數(shù);②函數(shù)f(x)=x是“似周期函數(shù)”;③函數(shù)f(x)=2x是“似周期函數(shù)”;④如果函數(shù)f(x)=cosωx是“似周期函數(shù)”,那么“ω=kπ,k∈Z”.其中真命題的序號(hào)是.

16.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),當(dāng)f(c)=0,且0<x<c時(shí),f(x)>0.(1)證明:1a(2)試比較1a(3)證明:2<b<1.

答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.A“方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x3+ax+b=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)大于或等于1”,因此,要作的假設(shè)是方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根.2.Cb2-ac<3a?b2ac<3a2?(a+c)2ac<3a2?a2+2ac+c2ac3a2<0?2a2+ac+c2<0?2a2acc2>0(2a+c)>0?(ac)(ab)>0.3.C∵cosAcosCsinAsinC>0,即cos(A+C)>0,∴cosB>0,∴cosB<0,B為鈍角.故△ABC為鈍角三角形.4.D∵a>0,b>0,c>0,∴a+1b+=a+1a+b+15.A因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù),所以a+b2≥ab≥2aba+b,又f(x)=16.B由已知條件,可得a由②③得a=x2b,即x2+y2=2b2,故x2,b2,y2成等差數(shù)列(x2,b2,y2不成等比數(shù)列).7.A由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1+x2>0,可知x1>x2,則f(x1)<f(x2)=f(x2),則f(x1)+f(x2)<0,故選A.8.答案25;125解析設(shè)A組有x個(gè)家庭,則B組有(65x)個(gè)家庭.當(dāng)兩組同時(shí)完成植樹任務(wù)時(shí)用時(shí)最短,由此列方程為25×150x=35×160解得x=25.經(jīng)檢驗(yàn),x=25是原方程的解,且符合題意.此時(shí)兩組同時(shí)完成植樹任務(wù),持續(xù)的時(shí)間為1259.解析(1)因?yàn)閍1=14,an+1an=14,所以數(shù)列{an所以an=14n(n∈N(2)證明:因?yàn)閎n=3log14a所以bn=3log14所以b1=1,公差d=3,所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=1,公差d=3的等差數(shù)列.10.解析(1)由已知得g(x)=12(x1)2+1,其圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,區(qū)間[1,b]在對(duì)稱軸的右邊,所以函數(shù)在區(qū)間[1,b]上單調(diào)遞增.由“四維光軍”函數(shù)的定義可知,g(1)=1,g(b)=b,即12b2b+3解得b=1或b=3,因?yàn)閎>1,所以b=3.(2)不存在.理由如下:假設(shè)函數(shù)h(x)=1x+2在區(qū)間[a,b因?yàn)閔(x)=1x+2所以有h(a即1aB組提升題組11.A由題意可知,a5q2=a5q+2a5(q>0,a5>0),化簡(jiǎn)得q2q2=0,解得q=2或q=1(舍去).由aman=4a1,得a1qm1·a1qn1∴qm+n2=16=24,∴m+n=6,∴1m+4n=1m+≥165+24當(dāng)且僅當(dāng)4mn=即m=2,n=4時(shí),取“=”.12.B條件②說明函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=1,函數(shù)y=x3是奇函數(shù),滿足條件①,但不滿足條件②.y=|x1|圖象的對(duì)稱軸是x=1,滿足條件②,不滿足條件①.y=cosπx的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱,滿足條件②,當(dāng)x=12時(shí),f-12f12=cos1即此時(shí)滿足f-12=f故函數(shù)y=cosπx同時(shí)滿足條件①②,故選B.13.B如圖所示,過點(diǎn)A作AH垂直于y軸,垂足為H.設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x2)(x>0),因?yàn)锳H<AB=22AC=2故x2<12(x2+x4因?yàn)閤>0,故x>1.又因?yàn)楫?dāng)x增大時(shí),由拋物線趨勢(shì)可知AD的增幅大于AB的增幅,故僅存在一個(gè)點(diǎn)A使得AD=AB,即“完美點(diǎn)”唯一,且橫坐標(biāo)大于1,故選B.14.答案1464解析共有6種方案:①35×16+20×18+28×20=560+360+560=1480元.②35×16+20×20+28×18=560+400+504=1464元.③35×18+20×16+28×20=630+320+560=1510元.④35×18+20×20+28×16=630+400+448=1478元.⑤35×20+20×16+28×18=700+320+504=1524元.⑥35×20+20×18+28×16=700+360+448=1508元.其中方案②總費(fèi)用最低,為1464元,即面積大的房間用價(jià)格最低的涂料,面積最小的房間用最貴的涂料,面積中等的房間用費(fèi)用中等的涂料.15.答案①③④解析若函數(shù)y=f(x)的“似周期”為1,則f(x1)=f(x)=f(x+11)=f(x+1),即f(x)是周期為2的周期函數(shù),所以①正確;若f(x)=x是“似周期函數(shù)”,則存在非零常數(shù)T,對(duì)任意x∈R滿足f(x+T)=x+T=Tf(x)=Tx,顯然不可能,所以②錯(cuò)誤;若f(x)=2x是“似周期函數(shù)”,則存在非零常數(shù)T,對(duì)任意x∈R滿足f(x+T)=2(x+T)=Tf(x)=T·2x,即2T=12T=T,而函數(shù)y=12x與y=x的若函數(shù)f(x)=cosωx是“似周期函數(shù)”,則存在非零常數(shù)T,對(duì)任意x∈R滿足f(x+T)=cos[ω(x+T)]=Tf(x)=Tcosωx,則T=±1,若T=1,則有cos(ωx+ω)=cosωx,可得ω=2kπ,k∈Z;若T=1,則有cos(ωxω)=cosωx,可得ω=2kπ+π,k∈Z,所以ω=kπ,k∈Z,所以④正確.綜上所述,真命題的序號(hào)是①③④.16.解析(1)證明:∵f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),∴