小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)

第一講速算與巧算(三)

例1計算9+99+999+9999+99999

解：在涉及所有數(shù)字都是9的計算中，常使用湊整法.例如將999化成1000-1去計

算.這是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種技巧.

9+99+999+9999+99999

=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)

=10+100+1000+10000+100000-5

=111110-5

=111105.

例2計算199999+199994-1999+199+19

解：此題各數(shù)字中，除最高位是1外，其余都是9,仍使用湊整法.不過這里是加1湊整.

(如1994-1=200)

199999+19999+1999+199+19

=(19999+1)+(19999+1)+(19994-1)+(199+1)+(19+1)-5

=200000+20000+2000+200+20-5

=222220-5

=22225.

例3計算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)

解法2：先把兩個括號內(nèi)的數(shù)分別相加，再相減.第一個括號內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：

從1到1989共有995個奇數(shù)，湊成497個1990,還剩下995,第二個括號內(nèi)的數(shù)相

加的結(jié)果是：

從2到1988共有994個偶數(shù)，湊成497個1990.

1990X497+995—1990X497=995.

例4計算389+387+383+385+384+386+388

解法1：認真觀察每個加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)390接近，所以選390為基準數(shù).

389+387+383+385+384+386+388

=390X7—1—3—7—5—6—4—

=2730—28

=2702.

解法2：也可以選380為基準數(shù)，那么有

389+387+383+385+384+386+388

=380X7+9+7+3+5+4+6+8

=2660+42

=2702.

例5計算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)+6

解：認真觀察可知此題關(guān)鍵是求括號中6個相接近的數(shù)之和，故可選4940為基準數(shù).

(4942+4943+4938+4939+4941+4943)4-6

=(4940X6+2+3—2—1+1+3)4-6

=(4940X6+6)4-6(這里沒有把4940X6先算出來，而是運

=4940X6+6+6+6運用了除法中的巧算方法)

=4940+1

=4941.

例6計算54+99X99+45

解：此題外表上看沒有巧妙的算法，但如果把45和54先結(jié)合可得99,就可以運用

乘法分配律進行簡算了.

54+99X99+45

=(54+45)+99X99

=99+99X99

=99X(1+99)

=99X100

=9900.

例7計算9999X2222+3333X3334

解：此題如果直接乘，數(shù)字較大，容易出錯.如果將9999變?yōu)?333X3,規(guī)律就出現(xiàn)

了.

9999X2222+3333X3334

=3333X3X2222+3333X3334

=3333X6666+3333X3334

=3333X(6666+3334)

=3333X10000

=33330000.

例81999+999X999

解法1：1999+999X999解法2：1999+999X999

=1000+999+999X999=1999+999X(1000-1)

=1000+999X(1+999)=1999+999000-999

=1000+999X1000二(1999-999)+999000

=1000X(999+1)=1000+999000

=1000X1000=1000000.

=1000000.

例9求99…99X99…99+199…99所得結(jié)果末尾

1988個91988個9豕有多少個零.

總之，要想在計算中到達準確、簡便、迅速，必須付出辛勤的勞動，要多練習，多總結(jié)，只有

這樣才能做到熟能生巧.

習題一

1.計算899998+89998+8998+898+88

2.計算7999994-79999+7999+799+79

3.計算(1988+1986+1984+…+6+4+2)-(1+3+5+…+1983+1985+1987)

4.計算1—2+3—4+5—6+…+1991—1992+1993

5.時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，依次類推.從1點到12點這12個小時內(nèi)

時鐘共敲了多少下？

6.求出從1?25的全體自然數(shù)之和.

7.計算1000+999—998—997+996+995—994—993-F-+108+107—106—105+104+103—

102—101

8.計算92+94+89+93+95+88+94+96+87

9.計算(125X99+125)X16

10.計算3X999+3+99X8+8+2X9+2+9

11.計算999999X78053

12.兩個10位數(shù)1111111111和9999999999的乘積中,有幾個數(shù)字是奇數(shù)?

第二講速算與巧算(四)

例1比擬下面兩個積的大?。?/p>

A=987654321X123456789,

B=987654322X123456788.

分析經(jīng)審題可知A的第一個因數(shù)的個位數(shù)字比B的第一個因數(shù)的個位數(shù)字小1,但A的第二個

因數(shù)的個位數(shù)字比B的第二個因數(shù)的個位數(shù)字大1.所以不經(jīng)計算，憑直接觀察不容易知道A和B哪

個大,但是無論是對A或是對B,直接把兩個因數(shù)相乘求積又太繁，所以我們開動腦筋，將A和B先

進行恒等變形，再作判斷.

解：A=987654321X123456789

=987654321X(123456788+1)

=987654321X123456788+987654321.

B=987654322X123456788

=(987654321+1)X12345G788

=987654321X1234567884-123456788.

因為987654321>123456788,所以A>B.

例2不用筆算，請你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說明理由.

241X249242X248243X247

244X246245X245.

解：利用乘法分配律，將冬式恒等變形之后，再判斷.

241X249=(240+1)X：250—1)=240X250+1X9；

242X248=(240+2)X〔250-2)=240X250+2X8；

243X247=(240+3)X(250—3)=240X250+3X7；

244X246=(240+4)X：250—4)=240X250+4X6；

245X245=(240+5)X：250—5)=240X250+5X5.

恒等變形以后的各式有相同的局部240X250,又有不同的局部1X9,2X8,3X7,4X

6,5X5,由此很容易看出245X245的積最大.

一般說來，將一個整數(shù)拆成兩局部(或兩個整數(shù))，兩局部的差值越小時，這兩局部的乘積越

如：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5

那么5X5=25積最大.

例3求1966、1976、1986、1996、2006五個數(shù)的總和.

?：五個數(shù)中，后一個數(shù)都比前一個數(shù)大10,可看出1986是這五個數(shù)的平均值，故其總和為:

1986X5=9930.

例42、4、6、8、10、12…是連續(xù)偶數(shù)，如果五個連續(xù)偶數(shù)的和是320,求它們中最小的一個.

解：五個連續(xù)偶數(shù)的中間一個數(shù)應(yīng)為320+5=64,因相鄰偶數(shù)相差2,故這五個偶數(shù)依次是60、

62、64、66、68,其中最小的是60.

總結(jié)以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計算方法.三個連續(xù)自然數(shù)，中間一個數(shù)為首末兩數(shù)的平

均值；五個連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質(zhì)一一它是五個自然數(shù)的平均值.如果用字母表示更

為明顯，這五個數(shù)可以記作：x—2、x-1、x、x+1、x+2.如此類推，對于奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)，最

中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值.

如:對于2n+l個連續(xù)自然數(shù)可以表示為:x一n,x一n+Lx—n+2,,,,,x一1,x,x+1,…

x+n—1,x+n,其中x是這2n+l個自然數(shù)的平均值.

巧用中數(shù)的計算方法，還可進一步推廣，請看下面例題.

101112

2526

例5將各數(shù)按下面格式排列：如5997998999

一個正方形框出九個數(shù)，要使這九個數(shù)之和等于:

①1986,②2529,③1989,能否辦到?如果辦不到,請說明理由.

解：仔細觀察，方框中的九個數(shù)里，最中間的一個是這九個數(shù)的平均值，即中數(shù)又因橫行相鄰

兩數(shù)相差1,是3個連續(xù)自然數(shù)，豎列3個數(shù)中，上下兩數(shù)相差7.框中的九個數(shù)之和應(yīng)是9的倍數(shù).

①1986不是9的倍數(shù)，故不行；

②2529+9=281,是9的倍數(shù)，但是281?7=40X7+l,這說明281在題中數(shù)表的最左一列，顯然

它不能做中數(shù)，也不行；

(3)19894-9=221,是9的倍數(shù)，且221+7=31X7+4,這就是說221在數(shù)表中第四列，它可做中數(shù).

這樣可求出所框九數(shù)之和為1989是辦得到的，且最大的數(shù)是229,最小的數(shù)是213.

這個例題是所謂的“月歷卡〃上的數(shù)字問題的推廣.同學(xué)們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的

問題呢！所以平時要注意觀察，認真思考，積累巧算經(jīng)驗.

習題二

1.右紐的30個方格中，最上面的橫行和最左面的豎列的數(shù)已經(jīng)填好，其余每個格中,101113151719

最上面的一橫行和最左面的一豎列的數(shù)已經(jīng)填好，其余每個格子中的數(shù)等于同一橫行最12

左邊的數(shù)與同一豎列最上面的數(shù)之和(如方格中a=14+17=31).右圖填滿后，這3014

個數(shù)的總和是多少？16

18

2.有兩個算式：①98765X98769,②98766X98768,

請先不要計算出結(jié)果，用最簡單的方法很快比擬出哪個得數(shù)大，大多少?

3.比擬568X764和567X765哪個積大?

4.在下面四個算式中，最大的得數(shù)是多少？

①1992X1999+1999②1993X1998+1998

③1994X1997+1997④1995X1996+1996

5.五個連續(xù)奇數(shù)的和是85,求其中最大和最小的數(shù).

6.45是從小到大五個整數(shù)之和，這些整數(shù)相鄰兩數(shù)之差是3,請你寫出這五個數(shù).

7.把從1到100的自然數(shù)如下表那樣排歹U.在這個數(shù)表里，把長的方面1234567

3個數(shù)，寬的方面2個數(shù)，一共6個數(shù)用長方形框圍起來，這6個數(shù)的

891011121314

和為81,在數(shù)表的別的地方,如上面一樣地框起來的6個數(shù)的和為429,

17181921

問此時長方形框子里最大的數(shù)是多少？151620

第三講倒推法的妙用22232425262728

在分析應(yīng)用題的過程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法???????????????9798

是從所表達應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用條件一步一步倒著分析、99100

推理，直到解決問題.

例1一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說：“用我得的分數(shù)減去8加上10,再除

以7,最后乘以4,得56.〃小朋友，你知道于昆得多少分嗎？

分析這道題如果順推思考，比擬麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進行分析，就像剝卷心菜

一樣層層深入，直到解決問題.

如果把于昆的表達過程編成一道文字題：一個數(shù)減去8,加上10,再除以7,乘以4,結(jié)果是56.

求這個數(shù)是多少？

把一個數(shù)用口來表示，根據(jù)題目條件可得到這樣的等式：

{[(口-8)+10]4-7)X4=56.

如何求出口中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因為56是乘以4后得到的，而乘以4

之前是56+4=14.14是除以7后得到的，除以7之前是14X7=98.98是加10后得到的，加10以前

是98-10=88.88是減8以后得到的，減8以前是88+8=96.這樣倒推使問題得解.

解：{[(口-8)+10]4-7}X4=56

[(□-8)+10)4-7=564-4

答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績是96分.

通過以上例題說明，用倒推法解題時要注意：

①從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.

②在向前推理的過程中，每一步運算都是原來運算的逆運算.

③列式時注意運算順序，正確使用括號.

例2馬小虎做一道整數(shù)減法題時，把減數(shù)個位上的1看成7,把減數(shù)十位上的7看成1,結(jié)果得出差

是in.問正確答案應(yīng)是幾？

分析馬小虎錯把減數(shù)個位上1看成7,使差減少7—1=6,而把十位上的7看成1,使差增加70

-10=60.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6,加60得111,求某數(shù)是幾的問題.

解：111一（70—10）+（7-1）=57

答：正確的答案是57.

例3樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛

走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？

分析倒推時以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等〃入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48+3=16

（只）.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16

-6=10（只）.同理，第二棵樹上原有鳥16+6-8=14（只）.第一棵樹上原落鳥16+8=24（只），

使問題得解.

解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48?3=16（只）

②第一棵樹上原有鳥只數(shù).16+8=24（只）

③第二棵樹上原有鳥只數(shù).16+6—8=14（只）

④第三棵樹上原有鳥只數(shù).16—6=10（只）

習題三

1.某數(shù)除以4,乘以5,再除以6,結(jié)果是615,求某數(shù).

2.生產(chǎn)一批零件共560個，師徒二人合作用4天做完.師傅每天生產(chǎn)零件的個數(shù)是徒弟的3倍.師

徒二人每天各生產(chǎn)零件多少個？

3.有破26塊，兄弟一人爭著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好被，哥哥趕到了.哥哥看弟弟挑的太多，

就搶過一半.弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半.哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊.這時哥哥比弟弟多2

塊.問：最初弟弟準備挑幾塊磚？

4.阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又用剩下錢買菜.別人問他帶多

少錢，他說：“買菜的錢是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加I7加8,加8加7、

加9加10加11?！阒腊⒎蔡嵋还矌Я硕嗌馘X？買魚用了多少錢？

第四講行程問題（一）

我們把研究路程、速度、時間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題.

在對小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習中，我們已經(jīng)接觸過一些簡單的行程應(yīng)用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個量

之間存在這樣的根本關(guān)系：路程=速度X時間.因此，在這一講中，我們將在前面學(xué)習的根底上，主

要來研究行程問題中較為復(fù)雜的一類問題一一反向運動問題，也即在同一道路上的兩個運動物體作方

向相反的運動的問題.它乂包括相遇問題和相背問題.所謂相遇問題，指的就是上述兩個物體以不同的

點作為起點作相向運動的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個運動物體以同一點作為起點作背向運

動的問題，下面，我們來具體看兒個例子.

例1甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走4千

米，問：二人幾小時后相遇？

分析出發(fā)時甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時都縮短6+4=10（千米），即兩人

的速度的和〔簡稱速度和），所以30千米里有幾個10千米就是幾小時相遇.

解：304-（6+4）

=304-10

=3（小時）

答：3小時后兩人相遇.

例1是一個典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個根本數(shù)量關(guān)系：

路程=速度和X時間.

例2一列貨車早晨6時從甲地開往乙地，平均每小時行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每

小時比貨車快15千米，客車比貨車遲發(fā)2小時，中午12時兩車同時經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進,

問：當客車到達甲地時，貨車離乙地還有多少千米？

分析貨車每小時行45千米，客車每小時比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時（45+15）

千米；中午12點兩車相遇時，貨車已行了（12—6）小時，而客車已行（12-6-2）小時，這樣就可

求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來求當客車行完全程到達甲地時，貨車離乙地的距離.

解：①甲、乙兩地之間的距離:②客車行完全程所需時間:③客車到甲地時，貨車離乙地

45X(12—6)+(45+5104-（45+15）的距離：

15)X(12—6—2)=510?60510—45X（8.5+2）

=45X6+60X4=8.5（小時）.=510-472.5

=510(千米).=37.5（千米）.

答：客車到甲地時，貨車離乙地還有37.5千米.

例3兩列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米.兩車錯車時，甲車上一乘客

發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長.

分析首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000+3600=10（米），乙車的速度是每秒鐘54000

?360C=15（米）.此題中，甲車的運動實際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運動，乙

車的運動那么可以看作是乙車車頭的運動，因此，我們只需研究下面這樣一個運動過程即可：從乙車

車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這時刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運動14秒，每秒鐘，乙車

車頭與甲車乘客之間的距離都增大（10+15）米，因此，14秒結(jié)束時，車頭與乘客之間的距離為（10

+15）X14=350（米〕.又因為甲車乘客最后看到的是乙車車尾，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段

時間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的

路程之和.

解：（10+15）X14=350（米）答：乙車的車長為350米.

我們也可以把例3稱為一個相背運動問題，對于相背問題而言，相遇問題中的根本關(guān)系仍然成立.

例4甲、乙兩車同時從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇,相遇后兩車仍

以原速繼續(xù)行駛，并且在到達對方出發(fā)點后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次

相遇，問兩次相遇點相距多少千米？第二次第一次

分析甲、乙兩車共同走完一個AB全程時，乙車走了64千米，甲廣：二

從上圖可以看出：它們到第二次相遇時共走了3個AB全程，因此，A：?j---------；B

我們可以理解為乙車共走了3個64千米，再由上圖可知：減去一48千米消]64千米

個48千米后，正好等于一個AB全程.-------------------------乙

解：①AB間的距離是

64X3-48

=192-48

=144（千米）.

②兩次相遇點的距離為

144-48—64

=32（千米）.答：兩次相遇點的距離為32千米.

例5甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，

甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時.在出發(fā)4小時后，甲、乙二人相遇，又甲的速度為乙的2倍，且

相遇時甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

分析甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時的路，甲只要2小時就可以了，因此，甲走100

千米所需的時間為（4—1+4:2）=5小時.這樣就可求出甲的速度.

解：甲的速度為：

1004-（4-1+44-2）

=1004-5=20（千米/小時）.

乙的速度為:204-2=10（千米/小時）.

答：甲的速度為20千米/小時，乙的速度為10千米/小時.

例6某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，假設(shè)該列車與另一列長150

米.時速為72千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘？

分析解這類應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個概念：列車通過隧道指的是從車頭進入隧道算起到車尾離

開隧道為止.因此，這個過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯車而過指的是從兩

個列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個過程實際上是一個以車頭的相遇點為起點的相背

運動問題，這兩個列車在這段時間里所走的路程之和就等于他們的車長之和.因此，錯車時間就等于

車長之和除以速度之和.

列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為（250-

210）米時，所用的時間為（25—23）秒.由此可求得列車的車速為（250—210）4-（25-23）=20（米

/秒）.再根據(jù)前面的分析可知：列車在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長加上車長，因此，這個列車的

車長為20X25—250=250（米），從而可求出錯車時間.

解：根據(jù)另一個列車每小時走72千米，所以，它的速度為：720004-3600=20（米/秒），

某列車的速度為：（25C-210）+（25-23）=40+2=20（米/秒〕

某列車的車長為：20X25-250=500-250=250（米），

兩列車的錯車時間為:（25C+150）4-（20+20]=4004-40=10（秒）.

答：錯車時間為10秒.

例7甲、乙、丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為每小時60千米和48千米,

有一輛迎面開來的卡車分別在它們出發(fā)后的5小時.6小時，8小時先后與甲、乙、丙三輛車相遇，求

閃車的速度.

分析甲車每小時比乙車快60-48=12（千米）.那么5小時后，甲比乙多走的路程為12X5=60

（千米）.也即在卡車與甲相遇時，卡車與乙的距離為60千米，又因為卡車與乙在卡車與甲相遇的6-5

=1小時后相遇,所以,可求出卡車的速度為60+1-48=12（千米/小時）

卡車在與甲相遇后，再走8-5=3（小時）才能與丙相遇，而此時丙已走了8個小時，因此，卡車

3小時所走的路程與丙8小時所走的路程之和就等于甲5小時所走的路程.由此，丙的速度也可求得，

應(yīng)為：（60X5-12X3）4-8=33（千米/小時）.

解：卡車的速度：（60-48）X54-（6-5）-48=12（千米/小時），

丙車的速度：（60X5-12X3）4-8=33（千米/小時），

答：丙車的速度為每小時33千米.

注：在本講中出現(xiàn)的“米/秒〃、“千米/小時〃等都是速度單位，如5米/秒表示為每秒鐘走5

米.

習題四

1.甲、乙兩車分別從相距240千米的A、B兩城同時出發(fā)，相向而行，甲車到達B城需4小時，

乙車到達A城需6小時，問：兩車出發(fā)后多長時間相遇？

2.東、西鎮(zhèn)相距45千米，甲、乙二人分別從兩鎮(zhèn)同時出發(fā)相向而行，甲比乙每小時多行1千米,

5小時后兩人相遇，問兩人的速度各是多少？

3.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4

千米，相遇后二人繼續(xù)前進，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相

遇地點之間的距離.

4.甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地出發(fā)相向而行，甲先出發(fā)1小時.他們二人在乙出后的

4小時相遇，又甲比乙每小時快2千米，求甲、乙二人的速度.

5.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長為385米，坐在快車上的人

看見慢車駛過的時間是11秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少？

6.前進鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運礦石，現(xiàn)有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，

乙車自鋼鐵廠同時出發(fā)相向而行，速度分別為每小時40千米和50千米，到達目的地后立即返回，如

此反復(fù)運行屢次，如果不計裝卸時間，且兩車不作任何停留，那么兩車在第三次相遇時，距礦山多少

千米？

第五講幾何中的計數(shù)問題（一）

一、數(shù)線段

我們把直線上兩點間的局部稱為線段，這兩個點稱為線段的端點.線段是組成三角形、正方形、

長方形、多邊形等最根本的元素.因此，觀察圖形中的線段，探尋線段與線段之間、線段與其他圖形

之間的聯(lián)系，對于了解圖形、分析圖形是很重要的.

例1數(shù)一數(shù)以下圖形中各有多少條線段.

分析要想使數(shù)出的每一個圖形中線ABF―LABCDE段的總

條數(shù)，不重復(fù)、不遺漏，就需要按照一定（1）（2）心）的順序、

按照一定的規(guī)律去觀察、去數(shù).這樣才不至于雜亂無章、毫無頭緒.我們可以按照兩種順序或兩種規(guī)律

去數(shù).

第一種：略

第二種：按照根本線段多少的順序去數(shù).所謂根本線段是指一條大線段中假設(shè)有n個分點，那么

這條大線段就被這n個分點分成n+1條小線段，這每條小線段稱為根本線段.如上頁圖（2）中，線

段AD上有兩個分點B、C,這時分點B、C把AD分成AB、BC、CD三條根本線段，那么線段AD總共有

多少條線段？首先有三條根本線段，其次是包含有二條根本線段的是：AC、BD二條，然后是包含有三

條根本線段的是AD這樣一條.所以線段AD上總共有線段3+2+1=6條，又如上頁圖（3）中線段AE

上有三個分點B、C、D,這樣分點B、C、D把線段AE分為AB、BC、CD、DE四條根本線段，那么線段

AE上總共有多少條線段？按照根本線段多少的順序是：首先有4條根本線段，其次是包含有二條根本

線段的有3條，然后是包含有三條根本線段的有2條，最后是包含有4條根本線段的有一條，所以線

段AE上總共有線段是4+3+2+1=10條.

解：①2+1=3（條）.②3+2+1=6（條）.③4+3+2+1=10（條）.

小結(jié)：上述三例說明：要想不重復(fù)、不遺漏地數(shù)出所有線段，必須按照一定順序有規(guī)律的去數(shù)，

這個規(guī)律就是：線段的總條數(shù)等了從1開始的連續(xù)幾個自然數(shù)的和，這個連續(xù)自然數(shù)的和的最大的加

數(shù)是線段分點數(shù)加1或者是線段所有點數(shù)（包括線段的兩個端點〕減1.也就是根本線段的條數(shù).

二、數(shù)角

例2數(shù)出右圖中總共有多少個角，

例3數(shù)一數(shù)右圖中總共有多少個角？

三、數(shù)三角形

例4如右圖中，各個圖形內(nèi)各有多少個三角形？

小結(jié):計算三角形的總數(shù)也等于從1開始的幾個連續(xù)自

然數(shù)的和，其中最大的加數(shù)就是三角形一邊上的分點數(shù)加1，也就是

三角形這邊上分成的根本線段的條數(shù).

例5如右圖中，數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個三角形？

分析在數(shù)的過程中應(yīng)充分利用上幾例總結(jié)的規(guī)律，明確數(shù)什么？（1）

怎么數(shù)？這樣兩個問題.數(shù)：就是要數(shù)出圖中根本線段（根本三角形）的條數(shù)，算:

就是以根本線段（根本三角形）條數(shù)為最大加數(shù)的從1開始的連續(xù)兒個自然數(shù)的和.

①要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個分點，各分成3條根

本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個分點，各分成4條根本線段.所以圖中總共有線段是:

（3+2+1）X5+（4+3+2+1）X3=30+30=60（條）.

②要數(shù)有多少個三角形，先看在AAGH中，在GH上有3個分點，分成根本小三角形有4個.所以在4

AGH中共有三角形4+3+2+1=10（個）.在△AMN與AABC中，三角形有*同樣的個數(shù)，所以在aABC中三

角形個數(shù)總共:(4+3+2+1)X3=10X3=30(個).

解：①在AABC中共有線段是:(3+2+1)X5+(4+34-2+1)X3=30+30=60(條)

②在AABC中共有三角形是：(4+3+2+1)X3=10X3=30(個).

習題五

1.數(shù)一數(shù)以下圖中，各有多少條線段?

2.數(shù)一數(shù)以下圖中各有多少角？

3.數(shù)一數(shù)

下圖中，各有多少C1

線段？C3

4.數(shù)一數(shù)C4

B

（1）

多少條線段，各有多少個三角形？

第六講幾何中的計數(shù)問題（二）

我們在已經(jīng)學(xué)會數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)三角形的根底上，通過

(1)

本講學(xué)習數(shù)長方形，正方形及數(shù)綜合圖形來進一步提高觀察和思

考問題的能力，學(xué)會在觀察、思考、分析中總結(jié)歸納出解決問題的規(guī)律和方法.

一、數(shù)長方形

例1如以下圖，數(shù)一數(shù)以下各圖中長方形的個數(shù)?C

B

cI)cm)

分析圖（I）中長方形的個數(shù)與AB邊上所分成的線段的條數(shù)有關(guān)，每一條線段對應(yīng)一個長方形,

所以長方形的個數(shù)等于AB邊上線段的條數(shù)，即長方形個數(shù)為：

4+3+2+1=10〔個）.

圖（II）中AB邊上共有線段4+3+2+1=10條.BC邊上共有線段：2+1=3（條），把AB上的每一條

線段作為長，BC邊上每一條線段作為寬，每一個長配一個寬，就組成一個長方形，所以圖（II）中共

有長方形為:（4+3+2+1）X（2+1）=10X3=30（個）.

圖（III）中，依據(jù)圖（II）長方形個數(shù)的方法：可得長方形個數(shù)為：（4+3+2+1）X（3+2+1）=60（個）.

解：圖（I）中長方形個數(shù)為4+3+2+1=10（個）.

圖（II）中長方形個數(shù)為:（4+3+2+1）X（2+1）=10X3=30（個）.

圖（III）中長方形個數(shù)為:（4+3+2+1）X（3+2+1）=10X6=60（個）.

小結(jié)：一般情況下，如果有類似圖III的任一個長方形一邊上有nT個分點（不包括這條邊的兩個

端點），另邊上有mT個分點（不包括這條邊上的兩個端點），通過這些點分別作對邊的平行線且

與另一邊相交，這兩組平行線將長方形分為許多長方形，這時長方形的總數(shù)為：

（1+2+3+…+m）X（1+2+3+…+n）.

例2如右圖數(shù)一數(shù)圖中長方形的個數(shù).回

二、數(shù)正方形

例3數(shù)一數(shù)下頁各個圖中所有正方形的個數(shù).（每個小方格為邊長為1的正方形）

分析

三、數(shù)三角形

例6如右圖，數(shù)一數(shù)圖中三角形的個數(shù).

分析這樣的圖形只能分類數(shù)，可以采用類似數(shù)正方

形的方法，從邊長為一條根本線段的最小三角形開始.

I.以一條根本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有四層，它們的總數(shù)為：IV①上二1+2+3+4=10］個）.

②尖朝下的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W①下=1+2+3=6（個）.

II.以兩條根本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有三層，它門的總數(shù)為：W②上=1+2+3=6（個）.

②尖朝下的三角形只有一個，記為W②下=11個）.

III.以三條根本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有二層，它們的總數(shù)為：W③上=1+2=3（個）.

②尖朝下的三角形零個，記為W③下=01個）.

IV.以四條根本線段為邊的三角形，只有一個，記為：口④上二1（個）.

所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27（個）.

按另一種分類情況計算三角形個數(shù)，即按尖朝上與尖朝下的三角形的兩種分類情況計算三角形個數(shù).

I.尖朝上的三角形共有四種：

W①下=1+2+3+4=10W②上:1+2+3=6W③上=1+2=3W④上二1

所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（個）.

II.尖朝下的三角形共有二種：

W①下=1+2+3=6W②下二1W③下二0W④下二0

那么尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（個）

所以，尖朝上與尖朝下的三角形一共有：20+7二27（個）.

小結(jié)：尖朝上的三角形共有四種.每一種尖朝上的三角形個數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，

其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的根本線段的條數(shù)，依次各個連續(xù)自然

數(shù)的和都比上一次少一個最大的加數(shù)，直到1為止.

尖朝下的三角形的個數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個和恰是尖朝上的第二個和，

依次各個和都比上一個和少最大的兩個加數(shù)，以此類推直到零為止.

例7頁圖數(shù)一數(shù)圖中有多少個三角形.

解：參考例6所總結(jié)的規(guī)律把圖中三角形分成尖朝上和尖朝下的兩類：

I.尖朝上的三角形有五種：

(1)W①上=8+7+6+5+4=30(2)W②上=7+6+5+4=22

(3)W③上=6+5+4=15(4)W④上二5+4=9(5)W⑤上二4

???尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80(個).

II.尖朝下的三角形有四種：

(1)W①下=3+4+5+6+7=25(2)W②下=2+3+4+5=14

(3)W③下=1+2+3=6(4)W④下二1

尖朝下的三角形共有25+14+6+下46(個).

???所以尖朝上與尖朝下的三角形總共有80+46=1261個).

四、數(shù)綜合圖形

前面我們已對較根本、簡單的圖形的數(shù)法作了較系統(tǒng)的研究，尋找到了一般規(guī)律.而對于較復(fù)雜

的圖形即綜合圖形的數(shù)法，我們?nèi)孕枳裱恢貜?fù)、不遺漏的原那么，采用能按規(guī)律數(shù)的，按規(guī)律數(shù)，

能按分類數(shù)的就按分類數(shù)，或者兩者結(jié)合起來就定能把圖形數(shù)清楚了.

例7頁圖，數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個三角形.

分析圖中有假設(shè)干個大小不同、形狀各異但有規(guī)律的三角形.因此適合分類來數(shù).

首先要找出三角形的不同的種類？每種相同的三角形各有多少個？

解：根據(jù)圖中三角形的形狀和大小分為六類：

I.與4ABE相同的三角形共有5個；II.與aABP相同的三角形共有10個；

III.與△ABF相同的三角形共有5個；IV.與aAFP相同的三角形共有5個；

V.與4ACD相同的三角形共有5個；\工與4AGD相同的三角形共有5個.

所以圖中共有三角形為5+10+5+5+5+5=35(個).

習題六

1.以下圖中有多少個正方形？

2.以下圖中有多少個長方形？4.以下圖中有多少個長方形?

5.以下圖(1)、(2)中各有多少個三角形？

第七講數(shù)學(xué)競賽試題選講

例1計算：(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)[1988

市小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克邀請賽試題)

解法1;解

原式工(1989+1)4-2]2-(19884-2)X(1988(1)(2)法2：去

-4-2+1)括號，得

=9952-994X995原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-----1988

=995X(995-994)=1+(3-2)+(5-4)+…+(1989-1988)

二995.=995.

說明：解法1是應(yīng)用兩個常見的公式：

前n個奇數(shù)的和1+3+5+…+(2n-l)=n2.

前n個偶數(shù)的和2+4+6+…+2n=nX(n+1).

解法2用適當分組方法轉(zhuǎn)化為相同加數(shù)的加法問題，即將低級運算(加法)轉(zhuǎn)化為高級運算(乘法).

例2計算：1+2+3+4…+99+100+99+…+4+3+2+1

解：運用加法的交換律與結(jié)合律，得

原式二(1+99)+(99+1)+(2+98)+(98+2)+???+(50+50)+100

=100X100

二10005

說明：由本例可以推廣為一般公式：

1+2+3+???+(n+1)+n+(n-l)+-+3+2+1=n2.

例5在下面各數(shù)之間，填上適當?shù)倪\算符號和括號，使等式成立：106932=486994年北京市小

學(xué)生“迎春杯〃決賽試題)

解：填法不唯一.下面給出幾種常見的填法：

1CX6-(9-3)X2=48；(10+6)X(9-3X2)=48；10+6X[9-3)+2=48；

1CX(6+9)4-3-2=48；(10+6)X(9-3);2二4&

說明：在歐美流行一種數(shù)學(xué)游戲：試用4個給定的自然數(shù)經(jīng)過四那么運算的結(jié)果等于24.本例與

這種游戲是類似的，它們對于開展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是十分有益的.

例6右圖中六個小圓圈中的三個分別填有15、26、31三個數(shù).而這三個數(shù)分別等于和它相鄰的兩個

空白圓圈里的數(shù)的和，那么，填在三個空白圓圈里的數(shù)中，最小的一個數(shù)是—

解：設(shè)15與26之間的圓圈里的數(shù)是a,

26與31之間的圓圈里的數(shù)是b,?

15與31之間的圓圈里的數(shù)是c,OO

依題意，有a+b=26,b+c=31,a+c=15；J

于是可知2（a+b+c）=26+31+25,即a+b+c=36；@@>

因此，最小數(shù)是：a=36-3>5.0

例8如右圖，AB、CD、EF、MN互相平行，那么右圖中梯形的個數(shù)與三B

角形的個數(shù)相差多少？必狎*

解：首先計算右圖中三角形的個數(shù).由于所有三角形都以0點為頂點；且以V/\\

AB或CD或EF或MN上的線段為底的三角形各有：4+3+2+1=10（個）.獷,=-----

因此，圖中一共有三角形：10X4=40（個）.

其次計算上圖中梯形的個數(shù).由于從AB、CD、EF、MN中任意選出兩條為上、下底時各有梯形:

4+3+2+1=101個）.

而從4條線段中選出兩條線段的不同選法有（4X3）+2=6（種），

所以，上頁圖中一共有梯形10X6=60（個）.

于是上頁圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)相差