Page1專題訓(xùn)練(四)實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)——以利潤(rùn)、隧道、球類運(yùn)動(dòng)為背景一、以利潤(rùn)為背景1．某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種每件價(jià)格為100元的新商品，試銷時(shí)發(fā)覺(jué)：銷售單價(jià)x(元/件)與每天銷售量y(件)之間滿意如圖所示的關(guān)系．(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)寫出每天的利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；若你是商場(chǎng)負(fù)責(zé)人，會(huì)將售價(jià)定為多少，來(lái)保證每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解：(1)y＝－x＋180(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)，即W＝－(x－140)2＋1600，當(dāng)x＝140時(shí)，W最大＝1600，∴售價(jià)定為140元/件時(shí)，每天最大利潤(rùn)W為1600元2．隨著某市近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高，某園林專業(yè)戶安排投資種植花卉及樹木，依據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)料，種植樹木的利潤(rùn)y1與投資量x成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤(rùn)y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示．(注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬(wàn)元)(1)分別求出利潤(rùn)y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；(2)假如這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲得的最大利潤(rùn)是多少？解：(1)y1＝2x，y2＝eq\f(1,2)x2(2)設(shè)種植花卉的資金投入為x萬(wàn)元，那么種植樹木的資金投入為(8－x)萬(wàn)元，兩項(xiàng)投入所獲得的總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y＝y(tǒng)1＋y2＝2(8－x)＋eq\f(1,2)x2＝eq\f(1,2)(x－2)2＋14，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y最?。?4，這位專業(yè)戶至少獲利14萬(wàn)元，又∵0≤x≤8，拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y值隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y最大＝16；②當(dāng)2＜x≤8時(shí)，y值隨x的增大而增大，∴x＝8時(shí)，y最大＝32，綜合①②可知，最大利潤(rùn)是32萬(wàn)元二、以橋梁、隧道為背景3．如圖，橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形態(tài)，依據(jù)圖中的直角坐標(biāo)系，左邊的一條拋物線可以用y＝0.0225x2＋0.9x＋10表示，而且左右兩條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱．(1)鋼纜最低點(diǎn)到橋面的距離是多少？(2)兩條鋼纜的最低點(diǎn)之間的距離是多少？(3)寫出右邊鋼纜拋物線的解析式．解：y＝0.0225x2＋0.9x＋10＝0.0225(x＋20)2＋1，(1)鋼纜最低點(diǎn)到橋面的距離是1(2)兩鋼纜的最低點(diǎn)之間的距離是40m(3)∵右邊鋼纜的拋物線與左邊的關(guān)于y軸對(duì)稱，∴此拋物線的頂點(diǎn)為(20，1)，∴y＝0.0225(x－20)2＋1，即y＝0.0255x2

4.如圖，某馬路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．(1)干脆寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求這條拋物線的解析式；(3)若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”AD－DC－CB，使C，D點(diǎn)在拋物線上，A，B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)的最大值是多少？解：(1)M(12，0)，P(6，6)(2)設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－6)2＋6.∵拋物線y＝a(x－6)2＋6經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，0)，∴a＝－eq\f(1,6)，∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,6)(x－6)2＋6，即y＝－eq\f(1,6)x2＋2x(3)設(shè)A(m，0)，則B(12－m，0)，C(12－m，－eq\f(1,6)m2＋2m)，D(m，－eq\f(1,6)m2＋2m)，∴“支撐架”總長(zhǎng)AD＋DC＋CB＝(－eq\f(1,6)m2＋2m)＋(12－2m)＋(－eq\f(1,6)m2＋2m)＝－eq\f(1,3)m2＋2m＋12＝－eq\f(1,3)(m－3)2＋15.∵此二次函數(shù)的圖象開口向下，∴當(dāng)m＝3時(shí)，AD＋DC＋CB有最大值，最大值為15米三、以球類運(yùn)動(dòng)為背景5．如圖，小明在一次高爾夫球爭(zhēng)霸賽中，從山坡下O點(diǎn)打出一球向球洞A點(diǎn)飛去，球的飛行路途為拋物線，假如不考慮空氣阻力，當(dāng)球達(dá)到最大水平高度12米時(shí)，球移動(dòng)的水平距離為9米．已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30°，O，A兩點(diǎn)相距8eq\r(3)米．(1)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線OA的解析式；(2)求出球的飛行路途所在拋物線的解析式；(3)推斷小明這一桿能否把高爾夫球從O點(diǎn)干脆打入球洞A點(diǎn)．解：(1)在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝8eq\r(3)，∴AC＝8eq\r(3)×eq\f(1,2)＝4eq\r(3)，由勾股定理可求OC＝12，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(12，4eq\r(3))，從而可求OA的解析式為y＝eq\f(\r(3),3)x(2)∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是(9，12)，點(diǎn)O的坐標(biāo)是(0，0)，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－9)2＋12，把點(diǎn)O的坐標(biāo)代入得0＝a(0－9)2＋12，解得a＝－eq\f(4,27)，∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(4,27)(x－9)2＋12(或y＝－eq\f(4,27)x2＋eq\f(8,3)x)(3)∵當(dāng)x＝12時(shí)，y＝－eq\f(4,27)×(12－9)2＋12＝eq\f(32,3)≠4eq\r(3)，∴小明這一桿不能把高爾夫球從O點(diǎn)干脆打入球洞A點(diǎn)6．如圖，在水平地面點(diǎn)A處有一個(gè)網(wǎng)球放射器向空中放射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行路途是一條拋物線，在地面上落點(diǎn)為B.有人在直線AB上點(diǎn)C(靠點(diǎn)B一側(cè))豎直向上擺放無(wú)蓋的圓柱形桶，試圖讓網(wǎng)球落入桶內(nèi)．已知AB＝4米，AC＝3米，網(wǎng)球飛行的最大高度OM＝5米，圓柱形桶的直徑為0.5米，高為0.3米．(網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽視不計(jì))(1)假如豎直擺放5個(gè)圓柱形桶時(shí)，網(wǎng)球能不能落入桶內(nèi)？(2)當(dāng)豎直擺放圓柱形桶多少個(gè)時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)？解：(1)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D(eq\f(3,2)，0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋k，拋物線過(guò)點(diǎn)M和點(diǎn)B，可求k＝5，a＝－eq\f(5,4)，即拋物線解析式為y＝－eq\f(5,4)x2＋5.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝eq\f(15,4)；當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，y＝eq\f(35,16)，即(1，eq\f(15,4))，(eq\f(3,2)，eq\f(35,16))在拋物線上．當(dāng)豎直擺放5個(gè)圓柱形桶時(shí)，桶高＝eq\f(3,10)×5＝eq\f(3,2).∵eq\f(3,2)＜eq\f(15,4)，且eq\f(3,2)＜eq\f(35,16)，∴網(wǎng)球不能落入桶中(2)設(shè)豎直擺放圓柱形桶m個(gè)時(shí)網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)，由題意，得eq\f(35,16)≤eq\f(3,10)m≤eq\f(15,4)，解得7eq\f(7,24)≤m≤12eq\f(1,2).∵m為整數(shù)，∴m的值為8，9，10，11，12，∴當(dāng)豎直擺放圓柱形桶8，9，10，11或12個(gè)時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)

專題訓(xùn)練(五)二次函數(shù)與一次函數(shù)、幾何類問(wèn)題一、二次函數(shù)與三角形1．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，拋物線y＝eq\f(1,2)x2＋bx－2的圖象過(guò)C點(diǎn)．求拋物線的解析式．解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD.又∵AB＝AC，∴△AOB≌△CDA(ASA)，∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1)．∵點(diǎn)C(3，1)在拋物線y＝eq\f(1,2)x2＋bx－2上，∴1＝eq\f(1,2)×9＋3b－2，解得b＝－eq\f(1,2)，∴拋物線的解析式為y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x－22．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，它的對(duì)稱軸是直線x＝－eq\f(1,2).(1)求拋物線的解析式；(2)M是線段AB上的隨意一點(diǎn)，當(dāng)△MBC為等腰三角形時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．解：(1)y＝－eq\f(1,2)(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(25,8)，即y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋3(2)由y＝0得，－eq\f(1,2)(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(25,8)＝0，解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①CM＝BM時(shí)，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴當(dāng)M點(diǎn)在原點(diǎn)O時(shí)，△MBC是等腰三角形，∴M點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)；②BC＝BM時(shí)，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝3eq\r(2)，∴BM＝3eq\r(2)，∴M點(diǎn)坐標(biāo)(3eq\r(2)－3，0)；③當(dāng)MC＝BC時(shí)，易知M不在線段AB上．綜上可知，符合條件的M點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)或(3eq\r(2)－3，0)二、二次函數(shù)與四邊形3．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－eq\f(5,2))．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)y＝eq\f(1,2)x2－2x－eq\f(5,2)(2)存在．如圖，①當(dāng)點(diǎn)N在x軸的下方，∵四邊形ACNM是平行四邊形，∴CN⊥對(duì)稱軸，∴點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱，∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－eq\f(5,2))，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4，－eq\f(5,2))；②當(dāng)點(diǎn)N′在x軸上方時(shí)，作N′H⊥x軸于點(diǎn)H，∵四邊形ACM′N′是平行四邊形，∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝OC，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－eq\f(5,2))，∴N′H＝eq\f(5,2)，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\f(5,2)，∴eq\f(1,2)x2－2x－eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)，解得x1＝2＋eq\r(14)，x2＝2－eq\r(14)，∴點(diǎn)N′的坐標(biāo)為(2－eq\r(14)，eq\f(5,2))和(2＋eq\r(14)，eq\f(5,2))．綜上所述，滿意條件的點(diǎn)N共有三個(gè)，分別為(4，－eq\f(5,2))，(2－eq\r(14)，eq\f(5,2))和(2＋eq\r(14)，eq\f(5,2))4．(2014·蘭州)如圖，拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋mx＋n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A(－1，0)，C(0，2)．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？假如存在，干脆寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．解：(1)y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2(2)在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如圖1，P1(eq\f(3,2)，4)，P2(eq\f(3,2)，eq\f(5,2))，P3(eq\f(3,2)，－eq\f(5,2))(3)當(dāng)y＝0時(shí)，－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0)，可求直線BC的表達(dá)式是y＝－eq\f(1,2)x＋2.如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥EF于點(diǎn)M，設(shè)E(a，－eq\f(1,2)a＋2)，則F(a，－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,2)a＋2)，∴EF＝－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,2)a＋2－(－eq\f(1,2)a＋2)＝－eq\f(1,2)a2＋2a(0≤a≤4)，∴S四邊形CDBF＝S△BCD＋S△CEF＋S△BEF＝eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×2＋eq\f(1,2)(－eq\f(1,2)a2＋2a)[a＋(4－a)]＝－a2＋4a＋eq\f(5,2)＝－(a－2)2＋eq\f(13,2)(0≤a≤4)，∴當(dāng)a＝2時(shí)，S四邊形CDBF的最大值為eq\f(13,2)，此時(shí)E(2，1)三、二次函數(shù)與一次函數(shù)5．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)，拋物線頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為－4，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的一次函數(shù)y＝x－1的圖象交拋物線于點(diǎn)D.(1)求拋物線的解析式；(2)求當(dāng)二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值時(shí)，x的取值范圍；(3)求△BPD的面積．解：(1)∵一次函數(shù)y＝x－1的圖象經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)，拋物線頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為－4，∴拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－4)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,9a－3b＋c＝0，,a－b＋c＝－4.))解方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，,c＝－3，))故拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3(2)聯(lián)立一次函數(shù)y＝x－1和拋物線的解析式可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋2x－3，,y＝x－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－2，,y1＝－3，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1，,y2＝0，))則D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－3)，由圖象可得當(dāng)二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值時(shí)，x的取值范圍為－2＜x＜1(3)過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸交BD于點(diǎn)M，則當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝x－1＝－2，∴M(－1，－2)，則PM＝2，則S△BPD＝S△BPM＋S△MPD＝eq\f(1,2)×2×[1－(－1)]＋eq\f(1,2)×2×[(－1)－(－2)]＝36．如圖，一元二次方程x2＋2x－3＝0的兩根x1，x2(x1＜x2)是拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)C，B的橫坐標(biāo)，且此拋物線過(guò)點(diǎn)A(3，6)．(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與線段AC相交于點(diǎn)G，求P點(diǎn)和G點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)MG＋MA取得最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：(1)解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝－3，x2＝1，∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為C(－3，0)，B(1，0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋3)(x－1)．∵A(3，6)在拋物線上，∴6＝a(3＋3)·(3－1)，∴a＝eq\f(1,2)，∴拋物線的解析式為y＝eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(3,2)(2)由y＝eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x＋1)2－2，∴拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－2)，對(duì)稱軸為x＝－1.可求