8年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.2三角形全等的判定單

元測(cè)試題及答案

八班級(jí)數(shù)學(xué)單元考試的時(shí)候要仔細(xì)做題，不能敷衍了事。下面給

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8班級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.2三角形全等的判定單元試題

一、填空題

1.如圖，己知等邊△ABC,AB=2,點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)

線上，BD=CF,DEBC于E,FGBC于G,DF交BC于點(diǎn)P,則下列結(jié)論：①

BE二CG;②4EDP冬ZXGFP;③EDP-60;④EP二1中，一定正確的是.

.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為為邊上一點(diǎn)，

2ABCD3cm,ECDDAE=30zM

為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別與、相交于點(diǎn)、若

AEMADBCPQ.PQ=AE/

則AP等于cm.

3.如圖，矩形ABCD中，AB=8,點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，有AE=4,BE

的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)EF交CD于點(diǎn)G.若G是CD

的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是

4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)0是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),

點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE,過(guò)點(diǎn)C作CFBE,垂足為F,連接OF,則OF

的長(zhǎng)為.

5.如圖，已知△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)0,點(diǎn)D在CA的延

長(zhǎng)線上，且DC=BC,AD=A0,若BAC=80z則BCA的度數(shù)為

6,已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形(用陰

影表示)，點(diǎn)B1在y軸上且坐標(biāo)是(0,2),點(diǎn)Cl、El、E2、C2、E3、E4、

C3在x軸上,C1的坐標(biāo)是(1,O).B1C1〃B2c2〃B3c3,以此繼續(xù)下去,則

點(diǎn)A20xx到x軸的距離是.

7.如圖,點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上,AB〃DE,AB=DE,BE=CF,AO6,

則DF=.

8.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn),G是AD

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=DG,連接EG,CFEG交EG于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F,連

接CE,BH.若BH=8,則FG=

9.如圖，在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,則BD

的長(zhǎng)為

10.如圖，在aABC中，分別以AC,BC為邊作等邊4ACD和等邊△

BCE.設(shè)aACD、ABCE>^ABC的面積分別是SI、S2、S3,現(xiàn)有如下結(jié)

論：

?SI：S2=AC2：BC2;

②連接AE,BD,則△BCDgZXECA;

③若ACBC,則S1S2;S32.

其中結(jié)論正確的序號(hào)是.

二、解答題

11.如圖,E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB,AC上的點(diǎn)，且BE=AF,

CE、BF交于點(diǎn)P.

⑴求證：CE=BF;

⑵求BPC的度數(shù).

12.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，作射線AH,在

線段AH及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E,F,連結(jié)BE,CF.

(1)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△BEH&ZXCFH,你添加的條件

是，并證明.

(2)在問(wèn)題⑴中,當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形BFCE是矩

形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.如圖,在RSABC中,C=90,A的平分線交BC于點(diǎn)E,EFAB于點(diǎn)

F,點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(AFBF).

⑴求證：Z\ACE&ZXAFE;

(2)求tanCAE的值.

14.在等腰直角三角形ABC中，BAC=90,AB=AC,直線MN過(guò)點(diǎn)A且

MN〃BC,過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作RtABDE,BDE=90,且點(diǎn)D在直線

MN上(不與點(diǎn)A重合)，如圖1,DE與AC交于點(diǎn)P,易證：BD=DP.(無(wú)需

寫(xiě)證明過(guò)程)

⑴在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,BD=DP是否成立?如果成

立，請(qǐng)給予證明;如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,BD與DP是否相等?請(qǐng)直

接寫(xiě)出你的結(jié)論，無(wú)需證明.

15.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,F分

別在邊AD,BC上,且DE=CF,連接0E,OF.求證：OE=OF.

16.如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BP、

DP,延長(zhǎng)BC到E,使PB=PE.求證:PDC=PEC.

17.如圖，己矢口△ABC中AB=AC.

(1)作圖：在AC上有一點(diǎn)D,延長(zhǎng)BD,并在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)

E,使AE二AB,連AE,作EAC的平分線AF,AF交DE于點(diǎn)F(用尺規(guī)作圖,

保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；

(2)在⑴的條件下，連接CF,求證：E=ACF.

.探究:如圖①，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)

18ZXABCAB=AC,ABC=60zBAD,

延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=AD,連結(jié)CD,AE,求證：AACE^ACBD.

應(yīng)用：如圖②，在菱形ABCF中，ABC=60,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D,延長(zhǎng)

CB至點(diǎn)E,使BE=AD,連結(jié)CD,EA,延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)G,求CGE的度

19.⑴如圖1,點(diǎn)E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,求證：A=D.

⑵如圖2,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形所組成的網(wǎng)格中,

△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

?sinB的值是；

②畫(huà)出^ABC關(guān)于直線I對(duì)稱的△A1B1C1(A與Al,B與Bl,C與

C1相對(duì)應(yīng))，連接AA1,BB1,并計(jì)算梯形AA1B1B的面積.

20.在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如身放置，連DE,BH,兩

線交于M.求證：

(1)BH=DE.

(2)BHDE.

21.如圖，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)B,C為圓心，BC長(zhǎng)為

半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)A,連接AB,AC,AD,點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接

BE,CE.

⑴求證：BE=CE;

⑵以點(diǎn)E為圓心，ED長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BE,CE于點(diǎn)F,G.若

BC=4,EBD=30,求圖中陰影部分(扇形)的面積.

22.如圖所示,已知1=2,請(qǐng)你添加一個(gè)條件，證明：AB=AC.

(1)你添加的條件是；

(2)請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程.

23.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD,作

ADN=60,直線DN交射線AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF〃AB交直線DN于

點(diǎn)F.

(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，NDB為銳角時(shí)，如圖①，求證:CF+BE=CD;

(提示：過(guò)點(diǎn)F作FM〃BC交射線AB于點(diǎn)M.)

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，NDB為銳角時(shí)，如圖②;當(dāng)點(diǎn)D

在線段CB的延長(zhǎng)線.匕NDB為鈍角時(shí)，如圖③，請(qǐng)分別寫(xiě)出線段CF,

BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；

⑶在(2)的條件下，若ADC=30,SAABC=4,則BE=,CD=.

24.如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且AEBF,垂

足為點(diǎn)G.

求證：AE=BF.

25.如圖1,在RtAABC中，BAC=90,AB=AC,在BC的同側(cè)作任意

RtADBC,BDC=90.

⑴若CD=2BD,M是CD中點(diǎn)(如圖1),求證：AADB^AAMC;

下面是小明的證明過(guò)程，請(qǐng)你將它補(bǔ)充完整：

證明：設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)0,

VBDC=90,BAC=90,

DOB+DBO=AOC+ACO=90.

VDOB=AOC,

DBO=①

VM是DC的中點(diǎn)，

CM=CD=②

又〈AB=AC,

△ADB^AAMC.

⑵若CD

⑶當(dāng)CDBD時(shí)，線段AD,BD與CD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)

出.

26.如圖,四邊形ABCD是正方形,BEBF,BE=BF,EF與BC交于點(diǎn)G.

⑴求證：AE=CF;

（2）若ABE=55,求EGC的大小.

27.如圖，AABC中，BAC=90,AB=AC,ADBC,垂足是D,AE平分BAD,

交BC于點(diǎn)E.在aABC外有一點(diǎn)F,使FAAE,FCBC.

⑴求證：BE=CF;

⑵在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點(diǎn)N,連接

ME.

求證：①M(fèi)EBC;②DE=DN.

28.

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS'、"ASA'、“AAS1、"SSS'）和

直角三角形全等的判定方法（即“HL）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足

兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等'的情形進(jìn)行討淪.

我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在AABC和4DEF中,AC=DF,

BC=EF,B=E,然后，對(duì)B進(jìn)行分類，可分為“B是直角、鈍角、銳角，三種

情況進(jìn)行探究.

第一種情況：當(dāng)B是直角時(shí)，△ABCgADEF.

⑴如圖①，在4ABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根據(jù)，

可以知道RtAABC^RtADEF.

第二種情況：當(dāng)B是鈍角時(shí)，ZiABC絲Z^DEF.

(2)如圖②,在4ABC^OADEF,AC=DF,BC=EF.B=E,且B、E都是鈍

角，求證：ZiABC且

第三種情況：當(dāng)B是銳角時(shí)，^ABC和aDEF不一定全等.

⑶在AABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是銳角,請(qǐng)你

用尺規(guī)在圖③中作出ADEF,使ADEF和AABC不全等.(不寫(xiě)作法，保

留作圖痕跡)

(4)B還要滿足什么條件，就可以使△ABC也aDEF?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)

論:在aABC和4DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是銳角，若，

則△ABCgZXDEF.

29.問(wèn)題背景：

如圖：在四邊形中，分別

1ABCDAB=AD,BAD=120zB=ADC=90.E,F

是BC,CD上的點(diǎn).且EAF=60.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,

先證明aABE&ZXADG,再證明△AEF&Z\AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)

論應(yīng)是；

探索延伸：

如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,B+D;如O.E,F分別是BC,CD

上的點(diǎn)，且EAF二BAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

實(shí)際應(yīng)用：

如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(0處)北偏西30

的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心

的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的

速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5

小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處，且兩艦艇之

間的夾角為70,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

30.如圖，在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,AC與BD相交于O點(diǎn),

若是上任意一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)連接

OC=OAZECDBEACF,DF.

(1)證明：ZiCBF絲ZXCDF;

(2)若AC=2,BD=2,求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

(3)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得EFD二BAD,并予以證明.

8班級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.2三角形全等的判定單元測(cè)試題參考答案

一、填空題

L如圖,已知等邊△ABC,AB=2,點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)

線上，BD=CF,DEBC于E,FGBC于G,DF交BC于點(diǎn)P,則下列結(jié)論：①

BE=CG;②△EDPg/\GFP;③EDP=60;④EP=1中，一定正確的是①②

④.

全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).

由等邊三角形的性質(zhì)可以得出△DEBZZXFGC,就可以得出

BE二CG,DE=FG,就可以得出△DEP&ZXFGP,得出EDP=GFP,EP=PG,得

出就可以得出從而得出結(jié)論.

PC+BE=PE,PE=1Z

解：:△ABC是等邊三角形，

AB=BC=AC,A=B=ACB=60.

VACB=GCF,

VDEBC,FGBC,

DEB=FGC=DEP=90.

在ADEB和aFGC中，

△DEB^AFGC(AAS),

BE=CG,DE=FG,故①正確;

在ADEP和AFGP中，

/

△DEP^AFGP(AAS),故②正確；

PE二PGEDP=GFP60,故③錯(cuò)誤；

;PG=PC+CG,

PE=PC+BE.

VPE+PC+BE=2Z

PE=1,故④正確.

故答案為：①②④.

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性

質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.

2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm,E為CD邊上一點(diǎn),DAE=30,M

為AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q.若PQ=AE,

則AP等于1或2cm.

全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì);解直角三角形.

分類討論.

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)P作PNBC,交BC于點(diǎn)N,由ABCD為正方

形，得到在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義

AD=DC=PNZADE

求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)M為AE中點(diǎn)求

出AM的長(zhǎng)，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等

三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等得到DE二NQ,DAE二NPQ=30,再由PN與DC

平行，得到PFA=DEA=60,進(jìn)而得到PM垂直于AE,在直角三角形APM

中，根據(jù)AM的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長(zhǎng)，再利用對(duì)稱

性確定出AP的長(zhǎng)即可.

解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)P作PNBC,交BC于點(diǎn)N,

丁四邊形ABCD為正方形,

AD=DC=PN,

在RtAADE中，DAE=30,AD=3cm,

tan30=,即DE=cm,

根據(jù)勾股定理得：AE==2cm,

VM為AE的中點(diǎn)，

AM=AE=cm,

在RtAADE和RtAPNQ中，

/

RtAADE^RtAPNQ(HL),

Dt=NQ,DAt=NPQ=30,

?.?PN〃DC,

PFA=DEA=60,

PMF=90,即PMAF,

在RtAAMP中，MAP=30,cos30=,

AP===2cm;

由對(duì)稱性得到AP=DP=AD-AP=3-2=10171,

綜上,AP等于1cm或2cm.

故答案為：1或2.

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握

全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

3.如圖，矩形ABCD中，AB=8,點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，有AE=4,BE

的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)E卜交CD于點(diǎn)G.若G是CD

的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是7.

全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì);勾股定理;矩

形的性質(zhì).

幾何圖形問(wèn)題.

根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CG二DG,然后利用“角邊角證明4DEG

和4CFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=CF,EG=FG,設(shè)

DE=x,表示出BF,再利用勾股定理列式求EG,然后表示出EF,再根據(jù)

線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BF=EF,然后列出方

程求出x的值，從而求出AD,再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BC=AD.

解：???矩形ABCD中，G是CD的中點(diǎn),AB=8,

CG=DG=8=4,

在4DEG和aCFG中，

△DEG^ACFG(ASA),

DE=CF,EG=FG,

設(shè)DE=x,

則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x,

在RtADEG中,EG==,

EF=2,

VFH垂直平分BE,

BF二EF,

4+2x=2,

解得x=3,

AD=AE+DE=4+3=7Z

BC=AD=7.

故答案為：7.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平

分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利

用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)0是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),

點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE,過(guò)點(diǎn)C作CFBE,垂足為F,連接OF,則OF

的長(zhǎng)為

全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;正方形的性質(zhì).

計(jì)算題;幾何圖形問(wèn)題.

在BE上截取BG=CF,連接0G,證明aOBG/ZiOCF,則OG=OF,

BOG=COF,得出等腰直角三角形GOF,在RTABCE中，根據(jù)射影定理

求得GF的長(zhǎng)，即可求得OF的長(zhǎng).

解：如圖，在BE上截取BG=CF,連接0G,

VRTABCECFBE,

EBC=ECF,

VOBC=OCD=45,

OBG=OCF,

在aOBG與△OCF中

△OBG也△OCF(SAS)

OG=OF,BOG=COF,

OGOF,

在中，

RTABCEBC=DC=6ZDE=2EC,

EC=2,

BE===2,

BC2=BFBE,

則62=BF,解得：BF=,

EF=BE-BF=,

VCF2=BFEF,

CF=,

GF=BF-BG=BF-CF=,

在等腰直角^OGF中

OF2=GF2,

0F=.

故答案為：.

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及

射影定理、勾股定理的應(yīng)用.

5.如圖，已知AABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)0,點(diǎn)D在CA的延

長(zhǎng)線上，且DC=BC,AD=A0,若BAC=80,則BCA的度數(shù)為60

全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).

幾何圖形問(wèn)題.

可證明△CODg△COB,得出D=CBO,再根據(jù)BAC=80,得

BAD=100,由角平分線可得BAO=40,從而得出DAO二140,根據(jù)AD二AO,

可得出D二20,即可得出CBO=20,則ABC=40,最后算出BCA=60

解：:△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)0,

ACO=BCO,

在△COD和△COB中，

/

△COD四△COB,

D=CBO,

VBAC=80z

BAD=100,

BAO=40,

DAO=140,

VAD=AO,D=20,

CBO=20,

ABC=40,

BCA=60,

故答案為：60.

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì),

證明三角形全等是解決此題的關(guān)鍵.

6.已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形（用陰

影表示），點(diǎn)B1在y軸上且坐標(biāo)是（0,影點(diǎn)Cl、El、E2、C2、E3、E4、

C3在x軸上,Cl的坐標(biāo)是(1,O).B1C1〃B2c2〃B3c3,以此繼續(xù)下去,則

點(diǎn)A20xx到x軸的距離是

全等三角形的判定與性質(zhì);規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo);正方形的性質(zhì);相似

三角形的判定與性質(zhì).

規(guī)律型.

根據(jù)勾股定理可得正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為:，根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)可得后面正方形的邊長(zhǎng)依次是前面正方形邊長(zhǎng)的，依次得

到第20xx個(gè)正方形和第20xx個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)一步得到點(diǎn)A20xx

到x軸的距離.

解：如圖,,??點(diǎn)Cl、El、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上,B1C1〃

B2c2〃B3c3,

△B1OC1<^AB2E2C2^B3E4C3,ABIOCI^ACIEIDI,,

B2E2=1,B3E4=,B4E6=,B5E8=,

B20xxE4016=,

作AlEx軸，延長(zhǎng)A1D1交x軸于F,

則△Cl.DIFsaciDlEl,

一，

在RtAOBICl中，OB1=2,OC1=1,

正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為為=,

D1F=Z

A1F=Z

VA1E//D1E1,

一/

A1E=3,=,

點(diǎn)A20xx到x軸的距離是

故答案為:

此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí)，得出

正方形各邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

7.如圖,點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上,AB〃DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,

則DF:6.

全等三角形的判定與性質(zhì).

兒何圖形問(wèn)題.

根據(jù)題中條件由SAS可得△ABCgZ\DEF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

可得AC=DF=6.

證明：VAB/7DE,

B=DEF

,/BE=CF,

BC=EF,

itAABC和ADEF中,

△ABC名△DEF(SAS),

AC=DF=6.

故答案是：6.

本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握.全

等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要

工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

8加圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn),G是AD

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=DG,連接EG,CFEG交EG于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F,連

接若則

CEZBH.BH=8,FG=5.

全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;正方形的性質(zhì);相似

三角形的判定與性質(zhì).

幾何圖形問(wèn)題;壓軸題.

如解答圖，連接CG,首先證明△CGDgZiCEB,得到4GCE是等腰

直角三角形;過(guò)點(diǎn)H作AB、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N,進(jìn)而證

明△HEM義△HCN,得到四邊形MBNH為正方形，由此求出CH、HN、

CN的長(zhǎng)度;最后利用相似三角形RtAHCN^RtAGFH,求出FG的長(zhǎng)度.

解：如圖所示，連接CG.

在4CGD與4CEB中

△CGD^ACEB(SAS),

CG=CE,GCD=ECB,

GCE=90,即AGCE是等腰直角三角形.

又TCHGE,

CH=tH=GH.

過(guò)點(diǎn)H作AB、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N,則MHN=90,

XVEHC=90,

1:2,

HEM=HCN.

在△HEM與△HCN中,

△HEM^AHCN(ASA).

HM=HN,

四邊形MBNH為正方形.

VBH=8,

BN=HN=4,

CN=BC-BN=6-4=2.

在RtZSHCN中，由勾股定理得：CH=2.

GH=CH=2.

VHM/7AG,

1=3,

2=3.

又THNOGHF=90,

RtAHCN^RtAGFH.

,即，

FG=5.

故答案為：5.

本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、

等腰直角三角形、勾股定理等重耍知識(shí)點(diǎn)，難度較大.作出輔助線構(gòu)造

全等三角形與相似三角形，是解決本題的關(guān)鍵.

9.如圖，在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,則BD

的長(zhǎng)為.

全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形.

計(jì)算題;壓軸題.

根據(jù)等式的性質(zhì)，可得BAD與CAD的關(guān)系，根據(jù)SAS,可得4BAD

與4CAD的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD的關(guān)系，根

據(jù)勾股定理，可得答案.

解：作ADAD,AD=AD,連接CD,DD,如圖：

BAC+CAD=DAD+CAD,

即BAD=CAD,

在4BAD與4CAD中,

△BAD四△CAD(SAS),

BD=CD.

DAD=90

由勾股定理得DD=,

DDA+ADC=90

由勾股定理得CD=,

BD=CD=,

故答案為：.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判

定與性質(zhì)，勾股定理，作出全等圖形是解題關(guān)鍵.

1U.如圖，在△ABC中，分另以AC,BC為邊作等邊AACD和等邊△

BCE.設(shè)AACD、ABCE>Z\ABC的面積分別是SI、S2、S3,現(xiàn)有如下結(jié)

論：

?S1：S2=AC2：BC2;

②連接AE,BD,則△BCDgZ\ECA;

③若ACBC,貝ljS1S2;S32.

其中結(jié)論正確的序號(hào)是①②③.

全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).

①根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方判斷;

②根據(jù)SAS即可求得全等；

③根據(jù)面積公式即可判斷.

①SI：S2=AC2：BC2正確，

解：:△ADC與ABCE是等邊三角形，

△ADC^ABCE,

SI：S2=AC2：BC2.

②△BCDg/\ECA正確，

證明：:△ADC與aBCE是等邊三角形,

ACD=BCE=60

ACD+ACB=BCE+ACD,

即ACE=DCB,

AACE-^ADCB中，

/

△BCD也△ECA(SAS).

③若ACBC,貝lj5152=S32正確，

解：設(shè)等邊三角形ADC的邊長(zhǎng)二a,等邊三角形BCE邊長(zhǎng)二b,則4

ADC的高二a,ABCE的高二b,

Sl=aa=a2,S2=bb=b2,

S1S2=a2b2=a2b2,

VS3=ab,

S32=a2b2,

S1S2=S32.

本題考查了三角形全等的判定，等邊三角形的性質(zhì)，面積公式以

及相似三角形面積的比等于相似比的平方，熟知各性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

二、解答題

11.如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB,AC上的點(diǎn)，且BE=AF,

CE、BF交于點(diǎn)P.

⑴求證：CE=BF;

⑵求BPC的度數(shù).

全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).

⑴欲證明CE二BF,只需證得4BCE也aABF;

⑵利用⑴中的全等三角形的性質(zhì)得到BCE二ABF,則由圖示知

PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60,即PBC+PCB=60,所以根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理求得BPC=120.

⑴證明:如圖，??'△ABC是等邊三角形，

BC=AB,A=EBC=60,

在4BCE與4ABF中，

/

△BCE^AABI-(SAS),

CE=BF;

⑵解：???由(1)知4BCE四△ABF,

BCE=ABF,

PBC+PCB=PBC+ABF=ABO60,即PBC+PCB=60,

BPC=180-60=120.

即：BPC=120.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì).全等

三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工

具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

12.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，作射線AH,在

線段AH及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E,F,連結(jié)BE,CF.

(1)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△BEHgZXCFH,你添加的條件是

EH=FH,并證明.

⑵在問(wèn)題⑴中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形BFCE是矩

形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

全等三角形的判定與性質(zhì);矩形的判定.

兒何綜合題;分類討論.

⑴根據(jù)全等三隹形的判定方法，可得出當(dāng)EH二FH,BE〃CF,

EBH二FCH時(shí)，都可以證明△BEH^^CFH,

(2)由⑴可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線相等的

平行四邊形為矩形可得出BH=EH時(shí)，四邊形BFCE是矩形.

⑴答:添加:EH=FH,

證明：???點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，

BH=CH,

在ABEH和△CFH中,

△BEH^ACFH(SAS);

⑵解：

VBH=CH,EH=FHZ

四邊形BFCE是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊

形），

;當(dāng)BH=EH時(shí)，則BC=EF,

平行四邊形BFCE為矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形）.

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定,

是基礎(chǔ)題，難度不大.

13.（20xx株洲）如圖，在RtAABC中，090,A的平分線交BC于點(diǎn)

E,EFAB于點(diǎn)F,點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（AFBF）.

⑴求證：△ACEgZ^AFE;

⑵求tanCAE的值.

全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);勾股定理;銳角三角

函數(shù)的定義.

證明題.

(1)根據(jù)角的平分線的性質(zhì)可求得CE=EF,然后根據(jù)直角三角形的

判定定理求得三角形全等.

(2)由4ACE@aAFE,得出AC=AF,CE=EF,設(shè)BF=m,則AC=2m,

AF=2m,AB=3m,根據(jù)勾股定理可求得，tanB==,CE=EF=,在RTAACE

中，tanCAE===;

⑴證明：TAE是BAC的平分線,ECAC,EFAF,

CE=EF,

在RtAACE與RtAAFE中，

RtZXACE斑tZXAFE(HL);

(2)解：由⑴可知△ACEgZ^AFE,

AC=AF,CE=EF,

設(shè)則

BF=m,AC=2m/AF=2m,AB=3m,

BC===m,

解法一：VC=EFB=90,

△EFB^AACB,

VCE=EF,

解法二：在RTZ\ABC中,tanB===,

在RTAEFB中，EF二BHanB二，

CE=EF=,

在RTAACE中，tanCAE===;

tanCAE=.

本題考查了直角三角形的判定、性質(zhì)和利用三角函數(shù)解直角三角

形，根據(jù)已知條件表示出線段的值是解本題的關(guān)鍵.

14.在等腰直角三角形ABC中，BAC=90,AB=AC,直線MN過(guò)點(diǎn)A且

MN〃BC,過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作RtABDE,BDE=90,且點(diǎn)D在直線

MN上（不與點(diǎn)A重合），如圖1,DE與AC交于點(diǎn)P,易證：BD=DP.（無(wú)需

寫(xiě)證明過(guò)程）

⑴在圖2中,DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,BD=DP是否成立?如果成

立，請(qǐng)給予證明;如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,BD與DP是否相等?請(qǐng)直

接寫(xiě)出你的結(jié)論，無(wú)需證明.

全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形;平行四邊形的性質(zhì).

幾何綜合題.

⑴如答圖2,作犍助線，構(gòu)造全等三角形△BDF^^PDA,可以證

明BD=DP;

⑵如答圖3,作犍助線，構(gòu)造全等三角形△BDF^^PDA,可以證

明BD=DP.

題干引論:

證明：如答圖］，過(guò)點(diǎn)D作DFMN,交AB于點(diǎn)F,

則4ADF為等腰直角三角形,DA=DF.

Vl+FDP=90,FDP+2=90,

1=2.

在4BDF與4PDA中,

△BDF^APDA(ASA)

BD=DP.

(1)答：BD=DP成立.

證明：如答圖2,過(guò)點(diǎn)D作DFMN,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

則aADF為等腰直角三角形,DA=DF.

Vl+ADB=90,ADB+2=90,

1=2.

在4BDF與4PDA中，

△BDF^APDA(ASA)

BD=DP.

(2)答：BD=DP.

證明：如答圖3,過(guò)點(diǎn)D作DkMN,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

MAADF為等腰直角三角形,DA=DF.

在4BDF與4PDA中,

△BDF^APDA(ASA)

BD=DP.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、

平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F分

別在邊AD,BC上,且DE=CF,連接OE,OF.求證：OE=OF.

全等三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì).

證明題.

欲證明OE=OF,只需證得△ODEgZ^OCF即可.

證明：如圖，.??四邊形ABCD是矩形，

ADC=BCD=90,

AC=BD,0D=BD,0C=AC,

OD=OC,

ODC=OCDZ

ADC-ODC=BCD-OCD,

即EDO二FCO,

在△ODE與△OCF中，

△ODE^AOCF(SAS),

OE=OF.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì).全等三角形

的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判

定三角形全等時(shí)；關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

16.如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BP、

DP,延長(zhǎng)BC到E,使PB=PE.求證：PDC=PEC.

全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).

證明題.

根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD,對(duì)角線平分一組對(duì)角可

得BCP二DCP,再利時(shí)吻角邊證明4BCP和4DCP全等，根據(jù)全等三角

形對(duì)應(yīng)角相等可得PDC二PBC,再根據(jù)等邊對(duì)等角可得PBC=PEC,從而

得證.

證明：在正方形ABCD中，BC=CD,BCP=DCP,

在4BCP和4DCP中，

△BCP^ADCP(SAS),

PDC=PBC,

VPB=PE,

PBC=PEC,

PDC=PEC.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊對(duì)等

角的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，已知aABC中AB=AC.

⑴作圖：在AC上有一點(diǎn)D,延長(zhǎng)BD,并在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)

E,使AE二AB,連AE,作EAC的平分線AF,AF交DE于點(diǎn)F（用尺規(guī)作圖,

保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

⑵在⑴的條件下，連接CF,求證：E=ACF.

全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);作圖復(fù)雜作圖.

作圖題;證明題.

(1)以A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BD的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為

點(diǎn)E,再以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與AC、AE相交，然

后以這兩點(diǎn)為圓心，以大于它們長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于一點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)A與這一點(diǎn)作出射線與BE的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)F;

⑵求出AE二AC,根據(jù)角平分線的定義可得EAF=CAF,再利用”邊角

邊，證明aAEF和4ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得E二ACF.

(1)解：如圖所示；

(2)證明：VAB=AC,AE=AB,

AE=AC,

VAF是EAC的平分線，

EAF=CAF,

在4AEF和4ACF中,

△AEF^AACF(SAS),

E=ACF.

本題考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作一

條線段等于已知線段，角平分線的作法，確定出全等三角形的條件是

解題的關(guān)鍵.

18.探究：如圖①，在4ABC中，AB=AC,ABC=60,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D,

延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=AD,連結(jié)CD,AE,求證：△ACEgZ\CBD.

應(yīng)用：如圖②，在菱形ABCF中，ABC=60,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D,延長(zhǎng)

CB至點(diǎn)E,使BE二AD,連結(jié)CD,EA,延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)G,求CGE的度

數(shù).

全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì);菱形的性

質(zhì).

幾何圖形問(wèn)題.

探究：先判斷出AABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可

得BC=AC,ACB;ABC,再求出CE=BD,然后利用“邊角邊'證明即可;

應(yīng)用：連接AC,易知^ABC是等邊三角形，由探究可知AACE和

△CBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得E=D,然后根據(jù)三角形

的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出CGE二ABC即可.

解：探究：

VAB=ACZABC=60,

△ABC是等邊三角形，

BC=AC,ACB=ABC,

VBE=ADZ

BE+BLAD+AB,

即CE=BD,

SAACE^lACBD中，

△ACE^ACBD(SAS);

應(yīng)用：如圖，連接AC,易知AABC是等邊三角形,

由探究可知△ACEgZXCBD,

E二D,

?/BAE=DAG,

E+BAE=D+DAG,

CGE=ABC,

VABC=60,

CGE=60.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性

質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵,

⑵作輔助線構(gòu)造出探究的條件是解題的關(guān)鍵.

19.(1)如圖L點(diǎn)E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,求證：A=D.

⑵如圖2,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形所組成的網(wǎng)格中,

△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

?sinB的值是；

②畫(huà)出4ABC關(guān)于直線I對(duì)稱的△A1B1C1(A與Al,B與Bl,C與

C1相對(duì)應(yīng))，連接AA1,BB1,并計(jì)算梯形AA1B1B的面積.

全等三角形的判定與性質(zhì);作圖-軸對(duì)稱變換;銳角三角函數(shù)的定

義.

網(wǎng)格型.

(1)根據(jù)仝等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；

⑵根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案;根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，可作軸對(duì)

稱圖形，根據(jù)梯形的面積公式，可得答案.

⑴證明：BE=CF,

BE+EF=CF+EF.

即BF=CE.

在4ABF和4DCE中，

/

△ABF/△DCE(SAS).

A=D;

⑵解：

?VAC=3ZBC=4,

AB=5.

sinB=;

②如圖所示：

由軸對(duì)稱性質(zhì)得4A1=2,BB1=8,高是4,

=20.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等式的性質(zhì)，全等

三角形的判定與性質(zhì).

20.在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如期放置，連DE,BH,兩

線交于M.求證：

⑴BH=DE.

(2JBHDE.

全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).

證明題.

⑴根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC二CD,CE=CH,BCD=ECH=90,然后求出

BCH二DCE,再利用,,邊角邊證明aBCH和4DCE全等，根據(jù)全等三角形

對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；

(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得CBHKDE,然后根據(jù)三角形

的內(nèi)角和定理求出DMB=BCD=90,再根據(jù)垂直的定義證明即可.

證明：⑴在正方形ABCD與正方形CEFH中,

BC=CD,CE=CH,BCD=ECH=90,

BCD+DCH=ECH+DCH,

即BCH=DCE,

在ABCH和ADCE中,

△BCH^ADCE(SAS),

BH=DE;

(2)VABCH^ADCE,

CBH=CDE,

又VCGB=MGD,

DMB=BCD=90,

BHDE.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)

并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

21.如圖，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)B,C為圓心，BC長(zhǎng)為

半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)A,連接AB,AC,AD,點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接

BE,CE.

⑴求證：BE=CE;

⑵以點(diǎn)E為圓心，ED長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BE,CE于點(diǎn)F,G.若

BC=4,EBD=30,求圖中陰影部分（扇形）的面積.

全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);扇形面積的計(jì)算.

⑴由點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)得到BD=CD,再由AB=AC=BC可判斷

△ABC為等邊三角形，于是得到AD為BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂

直平分線的性質(zhì)得BE=CE;

⑵由EB二EC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得EBC=ECB=30,則根據(jù)三角

形內(nèi)角和定理計(jì)算得BEC=120,在RtABDE中，BD=BC=2,EBD=30,根

據(jù)含30的直角三角形三邊的關(guān)系得到ED=BD=,然后根據(jù)扇形的面

積公式求解.

⑴證明：??,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),

BD=CD,

VAB=AC=BQ

△ABC為等邊三角形，

AD為BC的垂直平分線，

BE=CE;

(2)解：VEB=EC,

tBC=tCB=30,

BEC=120,

在RtABDE中，BD=BC=2,EBD=30z

ED=BDtan30=BD=,

陰影部分(扇形)的面積;二.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合

全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.也考查了等邊三角

形的判定與性質(zhì)、相等垂直平分線的性質(zhì)以及扇形的面積公式.

22.如圖所示，已知1=2,請(qǐng)你添加一個(gè)條件，證明：AB=AC.

⑴你添加的條件是B=C;

(2)請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程.

全等三角形的判定與性質(zhì).

兒何綜合題.

⑴此題是一道開(kāi)放型的題目,答案不唯一,如B=C或ADB=ADC

等;

⑵根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推出4ABD也AACD,再根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得出即可.

解：⑴添加的條件是B=C,

故答案為：B=C;

⑵證明：在4ABD和ZXACD中

/

△ABD也△ACD(AAS),

AB=AC.

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形

的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊

相等.

23.如圖，在等邊AABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD,作

ADN=60,直線DN交射線AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF〃AB交直線DN于

點(diǎn)F.

⑴當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,NDB為銳角時(shí),如圖①,求證:CF+BE=CD;

(提示：過(guò)點(diǎn)F作FM〃BC交射線AB于點(diǎn)M.)

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，NDB為銳角時(shí)，如圖②;當(dāng)點(diǎn)D

在線段CB的延長(zhǎng)線上，NDB為鈍角時(shí)，如圖③，請(qǐng)分別寫(xiě)出線段CF,

BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；

⑶在的條件下，若則

(2)ADC=30,SAABC=4,BE=8zCD=4

或8.

全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);含30度角的直角

三角形;平行四邊形的判定與性質(zhì).

幾何綜合題.

(1)通過(guò)△MEFZ/XCDA即可求得ME=CD,因?yàn)橥ㄟ^(guò)證四邊形

BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF,從而證得CF+BE=CD;

⑵作FM〃BC,得出四邊形BCFM是平行四邊形，然后通過(guò)證得

△MEF^ACDA即可求得，

⑶根據(jù)^ABC的面積可求得AB二BC=AC=4,所以BD二2AB=8,所以

BE=8,圖②CD=4圖③CD=8,

⑴證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)F作FM〃BC交射線AB于點(diǎn)M,

VCF/7AB,

四邊形BMFC是平行四邊形，

BC=MF,CF=BM,

ABC-EMF,BDE=MFE,

V△ABC是等邊三角形，

ABC=ACB=60,BC=AC,

EMF=ACB,AC=MF,

VADN=60,

BDE+ADC=120,ADC+DAC=120,

BDE=DAC,

MFE=DAC,

在AMEF與4CDA中,

△MEF^ACDA（AAS）Z

CD-ME=EB+BM,

CD=BE+CF.

⑵如圖②,CF+CD=BE,如圖③,CF-CD=BE;

⑶丁AABC是等邊三角形,SAABC=4,

易得AB=BC=AC=4,

如圖②，

VADC=30,ACB=60,

CD=AC=4Z

VADN=60,

CDF=30,

又??'CF〃AB,

BCF-ABO60,

CFD=CDF=3OZ

CD=CF,

由(2)知BE=CF+CD,

BE=4+4=8.

如圖③，

VADC=30,ABC=60,

BAD=ADC=30,

BD=BA=4,

CD=BD+BC=4+4=8,

VADN=60,ADC=30z

BDE-90,

XVDBE=ABC=60/

DEB二30,

在RtABDE中，DEB=30,BD=4,

BE=2BD=8,

綜上,BE=8,CD=4或8.

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角

形全等的判定和性質(zhì),30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等.

24.如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且AEBF,垂

足為點(diǎn)G.

求證：AE=BF.

全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).

證明題.

根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得ABC與C的關(guān)系,AB與BC的關(guān)系，根據(jù)

兩直線垂直，可得AGB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形銳角的關(guān)系，可得

ABG與BAG的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得BAG與CBF的關(guān)系,

根據(jù)A5A,可得^ABE9/XBCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案.

證明：??,正方形ABCD,

ABC=C,AB=BC.

VAEBF,

AGB=BAG+ABG=90,

VABG+CBF=90,

BAG=CBF.

在4ABE和ABCF中，

/

△ABE^ABCF(ASA),

AE=BF.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了正方形的性質(zhì)，直

角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).

25.如圖1,在RtAABC中,BAC=90,AB=AC,在BC的同側(cè)作任意

RtADBC,BDC=90.

⑴若CD=2BD,M是CD中點(diǎn)（如圖1）,求證：△ADBgZXAMC;

下面是小明的證明過(guò)程，請(qǐng)你將它補(bǔ)充完整：

證明：設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)0,

VBDC=90,BAC=90,

DOB+DBO=AOC+ACO=90.

VD0B=A0C,

DBO二①M(fèi)CA.

VM是DC的中點(diǎn)，

CM=CD=@BD.

又TAB=AC,

△ADB也△AMC.

⑵若CD

⑶當(dāng)CDBD時(shí)，線段AD,BD與CD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)

出.

全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)就可以的得出結(jié)論；

⑵存在.在BD上截取BN二CD,由條件可以得出，AACD^AABN,

就有AN=AD,DAONAB；得出NAD=90而得出結(jié)論；

⑶當(dāng)BDCD時(shí),如圖3,在BD上截取BN二CD,由條件可以得出，△

ACD四△ABN,就有AN二AD,DAC二NAB,得出^AND是等腰直角三角形,

就可以得出ND=AD,就可以得出BD-CD二.當(dāng)BD

解：⑴由題意，得

①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)就可以得出DBO二MCA域ACO);

②由等式的性質(zhì)就可以得出CM=BD;

故答案為:MCA,BD;

⑵存在

理由：如圖3,在BD上截取BN二CD,

BAC=BDC=90,AOB=COD,

ABN=ACD.

AACD和4ABN中，

/

△ACD也△ABN(SAS),

AN二AD,DAC=NAB.

?.?NAB+NAC=90,

DAC+NAC=90,

即NAD=90,

△NAD為等腰直角三角形；

⑶①當(dāng)CD

理由：如圖3,在BD上截取BN=CD,

BAC=BDC=90,AOB=COD,

ABN=ACD.

在4ACD和4ABN中，

/

△ACD^AABN(SAS),

AN=AD,DAC=NAB.

NAB+NAC=9