第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間的點(diǎn)坐標(biāo)方程（組）空間的圖形（線,

面）

向量代數(shù)與空間解析幾何

四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向余弦

、投影向量及其線性運(yùn)算

向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:既有大小,又有方向的量稱為向量自由向量:與起點(diǎn)終點(diǎn)位置無關(guān)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,

規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.記作－a;

b相等,

二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.

2.向量的減法

3.向量與數(shù)的乘法

是一個(gè)數(shù),規(guī)定:

與a

的乘積是一個(gè)新向量,總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律記作

結(jié)論1:

(

為唯一實(shí)數(shù))a∥b因此設(shè)

a

、b為非零向量,則結(jié)論2:

則與a方向一致的單位向量為

例1.設(shè)M為解:ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),

作業(yè)P122,3

ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念Ⅰ

向徑在直角坐標(biāo)系下點(diǎn)M有序數(shù)組(稱為點(diǎn)M的坐標(biāo))

2.向量的坐標(biāo)表示沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.此式稱為向量

r

的坐標(biāo)分解式,

四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:

例2.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即

說明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:

五、向量的模、方向余弦、投影

因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式

例3.

求證以證:即為等腰三角形.為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.

例4.

在z

軸上求與兩點(diǎn)解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及等距離的點(diǎn).例5.已知兩點(diǎn)和解:求

2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱=∠AOB(0≤

≤

)為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角

,

,

為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作

方向余弦的性質(zhì):

例6.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量

例7.設(shè)點(diǎn)A

位于第一卦限,解:已知軸的夾角依次為求點(diǎn)A的則因點(diǎn)A在第一卦限,故于是故點(diǎn)A的坐標(biāo)為向徑OA

與x

軸y坐標(biāo).

3.向量在軸上的投影

任給向量，過r的終點(diǎn)M作平面垂直于u軸，垂足為，則稱為向量r在u軸上的分向量設(shè)u軸上的單位向量為，則其中數(shù)量稱為向量r在u軸上的投影，記作設(shè)，則

例8.設(shè)解:

因求向量在x軸上的投影及在y軸上的分向量.在y軸上的分向量為故在x軸上的投影為

作業(yè)P126,8,11，13，16第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積

一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的夾角為,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為

2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則

3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律例1.設(shè)解:使得，確定常數(shù)與相互垂直由相互垂直，得即

例2.證明三角形余弦定理證:則如圖.設(shè)

4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式,得

例3.已知三點(diǎn)

AMB.解:則求故

二、兩向量的向量積引例.設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿符合右手規(guī)則作用在杠桿上的力矩是一個(gè)向量

M:的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F夾角為

1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,

稱引例中的力矩思考:右圖三角形面積S＝

2.性質(zhì)為非零向量,則∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律

4.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則

向量積的行列式計(jì)算法

例4.已知三點(diǎn)角形

ABC的面積解:如圖所示,求三

例5.已知向量的夾角且解：

例6.

設(shè)解:由求，且即

P171,2,3,5,7,8

作業(yè)

第四節(jié)

四、二次曲面第三節(jié)二、旋轉(zhuǎn)曲面

三、柱面曲面及其方程

一、曲面方程的概念

一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離化簡(jiǎn)得即說明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為的點(diǎn)的軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).故所求方程為例1.

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的軌跡方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為

R表示上(下)球面.

例2.

研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是表示怎樣的曲面.半徑為的球面.球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.定義2.一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:

建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到

上述推導(dǎo)表明：在曲線C的方程f(y,z)=0中,將y改寫為而保持z不變，便得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方

例4.求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為

三、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z

軸的一切直線所形成的曲面稱為故在空間過此點(diǎn)作圓柱面.對(duì)任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,

定義3.平行定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線l

形成的軌跡稱為柱面.

表示拋物柱面,母線平行于

z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.

z軸的平面.

表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C稱為準(zhǔn)線,l稱為母線.

一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線

xoy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線

yoz面上的曲線l2.母線

四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)

1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓

與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))

2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號(hào))(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當(dāng)p=q時(shí)為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.(p,q同號(hào))

3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:

虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:

(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面圖形

4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.①

內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z軸的旋轉(zhuǎn)曲面:柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.

2.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:

作業(yè)P241;3;4；5;7(1,3)；

8(4,4)；9(1,4)；第七節(jié)

一、空間曲線的一般式方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第四節(jié)空間曲線及其方程

一、空間曲線的一般式方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程例1方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C為方程組

例2

方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.

例3

方程組表示兩個(gè)半徑相等的圓柱面的交線C.二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.

例4.曲線化為參數(shù)方程表示:解:

根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),得所求為

三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)C為一空間曲線，以曲線C為準(zhǔn)線、母線平o行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面.

投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy面上的投影曲線.(投影)

曲線C關(guān)于yOz、xOz面的投影柱面及在yOz、xOz面上的投影曲線可類似定義.

設(shè)空間曲線C的一般方程為消去z，得方程o而方程因?yàn)镃上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程又表示一個(gè)母線平行于z軸的柱面.從而方程表示的柱面必定包含曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面。注意：不少情形下柱面就是投影柱面.

設(shè)空間曲線C的一般方程為進(jìn)一步C在xoy面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程o類似地：例如,在xoy面上的投影曲線方程為

又如,所圍的立體在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)?上半球面和錐面在xoy面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy面上的投影曲線所圍之域.

內(nèi)容小結(jié)

空間曲線三元方程組或參數(shù)方程

求投影曲線(如,圓柱螺線)

P282（1，2），3，5作業(yè)習(xí)題課

第五節(jié)二、平面的一般式方程三、平面的截距式方程四、兩平面的夾角平面及其方程

一、平面的點(diǎn)法式方程

①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平面

的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故

例1.求過三點(diǎn)即解:取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點(diǎn)法式得平面

的方程

此平面的方程也可寫成一般情況:過三點(diǎn)的平面方程為說明:二、平面的一般式方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為式方程.

特殊情形?

當(dāng)

D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示

通過原點(diǎn)的平面;?

當(dāng)

A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?

Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.

例2.求通過z軸和點(diǎn)(–3,1,–2)的平面方程.解:因平面通過

z軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡(jiǎn),得所求平面方程

此式稱為平面的截距式方程.三、平面的截距式方程設(shè)一個(gè)平面與x、y、z軸的三個(gè)交點(diǎn)依次是

、其中

求該平面的方程。設(shè)平面的方程為：

三點(diǎn)P、Q、R的坐標(biāo)都滿足上述方程，有

化簡(jiǎn)得：a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距.

四、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角),稱為兩平面的夾角.

特別有下列結(jié)論：

因此有例3.一平面通過點(diǎn)且垂直于平面∏:解:

設(shè)所求平面的法向量為

得即和則所求平面故方程為,

求其方程.，的法向量n1

例4.求過點(diǎn)且垂直于二平面和的平面方程.解:已知二平面的法向量為取所求平面的法向量則所求平面方程為化簡(jiǎn)得

外一點(diǎn),求例5.設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)

內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式

2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:

P342,3,6,8(1,3)，9(2)作業(yè)第五節(jié)

第六節(jié)空間直線及其方程

一、空間直線的一般式方程二、空間直線的點(diǎn)向式方程三、空間直線的參數(shù)式方程四、兩直線的夾角

五、直線與平面的夾角因此其一般式方程一、空間直線的一般式方程直線可視為兩平面交線，(不唯一)注：一般式方程不便于對(duì)直線進(jìn)行討論

二、空間直線的點(diǎn)向式方程故有說明:某些分母為零時(shí),其分子也理解為零.設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為則此式稱為直線的點(diǎn)向式方程(也稱為對(duì)稱式方程)直線方程為已知直線上一點(diǎn)例如,當(dāng)和它的方向向量

三、空間直線的參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程:（t稱為參變量）注意：平面的法向量、直線的方向向量都是不唯一的，但它們之間相互平行，坐所以不影響所建立的方程形式。標(biāo)成比例，

例1.用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線解:先在直線上找一點(diǎn).再求直線的方向向量令x=1,解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn).

故所給直線的對(duì)稱式方程為參數(shù)式方程為解題思路:先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.

四、兩直線的夾角

則兩直線夾角

滿足設(shè)直線兩直線的夾角指方向向量間的夾角(取銳角)的方向向量分別為

特別有:

例2.求以下兩直線的夾角解:直線直線二直線夾角

的余弦為從而的方向向量為的方向向量為

當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角的投影直線所夾銳角

稱為直線與平面間的夾角;

五、直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線

L的方向向量為平面

的法向量為則直線與平面夾角

滿足直線和它在平面上︿

特別有:解:取已知平面的法向量則直線的對(duì)稱式方程為直的直線方程.

為所求直線的方向向量.垂例3.求過點(diǎn)(1,－2,4)

且與平面

解:代入平面方程，得例4.已知直線與平面相交解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，求交點(diǎn)坐標(biāo)。直線的參數(shù)式方程為

解:已知兩平面的法向量則所求直線的對(duì)稱式方程為的交線平行的直線方程.

所求直線的方向向量為例5.求過點(diǎn)(－3,2,5)且與兩平面