專題30圓

考點一：垂徑定理

知識回顧

1.圓的定義：

定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點。旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形

叫做圓。固定的端點。叫做圓心，線段OA叫做半徑.以0點為圓心的圓，記作“。0”，讀作“圓0”.

定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。

2.與圓有關的概念：

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等。

連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，

圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半

圓的弧叫做劣弧。

3.垂徑定理：

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

4.垂徑定理的推論：

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。

微專題

I___________________，

1.（2022?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分，如果C是。。中弦

4B的中點，C￡）經(jīng)過圓心。交。。于點。，并且CD=6m,則。。的半徑長為m.

2.（2022?牡丹江）OO的直徑CZ）=10,43是O。的弦，ABLCD,垂足為M,OM：0c=3：5,則AC

的長為.

3.（2022?長沙）如圖，A、B、C是。。上的點，垂足為點Z）,且。為0c的中點，若04=7,

則BC的長為.

第3題第4題

4.（2022?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦A8長20厘米，弓形高。為

2厘米，則鏡面半徑為________厘米.

5.（2022?黑龍江）如圖，在。。中，弦垂直平分半徑OC,垂足為Q,若的半徑為2,則弦的

長為__________.

第5題第6題

6.（2022?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇。，點C在弦上，AC=11,BC=21,0c=13,則這

個花壇的面積為.（結果保留TT）

7.（2022?遵義）數(shù)學小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°,求北緯28。緯線的長度.

小組成員查閱相關資料，得到如下信息：

信息一：如圖1,在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；

信息二：如圖2,赤道半徑。4約為6400千米，弦8C〃O4,/一、

以8C為直徑的圓的周長就是北緯28。緯線的長度;

（參考數(shù)據(jù)：TT心3,sin28°"0.47,cos28°-0.88,tan28°心

根據(jù)以上信息，北緯28。緯線的長度約為.千米.

8.（2022?黃石）如圖，圓中扇子對應的圓心角a（a<180°）與剩余圓心角0的比值為黃金比時，扇子會

顯得更加美觀，若黃金比取0.6,則B-a的度數(shù)是

考點二：圓周角定理:

知識回顧

1.圓心角、弦以及弧之間的關系：

①定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

②推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應

的其余各組量都分別相等。

說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指

同為優(yōu)弧或劣弧。

2.圓周角的定義：

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

3.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

4.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

5.圓的內(nèi)接四邊形：

①定義：四個頂點都在圓上的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形。

②性質：I：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。

II：圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。

微專題

9.（2022?襄陽）己知O。的直徑AB長為2,弦AC長為血，那么弦AC所對的圓周角的度數(shù)等于.

10.（2022?日照）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示

的測量，測得A3=12CM,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為

0第10題第11題

n.（2022?永州）如圖，AB是。0的直徑,點C、。在。。上，ZADC=30°,貝!J/80C=_______度.

12.（2022?蘇州）如圖,A3是O。的直徑,弦C。交4B于點E,連接AC,AD.若NBAC=28°,則/。

_O

DD

第12題第13題

13.（2022?湖州）如圖，已知A8是。。的弦，ZAOB=nO°,OC±AB,垂足為C,OC的延長線交。。

于點。.若/AP。是AB所對的圓周角，則/APO的度數(shù)是一

14.（2022?徐州）如圖，A、B、C點在圓。上,若N（C2=36°,貝l|NAOB=

第14題第15題

15.（2022?錦州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,AB為。。的直徑,NAOC=130°,連接AC,則NR4C

的度數(shù)為_____.

16.（2022?雅安）如圖，/OCE是。。內(nèi)接四邊形ABC。的一個外

A

B

DCE=72：那么/BOD的度數(shù)為

第16題第17題

17.（2022?甘肅）如圖，。。是四邊形A8CD的外接圓，若NABC=110°,則NAZ）C=

考點三：切線

f、

知識回顧

$__________________>

1.點與圓的位置關系：

點與圓的位置關系有3種.設。。的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,則有：

①點P在圓外

②點P在圓上od=r

①點尸在圓內(nèi)=dVr

2.三角形的外接圓與外心：

經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓。圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫

做三角形的外心。

3.直線與圓的位置關系：

設。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d,直線和圓的三種位置關系：

①相離：一條直線和圓沒有公共點。直線/和。。相離

②相切：一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的

公共點叫切點。直線/和。。相切=

③相交：一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線。直線/

和。。相交=dVr。

4.切線的性質:

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。

③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

運用切線的性質進行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構造直角三角形或

相似三角形解決問題。

5.切線的判定：

經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作

該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當已知條

件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單

地說成“有交點，作半徑，證垂直”。

微專題

18.（2022?常州）如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形.若乙4BC=45°,AC=?則。。的半徑是

第18題第19題

19.（2022?黑龍江）如圖，在O。中，A2是。。的弦，的半徑為3cm.C為。。上一點，ZACB=60°,

則AB的長為cm.

20.（2022?玉林）如圖，在5X7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1,點。，A,B,C,D,E均在格點上，點

。是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你r---,---y--T---r---,---y--,

認為外心也是O的三角形都寫出來

21.（2022?涼山州）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，是AABC的外接圓，點A,B,。在格點上,

則cosZACB的值是

22.（2022?資陽）如圖，△ABC內(nèi)接于OO,AB是直徑，過點A作O。的切線AD若/B=35。,則NZMC

的度數(shù)是度.

23.（2022?衢州）如圖，A3切O。于點2,A。的延長線交O。于點C,連結BC.若NA=40°,則NC的

24.（2022?鹽城）如圖，AB、AC是O。的弦，過點A的切線交CB的延長線于點。，若/區(qū)4。=35°,則

NC=°.

25.（2022?上海）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把

這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑

為.

26.（2022?泰州）如圖，陰與。。相切于點A,尸。與O。相交于點3,點C在AmB上，且與點A、3不重

27.（2022?寧波）如圖，在△ABC中，AC=2,BC=4,點。在BC上，以。8為半徑的圓與AC相切于點

A.。是8c邊上的動點，當△AC。為直角三角形時，的長為.

第28題

28.（2022?金華）如圖，木工用角尺的短邊緊靠。。于點A,長邊與。。相切于點B,角尺的直角頂點為C.已

知AC=6c優(yōu)，CB=8cm,則的半徑為cm.

29.（2022?湖北）如圖，點尸是上一點，是一條弦，點C是APB上一點,與點D關于AB對稱，AD

交。。于點E,CE與AB交于點F,且BD〃CE.給出下面四個結論：

①CD平分NBCE；②BE=BD；?AEr=AF-AB-,④8。為。。的切線.

其中所有正確結論的序號是.

考點四：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

知識回顧

1.相交弦定理：

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

幾何語言：若弦AB,CD交于點P,則尸A尸3=尸。尸D。

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

幾何語言：若是直徑，CD垂直A5于點P,貝IJPCZMPDZMPA-PB。

2.弦切角定理：

（1）弦切角的定義：如圖像NACP這樣，頂點在圓上，一邊和圓相交，另

一邊和圓相切的角叫做弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半。

等于這條弧所對的圓周角。即NPCA=NPBC。

3.切線長定理:

（1）切線長定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長,叫做這點到圓的切線

長。

（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分

兩條切線的夾角。

4.切割線定理：

從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

幾何語言：

：PT切。。于點T,PBA是。0的割線

；.PT2=PA叩B（切割線定理）。

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

幾何語言：

VPBA,PDC是。0的割線

.?.PD-PC=PA.PB

由上可知：PT2=PA叩B=PC叩D。

5.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：

內(nèi)切圓與內(nèi)心的概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做

三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點。

微專題

30.（2022?恩施州）如圖，在RtzXABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,為的內(nèi)切圓，則圖

中陰影部分的面積為（結果保留TT）

31.（2022?泰州）如圖，△ABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,。為內(nèi)心，過點。的直線分別與AC、

AB邊相交于點。、E.若DE=CD+BE,則線段CO的長為

第31題第32題第33題

32.（2022?黔東南州）如圖，在△ABC中,ZA=80°,半徑為3c機的。。是△ABC的內(nèi)切圓，連接08、

OC,則圖中陰影部分的面積是.（:加2.（結果用含7T的式子表示）

33.（2022?宜賓）我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個

大正方形（如圖所示）.若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方形的面積

為

考點五：正多邊形與圓

知識回顧

I1

1.正多邊形與圓的關系

把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多

邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓。

2.正多邊形的有關概念

①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。

②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。

④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

微專題

34.（2022?長春）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲.如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等

邊三角形ABC和等邊三角形OE尸組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形.若A8=27厘米，則這個

正六邊形的周長為_______厘米.

第34題