專題08平行四邊形與多邊形

考點類型

考點1：平行四邊形的判定

考點2：平行四邊形的性質(zhì)

模塊四圖形的性質(zhì)

08講平行四邊形與多邊形

考點3：平行四邊形判定與性質(zhì)

考點4：三角形中位線

知識一遍過

(-)多邊形及其相關計算

(1)多邊形的相關概念：

①定義：在平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

②對角線：從〃邊形的一個頂點可以引(〃一3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了5—2)個三角形;

〃邊形對角線條數(shù)為一3.

2

(2)多邊形的內(nèi)角和、外角和：

①內(nèi)角和：〃邊形內(nèi)角和公式為5—2)?180°

②外角和：任意多邊形的外角和為360°.

(3)正多邊形：

①定義：各邊相等，各角也相等的多邊形，

②正多邊形每個內(nèi)角為---------或180--------，每個外角為----

nnn

③正n邊形有n條對稱軸，

④對于正w邊形，當w為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當〃為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

(二)平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的性質(zhì)：幾何表達式舉例：

(1)：ABCD是平行四邊形

[(1)兩組對邊分別平行；

???AB〃CDAD〃BC

(2)兩組對邊分別相等；

(2)；ABCD是平行四邊形

因為ABCD是平行四邊形二?(3)兩組對角分別相等；

.\AB=CDAD=BC

(4)對角線互相平分；

(3)：ABCD是平行四邊形

⑸鄰角互補.

JNABC=NADC

2「cNDAB二NBCD

(4)：ABCD是平行四邊形

A0A=0C0B=0D

AB

(5);ABCD是平行四邊形

二?NCDA+NBAD=180。

(三)平行四邊形的判定

平行四邊形的判定：幾何表達式舉例：

(1)：AB〃CDAD〃BC

(1)兩組對邊分別平行]DC

...四邊形ABCD是平行四邊形

(2)兩組對邊分別相等

(2)：AB=CDAD=BC

(3)兩組對角分別相等ABCD是平行四邊形

四邊形是平行四邊形

(4)一組對邊平行且相等八BABCD

(3)VZA=ZBZC=ZD

(5)對角線互相平分

...四邊形ABCD是平行四邊形

(4)：AB=CDAB〃CD

四邊形ABCD是平行四邊形

(5),/0A=0C0B=0D

...四邊形ABCD是平行四邊形

(四)三角形中位線的性質(zhì)

三角形中位線定理：

三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.

如圖：DE=^BC

2

點一遍過

考點1:平行四邊形的判定

典例1：(2023下?全國?八年級假期作業(yè))如圖，在四邊形中，A8與C￡＞相交于點。，ACSDB,49=

BO,E,歹分別是OC,。。的中點.求證：四邊形AEBF是平行四邊形.

AC

【變式1](2024上?重慶北硝?八年級西南大學附中?？计谀?如圖，四邊形4BCD中，AB||CD,F為4B上

一點，0尸與AC交于點E,AE=CE.

pC

FB

⑴求證：四邊形2FCD是平行四邊形；

(2)若BC=8,乙BAC=60°,4DCB=135°,求4C的長.

【變式2](2023下?浙江?八年級專題練習)己知：如圖，在△ABC中，點E分別是邊48、BC的中點,

點、F、G是邊4c的三等分點，DF、EG的延長線相交于點求證：

(1)四邊形FBGH是平行四邊形;

⑵四邊形4BCH是平行四邊形.

【變式3］（2023?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，8是AC的中點，點DE在2C同側，AE=BD,BE=CD.

⑴求證：LABE^BCD.

（2）連接DE,求證：四邊形BCDE是平行四邊形.

考點2：平行四邊形的性質(zhì)

典例2：（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題）如圖，在EIABCD中，AB=5,AD=3■,乙4=45。.

⑴求出對角線的長；

（2）用加作用：將四邊形28CD沿著經(jīng)過2點的某條直線翻折，使點B落在CD邊上的點E處，請作出折痕.（不

寫作法，保留作圖痕跡）

【變式11（2023?山東淄博?統(tǒng)考中考真題）如圖，在團ABCD中，E,F分別是邊8C和4。上的點，連接2E,CF,

且4EIICF.求證：

(1)^1=N2；

⑵AABE三ACDF.

【變式2】（2023,湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在*1BCD中，DF平分乙4DC,交BC于點E,交的延長線于

點、F.

⑴求證：AD=AF-,

(2)若力D=6,AB=3,A4=120°,求BF的長和△ADF的面積.

【變式3］（2023?廣西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在回48CD中，是它的一條對角線,

⑴求證：AABD=△CDB；

（2）尺規(guī)作圖：作2。的垂直平分線ER分別交A。，BC于點、E,尸（不寫作法，保留作圖痕跡）;

⑶連接8E,若NDBE=25。，求NAEB的度數(shù).

考點3：平行四邊形的判定與性質(zhì)

典例3：（2023下?江西九江?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在團4BCD中，E,尸分別是40,BC邊上的點，且OE=CF,

BE和4F的交點為CE和DF的交點為N,連接MN,EF.

⑴求證：四邊形力BFE為平行四邊形;

（2）若AD=6cm,求MN的長.

【變式1］（2023?江西吉安?統(tǒng)考一模）如圖，將△力BC沿力D平移，得到ADEF,連接CO,已知DE1AC,

CD=BE.

A

⑴求證：AG=CG；

(2)若NACD=15°,求/ABE的度數(shù).

【變式212023上?黑龍江大慶?八年級統(tǒng)考期末)如圖，點E、F是平行四邊形力BCD對角線力C上兩點,BE||DF.

⑴求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)若力C=8,BC=6,乙4cB=30°,求平行四邊形2BCD的面積.

【變式3](2023下?吉林?八年級校考期末)如圖是某數(shù)學教材中的部分內(nèi)容.

平行四邊形的性質(zhì)定理3：平行四邊形的對角線互相平分.

我們可以用演繹推理證明這個結論.

已知：如圖團48CD的對角線4C和BD相交于點。.

求證：。4=OC；OB=OD.

⑴請根據(jù)教材中的分析和圖①，寫出"平行四邊形的對角線互相平分”這一性質(zhì)定理的證明過程；

(2)如圖②，回ABCD的對角線2C,BD相交于點。，EF過點。且與ZD,BC分另U相交于點E,F,連接2尸，CE.求

證：四邊形力FCE是平行四邊形；

(3)如圖②，若EF_L4C,AABC的周長是23,AABF的周長是15,且4B比4F的長多1,力F比BF的長多1,

則四邊形4FCE的面積是

考點4：三角形中位線

典例4：（2024上?重慶長壽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，將AABC沿OE折疊，使點力與BC邊的中點尸重合,

A

下列結論：

①EFIIAB；

②NR4F=NG4F；

③S四邊形4DFE='"E；

④乙BDF+NFEC=2/LBAC.

其中正確結論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式1］（2023上?四川達州?九年級?？计谀┤鐖D，已知4。是AABC的中線，E是線段4。上一點，且

AE-.AD=1:3,BE的延長線交AC于點，則鋁的值為（）

【變式2］（2023下?全國?八年級期末）如圖所示，已知△ABC的面積為1,連接△ABC三邊的中點構成第二

個三角形，再連接第二個三角形三邊的中點構成第三個三角形，…，依此類推，第2013個三角形的面積為

A

1cD

20112012-焉-康

【變式3]（2023下?陜西渭南?八年級統(tǒng)考期末）如圖、在平行四邊形48CD中，UBC=120°,BC=7.AB,

￡）￡平分乙4DC,對角線4C、BD相交下點0,連接0E,下列結論：①乙4DB=30°；②4B=2OE；③DE=AB；

④S平行四邊形ABCD=AB-BD.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

考點5:多邊形的內(nèi)角和

典例5：（2023上?全國?八年級期末）在平面上給出七點4,B,C,D,E,F,G,聯(lián)結這些點形成七個角.在

圖（。）中，這七點固定，且令NC+AD+NE+NF+NG=a,在圖（6）,Cc）中，A,B,C,G四點固定,

D,E,E變動，止匕時，令NC+AD+NE+AF+NG=0,則下述結論中正確的是（）

A.a.20B.a=P

C.a<pD.a比￡有時大有時小

E.無法確定

【變式1】（2023上?云南德宏?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形紙片4BCD中，乙4+/8=160。，將紙片折

疊，使點C、O落在邊43上的點廠、》處，折痕為MN,則N4MD+/8NL的結果為（）

A

BNC

A.70°B.60°C.50°D.40°

【變式2］（2023上?黑龍江齊齊哈爾?八年級克東縣第三中學校考期末）將一個多邊形切去一個角后所得的

多邊形內(nèi)角和為2880。.則原多邊形的邊數(shù)為（）.

A.15或16B.15或16或17C.16或17或18D.17或18或19

【變式3］（2023下?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末）有一天，小紅的爸爸想考考她，她爸爸說：今天我在做

手工的時候，把一個多邊形木板鋸掉了一個角后得到一個新多邊形木板，通過測量計算得到新多邊形木板

的內(nèi)角和為1800。，那么原多邊形木板的邊數(shù)是（）

A.11B.12C.13D.以上都有可能

考點6:多邊形的外角、內(nèi)角

典例6：（2024上?廣東廣州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形4BCDE和正方形CDFG的邊CD重合，連接EF,

則乙4EF的度數(shù)為（）

CD

A.27°B.28°C.29°D.30°

【變式1］（2023下?江蘇揚州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，將透明直尺疊放在正五邊形徽章4BCDE上，若直尺

的下沿MN1DE于點O,且經(jīng)過點2,上沿PQ經(jīng)過點E,則的度數(shù)為（）

C

A.152°B.126°C.120°D.108°

【變式2］（2023下?四川樂山?七年級統(tǒng)考期末）如圖，以正六邊形ABCDEF的4B邊向內(nèi)作一個長方形

連結BE交GH于點I,則NB/G=（）

【變式3］（2023?云南昆明?統(tǒng)考一模）小麗利用學習的數(shù)學知識，給同伴出了這樣一道題：假如從點A出發(fā)，

如圖所示，沿直線走6米后向左轉仇接著沿直線前進6米后，再向左轉8......如此走法，當她第一次走到A

點時，發(fā)現(xiàn)自己走了72米，9的度數(shù)為（）

A.30°B.32°C.35°D.36°

考點7:多邊形的對角線

典例7：（2024上?河北保定,七年級校聯(lián)考期末）從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出6條對角線，它們將六

邊形分成九個三角形.則（機+71）的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【變式1］（2024上?遼寧丹東?七年級統(tǒng)考期末）邊長為整數(shù)的正多邊形的周長為13,則從該正多邊形的一

個頂點出發(fā)的對角線條數(shù)為（）

A.8B.9C.10D.11

【變式2］（2024上?甘肅武威?八年級校聯(lián)考期末）一個多邊形的內(nèi)角和為1800。，那么從這個多邊形的一個

頂點出發(fā)所做的對角線的條數(shù)為（）

A.8條B.9條