專題21全等與相似模型之半角模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方

便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.半角模型（全等模型）......................................................................................................................1

模型2.半角模型（相似模型）......................................................................................................................7

.................................................................................................................................................11

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

模型1.半角模型（全等模型）

半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點(diǎn)，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過旋

轉(zhuǎn)，可將角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，構(gòu)造全等三角形的幾何模型。

1）正方形半角模型

條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋

DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。

證明：將CBE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CDG，即CBE≌△CDG，

∴∠ECB=△∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE△＝DG，CE△＝CG；

∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共線。

∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，

∵CF＝CF，∴CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，

∴AEF的周長△=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，過點(diǎn)C作CH⊥EF，則∠CHE=90°，

∵CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：CBE≌△CHE，

∴△∠HEC=∠CBE，同理可證：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分別平分∠BEF和∠EF△D。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；

結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；

證明：將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ACG，即BAD≌△CAG，

∴∠BAD=△∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD△＝AG，BD△＝CG；

∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，

∵AE＝AE，∴DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，

222222

∴GE＝GC＋E△C,∴DE＝BD＋EC；

3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）

條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；

結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周長=2AB；

⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。

證明：將DBE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至DCG，即BDE≌△CDG，

∴∠EDB=△∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝△GC，DE＝△DG；

∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，

∵DF＝DF，∴EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，

∴AEF的周長△=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，

過點(diǎn)D作DH⊥EF，DM⊥GF，則∠DHF=∠DMF=90°，

∵EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：DHF≌△DMF，

∴△∠HFD=∠MFD，同理可證：∠BFD=∠FED，即DE、DF分別平分∠BEF和∠EF△C。

4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）

條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；

2

1

結(jié)論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+3；

BD

22

證明：將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ACF，即BAD≌△CAF，

∴∠BAD=△∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD△＝AF，BD＝△CF；

∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，

∵AE＝AE，∴DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，

△

1133

過點(diǎn)F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，F(xiàn)H=CF=BD，

2222

13

∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2；

22

5）任意角度的半角模型（2-型）

條件：∠BAC=2，AB=AC，∠DAE=；

結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-2。

證明：將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針°至ACF，即BAD≌△CAF，

∴∠BAD=△∠CAF，∠B=∠BCA=∠FC△A=90°-△，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-2。

∵∠BAC=2，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，

∵AE＝AE，∴DAE≌△FAE。

△

例1．（2023·廣東廣州·二模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且EAF45，連接EF．

(1)如圖1，若BE2，DF3，求EF的長度；(2)如圖2，連接BD，BD與AF、AE分別相交于點(diǎn)M、N，

若正方形ABCD的邊長為6，BE2，求DF的長；(3)判斷線段BN、MN、DM三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明

你的結(jié)論﹒

例2．（23-24八年級(jí)下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出

題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．

(1)【問題背景】已知：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF45，連接EF，則

EF、BE、DF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

（分析：我們把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ABG，點(diǎn)G、B、C在一條直線上．）

于是易證得：ADF和AEF，所以EF．

直接應(yīng)用：正方形ABCD的邊長為6，CF4，則EF的值為．

(2)【變式練習(xí)】已知：如圖2，在Rt△ABC中，ABAC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE45，請(qǐng)

寫出BD、DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當(dāng)DAE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針一定角度后，點(diǎn)D落在線段BC上，點(diǎn)E落

在線段BC的延長線上，如圖3，此時(shí)（2）的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的結(jié)論．

例3．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，在VABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D、E都在邊BC

上，∠BAD＝15°，∠DAE＝60°．若DE=3，則AB的長為．

例4．（23-24九年級(jí)上·江西南昌·期中）（1）如圖①，在直角VABC中，BAC90，ABAC，點(diǎn)D為BC

邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），連接AD，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到△ACE，那么CE,BD之

間的位置關(guān)系為__________，數(shù)量關(guān)系為__________；（2）如圖②，在VABC中，BAC90，ABAC，

D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重合）為BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠DAE45．求證：BD2CE2DE2．（3）如圖

③，在VABC中，CAB120，ABAC，DAE60，BC33，D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重

合）為BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若以BD,DE,EC為邊長的三角形是以BD為斜邊的直角三角形時(shí)，求BE的長．

例5．（2024·江西·九年級(jí)期中）（1）【特例探究】如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，ABCADC90，

BAD100，EAF50，猜想并寫出線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；

（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形ABCD中，ABAD，ABCADC180，BAD2EAF．請(qǐng)寫

出線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時(shí)，艦艇在指揮中心（O處）北偏東20°的A處．艦艇乙在指揮

中心南偏西50°的B處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正西方向以80海

里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時(shí)的速度前進(jìn)，半小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、

乙兩艦艇分別到達(dá)C，D處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為75°．請(qǐng)直接寫出此時(shí)兩艦艇之間的

距離．

例6．（2022·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，ABAD，BD180，點(diǎn)E，

F分別在BC，CD上，若BAD2EAF，則EFBEDF．

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CDCB100m，

D60，ABC120，BCD150，道路AD，AB上分別有景點(diǎn)M，N，且DM100m，

BN5031m，若在M，N之間修一條直路，則路線MN的長比路線MAN的長少

_________m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：31.7）．

模型2.半角模型（相似模型）

半角模型特征：①共端點(diǎn)的等線段；②共頂點(diǎn)的倍半角；

半角模型輔助線的作法：由旋轉(zhuǎn)（或翻折）構(gòu)造兩對(duì)全等，從而將邊轉(zhuǎn)化，找到邊與邊的關(guān)系（將分散的

條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)）。

常見的考法包括：90°與45°（正方形、直角三角形）；120°與60°（等邊三角形）等。

1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）

條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°

結(jié)論：如圖1，MDA∽△MAN∽△ABN；

△

圖1圖2

證明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，

∵∠AMD=∠NMA，∴MDA∽△MAN，同理：MAN∽△ABN，∴MDA∽△MAN∽△ABN；

結(jié)論：如圖2，BME∽△△AMN∽△DFN.△△

證明：∵ABCD△是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，

∵∠DNF=∠ANM，∴AMN∽△DFN，同理：BME∽△AMN，∴BME∽△AMN∽△DFN；

AFAEAC

結(jié)論：如圖3，連接AC△，則AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且△2；

AMANAB

△△

圖3圖4

AC

證明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，2，∴∠BAM+∠MAC=45°，

AB

AFAC

∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴AMB∽△AFC，∴2。

AMAB

AEACAFAEAC△

同理：AND∽△AEC，2；即2。

ANABAMANAB

△AFAEEF

結(jié)論：如圖4，AMN∽△AFE且2．

AMANMN

△

證明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=

∠AMN；

AFAEACAFAEEF

又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由圖3證明知：2，∴2。

AMANABAMANMN

2）半角模型（含120-60°半角模型）

圖5

條件：如圖5，已知∠BAC＝120°，ADEDAE60；

ADCEAC2

結(jié)論：①ABD∽CAE∽CBA；②；③ADAEBDCE（DEBDCE）。

BDAEAB

△△△

證明：∵ADEDAE60，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，

ADBDADAC

∵∠ABD=∠CBA，∴ABD∽CBA；∴，即：，

ACABBDAB

△△

CEAECEACADCEAC

同理：CAE∽CBA，∴，即：，即：ABD∽CAE∽CBA；，

ACABAEABBDAEAB

△△△△△

∴ADAEBDCE，∵AD=AE=DE，∴DE2BDCE

例1．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，

AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結(jié)論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角

BE2

形；③當(dāng)AE=AF時(shí)，22；④BE+DF=EF；⑤若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，則CECB．

EC3

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A．2B．3C．4D．5

例2．（23-24九年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，如

圖1所示，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的延長線上，BACAED90，ABAE22．若將ABC

固定不動(dòng)，把VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0a90），此時(shí)線段AD，射線AE分別與射線BC交于點(diǎn)M，

N．(1)當(dāng)VADE旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，①求證：△ABN∽△MAN；

②在圖2中除△ABN∽△MAN外還有哪些相似三角形，直接寫出；③如圖2，若BM1，求BN的長；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，若BMd，請(qǐng)直接寫出CN的長_________（用含d的式子表示）．

例3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖，等腰Rt△ABC中，ABAC，BAC90，D、E在線段BC上，

且∠DAE45，BC12，BD3，求DE的長．

（2）如圖，在ABC中，ABAC，如果BAC120，D在直線BC上，E在BD上，D在E的右側(cè)，

DAE60，若BC12，CD2，求DE的長．（3）如圖，在ABC中，若BAC2，D、E是線段BC

上的兩點(diǎn)，∠EAD，若ACkAB，ADkAE，探究BE與CD的數(shù)量關(guān)系．

例4．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）在菱形ABCD中，B=60．點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BECF．連

接AE，AF．（1）如圖1，連接EF，求證：△AEF是等邊三角形；（2）AG平分EAF交BC于點(diǎn)G．

①如圖2，AG交EF于點(diǎn)M，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，當(dāng)BE4時(shí)，求MN的長．

②如圖3，O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AG上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)H與點(diǎn)A，點(diǎn)G不重合）．當(dāng)AB12，BE4時(shí)，

是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若

AH

存在，請(qǐng)直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

AG

例5．（2024·山東煙臺(tái)·一模）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N、M分別在邊BC、CD上，連結(jié)AM、AN、

MN．MAN45，將AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到ABE．易證：△ANM≌△ANE，

從而得DMBNMN．90°

【實(shí)踐探究】（1）在圖①條件下，若CN6，CM8，則正方形ABCD的邊長是_________．

（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊CD、AB上，且BNDM．點(diǎn)E、F分別在BM、DN上，EAF45，

連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB6，AD8，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連結(jié)AM，

AN，已知MAN45，BN2，求DM的長．

1．（2024·福建南平·二模）已知正方形ABCD的邊長為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且EDF45，

將DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到△DCM．若AE2，則FM的長為（）

A．4B．5C．6D．6.5

2．（2024·重慶·一模）如圖，正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是CD延長線上一點(diǎn)，BEDF，連接

AE，AF，EF，G為EF中點(diǎn)，連接AG，DG．若BAE，則DGF（）

1

A．45B．30C．45D．

2

3．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長方形OABC，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸的正半軸

上，OA6，OC4，DOE45，OD、OE分別交BC，AB于點(diǎn)D、E，且CD2，則AE的長為（）

A．1B．1.5C．2D．2.5

4．（23-24九年級(jí)下·湖北襄陽·期中）如圖所示，邊長為4的正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，

E在線段OD上，連接CE，作EFCE交AB于點(diǎn)F，連接CF交BD于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①EFEC；

3

②CF2CGCA；③BEDH16；④若BF1，則DE2，正確的是（）

2

A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④

5．（2024·山東淄博·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M在延長線上，BM1，作

MAN45交DC延長線于點(diǎn)N，則MN的長為．??

6．（2024·吉林·二模）已知：正方形ABCD中，MAN45，它的兩邊分別交，DC于點(diǎn)M，N，

AHMN于點(diǎn)H，連結(jié)BH，則下列結(jié)論∶①BMDNMN；②ABM?≌?ADN；③

CN

BAMBHM；④當(dāng)BMDN時(shí)，2，其中結(jié)論一定正確的序號(hào)是．

DN

7．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AD9，AB6，E，F(xiàn)分別為，CD邊上

的點(diǎn)．若EAF45，AE35，則DF的長為．

8．（2023·上海寶山·?？家荒＃┤鐖D，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，∠DAE=∠B=30°，且

△

AD3DE

，那么的值是．

AE2BC

9．（23-24九年級(jí)上·黑龍江綏化·期中）已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120，

MBN60，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．當(dāng)MBN繞B

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，如圖1，易證AECFEF．（不用證明）(1)當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，

如圖2，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；(2)當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，如圖3，（1）

中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給予證明．

10．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)踐與探究：小明在課后研究正方形與等腰直角三角形疊放后各個(gè)線段間的數(shù)

量關(guān)系．已知正方形ABCD的邊長為6，等腰RtAEF的銳角頂點(diǎn)A與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三

角形繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，AE，AF兩邊分別交直線BC，CD于M，N，旋轉(zhuǎn)過程中，等腰RtAEF的邊EF與正

方形沒有交點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD上時(shí)，小明通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)BMDNMN，他給出

了如下的證明：過A作AGAM交CD延長線于G，連接AG，如圖2，易證ABM≌ADG，則有

BMDG．請(qǐng)你幫助小明后續(xù)證明；(2)如圖3，當(dāng)M，N分別在BC，CD的延長線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出BM，

DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰直角三角形的一邊正好經(jīng)過正方形BC邊上的中點(diǎn)P，

求出此時(shí)MN的長．

11．（2024·重慶市育才中學(xué)二模）回答問題

（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，

且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．

小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明ABE≌△ADG，再證明AEF

≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；△△

（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，

且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F

在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．

12．（2024·山西呂梁·九年級(jí)校考期中）在練習(xí)課上，慧慧同學(xué)遇到了這樣一道數(shù)學(xué)題：如圖，把兩個(gè)全等

的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，∠ACD＝30°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC，BC于

點(diǎn)M，N，∠MDN＝60°，連接MN．

探究AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．

慧慧分析：可先利用旋轉(zhuǎn)，把其中的兩條線段“接起來”，再通過證明兩三角形全等，從而探究出AM，MN，

BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．

慧慧編題：在編題演練環(huán)節(jié)，慧慧編題如下：

如圖（1），把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，∠ACD＝45°，以D為頂點(diǎn)作∠

1

MDN，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N，MDNADB，連接MN．

2

（1）先猜想AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，再證明．

（2）∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M，N分別在CA，BC的延長線上，完成圖（2），其余條件不變，直接寫出

AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．

請(qǐng)你解答：請(qǐng)對(duì)慧慧同學(xué)所編制的問題進(jìn)行解答．

13．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，AB4，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EAF45，

AE、AF分別交BD于點(diǎn)M，N，連接EN,EF．(1)如圖①，試探究AN和EN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)

如圖②，若點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，連接NG，求證：NG∥DF；(3)在（2）的條件下，若DNNG，求△AEF

的面積．

14．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）【模型建立】(1)如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上

的點(diǎn)，且EAF45，探究圖中線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．

小明的探究思路如下：延長CB到點(diǎn)G，使BGDF，連接AG，先證明ADF≌ABG，再證明

△AEF≌△AEG．①EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為________；

②小亮發(fā)現(xiàn)這里ABG可以由△ADF經(jīng)過一種圖形變換得到，請(qǐng)你寫出這種圖形變換的過程________．像

上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．

【類比探究】(2)如圖2，在四邊形ABCD中，ABAD，ABC與D互補(bǔ)，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上

1

的點(diǎn)，且EAFBAD，試問線段EF，BE，DF之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？判斷并說明理由．

2

【模型應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，AD6，AB4，CAE45，求CE的長．

15．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：

【問題情境】如圖1，在ABC中，BAC90，ABAC，點(diǎn)D、E在邊BC上，且∠DAE45，BD3，

CE4，求DE的長．

解：如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△ACD，連接ED．

由旋轉(zhuǎn)的特征得BADCAD，BACD，ADAD，BDCD．

∵BAC90，∠DAE45，∴BADEAC45．

∵BADCAD，∴CADEAC45，即EAD45．∴DAEDAE．

在DAE和DAE中，ADAD，DAEDAE，AEAE，∴___①___．∴DEDE．

又∵ECDECAACDECAB90，∴在Rt△ECD中，___②___．

∵CDBD3，CE4，

∴DEDE___③___．

【問題解決】上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)