2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)壓軸題(相似三角形問題)》專項(xiàng)測(cè)試卷(附帶答案)

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線4。=--4+3以某一點(diǎn)(4力)為對(duì)稱中心旋

轉(zhuǎn)180。后得到拋物線G,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為4-2,1).

(2)點(diǎn)5為q的頂點(diǎn)坐標(biāo)，連接A3,過A作ACJ-4?交Q于點(diǎn)C求點(diǎn)。的坐標(biāo)以

及等的值.

2.如圖，拋物線”加+法+c經(jīng)過A(TO)、3(3,0)、。(。,3)三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相

交于點(diǎn)乙與直線BC相交于點(diǎn)連接AC,PB.

⑴求該拋物線的解析式;

(2)設(shè)對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)N,在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)G,使以0、N、G為頂點(diǎn)

的三角形與△AOC相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明

理由；

(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使AQMB與△p誰的面積相等，若存在，求點(diǎn)。的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.如圖，已知二次函數(shù)y=*+"+c的圖象與x軸交于點(diǎn)z(_4,o)和點(diǎn)B,與y軸相

交于點(diǎn)c(o,4).

⑴求該二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)。在線段0A上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)。作x軸的垂線，與AC交于點(diǎn)Q,與拋物線交于點(diǎn)尸.

①連接AP,CP,當(dāng)四邊形AOCP的面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)和四邊形AOCP面

積的最大值；

②探究是否存在點(diǎn)尸使得以點(diǎn)尸，C,。為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似？若存在，

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=加-8依+10a-l(a<0)與x軸的交點(diǎn)分別為

A(占,0),B(孫0),其中(0〈尤2"),且AB=4,與>軸的交點(diǎn)為C,直線CD〃x軸，

在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E1,0),過點(diǎn)E作直線Ux軸，與拋物線、直線。的交點(diǎn)分別為

P、Q.

備用圖

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)f＞2時(shí)，是否存在點(diǎn)尸，使以C、尸、。為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？若存在,

求出此時(shí)/的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

5.如圖1,拋物線G：y=/2+6x+c與X軸交于A(T，0)，3(4,0),與y軸交于點(diǎn)C

(1)求搬物線G的解析式；

⑵若尸是拋物線G在第四象限上的一點(diǎn)，連接轉(zhuǎn)交線段于點(diǎn)K,是否存在點(diǎn)P,

使得K剛好為”的中點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

⑶如圖2,將拋物線G向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線點(diǎn)M,N都在拋物

線G上，且分別在第四象限和第二象限，若NNOy=NMOx,求證：直線MN經(jīng)過一

定點(diǎn).

6.如圖，在矩形0ABe中，AO=10,AB=8,沿直線8折疊矩形0ABC的一邊8C,

使點(diǎn)3落在0A邊上的點(diǎn)￡處.分別以O(shè)C,0A所在的直線為x軸，＞軸建立平面直

角坐標(biāo)系，拋物線y=M+6x+c經(jīng)過。，D,c三點(diǎn).

(1)求A￡＞的長(zhǎng)及拋物線的解析式;

(2)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從

點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)

同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，當(dāng)/為何值時(shí)，以p、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與

VADE相似？

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-2，+"+c的圖像與％軸交于點(diǎn)

4(-2,0),與y軸交于點(diǎn)8(0,4).

⑴求該二次函數(shù)的解析式；

⑵如果點(diǎn)T是二次函數(shù)圖像對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接AD、加，求△海的面積；

⑶如果點(diǎn)尸是該二次函數(shù)圖像上位于第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，且依，河，求點(diǎn)尸的橫

坐標(biāo).

8.如圖所示，在RtA4BC的頂點(diǎn)A、8在X軸上，點(diǎn)C在y軸上正半軸上,且A(-LO),

8(4,0),C(0,2).

(1)求過A,B,。三點(diǎn)的拋物線解析式.

⑵設(shè)拋物線的對(duì)稱軸/與sc邊交于點(diǎn)，若尸是對(duì)稱軸/上的點(diǎn)，且滿足以尸、c、

。為頂點(diǎn)的三角形與4人。。相似，求尸點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在對(duì)稱軸/和拋物線上是否分別存在點(diǎn)河、N,使得以A、。、M、N為頂點(diǎn)的

四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)〃、點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=Y+bx+c與X軸交于A,3兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C,直線丫=-]-2與X軸，y軸分別交于A,。兩點(diǎn)，。點(diǎn)為OC中點(diǎn).

⑴求拋物線表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作交AD于點(diǎn)H,求的最

大值，以及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶將拋物線沿射線加方向平移逐個(gè)單位，點(diǎn)E為平移后的拋物線上一點(diǎn)，連接AC,

若ZEC4=ZADO,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)￡的坐標(biāo).

10.如圖，二次函數(shù)，=加+及+《叱0)的圖象與％軸交于4、5兩點(diǎn)，與y軸相交

于點(diǎn)C連接AC、BC,A、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(T0),C(0,有).且當(dāng)x=T和x=2時(shí)

二次函數(shù)的函數(shù)值y相等.點(diǎn)M、N同時(shí)從5點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度分別沿胡、邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為彳秒時(shí)，連接MN,將△階W沿MN翻折得到JMN.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

⑵若點(diǎn)尸恰好落在AC邊上，求彳的值及點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在點(diǎn)V、N運(yùn)動(dòng)過程中，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得以夙

尸、。為頂點(diǎn)的三角形與VABC相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不

存在，請(qǐng)說明理由.

11.如圖，已知二次函數(shù)廣加+法+3(叱。)的圖象與入軸交于點(diǎn)點(diǎn)A(TO)和點(diǎn)8(1,0),

與y軸交于點(diǎn)G點(diǎn)尸是拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)。之間的動(dòng)點(diǎn)(不包括點(diǎn)A,點(diǎn)C).

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖1,連結(jié)PA,PC,求才AC的面積的最大值;

(3)如圖2,過點(diǎn)尸作入軸的垂線交于點(diǎn)。，與AC交于點(diǎn)。.探究是否存在點(diǎn)尸,

使得以點(diǎn)尸、。為頂點(diǎn)的三角形與△AD。相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，說明理由.

12.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線—浸+陵+3經(jīng)過中-3,0),8(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)尸是X軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為L(zhǎng)

(1)求該拋物線的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在直線AC上方運(yùn)動(dòng)時(shí);

315

①若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為，求△ACP的面積;

②如圖(2),DE〃、軸交直線AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)尸(不與點(diǎn)。重合)作軸交直

線AC于點(diǎn)若四邊形DR0P是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo);:

⑶過點(diǎn)尸作尸尸，無軸于點(diǎn)。是否存在點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)REA為頂點(diǎn)的三角形與ABOC

相似？若存在，求出/的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=加+及+3(段0)經(jīng)過A(TO),8(3，。)兩點(diǎn)，與y

且在直線BC的上方.

⑴求拋物線的表達(dá)式.

(2)如圖1,過點(diǎn)尸作尸軸，交直線8C于點(diǎn)E,若PE=2ED,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

⑶如圖2,連接AC、PC、"，”與8C交于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作PF〃AC交8C于點(diǎn)尸.記AACG、

APCG、dGF的面積分別為牛邑、83.當(dāng)在爭(zhēng)取得最大值時(shí)，求sinZBCP的值.

14.如圖1,拋物線廣加+笈+3%0)與％軸交于點(diǎn)A(-l,0),網(wǎng)3,0)與y軸交于點(diǎn)C,

連接AC,BC.

(1)求該拋物線及直線3C的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2,在8C上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)尸(不與B,。重合)，過點(diǎn)尸作PD//AC,

交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)尸作PE/O軸，交BC于點(diǎn)E.在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)求出APDE

周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶如圖3,若點(diǎn)尸是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過程中，坐標(biāo)平面內(nèi)是

否存在點(diǎn)。使以bGP,。為頂點(diǎn)BC為對(duì)角線的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)

求出此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

15.如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,且經(jīng)過點(diǎn)43,3),一次函數(shù)的圖象

經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)3(6,0),一次函數(shù)圖象與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

(2)如果點(diǎn)。在線段AC上(不與A、C重合)，與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖象

相交于點(diǎn)E,ZCDO=ZOED,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖象相交

于點(diǎn)￡,以點(diǎn)。、。、。、E為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.

參考答案

1.(1)0,0

(2)。<-3),回=1

2.(1)y=--+2%+3

(2)存在,G點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)或(1,-3)或(1,.或(1，T

(3)存在，△。MB與△的面積相等時(shí)，。點(diǎn)坐標(biāo)為，12^］或

'^^^)或(2,3)

3.⑴丁二-尤2-3x+4

(2)①當(dāng)/=-2時(shí)，端邊形w有最大值，最大值為16,網(wǎng)-2,6)；②存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-3,4)

或(-2,6)

4.(1)y+4尤—6

(2)f=y>y9或f=14

13

5.(l)y=-^--^-2

(2)不存在，

6.(1)3,y=-jx2+yx

(2曙或年

7.(l)y=-2x2-2x+4

(2)4

3

(3)-7

1a

2

8.(l)y=--x+-x+2;

(2)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(I，2)或［，5］；

(3)M瑞),N賢)或唱v

9.(l)y=x2+3x-4

(2)最大值為2