微專題30與圓有關的計算

考點精講

構(gòu)建知識體系

'----------------廠規(guī)則圖JB

與圓有關的計算｛闋怫的相關計算｝-陰影怖分的梢關計算』

---------------..、L不規(guī)則圖形

q正多邊形與一］

考點梳理

1.弧長與扇形面積(6年5考)

圓周長。二①r為圓(扇形)的半徑；

扇形弧長/二②n°為弧所對的圓心角的度數(shù)；

圓面積「③/是扇形的弧長

▲^****|^\..

扇形面積S扇形二④______________

注：陰影部分圖形的面積計算，方法講解詳見本書P136?P137微專題三種方法

求陰影部分面積

2.圓錐的相關計算(6年2考)

(1)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形；I

(2)圓錐的母線長/為扇形的⑤______；r為底面圓半徑

(3)圓錐底面圓的周長2m為扇形的⑥；/為圓錐的母線長

相關

(4)圓錐的高為九則—+層=/2；

計算

(5)圓錐的底面圓周長：。=2"；雙"。C.'

且一/

⑹圓錐的底面圓面積：5=冗戶；Jy>

(7)圓錐的側(cè)面積：S=7irl

3.正多邊形與圓

名稱公式圖例

中心角正n邊形的每個中心角e為⑦

邊心距正n邊形的邊心距r=卜_,2

周長正〃邊形的周長/=na

r：邊心距

正〃邊形的面積____r/(/為正

面積a：邊長

n邊形的周長）

0：中心角

練考點

1.已知扇形A05的半徑為4,圓心角為60°,則該扇形的弧長=,面積

2.如圖，扇形的半徑為6,圓心角為120。，用這個扇形圍成一個圓錐的側(cè)面,

則所得圓錐的底面半徑為.

\■/j\

第2題圖

3.如圖，是正六邊形A5CDE/的外接圓.

（DNE4O的度數(shù)為；

（2）若。O的半徑OA為6,則圓心到邊的距離為.

%弋

第3題圖

高頻考點

考點1與弧長、扇形面積有關的計算（6年5考）

例1（2024佛山南海區(qū)一模）如圖，在菱形A5CZ）中，AB=6,ZB=6Q°,以

CO為直徑的圓與A。交于點E,則砒的長是（）

A371BCD

--T-4兀-5兀

例2（2024山西）如圖①是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖②是

其幾何示意圖（陰影部分為花窗）.通過測量得到扇形405的圓心角為90°,OA

=lm,點C,。分別為。4,05的中點，則花窗的面積為m2.

例2題圖

考點2與圓錐有關的計算（6年2考）

例3（2024珠海金灣區(qū)一模）如圖，已知一圓在扇形A05的外部，沿扇形的

從點A滾動一周（無滑動），恰好到達點A如果。4=24cm,NAQB=60°,

圓的半徑為cm.

?-------R

例3題圖

變式1（2024煙臺）如圖，在邊長為6的正六邊形A5CL史尸中，以點尸為圓心,

以的長為半徑作BD,剪下圖中陰影部分做一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的

底面半徑為.

H

n

變式1題圖

考點3正多邊形與圓

例4（2024甘孜州）如圖，正六邊形A5CDE/內(nèi)接于。4=1,則A5的長為

（）

A.2B.V3C.1D.-

2

例4題圖

變式2（2024佛山順德區(qū)一模）我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：通

過圓內(nèi)接正多邊形割圓，邊數(shù)越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長.

如圖，由圓內(nèi)接正六邊形可算出兀p3.若利用圓內(nèi)接正十二邊形來計算圓周率，

則圓周率冗約為（）

變式2題圖

A.12sin30°B.12cos30°C.12sin15D.12cos15

真題及變式

命題點1與圓錐有關的計算（6年2考）

1.（2020廣東16題4分）如圖，從一塊半徑為1m的圓形鐵皮上剪出一個圓周角

為120。的扇形A5C,如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的

半徑為m.

第1題圖

命題點2與扇形面積有關的計算（6年5考）

2.（2022廣東15題3分）扇形的半徑為2,圓心角為90°,則該扇形的面積（結(jié)果

保留兀）為.

3.（2021廣東13題4分?北師九下習題改編）如圖，等腰直角三角形A5C中，NA

=90°,5。=4.分別以點5,點。為圓心，線段5。長的一半為半徑作圓弧，交

AB,BC,AC于點。，E,F,則圖中陰影部分的面積為.

第3題圖

4.（2019廣東22題7分）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,每個

小正方形的頂點叫格點，△人5。的三個頂點均在格點上，以點A為圓心的珍與

相切于點。，分別交ABAC于點E,F.

（1）求△ABC三邊的長；

⑵求圖中由線段E5,BC,b及病所圍成的陰影部分的面積.

B

第4題圖

新考法

5.［真實問題情境］（2024呼倫貝爾）為了促進城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)

鎮(zhèn)計劃修建公路.如圖，&與曲是公路彎道的外、內(nèi)邊線，它們有共同的圓心O,

所對的圓心角都是72°,點A,C,。在同一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)

側(cè)邊線多36米，則公路寬AC的長是米.（兀取3.14,計算結(jié)果精確到

0.1）

7

第5題圖

6.［綜合與實踐］（2024廣東21題9分）

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖①所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.

7rm

第6題圖①

【實踐操作】

步驟1：取一張濾紙；

步驟2：按如圖②所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖①所示漏斗中.

第6題圖②

【實踐探索】

⑴濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學的數(shù)學知識說明;

⑵當濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.（結(jié)果保留71）

考點精講

①2"②"③幾戶④上⑤半徑⑥弧長

180360

⑦隨⑧：

n2

練考點

1411811

1?,

33

2.2

3.(1)60°；(2)373

高頻考點

例1C【解析】如解圖，取的中點O,連接OE,,在菱形A5co中，AB

=6,ZB=60°,：.ZD=ZB=60°,CD=AB=6,：.ZCOE=2ZD=120°,

OC=3,I.折的長是型四=4兀.

180

/(%)

例1題解圖

例2(；—3【解析】?.,點C,。分別為。4,05的中點，OA=lm，

482

m,OD=^OB=^m....S陰影=S扇形AOB—SAOCD=1^一pm?.

，NNDOUZ4o

例34【解析】設圓的半徑為rem,2u=竺*，解得r=4.

180

變式1V3【解析】設圓錐的底面半徑為八???正六邊形邊長為6,...45=4/

=6,NBA尸=120°,ZAFB=30°,：.BF^2AFcos30°=643,VZBFD=

60TTX6

ZAFE~2ZAFB=60°,^=27ir,解得r=g.

180

例4C【解析】?.?正六邊形ABCDER：.ZAOB=—=60°,\'OA=OB,

6

A05為等邊三角形，：.AB=OA=1.

變式2C【解析】如解圖，連接04,0A2,過點。作0ML4A2,垂足為點

M,設。0的半徑為H,?.?十二邊形4A2…42是圓內(nèi)接正十二邊形，???NA10A2

,又042,,在中，

=—12=30°?.?04=一OMLAyAi,ZA,0M=15°RsAiOM

ZAiOM=15°,OAi=R,：.A}M=R-sin15°,.,.AiA2=2AiM=27?-sin15°,：.

正十二邊形Ai4…412的周長為12AiA2=2Rsin15°X12,.?.27iH=2Rsin

15°X12,解得兀=12sinl5°.

變式2題解圖

真題及變式

1.|【解析】設圓錐的底面圓半徑為Hm,根據(jù)扇形的弧長等于底面圓周長，

可得到也四=2冗凡解得

1803

2.71【解析】扇形面積為百字=兀

360

3.4-71【解析】在等腰直角三角形A5C中，?.?NA=90°,BC=4,:.NB=

ZC=45°,AB=AC^BC=242,,：BC=4,：.BE=CE=^BC=2,：.S^=S^ABC

一S扇形BDE—S扇形CEF=》X2近X2近一胃蘭一嘿蘭=4—兀

NDO（JDO（J

4.解：（1）根據(jù)題圖可知A"=22+62=40,

.,.AB=2V10.（1分）

VACc=223+62=40,

.,.AC=2V10.（2分）

222

VJBC=4+8=80,

.,.BC=4V5；(3分)

(2)如解圖，連接A。，由(1)知A4+AGnBC2,AB=AC,

??.△ABC是等腰直角三角形，NBAC=90°.（4分）

:以點A為圓心的與BC相切于點D,

：.AD±BC,

.*.AD=|fiC=2V5