第01講二次根式

T模塊導(dǎo)航一素養(yǎng)目標(biāo)”

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.了解二次根式的概念；

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理(吃透教材)2.理解二次根式有意義的條件，會(huì)求二次根式的被開

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三方數(shù)中所含字母的取值范圍；

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)3.掌握二次根式的性質(zhì)，能利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行

化簡。

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

一般，我們將形如，a(a20)"yl"為二次根號(hào)

的式子叫做二次根式"a"為被開方數(shù)

二

次①當(dāng)a>0時(shí)，Va>0

根②當(dāng)a>0時(shí)，(Va)2=a

式

性質(zhì)_,=a(a>0)

-------③Va'=|a|廠

----------=-a(a<0)

二次根式Va(a>0)的值是非負(fù)數(shù)

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1：二次根式

1.二次根式的概念

一般地，我們把形如(a20)的式子的式子叫做二次根式，"—”稱為稱為二次根號(hào).

如直必A都是二次根式。

二次根式滿足條件：

(1)必須含有二次根號(hào)汽廠”

(2)被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)2：二次根式有無意義的條件

條件字母表示

二次根式有意義被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)C有意義oa20

二次根式無意義被開方數(shù)為負(fù)數(shù)而無意義oa<0

知識(shí)點(diǎn)3：二次根式的性質(zhì)

1.Va(a>0)的性質(zhì)

符號(hào)語言Va(a>0)

文字語言一個(gè)非負(fù)數(shù)的算數(shù)平方根是非負(fù)數(shù)

提示JZ(a20)有最小值，為0

2?(而,(a20)的性質(zhì)

符號(hào)語言(而2=a(a20)

(1)正用：(7?)~=5,(Jm2+D=n?+i2

應(yīng)用(2)逆用：若a\0,貝1」a=(八);如2=(.：；=(0

逆用可以再實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：如

提示a==a'-(正寸=(a+石⑹

3.舊的性質(zhì)

-a(a>0)

符號(hào)語言0(a=0)

--a(a<0)

文字語言任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

應(yīng)用(1)正用：^(3-n)2=|3-n|=n-3

⑵逆用：3與這坨

3模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------

考點(diǎn)一：二次根式的概念

1.下列式子中，是二次根式的是()

A.V6B.52C.5D.|

2

【變式1-1］下列式子一定是二次根式的是（）

A.y［aB.—y/aC.V3D.Va2

【變式1-2】下列式子中，是二次根式的是（）

A.7iB.|C.V2D.V3

【變式1-3］當(dāng)a=6時(shí)，二次根式折的值為

考點(diǎn)二：求二次根式中的參數(shù)

d2i例2.已知〃是一個(gè)正整數(shù),而是整數(shù)，則〃的最小值為（）

A.4B.6C.7D.14

【變式2-1】己知〃是正整數(shù)，而是整數(shù)，則〃的最小值是.

【變式2-2］已知"是正整數(shù)，同^是整數(shù)，則〃的最小值為.

【變式2-3］若所元是整數(shù)，則正整數(shù)小的最小值是.

考點(diǎn)三：二次根式有意義的條件

3.當(dāng)a是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，岳與W在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義（）

333

A.a<--B.a^--C.a>--D.a>|

【變式3-1】若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則。的取值范圍是（）

A.a>2B.a<2C.D.a>2

【變式3-2］若代數(shù)式高有意義.則x的取值范圍是（）

A.x>—6B.x>—6C.x<—6D.%<6

【變式3-3］若y=V2x-1+V1-2x+1,則2砂的值是.

考點(diǎn)四：利用二次根式的性質(zhì)化簡

4.實(shí)數(shù)a、6在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡:內(nèi)-府+、（a-b）2的結(jié)果是

ab

???????A

-3-2-10123

【變式4-1】將（x-l）—三根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為（）

A.V1—xB.-V1—xC.Vx—1D.-yjx—1

【變式4-2］若Jo-3）2=x—3,則x的取值范圍是（）

A.x>—3B.%>3C.%<3且久豐0D.%<3

3

【變式4-3]已知實(shí)數(shù)a,6,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則A/混一匕一句+[(b-c)2=()

-------￡--------------1---------->

ab0c

A.—2aB.-2ci—bC.—bD.—2b—CL

考點(diǎn)五：復(fù)合二次根式的化簡

例5.閱讀下列材料回答問題：

形如zn+的化簡，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a,6,使a+b=m,ab=71,則+(方)=m,Vab-y/n,

那么便有±=](也±也產(chǎn)=?±4(a>b).如J3+2應(yīng),?.-3=1+2,2=1x2,3+

2V2=(V2+1『，V3+2V2=&+1.

(1)填空：16+2*=,Vil+2V10=；

(2)化簡:

@V5+2V6,

②.8-4序

(3)計(jì)算：唇

【變式5-1】先閱讀下列材料，再解決問題：

閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過完全平方公式a2±2ab+次=(a±6)2及二

次根式的性質(zhì)V^=|a|化去一層根號(hào).例如：

V3+2V2=V3+2xlxV2=Jl2+(V2)2+2xlxV2=|l+V2|=l+V2.

解決問題：

(1)在橫線和括號(hào)內(nèi)上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：

^4+2>/3=V4+2x1xV3=+2+2x1xV3=J(=|___|=___；

(2)根據(jù)上述思路，試將,9-44予以化簡.

4

【變式5-2】閱讀材料.

把根式土進(jìn)行化簡,若能找到兩個(gè)數(shù)m、n,是病+小=%且77m=6,貝I」把第±變成而十

n2±2mm=(m±九猿開方，從而使得土2^化簡.

如：V3+2V2=V1+2V2+2=J(VT)2+2x1xV2+(V2)2=J(1+V2)2=|1+V2|=1+V2

解答問題：

(1)填空：75+2V6=,V7-4V3=.

(2)V3-2V2+V5-2V6+V7-2V12+V9-2V20

【變式5-3】先閱讀材料，然后回答問題.

(1)小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時(shí)，遇到了一個(gè)問題：化簡J5-2阮經(jīng)過思考

75-2V6=V2-2V25?3+3Q,

=J(&)2—2魚x百+(⑹之②,

=J(V2-V3)2(3),

=V2-V3(4),

在上述化簡過程中，第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡的正確結(jié)果為」

(2)請(qǐng)根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：

①戊一2代

6模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)

一、單選題

1.下列各式是二次根式的是()

A.V-2B.C.V3D.V5

2.下列各式中，化簡正確的是()

A.V4=±2B.J(-3)2=-3

C.(-V6)2=6D.(7=3)2=一3

5

3.把a(bǔ)j-｝的根號(hào)外的因式a適當(dāng)?shù)馗淖兒笠迫敫?hào)內(nèi)，正確的是()

A.—V—aB.—ctC.—y/uD.y[a

4.下列結(jié)論中，正確的是()

B.慰=2(

A.我的算術(shù)平方根是3

7255

。FTD.(―V6)=36

二、填空題

5.若百二I在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

6.已知1<x<2,則］(X—2心+|x-1|=.

7.實(shí)數(shù).、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：后+g+J(aT

ab

-6"""~~'―

8.如果一個(gè)正方形的面積為12,則這個(gè)正方形的邊長為.

9.滿足<x<V7的整數(shù)%是.

10.已知432rl+16是整數(shù),則n的最小整數(shù)值是.

三、解答題

11.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，M=|b-2|+Jl

-202

⑴化簡M；

(2)當(dāng)|a—1|+Jb+|=0時(shí),求”的值.

27

12.(1)填空：(遙—1)=_;(V2-V7)=_；

(2)例題：化簡15+2迎

22

解：因?yàn)?+2V6=3+2+2xV3xV2=(V3)+2xV3xV2+(V2)

所以，5+2逐=J(V3+V2)2=禽+V2.

仿照上例的方法，化簡下列各式：

@V4-2V3

②[4+28+，8-2后

6

第01講二次根式

T模塊導(dǎo)航。T素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.了解二次根式的概念；

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理(吃透教材)2.理解二次根式有意義的條件，會(huì)求二次根式的被開

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三方數(shù)中所含字母的取值范圍；

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)3.掌握二次根式的性質(zhì)，能利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行

化簡。

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

一般，我們將形如，a(a20)"yl"為二次根號(hào)

的式子叫做二次根式"a"為被開方數(shù)

二

次①當(dāng)a>0時(shí)，Va>0

根②當(dāng)a>0時(shí)，(Va)2=a

式

=a(a>0)

③Va'=|a|一

---------=-a(a<0)

二次根式Va(a>0)的值是非負(fù)數(shù)

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1：二次根式

2.二次根式的概念

一般地，我們把形如(a20)的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號(hào).

如直必A都是二次根式。

/X

二次根式滿足條件：_

(3)必須含有二次根號(hào)，T”

(4)被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)2：二次根式有無意義的條件

7

條件字母表示

二次根式有意義被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)癡有意義oa20

二次根式無意義被開方數(shù)為負(fù)數(shù)品無意義oa<0

知識(shí)點(diǎn)3：二次根式的性質(zhì)

1.Va(a>0)的性質(zhì)

符號(hào)語言Va(a>0)

文字語言一個(gè)非負(fù)數(shù)的算數(shù)平方根是非負(fù)數(shù)

提示JZ(a20)有最小值，為0

2，(JZ)7aN0)的性質(zhì)

(7a)2=a(a20)

符號(hào)語言

(3)正用：(后=5,(而Tb;m'+i

應(yīng)用

22=

(4)逆用：若aNO,貝l|a=(Vcz),*02=(V2),I

逆用可以再實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：如

提示a==aW^)-=(a+國”⑸

2

3ja的性質(zhì)

「a(a>0)

=a==

符號(hào)語言V?i0(a=0)

--a(a<0)

文字語言任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

應(yīng)用(3)正用：^(3-n)2=|3-n|=n-3

⑷逆用：3小7|坨

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三--------

考點(diǎn)一：二次根式的概念

例1.下列式子中，是二次根式的是()

A.V6B.52C.5D.2

5

【答案】A

8

【分析】本題考查了二次根式的定義.根據(jù)形如VH(a20)的式子叫做二次根式，逐項(xiàng)分析即可求解.

【詳解】解：A、①是二次根式，A符合題意；

B、52=25,不是二次根式，B不符合題意；

C、5不是二次根式，C不符合題意；

D、|不是二次根式，D不符合題意.

故選：A.

【變式1-1】下列式子一定是二次根式的是()

A.y[aB.—y[aC.\[3D.

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.形如也(a>0)是二

次根式，注意二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得解.

【詳解】解：A、當(dāng)a<0時(shí)，聲不是二次根式，該選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)a<0時(shí)，-8不是二次根式，該選項(xiàng)不符合題意；

C、我是三次根式，該選項(xiàng)不符合題意；

D、???a?>0,后是二次根式，該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【變式1-2】下列式子中，是二次根式的是()

A.71B.|C.V2D.V3

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的定義，熟記“形如?(a20)的式子叫做二次根式”是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：A、兀不是二次根式，不符合題意；

B、]不是二次根式，不符合題意；

C、冠不是二次根式，不符合題意；

D、行是二次根式，符合題意；

故選：D

【變式1-3]當(dāng)a=6時(shí)，二次根式折的值為.

【答案】2

【分析】本題考查了二次根式的求值.將a=6代入代數(shù)式求值即可.

【詳解】解：當(dāng)a=6時(shí)，

Va-2=A/6-2=〃=2.

故答案為：2.

9

考點(diǎn)二：求二次根式中的參數(shù)

例2.已知〃是一個(gè)正整數(shù)，而是整數(shù),則n的最小值為（）

A.4B.6C.7D.14

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的定義和性質(zhì),能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵.首

先把被開方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后再確定〃的值.

【詳解】解：V28n=V4x7xn=2y[7n,

是整數(shù)，，7是一個(gè)正整數(shù)，

."的最小值是7.

故選：C.

【變式2-1】己知〃是正整數(shù)，VI而是整數(shù)，則〃的最小值是.

【答案】35

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡.根據(jù)題意W切可變形為2詢，即可求解.

【詳解】解：=VI而是整數(shù)，”是正整數(shù)，

..."的最小值為35.

故答案為：35

【變式2-2】己知〃是正整數(shù)，環(huán)是整數(shù)，則〃的最小值為.

【答案】2

【分析】本題考查了二次根式的定義和性質(zhì).能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵.首

先把被開方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后再確定"的值.

【詳解】解：V50n=V25x2n=5向，

:同^是整數(shù)，

：.n的最小值是2.

故答案為：2.

【變式2-3]若7^二元是整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是.

【答案】4

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和m為正整數(shù)，得出0W8-m<8,即可得出m的值.

【詳解】解：???年而有意義，

.,.8-m>0,解得：m<8,

,?m是正整數(shù)，

0<m<8,

0<8—m<8,

,??v§二元是整數(shù),

10

8—m=0,1,4,

解得：m=8,7,4.

，正整數(shù)nz的最小值是4,

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

考點(diǎn)三：二次根式有意義的條件

3.當(dāng)。是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，&TW在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義（）

3

A.a<-|B.CLW----C.a>--D.a>|

2

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)非負(fù).根據(jù)被開方數(shù)非負(fù)得到2a+320,再

解不等式即可.

【詳解】解：由題意得2a+320,

解得：a>—|,

故選：C.

【變式3-1】若二次根式折^在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則。的取值范圍是（

A.a>2B.a<2C.a42D.a>2

【答案】D

【分析】本題主要考查了解不等式以及二次根式有意義的條件等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次根式有意義的條件,

解不等式即可得解，熟練掌握二次根式有意義的條件是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???二次根式折I在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

CL—220,

a>2,

故選：D.

【變式3-2］若代數(shù)式高有意義.則x的取值范圍是（）

A.x>—6B.x>—6C.x<—6D.x<6

【答案】B

【分析】此題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義，分母不為0；二次根

式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

根據(jù)二次根式和分式有意義的條件可得6+%>0,再求解即可.

【詳解】解：由題意得：6+%>0,

解得：x>—6,

故選：B.

11

［變式3-3］若y=V2x-1+V1-2%+1,則2%y的值是.

【答案】1

【分析】本題考查了二次根式的概念，理解二次根式被開方數(shù)大于或等于零是解決問題的關(guān)鍵.反K

和VTF被開方數(shù)互為相反數(shù)，且必須大于或等于零，所以2%-1=1-2%=0,由此可以求得％,y

的值.

【詳解】解：???疹二I和VFF有意義，

.（2x—1>0

**11-2%>0>

???2%—1=1-2x=0,

_i

x=一,

2

???y—V2x—1+V1—2%+1=1,

i

???2xy=2x-xl=l.

故答案為：1.

考點(diǎn)四：利用二次根式的性質(zhì)化簡

4.實(shí)數(shù)〃、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示,化簡:V常-d京+J（a-6）2的結(jié)果是

ab

-3-2-10123

【答案】-2a

【分析】本題主要考查了數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)與化簡，利用數(shù)軸得出b>O,a-b<0,a<0,進(jìn)而化

簡得出答案，正確得出各部分符號(hào)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖所示：b>0,a-b<0,a<0,

-VP'+d（a一6）2

二-ci—b+b—CL

=—2a,

故答案為：-2a.

【變式4-1】將（久-1）任根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為（）

A.V1—xB.-V1—xC.yjx—1D.-y/x—1

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出1-x>0.根據(jù)二次根式的性質(zhì)

進(jìn)行化簡即可.

【詳解】解：???△>（），

??1—%>0,

12

二("一1)任

=_(1一支)2

J1—X

=-V1-%;

故選：B.

【變式4-2］若J(x—31=%—3,則x的取值范圍是()

A.x>—3B.x>3C.%<3且K大0D.%<3

【答案】B

【分析】此題考查了二次根式性質(zhì)化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出不等式

進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：vV(%-3)2=%-3,

/?x—320,

解得：%>3,

故選：B.

【變式4-3］已知實(shí)數(shù)q,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則后_|c-a|+J(b_c)2=()

—1------;--------±----1---------->

ab0c

A.-2aB.-2a—bC.-bD.-2b-a

【答案】C

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，化簡絕對(duì)值，數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，理解并運(yùn)用二次根式的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)數(shù)軸可得到。<0,c-a>0,h-c<0,再根據(jù)所給的二次根式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，a<<0<c,|c|<|6|,

???c-a>0,b—c<0,

???—\c—a\+-c)2

=1口1—I?！猘|+—c\

=-a—(c—ci)—(b—c')

=-a—c+a—b+c

=-b；

故選：C.

13

考點(diǎn)五：復(fù)合二次根式的化簡

22___

形如爪+2小的化簡，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a,6,使a+b=m,ab=n,則(?)+(Vb)=m,y/ab=y/n,

那么便有Jni±2怖=](版土a)2=?±也。＞b).如J3+2/,?.'3=1+2,2=1x2,■,-3+

2V2=(V2+1)1；.V3+2V2=V2+1.

(1)填空：,6+2遍=,Vil+2V10=；

⑵化簡：

①J5+2傳

②,8-4倔

⑶計(jì)算：唇

【答案】(1)1+*；i+Vio

(2)@V2+V3；②遍-魚

(3存

【分析】本題主要考查了化簡復(fù)合二次根式：

(1)先把a(bǔ)+2代變形為J形+2口+(佝2,進(jìn)而得到](1+函)2,據(jù)此化簡即可；同理可把

近1+2同變形為J(1+“up據(jù)此化簡即可；

(2)①根據(jù)05+2K=J(V2+⑹2進(jìn)行化簡即可；②根據(jù)—4百=J(V6-可進(jìn)行化簡即可；

(3)先把原式變形為=下/，進(jìn)一步變形得到空式,據(jù)此化簡即可.

【詳解】(1)解：V6+2V5

=V1+2V5+5

=Jl2+2V5+(V5)2

=J(1+佝2

=1+V5；

V11+2V10

=V1+2V10+10

=Jl2+2V10+(Vio)2

14

=J(1+V1U)2

=1+VTo；

故答案為：i+擊；1+VTo；

(2)解：①泗+2連

=V2+2V6+3

=^(V2)2+2V6+(V3)2

=+V3)2

=a+V3；

②,8-4始

二,6-4百+2

⑶解:再

8-2V7

=Jk

_.7-2近+7

一2

J(V7)2-2V7+12

二2

J(V7-1)2

一2

_小一\

-2,

【變式5-1】先閱讀下列材料，再解決問題：

閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過完全平方公式。2±2ab+b2=(a+b)2及二

次根式的性質(zhì)后=同化去一層根號(hào).例如：

V3+2V2=V3+2xlxV2=Jl2+(V2)2+2x1xV2=|1+V2|=1+V2.

解決問題：

(1)在橫線和括號(hào)內(nèi)上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：

15

V4+2V3=V4+2x1xV3=J()2+2+2x1xV3=4~=|___|=___；

(2)根據(jù)上述思路，試將向-4曲予以化簡.

【答案】(1)百；1：V3+1；V3+1

(2)75-2

【分析】本題主要考查了復(fù)合二次根式化簡：

(1)根據(jù)4=1+3=(V3)2+(1)2結(jié)合完全平方公式得到J4+2百=J(V3+1)\據(jù)此化簡即可；

(2)根據(jù)9=5+4=(V5)2+(2―結(jié)合完全平方公式得到J9-4代=J(V5-2)\據(jù)此化簡即可.

【詳解】(1)解：V4+2V3

=74+2x1x73

=J(V3)2+(I)2+2x1x8

=J(V3+1)2

=|V3+1|

=V3+1；

故答案為：V3；1V3+1；V3+1

(2)解：V9-4V5

=V9-2x2V5

=J(佝之+22-2x2V5

=J(V5-2)2

=1^-21

=V5—2.

【變式5?2】閱讀材料.

把根式土進(jìn)行化簡,若能找到兩個(gè)數(shù)m、n,是m2+n2=%且7rm=小,則把久±27y變成源+

n2±2mm=(m±九尸開方，從而使得土267化簡,

如：V3+2V2=V1+2V2+2=J(VT)2+2x1xV2+(V2)2=J(1+卬=|1+V2|=1+V2

解答問題：

(1)填空：75+2V6=,V7-4V3=.

(2)73-2V2+V5-2V6+V7-2V12+內(nèi)-2何

【答案】(1)&+百；2-V3

16

(2)-1+V5

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，將被開方數(shù)化為平方的形式是解題的關(guān)鍵.

(1)仿照例題，根據(jù)(遮)2+(皆)2=5,應(yīng)Xg=^,即可求解；直接利用完全平方公式將原式變

形進(jìn)而得出答案.

(2)根據(jù)材料提供計(jì)算步驟，對(duì),3—2夜+,5—2乃+J7—2娘+:9—2同進(jìn)行化簡,進(jìn)行計(jì)

算即可.

【詳解】(1)解：?；5+2逐=2+3+2①=(迎)2+(b)2+2x&xV^=(/+百)2,

Vs+2A/6=J(V2+V3)2=V2+V3；

v7-4V3=3+4-4V3=(V3)2+22-2x2xV3=(2-V3)2,

V7-4V3=J(2-V3)2=2-V3；

(2)解：V3-2V2+V5-2V6+77-2V12+V9-2V20

=Jl2+(V2)2-2V2+J(V3)2+(V2)2-2V6+J(V3)2+22-2V12+J(V5)2+22-2V20

=J(V2-1)2+J(V3-V2)2+J(2-V3)2+J(V5-2)2

=V2-l+V3-V2+2-V3+V5-2

=-1+Vs.

【變式5-3】先閱讀材料，然后回答問題.

(1)小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時(shí)，遇到了一個(gè)問題：化簡J5-2瓜經(jīng)過思考

V5-2V6=卜-3①,

=J(a)2-2魚x百+(厲p②,

=J(V2-V3)2(3),

=V2-V3@,

在上述化簡過程中，第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡的正確結(jié)果為」

(2)請(qǐng)根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：

①&-2痘

②,8+4百

【答案】(1)④，V3-V2

⑵①b-1；②遙+魚

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，掌握被開方數(shù)化成完全平方的形式，利用二次根式的性

質(zhì)進(jìn)行化簡是解題的關(guān)鍵.

17

(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)母=a(a>0)即可求解；

(2)根據(jù)(1)中的材料化簡即可.

【詳解】(1)解：-5-2逐=J2-2VI3B+5①,

=J(a)2—2遮x次+(百J②,

=J(V2-V3)2(3),

=V3-V2@,

在上述化簡過程中，第④步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，V3-V2

故答案為：④，V3—V2；

(2)解：①原式=15-2西+5

=J(V5)2-2V5+1

=J(V5-1)2

=V5-1；

②原式二’6+2訪大1+萬

=J(V6)2+4V3+(V2)2

=J(V6+V2)2

=V6+V2.

6模塊四小試牛刀過關(guān)利-------------------------------

一、單選題

1.下列各式是二次根式的是()

A.7^2B.VxC.V3D.V5

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的定義，熟知這個(gè)定義是解題的關(guān)鍵.形如迎(a20)的式子叫做二次根

式，由此判斷即可.

【詳解】解：A、被開方數(shù)-2為負(fù)數(shù)，所以々不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、被開方數(shù)x有可能為負(fù)數(shù)，所以?不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、被開方數(shù)3為正數(shù)，所以百是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、根指數(shù)為3,所以遮不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

2.下列各式中，化簡正確的是()

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A.V4=±2B.J(—3)2=—3

C.(-V6)2=6D.(7^)2=一3

【答案】C

【分析】此題主要考查二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、〃=2,該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、斤可=3,該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C>(-V6)2=6,該選項(xiàng)正確，符合題意；

D、V=3,根號(hào)里面的數(shù)不能為負(fù)數(shù)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

3.把a(bǔ)R的根號(hào)外的因式a適當(dāng)?shù)馗淖兒笠迫敫?hào)內(nèi)，正確的是()

A.—y[—~ctB.7—aC.--\/~Q.D.yfo,

【答案】A

【分析】本題主要考查了化簡二次根式，二次根式有意義的條件，根據(jù)題意可得-工>0,得到a<0,

a

據(jù)此利用二次根式的性質(zhì)化簡即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得一工>0,得到a<0,

a

那么a：=—_a)2.(_[)=-

故選：A.

4.下列結(jié)論中，正確的是()

A.百的算術(shù)平方根是3B.21

CD.(一迷)2=36

【答案】C

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，立方根，二次根式的性質(zhì)，據(jù)此相關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可

作答.

【詳解】解：A、百=3,則3的算術(shù)平方根是國，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、慰=母=等故該選項(xiàng)不符合題意；

725y255

C、=-1,故該選項(xiàng)符合題意；

782

2

D、(—V6)=6H36,故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：C

二、填空題

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5.若4I在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【答案】%>1

【分析】此題考查了二次根式的意義.根據(jù)二次根式有意義的條件即可解得.

【詳解】解：由題意可得20,

x—1>0,

x>1,

故答案為：%>1

6.已知1<x<2,則'(久一2"+|x-1|=.

【答案】1

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì).根據(jù)題

意得到X-2<0,久-1>0,根據(jù)二次根式以及絕對(duì)值的性質(zhì)，化簡即可.

【詳解】解：1<久<2,

???%—2<0,x—1>0,

???J(x-2尸+\x-1\—2—x+x—1—1,

故答案為：1.

2

7.實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：Va^+VP+^(a-b)=.

ab

--~6~~*

【答案】2b—2a

【分析】本題考查了利用數(shù)軸判斷式子的正負(fù)、二次根式的性質(zhì)，由數(shù)軸可得：-l<a<0<b<l,

|a|>\b\,從而得出a-b<0,再由二次根式的性質(zhì)化簡即可得解.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：一l<a<0<6<l,|a|>\b\,

.'.a—b<0,

7d"+7b2+J(a—b)2=—a+b—(a—b)=-a+6-a+b=2b-2a,

故答案為：2b-2a.

8.如果一個(gè)正方形的面積為12,則這個(gè)正方形的邊長為.

【答案】26

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)正方形的面積公式正確建立等式是解題關(guān)鍵.

設(shè)這個(gè)正方形的邊長為a,再根據(jù)正方形的面積公式和二次根式的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)正方形的邊長為a,

由題意得：a2=12,

解得a=反=2百或a=-2百(不符題意，舍去)，

故答案為：2K.