重難點(diǎn)10奔馳定理與四心問題【五大題型】

【新高考專用】

平面向量是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，而奔馳定理是平面向量中的重要定理，這個(gè)定理對于利用平面向量解決

平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題有著重要作用；四心問題是平面向量中

的重要問題，也是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，在高考復(fù)習(xí)中，要掌握奔馳定理并能靈活運(yùn)用，對于四心問題

要學(xué)會(huì)靈活求解.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1奔馳定理】

1.奔馳定理

如圖，已知P為LABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足九PA+A2PB+A3PC=0,貝IJ有△/P8、△4PC、A5PC的面

積之比為

由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，所以我們把它稱為“奔馳定理”.這個(gè)定理對于利用

平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.

【知識(shí)點(diǎn)2四心問題】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各邊中線的交點(diǎn)叫做重心，重心將中線長度分成2:1.

-->-->-->->

②重心的向量表示：如圖，在△/2C中，點(diǎn)尸為△4BC重心臺(tái)PN+尸3+PC=0.

③重心坐標(biāo)公式：設(shè)/(孫為)，8(X2,乃)，CS,為)，則△ABC的重心坐標(biāo)為

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點(diǎn)叫做垂心.

②垂心的向量表示：如圖，在△4BC中，點(diǎn)尸為△4BC垂心臺(tái)萬1?蔑=礪?記=萬1?記.

(3)內(nèi)心的概念及向量表示

①內(nèi)心的概念：三角形各角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心，內(nèi)心也為三角形內(nèi)切圓的圓心.

~AB

②內(nèi)心的向量表示：如圖，在△/3C中，三角形的內(nèi)心在向量+三所在的直線上，點(diǎn)尸為^

R

N2C內(nèi)心臺(tái)|萬卜PC+|sc|-PC+|cl|-PS=6.

A

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點(diǎn)叫做外心，外心也為外接圓的圓心，外心到三角形各頂點(diǎn)的

距離相等.

②外心的向量表示：如圖，在△48C中，點(diǎn)尸為△48C外心一|才|=|詬1=1記

2.三角形的四心與奔馳定理的關(guān)系

--->--->--->->

(1)0是"BC的重心：SABOC：SACOA：S.OB=1：1AOA+OB+OC=0.

(2)0是△45C的垂心：S^Boc:SACOA:S^AOB=tan/:tan氏tanC=tan/OA+tanBOB+tanCOC=0.

>>〉

(3)0是△45。的內(nèi)心：S^Boc-S^coA-S^AOB=a:b:c^aOA+bOB+cOC=0.

(4)0是△ZBC的外心：S^Boc-S^COA'-S^AOB—sin2A:sin2^:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC

=0.

?舉一反三

【題型1奔馳定理】

【例1】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知。是△4BC內(nèi)的一點(diǎn)，若△806440。,2k408的面積分別記為51,52

品，貝凡?瓦？+S2?赤+S3?瓦=6.這個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其為“奔

馳定理如圖，已知。是△力BC的垂心，且瓦5+2萬+3瓦=6,貝i|tanNBAC:tan乙4BC:tan乙4cB=()

A

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【解題思路】延長CO,BO,NO分別交邊45,AC,BC于點(diǎn)P,M,N,利用同底的兩個(gè)三角形面積比推

^tanZ-BAC:tanZ-ABC:tanZ-ACB=$16263即可求解作答.

【解答過程】。是的垂心，延長CO,BO,4。分別交邊45,AC,BC于點(diǎn)、P,M,N,如圖,

貝!JCP1AB,BM1AC,AN1BC,乙BOP=^LBAC^AOP=^ABCf

用巾Si_BP_OPtanZ.BOP_tanZ.BAC閂工用&-tanZ_B/C

|_|"匕，S2~~Xp~OPtan^AOP~tan乙48。'何-tan乙4cB

于是得tan484C:tanZJ18C:tanZJlCB=$16263,

又65+2而+3瓦=6,gpoc=-1OX-|OB,由“奔馳定理”有Si?瓦I+S2?而+S3?沃=6,

貝｝|0C=一三,。力一三,0B,而。4與0B不共線，有口=；,考=|，即SLS=1:2:3,

所以tanNB4C:tanzG4BC:tanzG4CB=1:2:3.

故選：A.

【變式1?1】（2024?全國?模擬預(yù)測）奔馳定理：已知。是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若△BOC、AAOC,△/。8的

面積分別記為S1、52、S3,貝?瓦？+S2?而+S3?沆=6.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論,

這個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知。是△4BC的垂心,

且a+20B+40C=0,貝UcosB=()

A

A.?B.|C.|D.日

【解題思路】由。是垂心，可得tan4-0A+tanF-OB+tanC-OC=0,結(jié)合。4+20B+40c=5可得tanA

tan8:tanC=1:2:4,根據(jù)三角形內(nèi)角和為無，結(jié)合正切的和差角公式即可求解.

【解答過程】:。是△力BC的垂心，延長C。交4B與點(diǎn)P,

???S1：S2=(|-0C-BP)：C-OC-AP)=BP:AP=(0PtanNP0B)：(0Ptan20P)

=tanzB0C:tanz^0C=tan(ji—A)：tan(TT—B)=tanX:tanB,

同理可得S163=tanAtanC,：.S^：S2：S3=tanAtanbtanC,

又Si?瓦？+S2?話+S3?擊=6,

.?.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0,

又萬?+2礪+4沆=6,

.,.tani4:tanB:tanf=1:2:4,

不妨設(shè)tanZ=/c,tanB=2k,tanC=4k,其中k。。，

tanB+tanC

???tan/=tan[7r-(B+C)]=-tan(B+C)=1—tanBtanC，

?噥=一若黑，解得k=g或k

當(dāng)憶=一]5時(shí)，此時(shí)tanA<0,tanB<0,tanC<0,貝必、B、C都是鈍角，則A+8+C>兀，矛盾.

故卜=JI,貝1JtanB=2j1=6=學(xué)>0,是銳角,sinB>0,cosB>0,

(sinB_

于是:~~2~,解得COSB=

(sin2^4-cos花=13

故選：A.

【變式1-2]（23-24高二上?四川涼山?期末）在平面上有△ABC及內(nèi)一點(diǎn)。滿足關(guān)系式：SAOBC-0A+SA0AC

-OB+S40AB-OC=6即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若△ABC的三邊為a,b,c,現(xiàn)有a-OA+b-OB+c-OC=

6,則。為△ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【解題思路】利用三角形面積公式，推出點(diǎn)。到三邊距離相等。

【解答過程】記點(diǎn)。到/8、2C、CA的距禺分別為厄，八2，九3，S/iOBC=尹,八2，S/^OAC=5。,八3，S/X04B=

5c,比，因?yàn)镾MBC,0A+S^o^c,OB+S^OAB'OC=0,

1-->[-->1-->—>--*-->-->—>

則5a,電,+萬b0色,OB+~c,h3,OC=0,即a,h2,OA+b?/13,OB+c,,OC=0,

又因?yàn)閍?萬？+b?麗+c?方=6,所以加=/12=%3，所以點(diǎn)P是aABC的內(nèi)心.

故選：B.

【變式1-3]（23-24高一下?湖北?期中）奔馳定理：已知。是△力BC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,AAOC,AAOB

的面積分別為L，SB，SC，貝?瓦？+SB?而+S0?玩=6.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，

因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)。為三角形4BC內(nèi)一

點(diǎn)，且滿足：OA+20B+30C=3AB+2BC+CA,則曰絲=（）

【解題思路】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到3萬？+南+2方=6,再結(jié)合“奔馳定理”即可求解結(jié)論.

【解答過程】解：丫。為三角形48C內(nèi)一點(diǎn)，且滿足萬5+2而+3沆=3同+2近+互，

???OA+20B+30C=3（0B-0A）+2（OC-OB）+（OA-OC）^3OA+OB+20C=0,

'''?OA+Sg,OB+S（j,OC—0.

.S^AOBS/^AOB1

S&ABCABOC+^A4OCS^+S^+Sc3'

故選：D.

【題型2重心問題】

【例2】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)。是△A8C的重心，過點(diǎn)。的直線與邊4B/C分別交于M,N兩點(diǎn)，D

為邊BC的中點(diǎn).若前=x而+y麗（久,y€R）,貝卜+y=（）

321

A.-B.-C.2D.—

【解題思路】由三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算得到而=1支前+|y麗，再由M,O,N三點(diǎn)共線,

即可求解.

【解答過程】如圖所示，由三角形重心的性質(zhì)，可得笫=1，所以前=苑，

所以|布=xAM+yAN,即而=|x^M+|y麗，

因?yàn)镸,O,N三點(diǎn)共線，可得|x+|y=l,所以x+y=|.

故選：A.

【變式2-1］（2024?全國?二模）點(diǎn)。,P是△A8C所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足方=51+而+無，則直

線。P經(jīng)過△4BC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解題思路】根據(jù)向量的運(yùn)算，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析，即可判斷.

【解答過程】設(shè)BC的中點(diǎn)為點(diǎn)D,所以赤+反=2話，

則而-瓦?=而=2而，

若4P,。,。四點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)。,P都在中線4D上，所以。P經(jīng)過三角形的重心，

若力￡。,0四點(diǎn)不共線時(shí)，AP//OD,且4P=2。。，連結(jié)4D,0P,交于點(diǎn)G,

如圖，

綜上可知，OP經(jīng)過△ABC的重心.

故選：A.

【變式2-2](2024?四川南充?模擬預(yù)測)已知點(diǎn)。是△力8c的重心，OA=2,OB=3,。。=3,Mol-OB

+~0A-~0C+~0B-~0C=

【解題思路】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得瓦5+而+方=G,平方后即可求得答案.

【解答過程】由于點(diǎn)。是△48C的重心，故市+詬+沆=6,

故畫+方+汨)2=0,

__^2__^2__>2

即瓦？+0B+0C+2(0A-OB+0A-0C+0B-0C)=0,

故方OB+OA-OC+OB-OC^+OB'+Of2)

=-1(22+32+32)=-ll,

故答案為：-11.

【變式2-3](2024?四川雅安?一模)若點(diǎn)P為△ABC的重心，35sin4?而+21sinB?麗+15sinC?麗=6,

貝iJcosNBAC=77-

【解題思路】由點(diǎn)P為△4BC的重心，可得而+元+方=6,再結(jié)合題意可得35sin4=21sinB=15sinC,

再利用余弦定理即可得解.

【解答過程】設(shè)點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)P為△回(：的重心，所以4P=2PD,

則麗+PC=2PD=-PA,

所以麗+無+瓦1=6,所以刀=一而一床，

因?yàn)?5sinA-PA+21sinB-PB+15sinC-PC=0,

所以35sinA-(-RB-PC)+21sinB-~PB+15sinC-PC=0,

即(21sinB—35sin4)尸8=(35sinA-15sinC)PC,

因?yàn)辂悾还簿€且麗豐O,PC豐6,

所以21sinB—35sin4=0,35sirh4-15sinC=0,

所以35sim4=21sinB=15sinC,

由正弦定理可得35a=21b=15c,

不妨設(shè)a=3,b=5,c=7,

25+49-9_13

則cos4BZC=一"

2x5x7-14,

故答案為：yj.

【例3】（2024高三下?全國?專題練習(xí)）如圖，已知。是△ABC的垂心,且+2礪+3沆=6,貝Ijtan/BAC:

tanZJ18C:tanZJlC8等于（）

B.1:2:4

C.2:3:4D.2:3:6

【解題思路】延長C。，BO,4。分別交邊43,AC,于點(diǎn)P,M,N,利用同底的兩個(gè)三角形面積比推得

tan/-BAC:tanZ-ABC:/.ACB=SABOC'S^AOC-SAAOB^從而得解.

【解答過程】。是△4BC的垂心，延長CO,B0,4。分別交邊/B,AC,于點(diǎn)P,M,N,如圖,

貝IJCP1ZB,BMLAC,ANIBC,乙BOP=^BAC,^AOP=/-ABC,

S4BOC^OCBPBPOPtanZ-BOP_tanz.BAC

因此,

SATWC-OCAP~APOPtanZ-AOPtanZ.ABC1

2

△

同理SBOCtanz5i4C

$△408tan乙4cB

于是得tanZ_B/C:tanN248C:tanZJlCB=S△BOGS△AOC'SAAOB，

XOA+2而+30C=0

由"奔馳定理”有SAROC?OA+S^AOC,OB+S^AOB-OC=0

ABOC'^AAOC'^AAOB=1：2:3,l^tanZ.BAC:tanZ.ABC:tanZ.ACB=1:2:3,

故選：A.

【變式3-1］（24-25高一下?遼寧沈陽?階段練習(xí)）在△ABC中，若瓦？?而=而?近=近?沅?，則點(diǎn)，是

△ABC的（）

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.外心

【解題思路】根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)合向量垂直分析判斷.

【解答過程】因?yàn)橥撸?施=而?近，則而?（HA-HC）=而?襦=0,

所以而1己?，即點(diǎn)〃■在邊C4的高線所在直線上，

同理可得：~HA1CB,HC1AB,

所以點(diǎn)，為△ABC的三條高線的交點(diǎn)，即點(diǎn)，是△ABC的垂心.

故選：A.

【變式3-2］（2024?遼寧撫順?模擬預(yù)測）在銳角三角形45。中，A=60°,AB>AC,7/為△ABC的垂心，

麗?樂=20,。為△ABC的外心，且京?與=留珂?|可，貝|BC=（）

A.9B.8C.7D.6

【解題思路】作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，利用向量數(shù)量積可求得兒=40,再由。為△4BC的外心，可得

711

^BAO=90。-。，從而可得404"=C-AABC,解方程組cos（C-NABC）=而與cos（C+N4BC）=-5可得sinC

sin/ABC的值，最后由正弦定理即可求解.

【解答過程】

設(shè)△力BC的內(nèi)角/,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c

如圖，延長2H交NC于。，延長交3C于E,所以BD14C,

所以京-AC=\AD\-\AC\=國cos60°?［AC\=20,即be=40.

又。為△ABC的外心，所以N40B=2C,即NB4O=90。一。,

又在△力BE中，ABAE=90°-Z.ABC,

故NOAH=90°-zXBC-（90°-C）=C-Z.ABC,

所以COS（C-ZTIBC）=cosX-OAH=溫,篇=得與cos（C+Z.ABC）=相減得sinCsin乙4BC=,

所以由正弦定理得品盛市=（三）2=苧，即8。21=學(xué)，解得BC=7.

smCsmZ-ABC\sin//333

故選：c.

【變式3-3]（24-25高一下?云南昆明?階段練習(xí)）已知在△3BC中,sin27l+sin2C=sin2^+sinA-sinC,H

是△ABC的垂心，且滿足麗?麗=8,貝|△4BC的面積S44BC=（）

A.8V3B.8C.4V3D.4

【解題思路】利用正弦定理化簡已知等式，變形后利用余弦定理可求出cosB,從而可求出角B的度數(shù)，利用

平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則以及已知條件可求出|話|“就|的值，根據(jù)三角形面積公式表示出S,將各自的

值代入計(jì)算即可求出三角形的面積.

【解答過程】因?yàn)閟in?/+sin2c=sin2B+sin/?sinf,

所以由正弦定理得小+c2=b2+ac,

所以由余弦定理得cosB=心中衛(wèi)=券=J,

Zaczacz

因?yàn)锽e（0,IT）,所以B=E

因?yàn)镠是△ABC的垂心，所以說?麗=0,

因?yàn)辂?JH=13C-（BA+AH）=JCBA+BC-AH=JC-BA=8,

所以|近|?|或|cosB=8,所以|麗|?|游|=16,

所以S44BC=3前”而卜inB=1x16x弓=4g，

故選：C.

【例4】（23-24高一下?浙江?期中）設(shè)。為△ABC的內(nèi)心，AB=AC=13,BC=10,AO=mAB+nAC

(m,nER),則m+n=()

1313「5「5

AA?瓦BD.而C,-D,-

【解題思路】取BC的中點(diǎn)E,連AE,則。E為內(nèi)切圓的半徑，利用面積關(guān)系求出。E,得而=守，再根據(jù)

AE=+m)得而=^AB+gxC,由平面向量基本定理求出犯n可得答案.

【解答過程】取8c的中點(diǎn)E,連4E,

2

因?yàn)榱=AC=13,BC=10,所以AE_LBC,AE=J132-(lx10)=12,

所以△ABC的內(nèi)心。在線段AE上，OE為內(nèi)切圓的半徑，

因?yàn)镾44BC=SXAOB+S&AOC+^ABOC>

所以/E?8C=如?(4B+AC+8C),

所以！X12X10=goE.(13+13+10),得OE=?

所以力。=AE-OE=12-y=y,

所以彩=篇而，

又族=*荏+而)，所以正=||同+||正

又已知力。=+71AC,所以771=71=!1,

36

1?

所以m+n=*.

Io

【變式4-1](2024?安徽淮南?一模)在△4BC中，AB=4/C=6,點(diǎn)。，E分別在線段AB,AC上，且。

為4B中點(diǎn)，AE=^EC,若而=詬+荏，則直線4P經(jīng)過△4BC的().

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【解題思路】根據(jù)題意，可得四邊形4DPE為菱形，即可得到4P平分N82C,從而得到結(jié)果.

【解答過程】

A

E

/P、

BC

因?yàn)?8=4/C=6,且。為48中點(diǎn)，族=癡，

則|詬|=|荏|=2,

又因?yàn)槎?而+旋，則可得四邊形4DPE為菱形，

即4P為菱形4DPE的對角線，

所以力P平分NE4C,即直線4P經(jīng)過△ABC的內(nèi)心

故選：A.

【變式4-2］（2024高三?全國?專題練習(xí)）在△4BC中，|萬|=2,|而|=3,|麗|=4,。是△4BC的內(nèi)心,

且萬=4萬+〃麗，貝！M+〃=（）

9787

A—R——r-n-

c.10D.10J99

【解題思路】根據(jù)引理證明定理3,即可定理3的結(jié)論求解.

【解答過程】先證明：引理（“奔馳”定理）如圖1,O是△4BC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC,△力OC,△力。B的面

積分別為L，SB，SC,則S4萬？+Sp赤+S灰=G.

證明如圖3,延長AO,與BC邊相交于點(diǎn)D,

則_S4ABD_S4BOD_-SABOD_S4ABD-S4BOD_紅

、［℃|SMOD—SACODS^ACD—S/ODSB，

記^^=九則^OD—OB-X^OC—OD),

所以一(1+2)赤+OB+WC=0,

又麗=譚忸一亮河所以建大+剽市+加+泓=工

_--->--->--->—>

從而S/OZ+SBOB+S(jOC=0.

接下來證明定理3O是△ABC的內(nèi)心=a方+b標(biāo)+c沆=6(其中a,b,c是△ABC的三邊長).

證明：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,0是△ABC的內(nèi)心，

貝1JSABOCSAAOCSZ^OB=拳?苫=a:b:c.

根據(jù)引理得,0是△ABC的內(nèi)心QO01+bOB+cOC=0.

由而=ZAB+畫,可得而=A（OB-ol）+^（OC-OB）,

即（1-2涵+（A-n）OB+nOC=0,

因?yàn)?。為△ABC的內(nèi)心，|短|=2,|彳4=3,|就|=4,

根據(jù)定理3,可知一=空=今解得a=3，林=三,故4+〃

故選：D.

【變式4-3］（2024高一?全國?專題練習(xí)）已知△48C所在的平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足?=|說|而+|而|同，

則直線4P一定經(jīng)過△ABC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解題思路】由題意可得而=|四||而|（焉前+焉河），平行四邊形法則知焉西+焉■而表示的向量在

三角形角4的平分線上，從而即可得答案.

【解答過程】解：因?yàn)槎?|同由+|就|同

-?-->--?1--?1-->

/=網(wǎng)“|（鬲4C+而產(chǎn)）,

???根據(jù)平行四邊形法則知焉前+溫西表示的向量在三角形角力的平分線上，

而向量Q與焉元+焉西共線，

P點(diǎn)的軌跡過△4BC的內(nèi)心.

故選：C.

【題型5外心問題】

【例5】（2024?安徽?模擬預(yù)測）已知△ABC的外心為G,內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,瓦c,且a:b：c=5:5:8.若

CA-CB^-28,則四怎=（）

A.yB.50C.25D.25V2

【解題思路】由題意設(shè)a=5m,6=5m,c=8m（zn>0）,由余弦定理結(jié)合CA,CB=-28可求出m,從而可求

出a,b,c的值，求得aaBC外接圓半徑R,由向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算化簡求解即可.

【解答過程】由已知，令a=5m,6=5zn,c=8m（ni>0）,所以△ABC是等腰三角形.

由余弦定理，得8S〃CB=（5叱黑仁刎;招

因?yàn)槭?麗=—28,所以57nx5znxcos乙4c8=—28,解得TH=2（負(fù)值已舍去），

所以a=10,b=10,c=16.

設(shè)△48C的外接圓半徑為R,

因?yàn)閟inZJlCB=1—cos2Z-ACB=Jl—（―^）2=|^,

所以2R=G=苧，所以R=CG=g.

由△4BC為等腰三角形知/GCB=拉4紙

所以COS2/GC8=COS2（|ZXCB）=i+8—B=言，即cos/GCB=|.

所以無?CB=|cG||cF|coszGCB=yx10x|=50.

故選：B.

【變式5-1］（2024?云南曲靖?二模）已知。是的外心，AB+AC=2AO,\OA\=\AB\,則向量就在

向量而上的投影向量為（）

A.-^BCB.~^BCC.軟D.^BC

【解題思路】依題意可知。是BC的中點(diǎn)，從而得到NBAC=90。，〃CB=30。，解法一：過點(diǎn)4作力D1BC,

垂足為。，即可得到CD=*C,結(jié)合投影向量的定義即可得解；解法二：設(shè)|而|=2,根據(jù)向量而在向量前

上的投影向量等于鬻灰計(jì)算可得.

【解答過程】由屈+左=2同，所以。是BC的中點(diǎn)，又。是△48C的外心，

則ABAC=90。，再由|科|=|四|而|=|而|=|沆|=義而

則△AB。為正三角形，4CB=30°,

角度一：如圖，過點(diǎn)4作4D1BC,垂足為D,則BD=：BO=；BC,CD=^BC,

所以向量元在向量配上的投影向量等于反=河.

角度二：設(shè)I麗1=2,則|同1=1,所以I斤I=422-12=刑,

所以向量前在向量近上的投影向量等于需嬴="等配=源.

故選：C.

【變式5-2](2024?新疆一模)已知平面向量就，礪滿足|51|=|而|=2,?赤=-2,點(diǎn)。滿足

DA=2OD,￡為aaoB的外心，則赤?前的值為()

A16c8-8-16

A.——B.--C.-D.-

【解題思路】求出瓦?，南的夾角，作出平面直角坐標(biāo)系，表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出三?前的值.

【解答過程】由題意，|瓦?1=1而1=2,

?：OA-OB=\OA\■|OB|COS0=2zcos0=-2,解得：cos。=—1,

二兩向量夾角8=y,

■.■DA=2OD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4,垂直于04所在直線為X,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則。(0,0)/(2,0)鳳_1,回，設(shè)CQ0),由55=2麗知(2-久,0)=2(x,o),

解得x=|,

???嗚。)

又E為△AOB的外心，

.-.Z.AOE=jzXOB=^,0E=EA,Z.AOE=Z.EAO=Z.OEA=1,

.?.△40E為等邊三角形,

.-.OB-FD=-1.

故選：B.

【變式5-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知△4BC中，AO=AAB+（1-2）XC,且。為△力8C的外心.若瓦5在

前上的投影向量為4近，且cos〃OCeL，|],貝打的取值范圍為（）

兒[|昌B.[|±]C.[i,|]D,[|,|]

【解題思路】根據(jù)題意2,O,C三點(diǎn)共線.因?yàn)?。為?BC的外心，即有|耐|=|而|=|才所以△48C

為直角三角形，利用向量得投影結(jié)合圖形即可得解.

【解答過程】

因?yàn)槎?XAB+（1-2）ZC=AAB+AC-AAC,

則萬一尼=2（屈—尼），所以而=2而，即2,O,C三點(diǎn)共線.

因?yàn)?。為?BC的外心，即有|瓦?|=\OB\=\OC\,

所以△ABC為直角三角形，因此。為斜邊8c的中點(diǎn).因?yàn)閏os乙4OCCB，H，所以N/1OC為銳角.

如圖，過點(diǎn)4作4Q1BC,垂足為Q.

因?yàn)榈对诨疑系耐队跋蛄繛榈?面,所以：<4<1,

所以就在就上的投影向量為麗=BQ-BO=〃麗-次=

又因?yàn)镮。力|=^\BC\,所以cos乙40C2〃一L

410力1

因?yàn)閏os-OCet，|],所以2〃一1€七|]，

故選：A.

?課后提升練（19題

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知在aABC中，G為△4BC的重心，D為邊BC中點(diǎn)，則（）

A.AB+AC=2AGB.AD=3AG

C.AB-ACAD2-'BD2D.AB-AD=AC-AD

【解題思路】利用三角形的重心的向量表示及向量的線性運(yùn)算即可求解.

【解答過程】在△ABC中，G為△ABC的重心，。為邊8C中點(diǎn)，

對于A,因?yàn)檠?尼=2而=2x|■蕊=3正，故A錯(cuò)誤；

對于B,因?yàn)榍?|正，故B錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)樵凇?BC中，D為邊BC中點(diǎn)，

則荏=詬+麗=AD-BD,ZC^AD+DC^AD+~BD,

所以荏?尼=（前一而）?（前+麗）=前2-麗之，故c正確；

對于D,若荏?前=前?而成立，

貝!1（同一灰）?前=0,即瓦?詬=0,則麗1而，

又。為邊中點(diǎn)，故2B=aC,這不一定成立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知平面上四個(gè)點(diǎn)4BCD,其中任意三個(gè)不共線.若說?而=而?詬，則直

線4D一定經(jīng)過三角形ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【解題思路】由題意得4D1CB,即BC邊上的高所在直線為4D,由此即可得解.

【解答過程】因?yàn)檐?前=前?而，所以而?荷=（法—而）?麗=荏?前一前?前=0,

所以4D1CB,即直線力。一定經(jīng)過三角形力BC的BC邊上的高，即直線力。一定經(jīng)過三角形4BC的垂心.

故選：D.

3.（23-24高一下?河北?期中）平面向量中有一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論：己知。為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC,

△40C,△40B的面積分別為力，SB，SC,貝凡?耐+?赤+S°?3=6.因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)

志，所以稱為“奔馳定理已知。為△4BC的內(nèi)心，三個(gè)角對應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知a=3,b=2

W,c=5,則麗?前=（）

A.2V^—8B.-2C.V6-7D.3V

【解題思路】根據(jù)三邊，先求出角B的余弦值，再由內(nèi)心可得到SHSRSC=a山:c,進(jìn)而由“奔馳定理”得到。刀

+bOB+cOC=Of在對向量進(jìn)行線性運(yùn)算即可.

【解答過程】因?yàn)閍=3,b=2V3,c=5,

11

所以cosB=4"2一扭

因?yàn)?。為?BC的內(nèi)心，設(shè)Nl=Z.0BC/2=Z.0B4,由題意41=42,

貝（jS^Sc=jBO||BC|sinNl申B0||B4|sin/2=a:b,

同理可得S/：SB：SC=a\b\c

所以根據(jù)“奔馳定理'有a瓦？+bOB+cOC=0,

所以a初一所）+bOB+c（BC-BO）=0,

即由=

a+b+ca+b+c

所以麗.就=（―^^+—^―數(shù)）?（說—函），

\a+b+ca+b+c/

5>23>22???-

=——KBC-——7=BA-——7=BC-BA=2V3-8.

8+2V38+2V38+2V3

故選：A.

4.（2024?四川南充?三模）已知點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)，若刀?（卷!；—緇）=麗?晨—黑）=0,則點(diǎn)P

\AC|I\DCI\DA\

是△ABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義可得4P平分NBAC,BP平分乙4BC,結(jié)合

三角形內(nèi)心定義判斷即得.

【解答過程】在△由中，由次（備溫）=。，得港債訪?瑞，

即而濡=喬湍，由麗,（需第=。，同理得誘簫=而需，

顯然而46,即P與4不重合，否則cosN4BC=l,同理所46,

貝!JMP|COSNP4C=|aP|coszJM8,即cosZJMC=cosZPAB,Z.PAC=Z.PAB,

于是力P平分NB力C,同理BP平分N4BC,

所以點(diǎn)尸是△4BC的內(nèi)心.

故選：D.

5.(23-24高一下?甘肅?期末)“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美

的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已知M是a/lBC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC,AAMC,△4MB的面積分別為力，SB,Sc,

且54?加4+53?時(shí)8+5「用。=0.若“為448(7的垂心，3M4+4MB+5MC=0,貝i|cosN4MB=()

A一漁B一漁C逅n—

'36'6'3

【解題思路】根據(jù)力-MA+SB-MB+SC-MC=G和3AM+4MB+5MC=［得％SB：SC=3:4:5,從而可以得

出需=4崔=3,設(shè)MD=x,MF=y,得4M=3x,BM=2y,再結(jié)合垂心和直角三角形余弦值即可求解.

【解答過程】

如圖，延長4M交BC于點(diǎn)D,延長BM交4c于點(diǎn)F,延長CM交2B于點(diǎn)E.

由M為△4BC的垂心，3M4+4MB+5MC=0,且力?MA+SB?MB+S。?MC=G,

得S?SB：SC=3:4:5,所以SB=爭4&=我，

又SNBC=S4+SB+SC，則等=4,同理可得鬻=3,所以券=4,需=3,

設(shè)M￡)=%,MF=y,則ZM=3久，BM=2y,

所以cos/BMD=/=cos乙4MF=5,BP3x2=2y2,：=手,

所以COSNBMO=/=平，

所以cos/ZMB=cos(7i—zBMP)=—cosZ-BMD=一華.

故選：B.

6.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知在△ABC中，角4SC的對邊分別為見仇c,2sinA=acos&c=2.若G為AABC

的重心，貝!JG/2+GB2—Gf2的最小值為()

A12-4V2「8+4V2「4V2-2卜4+2V2

'?-^―B.C.-1―D.―r

【解題思路】先根據(jù)已知條件，利用正弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出角C,然后利用余弦定理、基

本不等式求出小+b2<8+4Vxeos乙4D&cos乙4DB,并且結(jié)合cos乙4DC+cosZ-ADB=0得到4〃的表達(dá)式，

即可求得G/2的表達(dá)式，同理可得G/GC2的表達(dá)式，進(jìn)而得到G/2+GB2-GC2的最小值.

【解答過程】由2sinZ=acosC及c=2可得csin/=acosC,由正弦定理可得sinCsinZ=sirL4cosC,

又/E(Oji),sin/>0,故sinC=cosC,即tanC=1,而CG(0,ir),故C=：；

由余弦定理得c2=@2+b2-2abcos^,故M+b2=4+dab<4+-y(a2+Z)2),

故小+按<8+4魚，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=54+2魚時(shí),取等號(hào)；

設(shè)。為的中點(diǎn)，連接ZD,貝!JG在力。上，

22

E,c^2+-b2“AD2+^c2

貝IJCOSZJIOC=-------%—,cosz.ADB=-------\—,

24嗎24D《

由COSNADC+COS/.ADB=0可得好=空亨衛(wèi)，

貝32=(|財(cái)2=空笥工

同理可得詼=2M+jc5,Gc2=2弋y,

t^GA2+GB2-GC2=^(5c2—a2—b2)=+次)

2蕓—白(8+4&)=工￡返，當(dāng)且僅當(dāng)a=6=，4+2魚時(shí),取等號(hào),

故G4+GB2—GC2的最小值為與平

故選：A.

7.(23-24高一下?黑龍江?期中)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出以下定理：

三角形的重心、垂心和外心共線，這條線稱為三角形的歐拉線.已知點(diǎn)G,",。分別為△ABC的重心，垂心，外

心，。為4B的中點(diǎn)，貝。()

A.~CH=~ODB.~CH^20DC.CH=30DD.CH=40D

【解題思路】結(jié)合題意利用點(diǎn)//,。分別為△力BC的垂心，外心得到CH〃OD,并得到△DOG?△CHG,借助

相似及重心性質(zhì)可得CH=2D0,結(jié)合向量關(guān)系表示即可.

【解答過程】因?yàn)椤椤?BC的外心，。為力B的中點(diǎn)，所以。

因?yàn)镠為△A8C的垂心，所以CH1AB,

所以CH//OD,

易得乙DOG=乙GHC,乙ODG=乙GCH,4DGO=4HGC,

所以△DOG?△CHG,所以*=黑

UUUU

因?yàn)镚為△4BC的重心，所以CG=2DG.

所以CH=2C0,

所以屈=2礪.

8.(2024?安徽?三模)平面上有△ABC及其內(nèi)一點(diǎn)O,構(gòu)成如圖所示圖形，若將△04B,△OBC,△OCX

的面積分別記作Sa,Sb,則有關(guān)系式Sa?函+Sb?礪+S’?覺=0.因圖形和奔馳車的log。很相似，常

把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”.已知△ABC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若滿足a?瓦？+b?赤+c?

OC=0,則。為△ABC的()

A

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【解題思路】根據(jù)平面向量基本定理可得*=匕興=，延長C。交4B于E,延長80交4c于F,根據(jù)面積比

3aabaa

推出盤=黑，結(jié)合角平分線定理推出CE為乙4cB的平分線，同理推出BF是乙4BC的平分線，根據(jù)內(nèi)心的

R七I1九1

定義可得答案.

【解答過程】由Sa?瓦5+Sb?礪+Sc?沅=。得被=-^OB-^OC,

由a?瓦？+b?赤+c?沉=0得函=--0F-￡0C,

aa

根據(jù)平面向量基本定理可得T=4-?=-3

◎aaa

所以

、aa3aa

延長C。交ZB于E,延長BO交力C于F,

同名=幽又為=月所以幽=々=幽

所以CE為乙4cB的平分線，

同理可得BF是NABC的平分線，

所以。為△48C的內(nèi)心.

故選：B.

二、多選題

9.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中）在△4BC中，AB=4C=5,BC=6,P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，AP=xAB

+yAC,則下列說法正確的是（）

A.若P為△斗鳥。的重心，貝反+y=：B.若P為△ABC的外心，則麗?阮=一18

C.若P為△ABC的垂心，則久+y=?7D.若P為△力BC的內(nèi)心，則x+y=￡c

【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，對于A、C、D：先求出三角形各種心的坐標(biāo)，然后代入坐標(biāo)列方程求

解；對于B：利用麗?前=(方+話)?麗展開計(jì)算即可.

【解答過程】在△4BC中，AB=AC=5,BC=6,P為△4BC內(nèi)的一點(diǎn)，

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則4(0,4),5(-3,0),C(3,0),

對于選項(xiàng)A：若P為△力BC的重心，貝反「=上/=0,yp=i±2±￡=i則p(o,§,

所以4P==(-3-4),XC=(3-4),

若/P=xAB+yAC,由平面向量基本定理可得：1_4%_4y=--9

17

解得尤=y=W，所以x+y=］故選項(xiàng)A不正確；

對于選項(xiàng)B：若P為△力BC的外心，其必在直線力。上，

所以麗^C=(PO+~OB)-~BC=PO~BC+~OBBC=3X6X(-1)=-18,故選項(xiàng)B正確;

對于選項(xiàng)C：若P為△4BC的垂心，其必在40上，設(shè)P(0,m),

則加?AB=(-3,m)-(-3,-4)=9-4m=0,解得m='

此時(shí)而==(-3,-4),4C=(3,-4),

^AP=xAB+yACf由平面向量基本定理可得：上軌一4y=一人

77

解得％=y=豆，所以久+y=?,故選項(xiàng)C正確；

對于選項(xiàng)D：若尸為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為7，

貝嶺x6x4=^xrx(5+5+6),得r