2025年1月“八省聯(lián)考”押題預(yù)測卷03

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填

寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足3-i,則z的共輾復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

z

【解析】由題意得---=l+i,故z=（l+i）（3—i）=3+3i—i—i2=2i+4，

3-i

故』=-2i+4,顯然I在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)是（4-2），在第四象限，故D正確?

故選：D

A—[x\3x^-8x+4<o|5=[x]1日x<0）An

2.已知集合〔IJ,—貝ij/u"（）

A.],1B.[1,2）C.（一叫2）D.（0,2）

【答案】D

2

【解析】由題意可得/=-8x+4<o}=>,B={x|lgx<0}=1x|0<x<ij,故

入3=（0,2）.

故選：D

22

3.若點(diǎn)（-3,4）在雙曲線。：?一\=15>0,6>0）的一條漸近線上，則C的離心率為（

)

ab

252555

A.—B.—C.—D.一

91634

【答案】C

第1頁共18頁

【解析】雙曲線c：W-《=1的漸近線方程為＞=±2「

a2b2a

bb4

由點(diǎn)(—3,4)在雙曲線。的一條漸近線上，得4=—2.(—3),解得—=；,

aa3

5

所以C的離心率6='"一+"

a3

故選：C

4.己知平面向量1=(-1,1)3=(2,0),則彳在B上的投影向量為()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(-72,0)D.(V2,0)

【答案】A

【解析】r1=(—1,1),3=(2,0),

a-b=—2，W=2,

a-bb一2h八、(，八、

.?.5在3上的投影向量為下「?慟=彳(2,0)=(-1,0).

故選：A.

5.已知cos[W-a]=3cos[a+；],則tan(z=()

A.2B.1C.3D.

3

【答案】B

”，，兀(兀

所以cos—ciH——3cosaH—

2I4[4

即sin[a+：J=3cos]。[

兀

tana+tan—1

所以tan[a+：J=3,則tan1a+；-----------=3,解得tana二一.

兀2

1-tanatan一

4

故選：B

6.甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是(

A.156B.210C.211D.216

第2頁共18頁

【答案】D

【解析】若三人站在一個臺階上，有C：A；種站法,

若三人站在兩個臺階上，有種站法，

若三人站在三個臺階上，有種站法，

所以，一共有C：A；+A：A；+C：A；=216種站法.

故選：D.

7.如圖所示，某同學(xué)制作了一個工藝品.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為8的正方體的六個面所截

后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）.若其中一截面圓的周長為4兀，則球的體積為（）

、40君兀n807571°16075716200君兀

■A..-----JD.-----------?-------------L）.-----------------

3333

【答案】C

【解析】設(shè)球的半徑為R,截面圓的半徑為小兩個截面圓間的距離為2d,

因為截面圓的周長為4兀，可得2Tlz=4兀，解得廠=2,

又因為該工藝品可以看成是一個球被一個棱為8的正方體的六個面所截后剩余的部分，

所以兩截面圓之間的距離為2d=8,解得d=4,

根據(jù)球的截面的性質(zhì)，可得A?=/+屋=2?+42=20,即R=2指（負(fù)值已舍去），

所以球的體積為V=—7?3=16。屈.

33

故選：C.

8.記銳角AASC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,C.若2cosc=——號,則8的取值范圍是（）

ab

A.[,[B.（”C.（pf）D.%）

【答案】A

Q7

【解析】因為2cosc=----,所以2abcosC=3/—/，

ab

由余弦定理可得：2qbcosC=q2+/—。2,

第3頁共18頁

可得。2=/——c2；在銳角—BC中，由余弦定理可得:

2

a1+c2-b1

cos5二

2ac

22122

a+a——c>c

/+b2>C223

因為《即《即2a2>-2,

12c

b+c>a212222

a——c+c>a

2

c2

所以一<一7=,

aV3

而I、ID_3c32_6而i”A兀兀)

所以cosB=----<----產(chǎn)=—，所以BE7,二.

4aAM2162)

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知再戶2是函數(shù)/(x)=2sin[a)x-6卜。＞0)的兩個零點(diǎn)，且忖一的最小值是]，則()

兀

A.“X)在0,-上單調(diào)遞增

_3_

JT

B./(%)的圖象關(guān)于直線1=—-對稱

6

7T

C./(X)的圖象可由g(x)=2sin2x的圖象向右平移一個單位長度得到

6

71

D./(X)在-,71上僅有1個零點(diǎn)

\_2」

【答案】ABD

【解析】由題意可知，函數(shù)/(1)的最小正周期7=2義4=如，，。=2,二〃刈=2用11(2》-51.

2coI6J

,.,?71,_717171

對于A,當(dāng)％?0,—時，lx-—€,

3662

JTJT

LI、r.4兀兀

因為y=smx在一二C上單調(diào)遞增，所以/(x)在0,-上單調(diào)遞增，故A正確;

62

對于B,因為/2sin2x=2sin-2,

第4頁共18頁

IT

所以的圖象關(guān)于直線工=—-對稱，故B正確;

6

7?

對于C,將g(x)=2sin2x的圖象向右平移一個單位長度得到：

6

y=2sin21％一［2sinl2x-yj^/(x),故C錯誤;

兀1c兀5兀11兀717兀

對于Dr,當(dāng)工￡一，兀時，2x----€—,-----僅當(dāng)2x——=兀，即》=—時，/W=0,

2666612

7T

即/(x)在不，兀上僅有1個零點(diǎn)，故D正確.

12」

故選：ABD.

10.根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，從秋季進(jìn)入冬季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度均低于10C.現(xiàn)將連續(xù)5天的日

平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù))作為一組樣本，則下列樣本中一定符合入冬指標(biāo)的有()

A,平均數(shù)為3,極差為2B.中位數(shù)為7,眾數(shù)為9

C.眾數(shù)為5,極差為6D,平均數(shù)為4,方差為2

【答案】ABD

【解析】關(guān)鍵點(diǎn)：“連續(xù)5天的日平均溫度均低于10℃”，

將5天數(shù)據(jù)從小到大排序為：再,馬,吃,%,毛，

X+X,+X,+X4+X,,,u

A選項,—-----——j----------=3,占+%2+%3+%4+/=15,

=2,X5=XJ+2,若/=再+2>10,則再>9,與平均數(shù)為3矛盾,

所以A選項正確.

B選項，中位數(shù)是7,眾數(shù)是9,所以將數(shù)據(jù)從小到大排序后，

第3個數(shù)是7,第4,5個數(shù)為9,所以5個數(shù)據(jù)都小于10,所以B選項正確.

C選項，眾數(shù)是5,極差為6,如5,5,9,10,11,第5天超過10,

不符合，所以C選項錯誤.

X+X,+X++X,““

D選項,------——----------=4,Xj+x2+x3+x4+x5=20,

(X1~4)+(x2-4)+(X-4)+(x-4)+(x-4)_

345—乙,

5

22

(%1-4)+(x2-4)'+(x3-4)'+(x4-4)+(x5-4)~=10,

若毛＞10,則匕-4〉6,(匕-盯〉36,矛盾，所以D選項正確.

第5頁共18頁

故選：ABD

11.如圖，已知四面體45CD的各條棱長均等于2,E,廠分別是棱4D,的中點(diǎn).G為平面48。上的一

動點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）

A,三棱錐￡—//。體積為"

2

B.線段CG+GE的最小值為吏Z

當(dāng)G落在直線8。上時，異面直線EF與AG所成角的余弦值最大為立

3

D.垂直于EE的一個面截該四面體截得的截面面積最大為1

【答案】BCD

【解析】對于A,如圖，作COJ_平面48。，垂足為0,因為四面體48c。為正四面體，則。為三角形45。

的中心，

則==所以CO=JC82—BO?4—（垣］:巫

33VI3J3

即正四面體ABCD的高為h=巫,

3

點(diǎn)E到平面ACF的距離為點(diǎn)D平面ACF的距離的一半，即旦

3

所以/YCF=Lx，xlxJix邁=且，故A錯誤;

A

對于B,如圖，作點(diǎn)C關(guān)于平面48。的對稱點(diǎn)C',連接CN交平面48。于點(diǎn)G,過點(diǎn)廠作平面48。的

垂線FH交平面ABD于點(diǎn)M,

作C'HLFH,因為CC',EHu平面3CE,所以點(diǎn)

第6頁共18頁

則FA/=LcO=邁，MH=CO=-CH=0M=-OB=-.

23323

所以CG+GE=C'G+GE2。戶=^C'H2+FH2=故B正確;

對于C,當(dāng)G落在直線3。上時，由最小角定理可知，防與ZG所成的最小角即EE與平面48。所成角,

即NFEM，

V6

所以tanNFEN=W4=3=￡,所以cos/FEM=逅，即異面直線EE與4G所成角余弦最大為

EM2V323

J,故C正確；

3

對于D,如圖，連接EC,EB,因為E是的中點(diǎn)，所以跖同理ER1Z。，

設(shè)平面a交正四面體/BCD的棱CD于點(diǎn)尸，棱ZC于點(diǎn)。，棱48于點(diǎn)S,棱BD于點(diǎn)、R,

所以￡尸，「。，EFLQS,EFLRS,EF1PR,所以PQ//ZD//RS,QS//BC//PR,

又/O_L￡C,ADLEB,EC,仍是平面￡5。內(nèi)的相交直線，則平面￡BC,

所以ZD18C,則PQLQS,即四邊形P0R為矩形，

即平面a截正四面體ABCD的截面為矩形.

設(shè)”="1,即。P=2掰=尸。，坐=01=2z網(wǎng)，即QS=2—2加，0<〃?<1,

CDACBC2

所以Sp3&=2加（2-2加）=4加（1-加）<4x[加+；~”]=1,當(dāng)且僅當(dāng)加=1—加，即加=；時等號成立,

所以平面a截該四面體截得的截面面積最大為1,故D正確.

第7頁共18頁

c

A

故選：BCD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.請寫出同時滿足下面三個條件的一個函數(shù)解析式/(x)=.

①-x)=〃l+x)；②/(x)至少有兩個零點(diǎn)；③/(x)有最小值.

【答案】X*2-2X(答案不唯一)

【解析】取/(x)=/—2x,其對稱軸為x=l,滿足①〃1一%)=〃1+無)，

令/(x)=/—2x=0,解得x=0或2,滿足②/(x)至少有兩個零點(diǎn)，

22

/(X)=X-2X=(X-1)-1>-1,當(dāng)X=1,/(x)min=-1,滿足③/(x)有最小值.

故答案為：X2-2X(答案不唯一).

13.已知隨機(jī)變量J?N(l,02),且尸(JWO)=尸(J2a),則工+—(0<》<。)的最小值為

xa-x

9

【答案】-

2

【解析】因為隨機(jī)變量J?且尸房<0)=尸(*)，則￡=1,可得4=2,

14144

—十------二一+--------[x+(2-x)]

xa-xx2-x2—x

(1+4+—1J/2-x~4x9

>-5+2.-------------

2Ix2(Vx2-xJ2

214q

當(dāng)且僅當(dāng)工=—時，等號成立，所以，一+——(0<x<a)的最小值為萬.

3xa-x

第8頁共18頁

9

故答案為：-

2

14.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過/Q,0）作x軸的垂線交直線了=區(qū)于點(diǎn)3,C滿足方=2反3過8作x軸的

平行線交E：必=尤于點(diǎn)p（尸在8的右側(cè)），若/0PC=3/0BA,貝Usin/COP=.

【答案】-##0.25

4

【解析】依題意不妨設(shè)左＞0,則/。,0）,

因為礪=2數(shù)，所以O(shè)C=O8+8C=go8=1m，|^

所以左），又尸（小，左），

141

所以tan/OA4=—,tanZOPB=tanZAOP=-=

kkk

所以tan/034=tan/0尸3,即/OBA=/OPB,設(shè)=則/。尸。=3a,/OPB=a,

71I71]71

所以NBPC=2a,所以NCAP=N8CM=——a,ZBCP=n-\——a-2a=——a,

212J2

即ZBCP=ZCBP,所以忸P|=|CP|,

由忸P|=|CP|得.—I)?+(1)2=+U_?42.

解得左2=3,所以左=邊5,

33

11V6

所以\OB\717FC|4，

在ACOP中/COP=7i—3a—―a]=§—2a,

所以sin/COP=sin(巴一2a]=cos2a=l-2sin2a=l-2x—二-

I2)44

v7\7

第9頁共18頁

故答案為：一

4

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.

15.（13分）已知數(shù)列｛4｝中q=1,o?+1=2an+3,〃eN*

（1）證明數(shù)列｛4+3｝是等比數(shù)列;

（2）若數(shù)列也｝的通項公式為6*=（〃+1）也+3）,求數(shù)列｛2｝的前〃項和S,.

+2

【答案】（1）證明見解析（2）Sn=n-T

a,』+3一

【解析】（1）證明：因為%+]=2%+3,所以％+|+3=2（%+3）,即4^=2,為常數(shù),

故數(shù)列｛4+3｝是等比數(shù)列.

（2）由（1）知，數(shù)列｛%+3｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列,

所以%+3=4?2"T=2"1,即an=—3，

所以，=(〃+1)?(%+3)=(〃+1)?(2向-3+3)=(〃+1)?2用，

故=2.22+3-23+4.24+...+(?+1)-2B+1,

所以2S"=2"+3?24+…+小2*+(〃+1).2"+，

234B+1n+2

兩式相減得，-Sn=2-2+1-2+1-2+.1-2-(M+1)-2"^=8+'1_2”‘)_(〃+1),2"+2=-n-2,

1—2

所以S”=〃2+2.

16.（15分）某班統(tǒng)計了全班50名同學(xué)在某一周內(nèi)到圖書館借閱次數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表:

借閱次數(shù)01234567合計

男生人數(shù)2535512225

女生人數(shù)4455321125

第10頁共18頁

合計人數(shù)69810833350

若將該周內(nèi)到圖書館借閱次數(shù)不少于3次的學(xué)生，稱為“愛好閱讀生”；少于3次的學(xué)生稱為“一般閱讀生”.

（1）請完成以下2x2列聯(lián)表；問：能否有90%的把握認(rèn)為愛好閱讀與性別有關(guān)？

閱讀

性別合計

一般愛好

男生

女生

合計

附：K2=_______〃(血—_______

n=a+b+c+d.

(tz+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K?>k)0.10.050.01

k2.7063.8416.635

（2）班主任從該周內(nèi)在圖書館借閱次數(shù)為0的同學(xué)中，一次性隨機(jī)抽取3人了解有關(guān)情況，求抽到的男生

人數(shù)X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，沒有90%的把握認(rèn)為喜愛閱讀與性別有關(guān)

（2）概率分布見解析，1

【解析】（1）2x2列聯(lián)表：

閱讀

性別合計

一般愛好

男生101525

女生131225

合計232750

提出假設(shè)五°：是否喜愛閱讀與性別沒有關(guān)系,

根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以求得:

42一50(10x12—13x15)2

0.725<2.706,

—25x25x23x27

所以沒有90%的把握認(rèn)為喜愛閱讀與性別有關(guān).

（2）隨機(jī)變量X服從超幾何分布笈（3,2,6）,X可能取0,1,2,

P(X=0)=^±=L,P(X=1)=^1=-,P(x=2)=^^=

c：5、'C：5\5

第11頁共18頁

則X的分布列為:

131

所以￡(X)=0x1+lx《+2x《=l,

故抽取男生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.

17.(15分)如圖，已知平行六面體4BCD—48cA的底面是菱形，AB=2,AC^BD=O,

NA[AB=ZAXAD.

(1)證明：AAXLBD；

jr

(2)若-4=240=2,ABAD=-,點(diǎn)尸在平面/耳。內(nèi)，且平面求AP與平面Z8CD

所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)叵

2

ABCD是菱形，AC-LBD,AB=AD,

:N&4B=N&4D,與AA/D全等，；.4B=4Q,

,??。為60的中點(diǎn)，，4。，60,

vAC^Ap=O,2。，4。0平面//。，.?.3￡)1平面42。,

又N/u平面N/O,BD±AXA-

jr

(2)???/BCD是菱形，AB=2,NBAD=—,

3

第12頁共18頁

AC1BD,0B=1,0/=G，

22

:24=24。=2,AA^=Ax0+AO,：.Ax0LAO,

由(1)知，Ap±BD,又40,BD工平面4BCD,

4。-L平面ABCD,

以。為原點(diǎn)，以d，OB分別為X軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(百,0,0),5(o,i,o),c(-Ao,o),4(0,0,1),

數(shù)=(-6,0,1)=函，A5=(-V3,l,o),I4C=(-273,0,0),

設(shè)平面4月。的一個法向量為訪=（x,y,z）,

m-AB.=0

則一取JV=1，則z=—1,x=0,

m-AC=0

BP_L平面4B、C,BP=Am=(0,4,—4)(Xw0),

易知平面ABCD的一個法向量為n=（0,0,1）,

設(shè)直線BP與平面ABCD所成的角為，,

\BP-n\UIV2

則sm0=I—,J.=/門,

\BP\\n\荷+(_%)~T

所以直線AP與平面4BCD所成角的正弦值為包.

2

18.（17分）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書

中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是平面內(nèi)動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)。，尸的距離的比值

\MQ\

加=2（2〉。"'1）是個常數(shù)‘那么動點(diǎn)”的軌跡就是阿波羅尼斯圓'圓心在直線上.已知動點(diǎn).的

第13頁共18頁

軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+/=2,定點(diǎn)分別為橢圓二+《=1伍〉6〉0）的右焦點(diǎn)廠與右頂點(diǎn)

ab

A,且橢圓。的離心率為e=一.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）如圖，過點(diǎn)E斜率為以上<。）的直線/與橢圓。相交于瓦。（點(diǎn)8在無軸上方）兩點(diǎn)，點(diǎn)S,T是橢圓

。上異于民D的兩點(diǎn)，SF平濟(jì)NBSD,TF平6NBTD.

\BT\

①求置的取值范圍;

②將點(diǎn)S,廠,T看作一個阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若△5FT外接圓的周長為3癡71，求直線/的方程.

22

BT\,x廠

【答案】（1）土+土=1;⑵①不串。⑶；?y=-45x+

43

/I—\卜一夜|C+y/2

【解析】⑴令M土/2,0，?^——甘=—洋,且a=2c,解得。2=1，

'1”qa+J2

22

.?./=482=/_02=3,橢圓。的方程為二+2=1.

43

BT局\BF\,以下求\B扁F\的值,

（2）①由角平分線定理知:

DT

令直線AD的方程為：％=小+1（加<0）,

x=my-^-1

22=>（3〃J+4）I2+6陽-9=0（該方程的A>0恒成立）,

—%+—y=i1

[43

6m_-9

設(shè)5（X],%）,￡>（》2,%）,（為<x）.則

2yl+%3m2+4，y，）；2~3m2+4

第14頁共18頁

再令BF=AFD，即必=一力8，代入韋達(dá)定理得

6m(1-2-T

%+為=-22：

3m+4I'723m2+4n(1T)24m2

=><

-9-923m2+4

%%=2.，I-2)^2=-----7-------'

3Qm+4AI23m2+4

4m2

由加2〉0知,——5e

3m2+4

,。<3<。二二3,

233

又加＜0,忸司＞，）司,故為＞1,

\BT/、

，1<2<3,即向3).

TBBF

②由①知,\\,由阿波羅尼斯圓定義知,S,T,廠在以民。為定點(diǎn)的阿波羅尼斯圓上,

\SD\TDIS

設(shè)該圓圓心為G，半徑為，與直線/的另一個交點(diǎn)為N,則有

\BT\5N2r+BF\

1-，MM㈤

\DT\~-2r-DF\\BF\-\DF\{'

22同理

而忸巴'|=A/(X1-1)+J1=2-1X1,|DF|=2—g/，

由①知，x+x?=m(y}+y7)+2=------------b2=——----

12v1273m2+43m2+4

?(…)+「M

X]?3=(myl+1)?(加％+1)=nry1y,+m

4一（、1+工2）+：再、2

.,.由(*)式n

第15頁共18頁

84—12冽2

3加2+43加2+4=3,12+1

,4-12加224r

-4——-——

3m2+4

由圓周長公式：2Tlz=3街兀=>r-

2

3dmF37621

------.——=------nm=—

2A/T7?25

—旦

5

直線/的方程為x=-+1=>y=—出.

19.(17分)已知函數(shù)/(x)=lnx+av—6,其中a,6eR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)g(x)=MXx).

(i)證明：曲線V=g(x)