PAGEPAGE1§11.3變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例最新考綱1.通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀相識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.經(jīng)驗用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程．知道最小二乘法的思想，能依據(jù)給出的線性回來方程系數(shù)公式建立線性回來方程.3.通過對典型案例的探究，了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其初步應(yīng)用.4.通過對典型案例的探究，進一步了解回來分析的基本思想、方法及簡潔應(yīng)用．1．兩個變量的線性相關(guān)(1)正相關(guān)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．(2)負(fù)相關(guān)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)．(3)線性相關(guān)關(guān)系、回來直線假如散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線旁邊，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回來直線．2．回來方程(1)最小二乘法求回來直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2)回來方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回來方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))3．回來分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點的中心．(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)．r的肯定值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的肯定值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．4．獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個隨機變量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．(3)獨立性檢驗利用隨機變量K2來推斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．概念方法微思索1．變量的相關(guān)關(guān)系與變量的函數(shù)關(guān)系有什么區(qū)分？提示相同點：兩者均是指兩個變量的關(guān)系．不同點：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系．②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不肯定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．2．如何推斷兩個變量間的線性相關(guān)關(guān)系？提示散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線旁邊，或者通過計算相關(guān)系數(shù)作出推斷．3．獨立性檢驗的基本步驟是什么？提示列出2×2列聯(lián)表，計算k值，依據(jù)臨界值表得出結(jié)論．4．線性回來方程是否都有實際意義？依據(jù)回來方程進行預(yù)報是否肯定精確？提示(1)不肯定都有實際意義．回來分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回來方程才有實際意義，否則，求出的線性回來方程毫無意義．(2)依據(jù)回來方程進行預(yù)報，僅是一個預(yù)報值，而不是真實發(fā)生的值．題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系．(×)(2)“名師出高徒”可以說明為老師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系．(√)(3)只有兩個變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回來模型才有預(yù)料價值．(√)(4)某同學(xué)探討賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，得線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.352x＋147.767，則氣溫為2℃時，肯定可賣出143杯熱飲．(×)(5)事務(wù)X，Y關(guān)系越親密，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越大．(√)題組二教材改編2．為調(diào)查中學(xué)生近視狀況，測得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視．在檢驗這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時，用下列哪種方法最有勸服力()A．回來分析 B．均值與方差C．獨立性檢驗 D．概率答案C解析“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨立性檢驗推斷．3．下面是2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1a2173x2222547總計b46120則表中a，b的值分別為()A．94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52答案C解析∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.4．某車間為了規(guī)定工時定額，須要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．依據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件數(shù)x(個)1020304050加工時間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)覺表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________．答案68解析由eq\x\to(x)＝30，得eq\x\to(y)＝0.67×30＋54.9＝75.設(shè)表中的“模糊數(shù)字”為a，則62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.題組三易錯自糾5．某醫(yī)療機構(gòu)通過抽樣調(diào)查(樣本容量n＝1000)，利用2×2列聯(lián)表和K2統(tǒng)計量探討患肺病是否與吸煙有關(guān)．計算得K2＝4.453，經(jīng)查閱臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，現(xiàn)給出四個結(jié)論，其中正確的是()A．在100個吸煙的人中約有95個人患肺病B．若某人吸煙，那么他有95%的可能性患肺病C．有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”D．只有5%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”答案C解析由已知數(shù)據(jù)可得，有1－0.05＝95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”．6．在一次考試中，5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成果如下表：(已知學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成果具有線性相關(guān)關(guān)系)學(xué)生的編號i12345數(shù)學(xué)成果x8075706560物理成果y7066686462現(xiàn)已知其線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.36x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則依據(jù)此線性回來方程估計數(shù)學(xué)得90分的同學(xué)的物理成果為______．(四舍五入到整數(shù))答案73解析eq\x\to(x)＝eq\f(60＋65＋70＋75＋80,5)＝70，eq\x\to(y)＝eq\f(62＋64＋66＋68＋70,5)＝66，所以66＝0.36×70＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))＝40.8，即線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.36x＋40.8.當(dāng)x＝90時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.題型一相關(guān)關(guān)系的推斷例1(1)視察下列各圖形，其中兩個變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是()A．①②B．①④C．③④D．②③答案C解析由散點圖知③中的點都分布在一條直線旁邊．④中的點都分布在一條曲線旁邊，所以③④中的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系．(2)(2024·廣州質(zhì)檢)依據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)的柱形圖．以下結(jié)論不正確的是()A．逐年比較，2008年削減二氧化硫排放量的效果最顯著B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈削減趨勢D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案D解析從2006年，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項正確；2007年二氧化硫排放量較2006年降低了許多，B選項正確；雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢，C選項正確；自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D選項錯誤，故選D.思維升華判定兩個變量正，負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時，正相關(guān)；當(dāng)r<0時，負(fù)相關(guān)．(3)線性回來方程中：當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))>0時，正相關(guān)；當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))<0時，負(fù)相關(guān)．跟蹤訓(xùn)練1(1)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若全部樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝－eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－1 B．0C．－eq\f(1,2) D．1答案A解析完全的線性關(guān)系，且為負(fù)相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為－1，故選A.(2)x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中全部正確命題的序號為________．①x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系；②在該相關(guān)關(guān)系中，若用y＝擬合時的相關(guān)指數(shù)為Req\o\al(2,1)，用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))擬合時的相關(guān)指數(shù)為Req\o\al(2,2)，則Req\o\al(2,1)>Req\o\al(2,2)；③x，y之間不能建立線性回來方程．答案①②解析在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系，故①正確；由散點圖知用y＝擬合比用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))擬合效果要好，則Req\o\al(2,1)>Req\o\al(2,2)，故②正確；x，y之間可以建立線性回來方程，但擬合效果不好，故③錯誤．題型二回來分析命題點1線性回來分析例2下圖是我國2011年至2024年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2011～2024.(1)由折線圖看出，可用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回來方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)料2024年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(t)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝28,eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55.eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\i\su(i＝1,7,t)iyi－eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,y)i＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\x\to(y)＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(2.89,28)≈0.10，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈1.331－0.10×4≈0.93.所以y關(guān)于t的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.93＋0.10t.將2024年對應(yīng)的t＝9代入回來方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.93＋0.10×9＝1.83.所以預(yù)料2024年我國生活垃圾無害化處理量約為1.83億噸．命題點2非線性回來例3某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚費，需了解年宣揚費x(單位：千元)對年銷數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)依據(jù)散點圖推斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個相宜作為年銷售量y關(guān)于年宣揚費x的回來方程類型？(給出推斷即可，不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.依據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣揚費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣揚費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).解(1)由散點圖可以推斷，y＝c＋deq\r(x)相宜作為年銷售量y關(guān)于年宣揚費x的回來方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回來方程，由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)·yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時，年銷售量y的預(yù)報值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②依據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣揚費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大．思維升華回來分析問題的類型及解題方法(1)求回來方程①依據(jù)散點圖推斷兩變量是否線性相關(guān)，如不是，應(yīng)通過換元構(gòu)造線性相關(guān)．②利用公式，求出回來系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^)).③待定系數(shù)法：利用回來直線過樣本點的中心求系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^)).(2)利用回來方程進行預(yù)料，把線性回來方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(3)利用回來直線推斷正、負(fù)相關(guān)；確定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^)).(4)回來方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)推斷，當(dāng)|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強．跟蹤訓(xùn)練2(2024·全國Ⅱ)下圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回來模型．依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t；依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值；(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)料值更牢靠？并說明理由．解(1)利用模型①，可得該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)．利用模型②，可得該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(億元)．(2)利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．理由如下：(ⅰ下，這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的旁邊，這說明從2010年起先環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．(ⅱ)從計算結(jié)果看，相對于2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)料值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)料值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．題型三獨立性檢驗例4(2024·全國Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)記A表示事務(wù)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事務(wù)A的概率估計值為0.62.(2)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表如下：箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2＝eq\f(200×62×66－34×382,100×100×96×104)≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg到55kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．思維升華(1)比較幾個分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法①通過計算K2的大小推斷：K2越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．②通過計算|ad－bc|的大小推斷：|ad－bc|越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．(2)獨立性檢驗的一般步驟①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．②依據(jù)公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)計算K2的觀測值k.③比較k與臨界值的大小關(guān)系，做統(tǒng)計推斷．跟蹤訓(xùn)練3微信是現(xiàn)代生活進行信息溝通的重要工具，某公司200名員工中90%的人運用微信，其中每天運用微信時間在一小時以內(nèi)的有60人，其余的員工每天運用微信的時間在一小時以上，若將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段，那么運用微信的人中75%是青年人．若規(guī)定：每天運用微信時間在一小時以上為常常運用微信，那么常常運用微信的員工中有eq\f(2,3)是青年人．(1)若要調(diào)查該公司運用微信的員工常常運用微信與年齡的關(guān)系，列出2×2列聯(lián)表：青年人中年人總計常常運用微信不常常運用微信總計(2)依據(jù)2×2列表中的數(shù)據(jù)利用獨立性檢驗的方法推斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“常常運用微信與年齡有關(guān)”？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k0)0.0100.001k06.63510.828解(1)由已知可得，該公司員工中運用微信的有200×90%＝180(人)．常常運用微信的有180－60＝120(人)，其中青年人有120×eq\f(2,3)＝80(人)，運用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)，故2×2列聯(lián)表如下：青年人中年人總計常常運用微信8040120不常常運用微信55560總計13545180(2)將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式可得，K2＝eq\f(180×80×5－55×402,120×60×135×45)≈13.333，由于13.333>10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為“常常運用微信與年齡有關(guān)”．線性回來方程及其應(yīng)用數(shù)據(jù)分析是指針對探討對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成學(xué)問的過程．主要包括：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型對信息進行分析、推斷、獲得結(jié)論．例某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20062008201020122014需求量/萬噸236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)利用(1)中所求出的線性回來方程預(yù)料該地2024年的糧食需求量．解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間近似直線上升，下面來求線性回來方程，先將數(shù)據(jù)處理如下表.年份－2010－4－2024需求－257－21－1101929對處理的數(shù)據(jù)，簡潔算得eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3.2，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2,－42＋－22＋22＋42－5×02)＝eq\f(260,40)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.2.由上述計算結(jié)果，知所求線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))－257＝6.5(x－2010)＋3.2，即eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5(x－2010)＋260.2.(2)利用所求得的線性回來方程，可預(yù)料2024年的糧食需求量大約為6.5×(2024－2010)＋260.2＝6.5×9＋260.2＝318.7(萬噸)．素養(yǎng)提升例題中利用所給數(shù)據(jù)求回來方程的過程體現(xiàn)的就是數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．1．已知變量x和y滿意關(guān)系eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)答案C解析因為eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.1x＋1，－0.1<0，所以x與y負(fù)相關(guān)．又y與z正相關(guān)，故可設(shè)eq\o(z,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))y＋eq\o(a,\s\up6(^))(eq\o(b,\s\up6(^))>0)，所以eq\o(z,\s\up6(^))＝－0.1eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))，－0.1eq\o(b,\s\up6(^))<0，所以x與z負(fù)相關(guān)．故選C.2．(2024·湖南省五市十校聯(lián)考)下表供應(yīng)了某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，一種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位：噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位：噸)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：x/噸3456y/噸2.5t44.5A．3B．3.15C．3.25D．3.5答案A解析eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋t＋4＋4.5,4)＝eq\f(11＋t,4)，線性回來方程過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，所以eq\f(11＋t,4)＝0.7×4.5＋0.35，解得t＝3.3．(2024·廣東省百校聯(lián)盟聯(lián)考)下表是我國某城市在2024年1月份至10月份期間各月最低溫度與最高溫度(單位：℃)的數(shù)據(jù)一覽表.月份12345678910最高溫度/℃59911172427303121最低溫度/℃－12－31－271719232510已知該城市的各月最低溫與最高溫具有相關(guān)關(guān)系，依據(jù)該一覽表，則下列結(jié)論錯誤的是()A．最低溫度與最高溫度為正相關(guān)B．每月最高溫度與最低溫度的平均值在前8個月逐月增加C．月溫差(最高溫度減最低溫度)的最大值出現(xiàn)在1月D．1月至4月的月溫差(最高溫度減最低溫度)相對于7月至10月，波動性更大答案B解析將最高溫度、最低溫度、溫差列表如下：月份12345678910最高溫度/℃59911172427303121最低溫度/℃－12－31－271719232510溫差度/℃171281310787611由表格可知，最低溫度大致隨最高溫度的上升而上升，A正確；每月最高溫度與最低溫度的平均值在前8個月不是逐月增加，B錯誤；月溫差的最大值出現(xiàn)在1月，C正確；1月至4月的月溫差相對于7月至10月，波動性更大，D正確．4．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其線性回來方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\o(a,\s\up6(^))，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，則實數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))的值是()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)答案B解析依題意可知樣本點的中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,8)))，則eq\f(3,8)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(1,8).5．(2024·惠州調(diào)研)某商場為了了解毛衣的月銷售量y(單位：件)與月平均氣溫x(單位：℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4個月的銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x/℃171382月銷售量y/件24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，氣象部門預(yù)料下個月的平均氣溫為6℃，據(jù)此估計該商場下個月毛衣銷售量為()A．46件B．40件C．38件D．58件答案A解析由題中數(shù)據(jù)，得eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝38，回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，且eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝58，則線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，所以當(dāng)x＝6時，eq\o(y,\s\up6(^))＝46，故選A.6．(2024·開封模擬)下列說法錯誤的是()A．回來直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．中的一個點C．在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高D．在回來分析中，R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好答案B解析回來直線必過樣本點的中心，A正確；由殘差分析可知殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高，C正確；在回來分析中，R2越接近于1，模擬效果越好，D正確；線性回來方程對應(yīng)的直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))肯定經(jīng)過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，但不肯定經(jīng)過樣本的數(shù)據(jù)點，所以B錯誤，故選B.7．某市居民2010～2014年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示：年份20102011201220132014收入x11.512.11313.315支出y6.88.89.81012依據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是______，家庭年平均收入與年平均支出有________相關(guān)關(guān)系．(填“正”或“負(fù)”)答案13正解析中位數(shù)是13.由相關(guān)性學(xué)問，依據(jù)統(tǒng)計資料可以看出，當(dāng)年平均收入增多時，年平均支出也增多，因此兩者之間具有正相關(guān)關(guān)系．8．某公司為確定明年投入某產(chǎn)品的廣告支出，對近5年的年廣告支出m與年銷售額t(單位：百萬元)進行了初步統(tǒng)計，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：年廣告支出m24568年銷售額t3040p5070經(jīng)測算，年廣告支出m與年銷售額t滿意線性回來方程eq\o(t,\s\up6(^))＝6.5m＋17.5，則p＝________.答案60解析由于回來直線過樣本點的中心，eq\x\to(m)＝5，eq\x\to(t)＝eq\f(190＋p,5)，代入eq\o(t,\s\up6(^))＝6.5m＋17.5，解得p＝60.9．以下四個命題，其中正確的序號是________．①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的肯定值越接近于1；③在線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋12中，當(dāng)說明變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量eq\o(y,\s\up6(^))平均增加0.2個單位；④對分類變量X與Y的統(tǒng)計量K2來說，K2越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大．答案②③解析①是系統(tǒng)抽樣；對于④，統(tǒng)計量K2越小，說明兩個相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越?。?0．為了推斷中學(xué)三年級學(xué)生選修文科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到如圖所示2×2列聯(lián)表：理科文科總計男131023女72027總計203050已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844，則有________的把握認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)．答案95%解析由題意，K2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844，因為4.844>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)．11．某地區(qū)2009年至2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2009201020112012201320142015年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回來方程；(2)利用(1)中的線性回來方程，分析2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的改變狀況，并預(yù)料該地區(qū)2024年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解(1)由所給數(shù)據(jù)計算得eq\x\to(t)＝eq\f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,7)(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(14,28)＝0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝4.3－0.5×4＝2.3，所求線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知，eq\o(b,\s\up6(^))＝0.5>0，故2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．將2024年的年份代號t＝11代入(1)中的線性回來方程，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5×11＋2.3＝7.8，故預(yù)料該地區(qū)2024年農(nóng)村居民家庭人均純收入為7.8千元．12．某省會城市地鐵將于2024年6月起先運營，為此召開了一個價格聽證會，擬定價格后又進行了一次調(diào)查，隨機抽查了50人，他們的收入與看法如下：月收入(單位：百元)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]贊成定價者人數(shù)123534認(rèn)為價格偏高者人數(shù)4812521(1)若以區(qū)間的中點值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參加調(diào)查的人員中“贊成定價者”與“認(rèn)為價格偏高者”的月平均收入的差異是多少(結(jié)果保留2位小數(shù))；(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，分析是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的看法有差異”．月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計認(rèn)為價格偏高者贊成定價者總計附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k0)0.050.01k03.8416.635解(1)“贊成定價者”的月平均收入為x1＝eq\f(20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×4,1＋2＋3＋5＋3＋4)≈50.56.“認(rèn)為價格偏高者”的月平均收入為x2＝eq\f(20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×1,4＋8＋12＋5＋2＋1)＝38.75，∴“贊成定價者”與“認(rèn)為價格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．(2)依據(jù)條件可得2×2列聯(lián)表如下：月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計認(rèn)為價格偏高者32932贊成定價者71118總計104050K2＝eq\f(50×3×11－7×292,10×40×18×32)≈6.272<6.635，∴沒有99%的把握認(rèn)為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的看法有差異”．13．為調(diào)查某地區(qū)老年人是否須要志愿者供應(yīng)幫助，用簡潔隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別是否須要志愿者男女須要4030不須要160270(1)估計該地區(qū)老年人中，須要志愿者供應(yīng)幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否須要志愿者供應(yīng)幫助與性別有關(guān)？(3)依據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中，須要志愿者供應(yīng)幫助的老年人的比例？說明理由．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).解(1)調(diào)查的500位老年人中有70位須要志愿者供應(yīng)幫助，所以該地區(qū)老年人中，須要志愿者供應(yīng)幫助的老年人的比例的估計值為eq\f(70,500)×100%＝14%.(2)K2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈9.967.因為9.967>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否須要幫助與性別有關(guān)．(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否須要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中須要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采納分層抽樣方法，比采納簡潔隨機抽樣方法更好．14．如圖是某企業(yè)2010年至2024年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2010～2024.(1)由折線圖看出，可用線性回來模型擬合y和t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回來方程，預(yù)料2024年該企業(yè)的污水凈化量；(3)請用數(shù)據(jù)說明回來方程預(yù)報的效果．參考數(shù)據(jù)：eq\x\to(y)＝54，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝21，eq\r(14)≈3.74，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝eq\f(9,4).參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))，線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).反映回來效果的公式為：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\o(y,\s\up6(^))