PAGEPAGE1§4.6正弦定理和余弦定理最新考綱通過對隨意三角形邊長和角度關系的探究，駕馭正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡潔的三角形度量問題．1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．在△ABC中，已知a，b和A時，解的狀況A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．概念方法微思索1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sinA>sinB?提示在△ABC中，由∠A>∠B可推出sinA>sinB.2．如圖，在△ABC中，有如下結論：bcosC＋ccosB＝a.試類比寫出另外兩個式子．提示acosB＋bcosA＝c；acosC＋ccosA＝b.題組一思索辨析1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比．(×)(2)當b2＋c2－a2>0時，三角形ABC為銳角三角形．(×)(3)在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC).(√)(4)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積．(√)題組二教材改編2．在△ABC中，acosA＝bcosB，則這個三角形的形態(tài)為．答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，則△ABC的面積為．答案2eq\r(3)解析∵eq\f(2\r(3),sin60°)＝eq\f(4,sinB)，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).題組三易錯自糾4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c<bcosA，則△ABC為()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形答案A解析由已知及正弦定理得sinC<sinBcosA，∴sin(A＋B)<sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB<sinBcosA，又sinA>0，∴cosB<0，∴B為鈍角，故△ABC為鈍角三角形．5．(2024·桂林質檢)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的狀況是()A．有一解 B．有兩解C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定答案C解析由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq\r(3)>1.∴角B不存在，即滿意條件的三角形不存在．6．(2024·包頭模擬)設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則C＝.答案eq\f(2π,3)解析由3sinA＝5sinB及正弦定理，得3a＝5b.又因為b＋c＝2a，所以a＝eq\f(5,3)b，c＝eq\f(7,3)b，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)b))2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)b))2,2×\f(5,3)b×b)＝－eq\f(1,2).因為C∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3).題型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(2024·天津)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).(1)求角B的大??；(2)設a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，得asinB＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，即sinB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，所以tanB＝eq\r(3).又因為B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq\f(π,3)，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝eq\r(7).由bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，可得sinA＝eq\f(\r(21),7).因為a<c，所以cosA＝eq\f(2\r(7),7).因此sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(4\r(3),7)，cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,7).所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).思維升華(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的狀況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即依據(jù)正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關系，也可以把已知條件化為三角形邊的關系．跟蹤訓練1(1)(2024·天津河西區(qū)模擬)在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin2B－sin2C－sin2A＝eq\r(3)sinAsinC，則B的大小為()A．30°B．60°C．120°D．150°答案D解析因為sin2B－sin2C－sin2A＝eq\r(3)sinAsinC，所以b2－c2－a2＝eq\r(3)ac，即a2＋c2－b2＝－eq\r(3)ac，則cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(\r(3),2)，又0°<B<180°，則B＝150°.(2)如圖所示，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，則sinC的值為．答案eq\f(\r(6),6)解析設AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝eq\f(2a,\r(3))，BC＝eq\f(4a,\r(3)).在△ABD中，cos∠ADB＝eq\f(a2＋\f(4a2,3)－a2,2a×\f(2a,\r(3)))＝eq\f(\r(3),3)，∴sin∠ADB＝eq\f(\r(6),3)，∴sin∠BDC＝eq\f(\r(6),3).在△BDC中，eq\f(BD,sinC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，∴sinC＝eq\f(BD·sin∠BDC,BC)＝eq\f(\r(6),6).題型二和三角形面積有關的問題例2(2024·濟南模擬)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bcosA－acosB＝2c.(1)證明：tanB＝－3tanA；(2)若b2＋c2＝a2＋eq\r(3)bc，且△ABC的面積為eq\r(3)，求a.(1)證明依據(jù)正弦定理，由已知得sinBcosA－cosBsinA＝2sinC＝2sin(A＋B)，綻開得sinBcosA－cosBsinA＝2(sinBcosA＋cosBsinA)，整理得sinBcosA＝－3cosBsinA，所以tanB＝－3tanA.(2)解由已知得b2＋c2－a2＝eq\r(3)bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3)bc,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，由0<A<π，得A＝eq\f(π,6)，tanA＝eq\f(\r(3),3)，∴tanB＝－eq\r(3)，由0<B<π，得B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,6)，a＝c，由S＝eq\f(1,2)acsineq\f(2π,3)＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)a2＝eq\r(3)，得a＝2.思維升華(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就運用哪一個公式．(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化．跟蹤訓練2(1)(2024·承德質檢)若AB＝2，AC＝eq\r(2)BC，則S△ABC的最大值為()A．2eq\r(2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),3)D．3eq\r(2)答案A解析設BC＝x，則AC＝eq\r(2)x.依據(jù)三角形的面積公式，得S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·BCsinB＝xeq\r(1－cos2B).①依據(jù)余弦定理，得cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(4＋x2－2x2,4x)＝eq\f(4－x2,4x).②將②代入①，得S△ABC＝xeq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－x2,4x)))2)＝eq\r(\f(128－x2－122,16)).由三角形的三邊關系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋x>2，,x＋2>\r(2)x，))解得2eq\r(2)－2<x<2eq\r(2)＋2，故當x＝2eq\r(3)時，S△ABC取得最大值2eq\r(2)，故選A.(2)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積是________．答案eq\f(3\r(3),2)解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝eq\f(π,3)，∴c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).題型三正弦定理、余弦定理的應用命題點1推斷三角形的形態(tài)例3(1)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a＝2bcosC，則此三角形肯定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形答案C解析方法一由余弦定理可得a＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，從而△ABC為等腰三角形．方法二由正弦定理可得sinA＝2sinBcosC，因此sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，故△ABC為等腰三角形．(2)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形態(tài)為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定答案B解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，∴△ABC為直角三角形．引申探究1．本例(2)中，若將條件變?yōu)?sinAcosB＝sinC，推斷△ABC的形態(tài)．解∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又A，B為△ABC的內角．∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形．2．本例(2)中，若將條件變?yōu)閍2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，推斷△ABC的形態(tài)．解∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又0<C<π，∴C＝eq\f(π,3)，又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC為等邊三角形．命題點2求解幾何計算問題例4(2024·云南11校跨區(qū)調研)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝eq\f(π,3)，AD∶AB＝2∶3，BD＝eq\r(7)，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝eq\f(2π,3)，求CD的長．解(1)因為AD∶AB＝2∶3，所以可設AD＝2k，AB＝3k.又BD＝eq\r(7)，∠DAB＝eq\f(π,3)，所以由余弦定理，得(eq\r(7))2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcoseq\f(π,3)，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝eq\f(ADsin∠DAB,BD)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).(2)因為AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝eq\f(\r(21),7)，所以sin∠DBC＝eq\f(2\r(7),7)，所以eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，所以CD＝eq\f(\r(7)×\f(2\r(7),7),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).思維升華(1)推斷三角形形態(tài)的方法①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系．②化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，此時要留意應用A＋B＋C＝π這個結論．(2)求解幾何計算問題要留意：①依據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標示；②選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理．跟蹤訓練3(1)(2024·安徽六校聯(lián)考)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形態(tài)為()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案B解析∵cos2eq\f(B,2)＝eq\f(1＋cosB,2)，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝eq\f(a2＋c2－b2,2a)，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC為直角三角形．(2)(2024·洛陽統(tǒng)考)在△ABC中，B＝30°，AC＝2eq\r(5)，D是AB邊上的一點，CD＝2，若∠ACD為銳角，△ACD的面積為4，則BC＝.答案4解析依題意得S△ACD＝eq\f(1,2)CD·AC·sin∠ACD＝2eq\r(5)·sin∠ACD＝4，sin∠ACD＝eq\f(2,\r(5)).又∠ACD是銳角，因此cos∠ACD＝eq\r(1－sin2∠ACD)＝eq\f(1,\r(5)).在△ACD中，AD＝eq\r(CD2＋AC2－2CD·AC·cos∠ACD)＝4，eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(CD,sinA)，sinA＝eq\f(CD·sin∠ACD,AD)＝eq\f(1,\r(5)).在△ABC中，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，BC＝eq\f(AC·sinA,sinB)＝4.1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(13)，b＝3，A＝60°，則邊c等于()A．1B．2C．4D．6答案C解析∵a2＝c2＋b2－2cbcosA，∴13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)．2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝2，b＝2eq\r(3)，C＝30°，則B等于()A．30° B．60°C．30°或60° D．60°或120°答案D解析∵c＝2，b＝2eq\r(3)，C＝30°，∴由正弦定理可得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq\f(\r(3),2)，由b>c，可得30°<B<180°，∴B＝60°或B＝120°.3．(2024·南昌模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，則△ABC的面積為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C．1D．2答案A解析由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sinA＝eq\f(1,2)(負值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知三個向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，cos\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，cos\f(B,2)))，p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，cos\f(C,2)))共線，則△ABC的形態(tài)為()A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形答案A解析∵向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，cos\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，cos\f(B,2)))共線，∴acoseq\f(B,2)＝bcoseq\f(A,2).由正弦定理得sinAcoseq\f(B,2)＝sinBcoseq\f(A,2).∴2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)coseq\f(B,2)＝2sineq\f(B,2)coseq\f(B,2)coseq\f(A,2).則sineq\f(A,2)＝sineq\f(B,2).∵0<eq\f(A,2)<eq\f(π,2)，0<eq\f(B,2)<eq\f(π,2)，∴eq\f(A,2)＝eq\f(B,2)，即A＝B.同理可得B＝C.∴△ABC的形態(tài)為等邊三角形．故選A.A＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為()A．4πB．8πC．9πD．36π答案C解析c＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝eq\f(2\r(2),3)，得sinC＝eq\f(1,3)，再由正弦定理可得2R＝eq\f(c,sinC)＝6，R＝3，所以△ABC的外接圓面積為πR2＝9π，故選C.6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosB的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)答案B解析因為sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).ac，則角B的值為．答案eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析由余弦定理，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，結合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，又0<B<π，∴B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).8．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，則b＝.答案1解析因為sinB＝eq\f(1,2)且B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,6)或B＝eq\f(5π,6).又C＝eq\f(π,6)，B＋C<π，所以B＝eq\f(π,6)，A＝π－B－C＝eq\f(2π,3).又a＝eq\r(3)，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝eq\f(b,\f(1,2))，解得b＝1.9．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,4)，則△ABC的面積為．答案eq\r(3)＋1解析∵b＝2，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,4).由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(2×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝2eq\r(2)，A＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝eq\f(7π,12)，∴sinA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋coseq\f(π,4)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).則S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\r(3)＋1.10.如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，則BD的長為________．答案eq\r(3)解析因為sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，且AD⊥AC，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠BAD))＝eq\f(2\r(2),3)，所以cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，在△BAD中，由余弦定理，得BD＝eq\r(AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD)＝eq\r(3\r(2)2＋32－2×3\r(2)×3×\f(2\r(2),3))＝eq\r(3).11．(2024·珠海模擬)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝btanA.(1)證明：sinB＝cosA；(2)若sinC－sinAcosB＝eq\f(3,4)，且B為鈍角，求A，B，C.(1)證明由正弦定理知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，∴a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入a＝btanA得sinA＝sinB·eq\f(sinA,cosA)，又∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴1＝eq\f(sinB,cosA)，即sinB＝cosA.(2)解由sinC－sinAcosB＝eq\f(3,4)知，sin(A＋B)－sinAcosB＝eq\f(3,4)，∴cosAsinB＝eq\f(3,4).由(1)知，sinB＝cosA，∴cos2A＝eq\f(3,4)，由于B是鈍角，故A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosA＝eq\f(\r(3),2)，A＝eq\f(π,6).sinB＝eq\f(\r(3),2)，B＝eq\f(2π,3)，∴C＝π－(A＋B)＝eq\f(π,6).12．(2024·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－eq\f(1,7).(1)求∠A；(2)求AC邊上的高．解(1)在△ABC中，因為cosB＝－eq\f(1,7)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(3),7).由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2).由題設知eq\f(π,2)<∠B<π，所以0<∠A<eq\f(π,2)，所以∠A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，因為sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3\r(3),14)，所以AC邊上的高為asinC＝7×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(3\r(3),2).13．在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2eq\r(3)absinC，則△ABC的形態(tài)是()A．不等腰的直角三角形B．等腰直角三角形C．鈍角三角形D．正三角形答案D解析易知a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2abcosC＝2eq\r(3)absinC，即a2＋b2＝2absineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,6)))，由于a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時取等號，所以2absineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,6)))≥2ab，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,6)))≥1，故只能a＝b且C＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以△ABC為正三角形．14．(2024·大理模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿意asinB＝eq\r(3)bcosA．若a＝4，則△ABC周長的最大值為