第二十七章相似§27.2相似三角形第4課時(shí)相似三角形的性質(zhì)目錄CONTENTSA課前導(dǎo)航預(yù)習(xí)B課內(nèi)精講精練C課后分層作業(yè)

1.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等

于

.即相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比都等于相似比.相似比

2.相似三角形的周長(zhǎng)比等于

，面積比等于

?.相似比

相似比的平方

典例探究知識(shí)點(diǎn)1

相似三角形的對(duì)應(yīng)線段比

如圖，△ABC是一張銳角三角形硬紙片，AD是BC邊上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G，H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.

求矩形EFGH的周長(zhǎng).變式

解決三角形中截取矩形或正方形問題的方法一般是抽象出相似的

數(shù)學(xué)模型，利用相似三角形中對(duì)應(yīng)線段之比等于相似比來解答.知識(shí)點(diǎn)2

相似三角形的周長(zhǎng)比和面積比

變式（1）△AEF與△CDF的周長(zhǎng)比和面積比；（2）△AEF與△ADF的面積比.（1）△AEF與△CDF的周長(zhǎng)比和面積比；

（2）△AEF與△ADF的面積比.

解相似三角形的周長(zhǎng)比與面積比的問題時(shí)，先判定兩個(gè)三角形相

似，然后確定相似比，最后建立等量關(guān)系求解.

達(dá)標(biāo)小練達(dá)標(biāo)練1

相似三角形的對(duì)應(yīng)線段比1.如圖，線段AB與CD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，M，N分別為AD，

BC的中點(diǎn).若AD∶BC＝2∶3，則OM∶ON等于（

B

）BA.

∶

B.2∶3C.4∶9D.

∶

2.上圖是裝有液體的高腳杯的示意圖，用去一部分液體后，此時(shí)液面

AB的長(zhǎng)是（

C

）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cmC

BA.

＝

B.

＝

C.

＝

D.

＝

變式

5.如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，DE交AC于點(diǎn)G.

若

BC∶EC＝3∶1，S△ADG＝16，則S△CEG的值為

?.4

6.如圖，在?ABCD中，E是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)

F，CD＝2DE.

若△DEF的面積為2，則?ABCD的面積為

?.24

變式

基礎(chǔ)鞏固1.若兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線之比為3∶1，則對(duì)應(yīng)角平分線之

比為（

C

）A.9∶1B.6∶1C.3∶1D.

∶1C2.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對(duì)應(yīng)中線.若AD＝10，

A'D'＝6，則△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)比是（

B

）A.25∶9B.5∶3C.9∶25D.3∶5B3.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，下列說法不正確

的是（

D

）DA.

DE＝

BCB.

＝

C.

△ADE∽△ABCD.

＝

4.如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)

均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB，CD，則△ABE與△CDE

的周長(zhǎng)比為（

D

）A.1∶4B.4∶1C.1∶2D.2∶1D5.如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE，BD交于點(diǎn)F，

S△DEF∶S△BAF＝9∶25，則DE∶EC為（

A

）A.3∶2B.3∶5C.9∶25D.4∶25A

CA.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)7.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，AD＝

2，BC＝3，那么△AOD與△BOC的周長(zhǎng)之比為

，面積之比

為

，△DOC與△BOC的面積之比為

?.2∶3

4∶9

2∶3

8.如圖，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的頂點(diǎn)D，E在AB上，

點(diǎn)F，G分別在BC，AC上.若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，則EF

的長(zhǎng)為

?.

9.如圖，在?ABCD中，AC是對(duì)角線，EF∥BC，且EF與AB相交于

點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，3AE＝2EB，連接DF.

若S△AEF＝1，則

S△ADF的值為

?.

10.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，且AE∶EB＝2∶1，

AF⊥DE于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，則△AEG與四邊形BEGF的面積比

為

?.4∶9

變式

（2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面積為20，求△BCE的面積.

（2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面積為20，求△BCE的面積.

12.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD＝5，BC＝10，四邊形EFGH和四邊形HGNM均為正方形，且點(diǎn)E，F(xiàn)，G，N，M都在

△ABC的邊上，求△AEM與四邊形BCME的面積比.

變式（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積.（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積.

14.如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝15，E是CD邊上的一點(diǎn)，

連接AE，將△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，求

△ECF與△FBA的周長(zhǎng)比和面積比.

能力提升15.

[2023·資陽]如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高

AM＝4，E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)E作直線AB

的垂線，垂足為F，連接DE，DF.

（1）求證：△ABM∽△EBF；（1）證明：∵EF⊥AB，AM⊥BC，∴∠AMB＝∠EFB.

又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF.

變式（2）當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求DE的長(zhǎng).（3）設(shè)BE＝x，△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.請(qǐng)求出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值