高三數(shù)學(xué)第2021-2022學(xué)年上海市金山區(qū)第二學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控高三數(shù)學(xué)試卷(滿分：150分，完卷時間：120分鐘)（答題請寫在答題紙上）一、填空題考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．已知集合，，若，則實數(shù)的值為．2．已知(為虛數(shù)單位)，則．3．已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，其中，，則的公比為．4．的二項展開式中項的系數(shù)為．(結(jié)果用數(shù)字作答)5．若正方體的棱長為2，則頂點到平面的距離為．6．不等式組表示的平面區(qū)域的面積等于．7．已知向量，，則函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間為．8．將一枚骰子先后拋兩次，則向上的點數(shù)之積為12的概率為．(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)9.過拋物線()的焦點且斜率為1的直線交拋物線于、兩點，若，則的值為．10.已知平面向量、滿足，若關(guān)于的方程有實數(shù)解，則△面積的最大值為．11．已知數(shù)列的前項和為，滿足()，函數(shù)定義域為，對任意都有.若，則的值為．12．設(shè)，若存在，使成立的最大正整數(shù)為9，則實數(shù)的取值范圍是_______．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．設(shè)，則“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的()．(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件14．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題中的真命題為()．(A)若∥，∥，則∥(B)若，，則∥(C)若∥，∥，則∥(D)若，，則∥15．某地教育局為了解“雙減”政策的落實情況，在轄區(qū)內(nèi)高三年級在校學(xué)生中抽取100名學(xué)生，調(diào)查他們課后完成作業(yè)的時間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下頻率直方圖.根據(jù)此頻率直方圖，下列結(jié)論中不正確的是()．(A)所抽取的學(xué)生中有25人在2小時至2.5小時之間完成作業(yè)(B)該地高三年級學(xué)生完成作業(yè)的時間超過3小時的概率估計為35%(C)估計該地高三年級學(xué)生的平均做作業(yè)的時間超過2.7小時(D)估計該地高三年級有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間16．對于定義在上的函數(shù)，若同時滿足：(1)對任意的，均有；(2)對任意的，存在，且，使得成立，則稱函數(shù)為“等均”函數(shù).下列函數(shù)中：①；②；③；④，“等均”函數(shù)的個數(shù)是()．(A)1(B)2(C)3(D)4三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分）本題共有2個小題,第1小題滿分6分，第2小題滿分8分如圖，已知四棱錐的底面是梯形，∥，，平面，，，．(1)求四棱錐的體積；(2)求直線與平面所成角的大小.18．（本題滿分14分）本題共有2個小題,第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．在△中，角、、所對的邊分別為、、.已知，且為銳角.(1)求角的大?。?2)若，證明△是直角三角形.19．（本題滿分14分）本題共有2個小題,第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某公司生產(chǎn)的某種時令商品在未來一個月(30天)內(nèi)的日銷售量(百件)與時間第天的關(guān)系如下表所示：第天1310…30日銷售量（百件）236.5…16.5未來30天內(nèi)，受市場因素影響，前15天此商品每天每件的利潤(元)與時間第天的函數(shù)關(guān)系式為(，且為整數(shù))，而后15天此商品每天每件的利潤(元)與時間第天的函數(shù)關(guān)系式為(，且為整數(shù)).(1)現(xiàn)給出以下兩類函數(shù)模型：①(為常數(shù))；②(為常數(shù)，且).分析表格中的數(shù)據(jù)，請說明哪類函數(shù)模型更合適，并求出該函數(shù)解析式；(2)若這30天內(nèi)該公司此商品的日銷售利潤始終不能超過4萬元，則考慮轉(zhuǎn)型.請判斷該公司是否需要轉(zhuǎn)型？并說明理由.20.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，設(shè)是第一象限內(nèi)橢圓上一點，、的延長線分別交橢圓于點、，直線與交于點.(1)求△的周長；(2)當(dāng)垂直于軸時，求直線的方程；(3)記△與△的面積分別為、，求的最大值.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）對于集合，且，定義.集合中的元素個數(shù)記為，當(dāng)時，稱集合具有性質(zhì).(1)判斷集合，是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)設(shè)集合(，且)具有性質(zhì)，若中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，求、的值；(3)若集合具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，問：集合中的元素個數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.高三數(shù)學(xué)參考答案第-2022學(xué)年上海市金山區(qū)第二學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控高三數(shù)學(xué)試卷評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1． 0； 2． ； 3． 3； 4． 24； 5． ； 6． 25； 7． ； 8． ；9． 2； 10．； 11．； 12．．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．C； 14．B； 15．D； 16．B．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：(1).………2分又平面，所以.………5分即四棱錐的體積為.………6分(2)以為原點，射線、、分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.………8分設(shè)是平面的一個法向量，則由,，得取，得.………11分設(shè)直線與平面所成的角為，向量與所成的角為，則，………13分.故直線與平面所成角的大小為.………14分18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：（1）由正弦定理可知，，,，………2分又在△中，，，即，………5分為銳角，．………6分（2），由正弦定理得：，………8分又，，即，，………11分，，故可得，………13分即，△為直角三角形．………14分19．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：(1)若選擇模型（1），將以及代入可得，解得，即，經(jīng)驗證，符合題意；………2分若選擇模型（2），將以及代入可得，解得，即，………4分當(dāng)時，，故此函數(shù)模型不符題意，………5分因此選擇函數(shù)模型（1），其解析式為（且為整數(shù)）………6分(2)記日銷售利潤為，當(dāng)且為整數(shù)時，，對稱軸，故當(dāng)時，利潤取得最大值，且最大值為392（百元）………9分當(dāng)且為整數(shù)時，，當(dāng)時，利潤單調(diào)遞減，故當(dāng)時取得最大值，且最大值為375.25（百元）………12分所以，這30天內(nèi)日利潤均未能超過4萬元，該公司需要考慮轉(zhuǎn)型．………14分20.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）解：(1)由橢圓的定義知，，，………2分故△的周長為.………4分(2)因、，故、，直線的方程為.………6分聯(lián)立解得或即.………8分從而，直線的方程為，即.………10分(3)設(shè)(，)、、.設(shè)直線的方程為，其中.聯(lián)立消去，得.………11分則.又，即，故.同理，.于是.………13分又，故,………15分當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.故的最大值為.………16分另解：令，，，則..………15分當(dāng)且僅當(dāng)，即.故的最大值為.………16分21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）解：(1)，，故集合具有性質(zhì).………2分,，故集合不具有性質(zhì).………4分(2)因集合具有性質(zhì)，故，.(i)若，則解得………6分經(jīng)檢驗，符合題意.故，的值分別為4，5.………7分(ii)若，則解得………9分經(jīng)檢驗，符合題意.故，的值分別為5，9.………10分(3)不妨設(shè)，則在集合中，.又中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，即，故.當(dāng)時，，，，是集合中互不相同的4項，從而，與集合具有性質(zhì)矛盾.………13分當(dāng)時，，即，，成等差數(shù)列，且公差也為，故中的元素從小到大的前三項為，，，………14分且第四項只能是或.(i)若第四項為，則，從而，于是，故，與集合具有性質(zhì)矛盾.………15分(ii)若第四項為，則，故.另一方面，