2024-2025學(xué)年河北省秦皇島市高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷說(shuō)明：1.考試時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分.2.將卷I答案用2B鉛筆涂在答題卡上，卷Ⅱ用黑色字跡的簽字筆答在試卷上.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=（）A. B. C. D.62.已知p：q：，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.為了解中學(xué)生課外閱讀情況，現(xiàn)從某中學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，收集了他們一周內(nèi)的課外閱讀時(shí)間：一周內(nèi)課外閱讀時(shí)間/小時(shí)012345人數(shù)310201720237這100名學(xué)生的一周內(nèi)課外閱讀時(shí)間的分位數(shù)是（）A. B. C. D.4.已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.5.已知，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.6.已知某個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)和高的比為，若側(cè)棱長(zhǎng)為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.7.已知正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，且，若三棱錐的體積為，則該球的表面積為（）A B. C. D.8.在中，，是的中點(diǎn)，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（共3小題，每小題6分，共18分）9.已知事件A，B滿(mǎn)足，，則（）A.事件A與B可能為對(duì)立事件B.若A與B相互獨(dú)立，則C若A與B互斥，則D.若A與B互斥，則10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.若，則最小值為D.函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是正方體內(nèi)（含表面）的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，下列選項(xiàng)正確的是（）A.動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)軌跡的長(zhǎng)度是B.三角形在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)形成幾何體的體積是2C.直線與所成角為，則的最小值是D.存在某個(gè)位置M，使得直線與平面所成的角為三、填空題（共3小題，每題5分，共15分）12.已知函數(shù)，若，則______.13.在中，，，點(diǎn)O是的外心，則________．14.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，直徑分別是直角三角形的斜邊，直角邊，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，延長(zhǎng)，交于點(diǎn).若，，，則的面積是______.四、解答題（共5題，共77分）15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).16.已知向量，且與的夾角為，（1）求證：（2）若，求的值；（3）若與的夾角為，求的值．17.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽，滿(mǎn)分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡；現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者.（2）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（3）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這人中35～45歲所有人的年齡的方差.18.甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)概率分別是和.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響，每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒(méi)有影響.（1）求甲、乙各射擊一次均擊中目標(biāo)的概率；（2）求甲射擊4次，恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率；（3）若乙在射擊中出現(xiàn)連續(xù)2次未擊中目標(biāo)就會(huì)被終止射擊，求乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率.19.已知平面四邊形，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，此時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)①求與平面所成角的正弦值；②求二面角的平面角的余弦值.2024-2025學(xué)年河北省秦皇島市高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷說(shuō)明：1.考試時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分.2.將卷I答案用2B鉛筆涂在答題卡上，卷Ⅱ用黑色字跡的簽字筆答在試卷上.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=（）A. B. C. D.6【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，再結(jié)合純虛數(shù)概念的理解就可以得解.【詳解】因?yàn)?，且為純虛?shù)，所以，，解得.故選：A.2.已知p：q：，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)與的互相推出情況判斷出屬于何種條件.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以充分性滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，取，此時(shí)不滿(mǎn)足，所以必要性不滿(mǎn)足，所以是的充分不必要條件，故選：A.3.為了解中學(xué)生課外閱讀情況，現(xiàn)從某中學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，收集了他們一周內(nèi)的課外閱讀時(shí)間：一周內(nèi)課外閱讀時(shí)間/小時(shí)012345人數(shù)310201720237這100名學(xué)生的一周內(nèi)課外閱讀時(shí)間的分位數(shù)是（）A B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)百分位計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，又，所以這名學(xué)生的一周內(nèi)閱讀時(shí)間的分位數(shù)為從小到大排列的第與第兩數(shù)的平均數(shù)，即為.故選：A4.已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑氖歼吪c軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，所以，所以.故選：D.5.已知，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)與夾角為，由已知得出，再根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求解即可．【詳解】由得，，設(shè)與夾角為，則，解得，所以在上的投影向量為，故選：C．6.已知某個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)和高的比為，若側(cè)棱長(zhǎng)為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)上底面邊長(zhǎng)為，則下底面邊長(zhǎng)為，高為，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理求出側(cè)面等腰梯形的高為，最后根據(jù)梯形的面積公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)上底面邊長(zhǎng)為，則下底面邊長(zhǎng)為，高為，上底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)為，下底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)為，又側(cè)棱長(zhǎng)為，所以，解得，所以側(cè)面等腰梯形的高為，所以該棱臺(tái)的側(cè)面積為.故選：A.7.已知正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，且，若三棱錐的體積為，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】取的中心，設(shè)球心為，先由三棱錐的體積求出棱錐的高為，再由勾股定理求出球的半徑，最后求表面積即可.【詳解】由題意得，為等邊三角形，取的中心，設(shè)球心為，易得共線，設(shè)三棱錐的高為，，則，則，又，由正弦定理得，，在中，，即，解得，則球的表面積為.故選：D.8.在中，，是的中點(diǎn)，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得，即可得到，再由正弦型函數(shù)的值域，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)椋谥?，由正弦定理可得，則，且是的中點(diǎn)，則，又，則，則，又，則，所以，則，即的取值范圍為.故選：C二、多項(xiàng)選擇題（共3小題，每小題6分，共18分）9.已知事件A，B滿(mǎn)足，，則（）A.事件A與B可能為對(duì)立事件B.若A與B相互獨(dú)立，則C.若A與B互斥，則D.若A與B互斥，則【正確答案】BC【分析】根據(jù)對(duì)立事件的定義判斷選項(xiàng)A；若相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，可以判斷選項(xiàng)B;互斥，判斷選項(xiàng)C和D.【詳解】對(duì)于A，由,則,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立，故,故B正確；對(duì)于CD，互斥，則,,故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.若，則的最小值為D.函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)【正確答案】ACD【分析】首先求出的值，即可得到函數(shù)解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【詳解】解：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，，因?yàn)椋?，所以．函?shù)為奇函數(shù)，故正確；當(dāng)，，函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性，故錯(cuò)誤；若，因?yàn)椋曰颍瑒t的最小值，故正確；，所以函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，故正確故選：．11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是正方體內(nèi)（含表面）的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，下列選項(xiàng)正確的是（）A.動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)軌跡的長(zhǎng)度是B.三角形在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)形成幾何體的體積是2C.直線與所成的角為，則的最小值是D.存在某個(gè)位置M，使得直線與平面所成的角為【正確答案】ABC【分析】根據(jù)空間中的線面垂直關(guān)系分析可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為截面，對(duì)于A，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面的軌跡為線段；對(duì)于B，三角形在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)形成幾何體為四棱錐，計(jì)算四棱錐即可；對(duì)于C，直線與直線所成角即為直線與直線所成角，當(dāng)時(shí)，所成角正切值最?。粚?duì)于D，當(dāng)與或重合時(shí)，直線與平面所成角最大，并與比較即可.【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接.在立方體中，因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，所以，，，四點(diǎn)共面.又因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又因?yàn)?，且平?，所以平面，又因?yàn)槠矫?所以.因?yàn)?，且，且均為銳角，所以，又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，且，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)槠矫妫?，所以平?又因?yàn)椋瑒t平面，所以的軌跡為截面.對(duì)于A，因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以?dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度為的長(zhǎng)，且，故A正確；對(duì)于B，三角形在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)形成幾何體為四棱錐.且.又因?yàn)?，所以，，所以四棱錐的體積為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋灾本€與直線所成角為，在直角三角形中，當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；對(duì)于D，易知與或重合時(shí)，直線與平面所成角最大，且為或，因?yàn)?，所以，所以不存在某個(gè)位置，使得直線與平面所成角為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.思路點(diǎn)睛：本題可從以下方面解題.（1）計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為截面；（2）四棱錐的體積計(jì)算，注意拆分；（3）線線角、線面角要結(jié)合勾股定理.三、填空題（共3小題，每題5分，共15分）12.已知函數(shù)，若，則______.【正確答案】?2【分析】由題意，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故答案：?2.13.在中，，，點(diǎn)O是的外心，則________．【正確答案】##【分析】利用外心的性質(zhì)及平面向量數(shù)量積的幾何意義計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，分別為邊中點(diǎn)，則易知，由平面向量數(shù)量積的幾何意義可知，所以.故14.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，直徑分別是直角三角形的斜邊，直角邊，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，延長(zhǎng)，交于點(diǎn).若，，，則的面積是______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意得到，再用正弦的和角公式求解，再求出，由三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】由題意得：，所以，故，所以，因?yàn)?，所以故，因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以的面積是.故選：A.四、解答題（共5題，共77分）15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).【正確答案】（1）或；（2）當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)為；【分析】（1）利用正弦定理和三角變換求出角；（2）利用余弦定理求出，即可求出周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】在中，由正弦定理得：，所以可化為.因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以,即，解得.由余弦定理得.當(dāng)時(shí)，有，所以，解得：符合題意，所以的周長(zhǎng)為.當(dāng)時(shí)，有，所以，解得：符合題意，所以的周長(zhǎng)為.16.已知向量，且與的夾角為，（1）求證：（2）若，求的值；（3）若與的夾角為，求的值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解（2）或（3）【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的定義及向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合向量垂直的條件即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量的模公式，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律及一元二次方程的解法即可求解；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量的模公式，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律及向量的夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榕c的夾角為，所以，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，因?yàn)?，所以，即，于是有，即，解得?所以的值為或.小問(wèn)3詳解】由（1）知，，因?yàn)樗?，，，因?yàn)榕c的夾角為，所以，即，且，于是有，解得或（舍）,所以的值為.17.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽，滿(mǎn)分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡；現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者.（2）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（3）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這人中35～45歲所有人的年齡的方差.【正確答案】（1）歲（2）（3）10【分析】（1）由頻率分布直方圖的平均數(shù)算法可得；（2）根據(jù)古典型概念公式可得；（3）根據(jù)分層抽樣平均數(shù)和方差公式可得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)這人的平均年齡為，則【小問(wèn)2詳解】由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為（甲），，，，第五組抽取人，記為（乙），，對(duì)應(yīng)的樣本空間的樣本點(diǎn)為：設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，所以【小問(wèn)3詳解】設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，則，，因此第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10.據(jù)此估計(jì)這人中35～45歲所有人的年齡的方差為10.18.甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響，每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒(méi)有影響.（1）求甲、乙各射擊一次均擊中目標(biāo)的概率；（2）求甲射擊4次，恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率；（3）若乙在射擊中出現(xiàn)連續(xù)2次未擊中目標(biāo)就會(huì)被終止射擊，求乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由于兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響，所以由相互獨(dú)立事件的概率公式求解即可；（2）記事件表示“甲第次射擊擊中目標(biāo)”，并記“甲射擊4次，恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)”為事件C，則，且與是互斥事件，再由獨(dú)立事件和互斥事件的概率求解即可；（3）記事件表示“乙第次射擊擊中目標(biāo)”，事件D表示“乙在第4次射擊后被終止射擊”，則，且與是互斥事件，再利用由獨(dú)立事件和互斥事件的概率求解即可.【小問(wèn)1詳解】用事件A表示“甲擊中目標(biāo)”，事件B表示“乙擊中目標(biāo)”.依題意知，事件A和事件B相互獨(dú)立，因此甲、乙各射擊一次均擊中目標(biāo)的概率為.【小問(wèn)2詳解】用事件表示“甲第次射擊擊中目標(biāo)”，并記“甲射擊4次，恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)”為事件C，則，且與是互斥事件.由于，，，之間相互獨(dú)立，所以與（i，，且）之間也相互獨(dú)立.由于，所以，故.所以甲射擊4次，恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率為.【小問(wèn)3詳解】用事件表示“乙第次射擊擊中目標(biāo)”，事件D表示“乙在第4次射擊后被終止射擊”，則，且與互斥事件.由于，，，之間相互獨(dú)