高中數(shù)學(xué)第一章■集合

考試內(nèi)容：

集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集.

邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求：

(1)理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包

含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合.

(2)理解邏輯聯(lián)結(jié)詞"或"、"且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充

分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)要點(diǎn)

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：

本章知識(shí)主要分為集合、簡(jiǎn)單不等式的解法(集合化簡(jiǎn))、簡(jiǎn)易邏輯三部分：

二、知識(shí)回顧：

(―)集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號(hào)的使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為AqA;

②空集是任何集合的子集，記為。qA;

③空集是任何非空集合的真子集；

如果A=同時(shí)那么A=A

如果A=BjC,那么41

［注］:①Z=(整數(shù)｝(V)Z=｛全體整數(shù)｝(x)

②已知集合S中A的補(bǔ)集是一個(gè)有限集.則集合A也是有限集.(x)(例：S=N；A=N+,

貝IJGA={0})

③空集的補(bǔ)集是全集.

④若集合紀(jì)集合8,則CbA=0,G5=0G（GB=。（注：C/=0）.

3.①{（%,y）\xy=O,xER,yWR}坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②（（x,y）\xy<0,xER,yER}二、四象限的點(diǎn)集.

③l（x,y）|孫>0,xER,yER}一、三象限的點(diǎn)集.

［注］:①對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例:I："：'解的集合{Q,1）}.

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是。.（例：A={（x,y）|），=x+l}B={y\y=^+\}則AGB=0）

4.①〃個(gè)元素的子集有2"個(gè).②n個(gè)元素的真子集有2〃-1個(gè).③〃個(gè)元素的非空真子

集有2〃-2個(gè).

5.（1）?一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題。逆命題.

②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題O逆否命題.

例：①若a+6=5,貝必/2或^/3應(yīng)是真命題.

解：逆否：2且6=3,貝IJa+/>=5,成立，所以此命題為真.

②x*1且y*2,Ax+yw3.

解:逆否x+y=3x=1或y=2.

：.x+1且yw2Ax+"3,故x+yw3是xw1且"2的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：若"5,=x>5時(shí)Y2.

4.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

交：=A,且工￡團(tuán)

并：AIJ8={x|xw8}

補(bǔ)：C,A<=>{XGA］

5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律

（1）包含關(guān)系：

A口A,①UA,AqA口U,

（2）等價(jià)關(guān)系:0=AU5=30/A（J5=U

（3）集合的運(yùn)算律：

交換律：AnB=BC|A;AUB=BUA

結(jié)合律：（AnB）nc=An（Bnc）；（4U5）uc=AU（3uc）

分配律：.4n（8uc）=（AnB）u（Anc）；AU（gnc）=（AUB）n（Auc）

第2頁(yè)，共173頁(yè)

0-1律：①Q(mào)A=O)，①UA=A,UDA=A,UUA=U

等帚律:ADA=AAUA=A

求補(bǔ)律：AnGA=6AUGA=U6CU=6fiCu4>=U

反演律：Cu(AAB)=(CiA)U(CiB)Ci(AUB)=(GA)n(QB)

6.有限集的元素個(gè)數(shù)

定義:有限集A的元素的個(gè)數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(cp)=0.

基本公式：

(\)card(AB)=card(A)-l-card(B)-card(AB)

(2)c"d(ABC)=card(A)+card(B)+card。)

-card(AB)-card(BC)-card(Cr\^)

+card(Ar\BC\C)

(3)card(fiiA)=card(U)-card(A)

（二）含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法（零點(diǎn)分段法）

①將不等式化為ao（x-xi）（x-xz）…（x-Xn）>0（<0）形式，并將各因式x的系數(shù)化“+"；（為

了統(tǒng)一方便）

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；

④若不等式（x的系數(shù)化后）是“>0"，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等

式是“<0”，則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

（自右向左正負(fù)相間）

則不等式為/+???+4>（X<O）（ao>0）的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)

確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax2+box>0（a>0）解的討論.

第3頁(yè)，共173頁(yè)

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+bx+c=0b

玉,工2(西〈々)X.—x—---無實(shí)根

(4＞0的根22a

ax2+bx+c>0b

(x|x<xl^cv>x2}<xx^----

(〃>0)的解集2a\R

ax2+Z?x+c<0

{小1<X<x}

20

(a>0)的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標(biāo)準(zhǔn)化:移項(xiàng)通分化為＞0(或＜0)；乃20域乃？W移的形式,

g(x)g(x)gMg(x)

f(x)g(x)>0

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)>O<=>/Q)g(?>0;^^>0<=>

gWg(x)g(x)*0

3.含絕對(duì)值不等式的解法

(1)公式法：|公+百〈，，與|欠+4＞。(00)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)

(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布"：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

(三)簡(jiǎn)易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：

“或"、"且"、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單

命題；由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞"或"、"且"、"非"構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q(記作“pVq")；p且q(記作*'pAq")；非P(記

作「q")o

3、"或"、"且；"非"的真值判斷

原命題,互逆、逆命題

(1)“非P"形式復(fù)合命題的真假與F的真假相

若P則q應(yīng)4|若q則P

反；

F/卡

(2)“P且q"形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)

為真，其他情況時(shí)為假；/?J否?

否命題組_＞逆否命題

若竹則idMI若iq則10

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(3)"P或q"形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真.

4、四種命題的形式.

原命題：若P貝IJq；逆命題：若q則P；

否命題：若1P則rq；逆否命題：若~1q則rPo

(D交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題O逆否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知P=q那么我們說，P是q的充分條件，q是P的必要條件。

若P=>q且q=*P,則稱P是q的充要條件，記為P^q.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引出(與已知、公理、定理…)矛盾，從

而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章?函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對(duì)數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

(1)了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

(2)了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.

(3)了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù).

(4)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)事的概念，掌握有理指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和

性質(zhì).

(5)理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

(6)能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

§02.函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

第5頁(yè)，共173頁(yè)

定義F:A—H

反函數(shù)

映射艇研究因修

性成

二次函數(shù)

具體函婁攵指數(shù)T旨致函數(shù)

對(duì)數(shù)一對(duì)數(shù)函數(shù)

二、知識(shí)回顧：

(-)映射與函數(shù)

1.映射與--映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因

為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)

才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=/(%)(%WA)的值域是c,根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把X表

示出，得到x=e(y).若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過x=e(y),x在A中都有唯一

的值和它對(duì)應(yīng)，那么,x=O(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=O(y)

日￡0叫做函數(shù)丁=/(幻(]￡4)的反函數(shù)，記作x=/"(y),習(xí)慣上改寫成

y=f\x)

(-)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值XI,X2.

⑴若當(dāng)X[<X2時(shí)，都有f(X[)<f(X2),則說f(X)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)XI<X2時(shí)，都有f(X|)>f(X2),則說f(X)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格

的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)尸f(x)的單調(diào)區(qū)間?此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

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偶函?(的定義：如果對(duì)于的改*x)的定義域內(nèi)任宜一個(gè)兒都有

f(?xEx),那么函則僅)就叫做偶函數(shù).

虎留函數(shù)c〃7)=/a)o/(T)-/a)=o。驍wag

/w

奇函數(shù)的定義：如果對(duì)J的數(shù)*x)的定義域內(nèi)任立個(gè)X都行

口大戶十又入那么函數(shù)Rx)就叫做奇函數(shù).

/(x)是奇的數(shù)“/(—力?一/(x)c/(x)+/(i)?0o^^?-15x)，0)

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個(gè)問題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)/(X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)/(-x)=/(x)或

/(-*)=-/3)是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于、軸成軸對(duì)稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間增

減性相反.

4.如果是偶函數(shù)，貝!I/(x)=/(|xD,反之亦成立。

若奇函數(shù)在x=0時(shí)有意義，則/(0)=。。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：f(-x)=f(x)

設(shè)(。力)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(-a,b)也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于)，軸對(duì)稱，例如：)，=/+1在|工_1)上不是偶函數(shù).

②滿足/(一》=/(幻，^f(-x)-f(x)=O,若/。)工0時(shí)，-^-=1.

f(-x)

⑵奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)

設(shè)(〃力)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則｛-a,-b)也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：丁=/在[],_])上不是奇函數(shù)

②滿足了(-幻=一/(工)，或/(r)+f(x)=O,若/(幻工0時(shí)，妻7=-1.

f(r)

8.對(duì)稱變換：?y=fU)闞*.>y=f(7

②y=f(x)謂卻稱>y=-/(x)

?y=fM原點(diǎn)對(duì)稱>y=—/(—/)

第7頁(yè)，共173頁(yè)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如：

/(X])-f(x2)=Jxj+從-設(shè)+戶=(:

QxX+b~+J11+b~

在進(jìn)行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

r

例如：已知函數(shù)fM=1+--的定義域?yàn)?函數(shù)(x)]的定義域是伐則集合A與

1-x

集合B芝間的關(guān)系是.

解：/(力的值域是/(/(X))的定義域B,f(x)的值域￡R，故3€/?,而4=卜|人=1},故3=)4.

11.常用變換：

①f(x+y)=f(x)f(y)=f(x-y)=.

f(y)

證：fix-y)=<=>f(x)=f[(x-y)+y]=f(x-y)f(y)

f(x)

②/(-)=〃x)-f(y)=f(x-y)=f(x)+f(y)

y

證：/(x)=/(-^)=f(-)+/(y)

值域{)，|丁工2,)，￡/?}->值域,工前的系數(shù)之比.

(三)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=(。>。且。w1)的圖象和性質(zhì)

第8頁(yè)，共173頁(yè)

a>l0<a<l

-/\j

圖

/

象

V*1一”，

1

(D定義域：R

性(2)值域:(0,+00)

質(zhì)(3)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=l

(4)x>0時(shí)，y〉l;x<0時(shí),0<y<l(4)x>0時(shí),0<y<l;x<0時(shí)y>l.

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)產(chǎn)kgd的圖象和性質(zhì)：

對(duì)數(shù)運(yùn)算：

log〃(M?N)=log。M+log。N⑴

log〃萬=log,MTog,N

k)g〃M〃=〃log〃(土M)⑵

log^Vw=-log67M

n

/嗚N=N

換底公式：log”N=3型

log4

推論：log。/?-log/,c?log￡a=1

nlog〃12.log。？％?log/」冊(cè)=log%〃〃

(以上MAO,N?0,aAO,awl,b〉O,bwl,c>03工1聲］通2…a,1>0且=1)

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第10頁(yè)，共173頁(yè)

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí),y=0

⑷代（0,1）時(shí)y<0%￡(0,1)時(shí)y>°

%￡（1，+8）時(shí)以xe(l,+oo)wy<0

（5）在（0,+8）上是增函數(shù)在（0.+8）上是減函數(shù)

注⑴：當(dāng)。，力y0時(shí)，log（6Z?b）=log（-a）+log（-b）.

⑵：當(dāng)MAO時(shí)，取"+",當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，M">0,而MYO,故取"一”.

例如：108（/2。2108〃尸.?（2年小中工>0而log。/中xER）

⑵），（a>0,?1）與y=log”X互為反函數(shù).

當(dāng)“1時(shí)，y=logax的“值越大，越靠近上軸；當(dāng)OYOYI時(shí)，則相反.

第10頁(yè)，共173頁(yè)

(四)方法總結(jié)

(1).相同函數(shù)的判定方法.定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

log〃(MN)=log〃M+log/V⑴

M

N

nl2)

logflM-nloga(±Af)

log”W=-logt,M

n

/嗚N=N

換底公式：log4N=3叱

log/

推論：logqbJog/?log(.a=1

=>log%。2.log/%….l°g%Tan=log9為

(以上M>0,N>0,a>0,awl,b>O,bwl,c>0,c。1總]/2..3]>0且。1)

注(1):當(dāng)“人Y0時(shí)，log(a力)=log(-a)+log(-Z?).

⑵：當(dāng)MAO時(shí)，取“+"，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，Mn>0,而MYO,故取“一”.

例如：log“xJ210g“xT(21og“x中x>0而log”/中x￡R).

⑵丁二力(4>0,。=1)與y=log“x互為反函數(shù).

當(dāng)4A1時(shí)，y=log“x的"值越大，越靠近X軸；當(dāng)0Y4Y1時(shí)，則相反.

(2).函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

(3).反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

(4).函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)

的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為01②偶次根式中被開方數(shù)不小于0；③對(duì)數(shù)的真數(shù)

大于0,底數(shù)大于零且不等于1；④零指數(shù)鬲的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義

等.

(5).函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)：②“判別式法”；③反函數(shù)法：④換元法；

⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

(6).單調(diào)性的判定法：①設(shè)X”X2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且X1<X2:②

第11頁(yè)，共173頁(yè)

判定f'(X1)與f(X2)的大小；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的判定法.首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)之間的關(guān)

系：①f(-x)=f(x)為偶函數(shù)；f(-：<)=-f(x)為奇函數(shù)；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=o

為奇；③f(-x)/f(x):l是偶；f(>:)-=-f(-x)=-l為奇函數(shù).

(8).圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的

圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并

能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)

際問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡(jiǎn)單的實(shí)

際問題.

§03.數(shù)列知織要點(diǎn)

第12頁(yè)，共173頁(yè)

1.（1博差、等比數(shù)列：

d

定義。向一%=皿=加0）

冊(cè)

遞推公；a-am-n+md

4H；a=aq,l-m

式nm

通項(xiàng)公a,,=6+(〃-l)d

。〃=%尸（。1，#0）

式

中項(xiàng)

十二+/，+?G=±yla-a(a_a>0)

2nkn+knkn￥k

(〃/eN”,〃a女a(chǎn)0)(n,kwN”,n>k>0)

前八項(xiàng)

+%)叫(夕=1)

和

s〃="虱二0=￡1四(422)

〃(〃一1)

S〃="6+2(\-q\-q

重要性

質(zhì)

am+an=ap+aq{m,n,p,qeN,am-an=apag(m,n,p,q&N*,m+n=p+q)

rn+n=p+q)

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

{a〃}為A-Po%=d(常數(shù))

{冊(cè)}為6?Po=g(常數(shù))

an

通項(xiàng)公

ci=a+(n-l)d=a+(n-k)d=J/i+i11-d4=:4尸

式niJt

求和公n(a+%)n(n-l),

}na[(q=1)

式s〃=2=叫+2d

%=<二a「a.q

d2/d、）

=-n+(?1~—)n\-q-\-q

22

中項(xiàng)公a+b_.-

A-2推廣?2-an-m+an+mG?="。推廣：=唳xa+m

式

性1

質(zhì)若m+n=p+q貝IJa,n+%=%+%若m+n=p+q,則anan=apaq。

2若伙"成A.P（其中Z.￡N）則｛4.｝若僅"成等比數(shù)列（其中心wN）,

也為A.P

0則｛4.｝成等比數(shù)列。

第13頁(yè)，共173頁(yè)

3

?一一$2〃成等差數(shù)列。%，$2“一”，$3〃一§2〃成等比數(shù)列。

4

,a?-a.a,?-a?尸二"q〃-m=A

d=———L=———-（z/n工n）

n-\m-n6%

（m工n）

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

①/-a〃_i=d（n>2,d為常數(shù)）

（2）2=an+i+an_^n>2）

③冊(cè)=kn+b（n、k為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

①a?=an_xq｛n>2,g為常數(shù)，且工0）

②。;=%+iSt（〃22,a?a?+ta^*0）?

注①：i.b=4ac,是a、b、c成等比的雙非條件，即匕=b、c等比數(shù)列.

ii.〃=而（?c>0）一為〃、6、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.6=±疝一為4、仇。等比數(shù)列的必要不充分.

iv.占=±7^且acA0—>為〃、b、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)也c不一定有等比中項(xiàng)，除非有">0,則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).

③冊(cè)=c/（c，4為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛與｝成等比的充要條件是數(shù)列｛log.”｝（A>1）成等比數(shù)列.

4=。1（〃=1）

⑷數(shù)列｛的前〃項(xiàng)和S”與通項(xiàng)品的關(guān)系：%

-1SN2）

［注］：①為=%+（〃-1?=加+（為"）（d可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)

列也是等差數(shù)列）一若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差｛七｝前〃項(xiàng)和s/AM+加=（3/+］勺-?卜一？可以為零也可不為零T為等差

的充要條件-若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若，/不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

第14頁(yè)，共173頁(yè)

③非等常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.(不是非零，即不可能有等比數(shù)列)

2.①等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的S倍

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k…；

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃(〃GN+),則S偶-5奇=7互=詈;

J偶an+\

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為則S2〃T=(2〃-W“，且S布-S偶』〃，壇=」_

S|mn-\

=>代入〃到2〃一1得到所求項(xiàng)數(shù).

3.常用公式：①1+2+3…+八"四⑴

②『+22+3?+…〃2=淅+?2〃+1)

③13+23+33…〃3r嗎由|

［注］:熟悉常用通項(xiàng)：9,99,999,...=>a?=10n-l；5.55,555,…=。〃=￡(10"-1).

4.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為。，年增長(zhǎng)率為，，則每年的產(chǎn)

量成等比數(shù)列，公比為其中第〃年產(chǎn)量為。(1+一)"-'且過〃年后總產(chǎn)量為：

a+a(\+r)+a(\+r)2+...+a(l+/*)"7=-^―L

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存〃元，利息為，，每月利息按

復(fù)利計(jì)算，則每月的。元過〃個(gè)月后便成為。(1+〃)〃元因此，第二年年初可存款：

?(l+r)12+?(l+r)11+a(l+r)10+…+〃)+/?)=""+「)【」+，)1

l-(l+r)

⑶分期付款應(yīng)用題：〃為分期付款方式貸款為〃元；，〃為m個(gè)月將款全部付清；r為年利率.

?(1+r)m=乂1+產(chǎn)+Ml+r)m-2+.....Ml+r)+xna(l+r)n,=H"'7=x=洶+"”

r(l+r),M-l

5.數(shù)列常見的幾種形式：

⑴a”+2=Pa”+i+qa“(P、q為二階常數(shù))->用特證根方法求解?

具體步驟①寫出特征方程.，=Px+4(％2對(duì)應(yīng)冊(cè)+2，1對(duì)應(yīng)4“+1),并設(shè)二根國(guó),叼②若1產(chǎn)%2

可設(shè)2K，若町=叼可設(shè)4〃=(4+。2〃)工：；③由初始值即出確定.

第15頁(yè)，共173頁(yè)

⑵〃“=尸冊(cè)_1+r（尸、「為常數(shù)）f用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)〃

轉(zhuǎn)化為4〃+2=尸々〃+1+夕?！钡男问?，再用特征根方法求明；④冊(cè)=。1+。22"7（公式法），。1，。2

由外，做確定?

①轉(zhuǎn)化等差，等比：an+l+x=P（a,,+x）=>an+i=Pan+Px-x=>x=-^—.

〃一1

W_,n｝

②選代法：an=Pan_1+r=P（Pan_2+r）+r==>a?=（0|+—）P一~-^—=（al+x）P~-x

〃一1〃一]

,,-,/,-2

=Pd1+Pr+-+Pr+r.

③用特征方程求解："向相減,=>an+i-an=Pa,-Pan_[^an+l=CP+\'）a,-Pan_x.

rni

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：Q=",e2=^1+>an=c2P~+ci=（.ai+-^--'）P"T+'.

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S〃，在17（）時(shí)，有最大值.如何確定使S”取最大值時(shí)的“值，有

兩種方法：

2

一是求使4〃之0,a“+]YO,成立的"值；二是由Sn=^n+（q-?）〃利用二次函數(shù)的性質(zhì)求〃

的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前〃項(xiàng)和可依

照等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相戒求和.例如：lq,3!，…Q〃-l）」-,…

242"

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第

一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差a，刈的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：（1）定義法:對(duì)于nN2的任意自然數(shù),

驗(yàn)證%7（烏-）為同一常數(shù)。（2）通項(xiàng)公式法。（3）中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證

2%+1=%+%一2=4M〃+2）〃￡N都成立。

a.>0

3.在等差數(shù)列｛%｝中，有關(guān)Sn的最值問題：（1）當(dāng)%>O,dvO時(shí)，滿足<n八的項(xiàng)數(shù)m

使得s,”取最大值.

第16頁(yè)，共173頁(yè)

a<0

(2)當(dāng)qv0,d>0時(shí)，滿足《m八的項(xiàng)數(shù)m使得必取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值

問題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

(三)、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于J—其中｛%｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部

分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于｛〃/“｝其中｛%｝是等差數(shù)列，｛4｝是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

,n(n+1)

1):1+2+3+...+n=----------

2

2)l+3+5+...+(2n-l)=/?2

「］￥

3)13+23+---+7?3=-??(/?+1)

4)I2+22+32+???+7?2=—??(?+l)(2n+1)

6

、11111,11、

5)--------------=-------------------------------=~■(-------------)

n(n+\)n〃+1n(n+2)2nn+2

6)-=(p<q)

pqq-ppq

高中數(shù)學(xué)第四章?三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘

導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin(3x+(p)的圖像.正切函數(shù)的圖

像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

(1)理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.

(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三

第17頁(yè)，共173頁(yè)

角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.

第17頁(yè)，共173頁(yè)

(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

(4)能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明.

(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余

弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ujx+(p)的簡(jiǎn)圖，理解Au、cp的物理意義.

(6)會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.

(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

(8)"同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tana-cosa=l"

§04.三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

1.①與。(0°<a<360°)終邊相同的角的集合(角a與角夕的終邊重合)

物|夕="360。+a,&ez}

y

32

②終邊在x軸上的角的集合：回尸=AX180FGZ}sinx\sinx\

I

cosx

③終邊在y軸上的角的集合：回尸="180。+90",&ez}

cosxcosx

14

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：M4=AX9(TM€Z}/\sinx\sinx\

23

⑤終邊在尸軸上的角的集合:秋|冬=左180。+45。,hZ}

SINKCOS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖

I、2、3、4表示第一、二、三、

四象限一半所在區(qū)域

⑥終邊在y=r軸上的角的集合：\fl\fl=kx\W-45\kez}

⑦若角。與角夕的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角a與角)的關(guān)系：a=360%-/7

⑧若角a與角夕的終邊關(guān)于.V軸對(duì)稱，則角a與角〃的關(guān)系：a=360°k+180—

⑨若角a與角尸的終邊在一條直線上，則角a與角尸的關(guān)系：a=180%+/7

⑩角a與角尸的終邊互相垂直，則角。與角月的關(guān)系：。=360。&+4±90°

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360。=2乃180。=%1°=0.017451=57.30。=57。18'

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：lrad=180°?57.300=57°187.1。=工=0.01745(rad)

n180

3、弧長(zhǎng)公式：/=|cd?廣扇形面積公式：、形=；"=3。卜/

第18頁(yè)，共173頁(yè)

4、三角函數(shù)：設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊上任?。ó愑?/p>

6、三角函數(shù)線

16.幾個(gè)重要結(jié)論:

正弦線：MP;余弦線：0M;正切線：

AT.

7.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域

f(x)=sinx{x|xeR}

f(x)=co&r{xlxeR}

f(x)=tanv{x|xwRHx工&4+g;r,Z€Z}

/(A)=COU{x|xeRKx工k兀、kwZ)

f(x)=secx{x|xeR目/工2/r+3;r,Zwz}

f(x)=esex{x|xeRKxhk九,keZ)

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：獨(dú)3=tana，

cosasina

tanacota=1cscasma=lseca-cosa=1

sin2a+cos2a=1sec2a-tan2a-1esc2a-cot2a-1

9、誘導(dǎo)公式：

把絲士施三角函數(shù)化為a的三角函數(shù)，概括為:

2

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

三角函數(shù)的公式：（一