第四章一元函數(shù)微分學的應用第一節(jié)微分中值定理

第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)洛必達法則

第一節(jié)微分中值定理

本節(jié)主要內(nèi)容:

一.羅爾中值定理二.拉格朗日中值定理三.柯西中值定理一、羅爾中值定理

定義

導數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點、臨界點)．

費馬（Fermat）引理函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，y=f

(x0)存在，f(x)

f(x0)(f(x)

f(x0))引理的直觀意義:可導函數(shù)極值點處的切線平行于x

軸.定理

（羅爾中值定理）設函數(shù)y=

f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，如果（1）函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；（3）函數(shù)f(x)在區(qū)間兩端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)；則在（a，b）內(nèi)至少存在一個點a<

<b，使得f

(

)=0.例如,因為函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上必能取到最大值M

和最小值m,考慮兩種可能的情況：

(1)若m=M,則f(x)在[a,b]上恒等于常數(shù)M(或m),因而在(a,b)內(nèi)處處有f

(x)=0，因此可取(a,b)內(nèi)任意一點作為ξ，而使得f

(ξ)=0成立。定理的證明

(2)若m<M，因為

f(a)=f(b)，因此m、M不可能同時是兩端點的函數(shù)值，即最小值m

和最大值M至少有一個在開區(qū)間(a,b)內(nèi)部取得，不妨設

f(ξ)=M，ξ∈(a,b).由條件(2)和費馬定理推知f

(ξ)=0.

羅爾定理的幾何意義：如果連續(xù)函數(shù)除兩個端點外處處有不垂直于x軸的切線，并且兩端點處縱坐標相等，那么在曲線上至少存在一點

，在該點處的切線平行于x

軸(如下圖）。

1.羅爾定理中的ξ是(a,b)內(nèi)的某一點，定理僅從理論上指出了它的存在性，而沒有給出它的具體取值；

2.羅爾定理的條件是充分非必要條件，只要三個條件均滿足，就充分保證結(jié)論成立。但如果三個條件不全滿足，則定理的結(jié)論可能成立也可能不成立。看如下例子：兩點說明：例連續(xù)內(nèi)可導連續(xù)內(nèi)可導例連續(xù)內(nèi)可導

定理

（拉格朗日中值定理）設函數(shù)

y=f(x)滿足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點

(a<

<b)，使得

f(b)-f(a)=f

(

)(b-a)或二、拉格朗日中值定理注意到,羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情況。證明思想構(gòu)造輔助函數(shù)法

由于證明這個定理，目前只有羅爾定理可用，因此想若能構(gòu)造一個輔助函數(shù)

(x),使其滿足羅爾定理的條件，同時想辦法接近要證明的結(jié)論.則函數(shù)j(x)在區(qū)間[a

b]上滿足羅爾定理的條件(1)(2)

又作輔助函數(shù)所以，由羅爾中值定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點

,使即

f(a)-f(b)=f

(

)(b-a)定理的證明拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.

1.拉格朗日中值定理的兩個條件是使結(jié)論成立的充分不必要條件；

2.當f(a)=f(b)時，拉格朗日中值定理即為羅爾中值定理；

3.設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導,x0,x0+

x∈(a,b)則有幾點說明：拉格朗日定理的幾何意義：當曲線方程滿足拉格朗日定理的要求時，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點

，使得該點的切線平行于曲線兩端點(a,f(a))與(b,f(b))的連線，其斜率為

推論1

設y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，若在(a,b)內(nèi)的導數(shù)恒為零，則在[a,b]上f(x)為常數(shù).

推論2

如果函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導數(shù)處處相等，即f

(x)=g

(x)，則這兩個函數(shù)在(a,b)內(nèi)只相差一個常數(shù)，即f(x)-g(x)=C．

設f(x)=arcsinx+arccosx,由推論1知

f(x)=C所以例（P101）

證明：又因為即證明則f(x)在[0,1]上連續(xù)，又令x=0，得

定理

（柯西中值定理）設函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且g

(x)在(a,b)內(nèi)恒不為零，則至少存在一點

∈(a,b)，使得

注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理當g(x)=x時的一種特例。三、柯西中值定理使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相