第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念及性質(zhì)第二節(jié)不定積分的積分方法第一節(jié)不定積分的概念及性質(zhì)

一.原函數(shù)與不定積分二.不定積分的基本公式本節(jié)主要內(nèi)容:三.不定積分的性質(zhì)一.原函數(shù)與不定積分引例:

已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=s(t),則速度v(t)=s'(t);反之若已知質(zhì)點(diǎn)各時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度v=v(t)如何求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=s(t)?從數(shù)學(xué)角度看:找一函數(shù)s=s(t),使s′(t)=v(t).定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間I上有定義,如果存在函數(shù)F(x),對于該區(qū)間上任一點(diǎn)x,使F

(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx則稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在該區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)..（一）原函數(shù)的概念例如:又因?yàn)?所以顯然x5，x5+1，x5-3，x5+c都是5x4的原函數(shù).∴sinx是cosx在I=(-,+)上的一個(gè)原函數(shù).對原函數(shù)的研究須討論解決以下兩個(gè)問題(1)是否任何一個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù)？關(guān)于原函數(shù)的說明:

(2)原函數(shù)是否唯一？若不唯一,它們之間有什么聯(lián)系？

:若函數(shù)?(x)在區(qū)間I上連續(xù),則?(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)一定存在.原函數(shù)存在定理

設(shè)F(x)是函數(shù)?(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),則對任意常數(shù)C,F(x)+C也是函數(shù)?(x)的原函數(shù).證明

因?yàn)樗訤(x)+C也是函數(shù)?(x)的原函數(shù).

另一方面,設(shè)

G(x)是

f(x)在

I

內(nèi)的任意一個(gè)原函數(shù),即

G

(x)=f(x)

則

由拉格朗日定理的推論,在

I

內(nèi),G(x)-F(x)=C,即G(x)=F(x)+C(為任意常數(shù))．因此,任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù).（二）不定積分的概念定義

設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù),則f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分,記作,即任意常數(shù)積分號(hào)被積表達(dá)式積分變量結(jié)論

求不定積分,只需求出被積函數(shù)的原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可.例（P131）

由導(dǎo)數(shù)的基本公式，求下列不定積分:所以(2)因?yàn)樗?3)因?yàn)閤>0時(shí)又x<0時(shí),所以(1)因?yàn)?.求函數(shù)f(x)的不定積分就是求f(x)的全體原函數(shù),實(shí)際上只需求出它的一個(gè)原函數(shù),再加上一個(gè)常數(shù)C即可;三個(gè)結(jié)論2.檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否的方法是：積分結(jié)果的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù);

3.積分和求導(dǎo)互為逆運(yùn)算:(先積后微形式不變)(先微后積差一常數(shù))導(dǎo)數(shù)/微分碰見積分相互抵消，最外層是什么運(yùn)算，答案就要寫成什么形式例

寫出下列各式的結(jié)果:不定積分的幾何意義

若y=F(x)是函數(shù)y=?(x)的一個(gè)原函數(shù),稱y=F(x)的圖形是?(x)的一條積分曲線;圖形是一族積分曲線稱它為積分曲線族,其特點(diǎn)是:

(1)積分曲線族中任意一條曲線可由其中某一條(如y=F(x))沿y軸平行移動(dòng)|c|個(gè)單位而得到.當(dāng)c>0時(shí),曲線向上移動(dòng);

當(dāng)c<0時(shí),曲線向下移動(dòng).oxyxy=F(x){|c|是f(x)的原函數(shù)一般表達(dá)式,所以它對應(yīng)的而(2)即橫坐標(biāo)相同點(diǎn)處,每條積分曲線上相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率相等,都為?(x).從而相應(yīng)點(diǎn)的切線相互平行.oxyxy=F(x)當(dāng)需要從積分曲線族中求出過點(diǎn)(x0,y0)的一條積分曲線時(shí),則只須把(x0,y0)代入y=F(x)+C中解出C即可.例（P131）

求過點(diǎn)(1,3),且其切線斜率為2x的曲線方程.即f(x)是2x

的一個(gè)原函數(shù).因?yàn)橐驗(yàn)樗笄€通過點(diǎn)(1,3)，故3

1

C，C

2。于是所求曲線方程為y

x2

2。所以y=f(x)

x2

C.-2

-1

O

1

2

x-2

-1

1

2

yy

x2+2

y

x2(1,3)

．設(shè)所求的曲線方程為y

f(x)，則

y

f

(x)

2x，二.不定積分的基本公式三.不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況注意：2.(1)+(2)即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合.這說明不定積分具有線性運(yùn)算性質(zhì).——分項(xiàng)積分法直接積分法利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式,可求出一些簡單函數(shù)的不定積分.通常把這種積分方法稱為直接積分法.直接積分法例求冪函數(shù)積分公式（恒等變形法）常將根式化為冪函數(shù)后積分

說明例求對于被積函數(shù)是分式有理函數(shù)時(shí),常常將它拆成分母較簡單、易于積分的分式之和.說明原式2tanxdx

ò例(P134)原式對于被積函數(shù)含有三角函數(shù)的情況,