平行四邊形的對(duì)角線性質(zhì)湘教·八年級(jí)下冊(cè)平行四邊形的對(duì)邊相等，平行四邊形的對(duì)角相等.平行四邊形的兩條對(duì)角線有什么性質(zhì)呢？新課導(dǎo)入

如圖，已知ABCD兩條對(duì)角線AC

與BD相交于點(diǎn)O，比較OA

，OC

，OB，OD

的長(zhǎng)度，有哪些線段相等？你能做出什么猜測(cè)？點(diǎn)擊打開(kāi)猜想：OA=OC，OB=OD如何證明證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥

DC，AB=DC；∴∠1=∠2，∠3=∠4；∴△OAB≌△OCD；∴

OA=OC，OB=OD．平行四邊形的對(duì)角線互相平分.如圖，在□ABCD

中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=6，BD=10，CD=4.8.試求△COD的周長(zhǎng).【教材P43】∴∵AC，BD為平行四邊形ABCD的對(duì)角線，解又∵CD=4.8，∴△COD的周長(zhǎng)為3+5+4.8=12.8.如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC

與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)M，N.求證：點(diǎn)O

是線段MN

的中點(diǎn).【教材P43】證明∵AC，BD為□ABCD的對(duì)角線，且相交于點(diǎn)O，∴OA=OC.∵AD∥BC，∴∠MAO=∠NCO.又∠AOM=∠CON，∴△AOM≌△CON.∴OM=ON.∴點(diǎn)O是線段MN的中點(diǎn).我們證明了平行四邊形具有以下性質(zhì)：（1）平行四邊形的對(duì)邊相等；（2）平行四邊形的對(duì)角相等；（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分.歸納小結(jié)練習(xí)1.如圖，在□

ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm.

（1）求△AOD的周長(zhǎng)；（2）△ABC與△BCD的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？長(zhǎng)多少？【教材P44】解:（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC.又∵BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，∴OA=4cm，OD=7cm，AD=10cm.∴△AOD的周長(zhǎng)為OA+OD+AD=4+7+10=21(cm).∴△AOD的周長(zhǎng)為21cm.（2）∵△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC，△BCD的周長(zhǎng)=BD+CD+BC，又∵AB=CD，∴△BCD的周長(zhǎng)－△ABC的周長(zhǎng)=BD－AC=14－8=6(cm).∴△BCD的周長(zhǎng)長(zhǎng)，△BCD的周長(zhǎng)比△ABC的周長(zhǎng)長(zhǎng)6cm.2.平行四邊形一條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)到另一條

對(duì)角線的距離相等嗎？為什么？【教材P44】相等.證明：如右圖所示，在□ABCD中，DM⊥AC于點(diǎn)M，BN⊥AC于點(diǎn)N.∵AC，BD為□ABCD的對(duì)角線，且相交于點(diǎn)O，∴OB=OD.又∠AOD=∠COB，∠DMO=∠BNO=90°，∴Rt△DOM

≌

Rt△BON.∴DM=BN.MN隨堂練習(xí)1.（河南中考）如圖,□ABCD

的對(duì)角線AC

與

BD相交于點(diǎn)O,AB⊥AC．若AB

＝4,AC

＝6,則BD

的

長(zhǎng)是（）A．8

B．9

C．10

D．11C2.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,O

是兩條對(duì)角線的交點(diǎn),BD⊥AD,AD

＝12,AB

＝13,求BC,CD

及OB

的長(zhǎng)．解:∵四邊形ABCD

是平行四邊形,∴BC＝AD

＝12,CD

＝AB＝13,OB＝BD

．∵BD⊥AD,3.如圖,已知□ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作直線EF

分別交BA,DC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F．求證:OE＝OF．證明:∵四邊形ABCD

是平行四邊形,∴OA＝OC,DF∥EB．∴∠E＝∠F．∴△OAE≌△OCF(AAS)．∴OE

＝OF．在△OAE

和△OCF