第八章8.68.6.2第1課時(shí)A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．直線a與平面α所成的角為50°，直線b∥a，則直線b與平面α所成的角為()A．40° B．50°C．90° D．150°【答案】B【解析】若兩條直線平行，則它們與同一平面所成的角相等．因?yàn)橹本€a與平面α所成的角為50°，直線b∥a，所以直線b與平面α所成的角為50°．故選B．2．下列條件中，能使直線m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b?α，c?αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α【答案】D【解析】由線面垂直的判定定理易知D正確．3．如圖，將一張三角形紙片沿著BC邊上的高AD翻折后豎立在桌面上，則折痕AD所在直線與桌面α所成的角等于()A．150° B．135°C．90° D．60°【答案】C【解析】依題意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，BD，CD?平面α，所以AD⊥平面α，所以折痕AD所在直線與桌面α所成的角等于90°．故選C．4．已知m，n是平面α內(nèi)的兩條直線，則“直線l⊥m且l⊥n”是“l(fā)⊥α”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若m與n不相交，則“直線l⊥m且l⊥n”不能推出“l(fā)⊥α”；反之，如果“l(fā)⊥α”，無(wú)論m與n是否相交，都能推出“直線l⊥m且l⊥n”．故“直線l⊥m且l⊥n”是“l(fā)⊥α”的必要不充分條件．故選B．5．如圖，P為△ABC所在平面α外一點(diǎn)，PB⊥α，PC⊥AC，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【解析】由PB⊥α，AC?α得PB⊥AC，又因?yàn)锳C⊥PC，PC∩PB＝P，PC，PB?平面PBC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC．所以△ABC是直角三角形．故選B．6．(多選)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB的中點(diǎn)，則下列判斷正確的有()A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PCC．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC【答案】ABC【解析】因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又因?yàn)锳B⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正確；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，因?yàn)镻A＝AB，D為PB的中點(diǎn)，所以AD⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，從而AD⊥平面PBC，故C正確；因?yàn)镻C?平面PBC，所以AD⊥PC，故B正確；在平面PBC中，PB⊥BC，所以PB與CD不垂直，所以PB不垂直于平面ADC，故D錯(cuò)誤．7．如圖，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中：(1)與PC垂直的直線有______________；(2)與AP垂直的直線有______________．【答案】(1)AB，AC，BC(2)BC【解析】(1)因?yàn)镻C⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC．所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC．(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又因?yàn)锽C⊥PC，AC∩PC＝C，AC，PC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因?yàn)锳P?平面PAC，所以BC⊥AP．8．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，AA1＝2，則直線BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為________．【答案】eq\f(\r(10),5)【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)C1作C1H⊥B1D1，垂足為H，由AB＝BC＝4，可知點(diǎn)H為中點(diǎn)，由BB1⊥平面A1C1，可得C1H⊥BB1，又因?yàn)锽1D1∩BB1＝B1，所以C1H⊥平面BB1D1D，則∠C1BH即為所求角，因?yàn)锳B＝BC＝4，AA1＝2，所以sin∠C1BH＝eq\f(C1H,BC1)＝eq\f(2\r(2),2\r(5))＝eq\f(\r(10),5)．9．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，則EF與平面BB1O的位置關(guān)系是________(填“平行”或“垂直”)．【答案】垂直【解析】因?yàn)锳BCD為正方形，所以AC⊥BO，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1，又BO∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1O．因?yàn)镋F是△ABC的中位線，所以EF∥AC，所以EF⊥平面BB1O．10．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA＝AC，E是PC的中點(diǎn)．求證：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE．證明：(1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，所以PA⊥CD．因?yàn)锳C⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以CD⊥平面PAC．又因?yàn)锳E?平面PAC，所以CD⊥AE．(2)因?yàn)镻A＝AC，E是PC的中點(diǎn)，所以PC⊥AE．因?yàn)镃D⊥AE，CD∩PC＝C，CD，PC?平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因?yàn)镻D?平面PCD，所以PD⊥AE．因?yàn)锳B⊥AD，AB⊥PA且AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，所以AB⊥平面PAD．因?yàn)镻D?平面PAD，所以AB⊥PD．又因?yàn)锳E∩AB＝A，AE，AB?平面ABE，所以PD⊥平面ABE．B級(jí)——綜合運(yùn)用練11．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，且PA＝2AB＝4，M為PC上一動(dòng)點(diǎn)，若PC⊥DM，則MB的長(zhǎng)度為()A．eq\f(\r(10),2) B．eq\f(\r(30),3)C．eq\f(\r(5),2) D．eq\f(3\r(5),2)【答案】B【解析】如圖，連接AC，由底面ABCD為正方形得BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD得PA⊥BD，又因?yàn)镻A∩AC＝A可得BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，又由PC⊥DM，BD∩DM＝D可得PC⊥平面BDM，所以MB⊥PC，由BC＝2，BP＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5)，PC＝eq\r(20＋4)＝2eq\r(6)，可得MB＝eq\f(PB×BC,PC)＝eq\f(2\r(5)×2,2\r(6))＝eq\f(\r(30),3)．12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時(shí)，有AB1⊥BC1．(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況)【答案】A1C1⊥B1C1【解析】如圖，連接BC1，B1C．由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C．因此，要得AB1⊥BC1，則需BC1⊥平面AB1C，即只需AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要滿足AC⊥BC即可．而A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要滿足A1C1⊥B1C1即可．13．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別是BC，BB1，AA1的中點(diǎn)．求證：(1)CF∥平面ADE；(2)BC1⊥平面ADE．證明：(1)設(shè)AE∩BF＝O，如圖，連接OD．因?yàn)锳BC－A1B1C1為正三棱柱，且AB＝AA1，所以側(cè)面A1ABB1為正方形．因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BB1，AA1的中點(diǎn)，所以O(shè)是BF的中點(diǎn)．因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥CF．又因?yàn)镺D?平面ADE，CF?平面ADE，所以CF∥平面ADE．(2)因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AD⊥BC．因?yàn)镃C1⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以AD⊥CC1．因?yàn)锽C∩CC1＝C，所以AD⊥平面B1BCC1．因?yàn)锽C1?平面B1BCC1，所以BC1⊥AD．如圖，連接B1C，因?yàn)閭?cè)面B1BCC1為正方形，所以BC1⊥B1C．因?yàn)镋，D分別是BB1，BC的中點(diǎn)，所以DE∥B1C，故BC1⊥DE．又因?yàn)锳D∩DE＝D，AD，DE?平面ADE，所以BC1⊥平面ADE．C級(jí)——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)CF⊥平面B1DF時(shí)，求AF的值．解：連接CD(圖略)，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，因?yàn)辄c(diǎn)D是等腰Rt△A1B1C1斜邊A1C1的中點(diǎn)，所