PAGE1-3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)問點(diǎn)分類變量及2×2列聯(lián)表1．分類變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的eq\o(□,\s\up3(01))不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．2．列聯(lián)表(1)定義：列出的兩個(gè)分類變量的eq\o(□,\s\up3(02))頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．(2)2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為eq\o(□,\s\up3(03)){x1，x2}和eq\o(□,\s\up3(04)){y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱為2×2列聯(lián)表)為下表．y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d學(xué)問點(diǎn)等高條形圖(1)等高條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否eq\o(□,\s\up3(01))相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的eq\o(□,\s\up3(02))頻率特征．(2)視察等高條形圖發(fā)覺eq\f(a,a＋b)和eq\f(c,c＋d)相差很大，就推斷兩個(gè)分類變量之間eq\o(□,\s\up3(03))有關(guān)系．學(xué)問點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)1．列聯(lián)表與等高條形圖列聯(lián)表由兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說(shuō)明這兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系，而利用等高條形圖能形象直觀地反映它們之間的差異，進(jìn)而推斷它們之間是否具有關(guān)聯(lián)關(guān)系．2．對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立，計(jì)算隨機(jī)變量K2的值，假如K2的值很大，說(shuō)明假設(shè)不合理．K2越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念．()(2)列聯(lián)表頻率分析法、等高條形圖可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)中K2取值則可通過統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說(shuō)明兩分類變量的相關(guān)性的大?。?)(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法就是反證法．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)為了調(diào)查中學(xué)生的性別與是否寵愛踢足球之間有無(wú)關(guān)系，一般須要收集以下數(shù)據(jù)________．(2)若觀測(cè)值k≈7.8，得到的正確結(jié)論是在犯錯(cuò)誤的概率不超過________的前提下認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”．(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)中，假設(shè)H0：變量x與變量y沒有關(guān)系．則在H0成立的狀況下，估計(jì)概率P(K2≥6.635)≈0.01表示的意義是變量x與變量y________(填“有關(guān)系”或“無(wú)關(guān)系”)的概率是99%.答案(1)男女生中寵愛和不寵愛踢足球的人數(shù)(2)1%(3)有關(guān)系解析(1)為了調(diào)查中學(xué)生的性別與是否寵愛踢足球之間有無(wú)關(guān)系，一般須要收集男女生中寵愛和不寵愛踢足球的人數(shù)，再得出2×2列聯(lián)表，最終代入隨機(jī)變量的觀測(cè)值公式，得出結(jié)果．(2)因?yàn)?.8＞6.635，所以這個(gè)結(jié)論有0.01＝1%的機(jī)會(huì)說(shuō)錯(cuò)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”．(3)因?yàn)楦怕蔖(K2≥6.635)≈0.01，所以兩個(gè)變量有關(guān)系的可信度是1－0.01＝99%，即兩個(gè)變量有關(guān)系的概率是99%.探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(1))獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想例1在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量中，下列說(shuō)法正確的是()A．若K2的觀測(cè)值k＝6.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99個(gè)人患有肺病B．從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說(shuō)某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病C．若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤D．以上三種說(shuō)法都不正確[解析]獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果是一種相關(guān)關(guān)系，不是確定性關(guān)系，反映的是有關(guān)或無(wú)關(guān)的概率的大小，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C正確．答案選C.[答案]C拓展提升本例考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，相關(guān)性檢驗(yàn)的結(jié)果是一種相關(guān)關(guān)系，而不是確定性關(guān)系，是反映有關(guān)和無(wú)關(guān)的概率．本題考查學(xué)生對(duì)基本學(xué)問的理解．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練1])給出下列實(shí)際問題，其中不行以用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決的是()A．寵愛參與體育熬煉與性別是否有關(guān)B．喝酒者得胃病的概率C．寵愛喝酒與性別是否有關(guān)D．青少年犯罪與上網(wǎng)成癮是否有關(guān)答案B解析獨(dú)立性檢驗(yàn)主要是對(duì)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)進(jìn)行檢驗(yàn)，故不行用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決的問題是B.故選B.eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練2])通過隨機(jī)詢問110名性別不同的高校生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，K2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”答案C解析依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，由k2≈7.8>6.635可知在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”．故選C.探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(2))用等高條形圖推斷兩個(gè)變量是否相關(guān)例2為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：藥物效果試驗(yàn)列聯(lián)表患病未患病總計(jì)服用藥104555未服用藥203050總計(jì)3075105試用等高條形圖分析服用藥和患病之間是否有關(guān)系．[解]依據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)可得出服用藥患病的頻率為eq\f(10,55)≈0.18，未服用藥患病的頻率為eq\f(20,50)＝0.4，兩者的差距是|0.18－0.4|＝0.22，兩者相差很大，作出等高條形圖如圖所示，因此服用藥與患病之間有關(guān)系的程度很大．拓展提升應(yīng)用等高條形圖推斷兩變量是否相關(guān)的方法在等高條形圖中，可以估計(jì)滿意條件X＝x1的個(gè)體中具有Y＝y(tǒng)1的個(gè)體所占的比例eq\f(a,a＋b)，也可以估計(jì)滿意條件X＝x2的個(gè)體中具有Y＝y(tǒng)1的個(gè)體所占的比例eq\f(c,c＋d).“兩個(gè)比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大”．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練3])某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)覺：在平常的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情驚慌，性特別向的學(xué)生594人中有213人在考前心情驚慌，作出等高條形圖，利用圖形推斷考前心情驚慌與性格類型是否有關(guān)系．解作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性特別向總計(jì)考前心情驚慌332213545考前心情不驚慌94381475總計(jì)4265941020相應(yīng)的等高條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情驚慌與考前心情不驚慌中性格內(nèi)向的人數(shù)的比例，從圖中可以看出考前心情驚慌的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不驚慌樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高，可以認(rèn)為考前驚慌與性格類型有關(guān)．探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(3))由K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)例3某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表：體育文娛合計(jì)男生212344女生62935合計(jì)275279試用你所學(xué)過的學(xué)問進(jìn)行分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“寵愛體育還是文娛與性別有關(guān)系”？[解]其等高條形圖如圖所示．由圖可以直觀地看出寵愛體育還是寵愛文娛與性別在某種程度上有關(guān)系，但只能作粗略推斷，詳細(xì)推斷方法如下：假設(shè)“寵愛體育還是寵愛文娛與性別沒有關(guān)系”，∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79.∴K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(79×21×29－23×62,21＋23×6＋29×21＋6×23＋29)≈8.106.且P(K2≥7.879)≈0.005，即我們得到的K2的觀測(cè)值k≈8.106，超過7.879，這就意味著：“寵愛體育還是文娛與性別沒有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可能性小于0.005，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“寵愛體育還是寵愛文娛與性別有關(guān)．”拓展提升獨(dú)立性檢驗(yàn)的詳細(xì)做法(1)依據(jù)實(shí)際問題的須要確定允許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.(2)利用公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k.(3)假如k≥k0，推斷“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)覺足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練4])某地區(qū)甲校高二年級(jí)有1100人，乙校高二年級(jí)有900人，為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校高二年級(jí)在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成果，采納分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果，如下表：(已知本次測(cè)試合格線是50分，兩校合格率均為100%)甲校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成果：分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)10253530x乙校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成果：分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)153025y5(1)計(jì)算x，y的值，并分別估計(jì)以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成果的平均分(精確到1分)；(2)若數(shù)學(xué)成果不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，依據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成果有差異？”甲校乙校總計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)解(1)依題意知甲校應(yīng)抽取110人，乙校應(yīng)抽取90人，∴x＝10，y＝15，估計(jì)兩個(gè)學(xué)校的平均分，甲校的平均分為eq\f(55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10,110)≈75.乙校的平均分為eq\f(55×15＋65×30＋75×25＋85×15＋95×5,90)≈71.(2)數(shù)學(xué)成果不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀402060非優(yōu)秀7070140總計(jì)11090200k＝eq\f(20040×70－20×702,60×140×110×90)≈4.174，又因?yàn)?.174>3.841，故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成果有差異”．1.獨(dú)立性檢驗(yàn)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一種方法，是數(shù)學(xué)中的一種基本理論，是數(shù)學(xué)體系中對(duì)數(shù)據(jù)關(guān)系進(jìn)行探究的一種基本思想．推斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)可以通過等高條形圖進(jìn)行粗略推斷，也可以通過獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，利用公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cc＋d)計(jì)算出隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，通過查表確定臨界值k0.若k>k0說(shuō)明X與Y有關(guān)系，否則是沒有關(guān)系.2.解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的步驟(1)通過列聯(lián)表確定a，b，c，d，n的值，依據(jù)實(shí)際問題須要的可信程度確定臨界值k0；(2)利用K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)求出K2的觀測(cè)值k；(3)假如k≥k0，就推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”.其中第(2)步易算錯(cuò)K2的值，是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn).1．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，假設(shè)H0：變量x與變量y沒有關(guān)系，則在H0成立的狀況下，P(K2≥6.635)≈0.01表示()A．變量x與變量y有關(guān)系的概率是1%B．變量x與變量y有關(guān)系的概率是99%C．變量x與變量y沒有關(guān)系的概率是0.1%D．變量x與變量y沒有關(guān)系的概率是99.9%答案B解析因?yàn)镻(K2≥6.635)≈0.01，所以兩個(gè)變量有關(guān)系的可信度是99%，即兩個(gè)變量有關(guān)系的概率是99%.故選B.2．某工廠為了調(diào)查工人文化程度與月收入的關(guān)系，隨機(jī)抽取了部分工人，得到如下列聯(lián)表：文化程度與月收入列聯(lián)表(單位：人)由上表中數(shù)據(jù)計(jì)算得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6.109，請(qǐng)估計(jì)有多大把握認(rèn)為“文化程度與月收入有關(guān)系”()A．1% B．99%C．2.5% D．97.5%答案D解析由于6.109>5.024，故在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下，即有97.5%的把握認(rèn)為“文化程度與月收入有關(guān)系”．3．如圖是某地區(qū)男女中學(xué)生是否寵愛理科的等高條形圖，從圖中可以看出()A．是否寵愛理科與性別無(wú)關(guān)B．女生中寵愛理科的百分比約為80%C．男生比女生寵愛理科的可能性大D．男生中不寵愛理科的百分比約為60%答案C解析由等高條形圖，可知女生中寵愛理科的百分比約為1－0.8＝0.2＝2