1．直線的傾斜角(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.2．斜率公式(1)直線l的傾斜角為α≠90°,則斜率k＝tan_α.x1.x1.3．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線截距式a＋b＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面內(nèi)所有直線都適用1．若直線l的傾斜角為60°,則該直線的斜率為.解析：因?yàn)閠an60°=3，所以該直線的斜率為3.答案：32．過點(diǎn)(0,1)，且傾斜角為45°的直線方程是.解析：因?yàn)橹本€的斜率k＝tan45°=1，所以由已知及直線的點(diǎn)斜式方程，得y－1＝x-0，即y＝x＋1.答案：y＝x＋13．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a＝.22＝－答案：1或－24．已知a≠0，直線ax＋my－5m＝0過點(diǎn)(－2,1)，則此直線的斜率為.解析：因?yàn)橹本€ax＋my－5m＝0過點(diǎn)(－2,1)，所以－2a＋m－＝－以直線方程為－2mx＋my－5m＝0.又a≠0，所以m≠0，所以直線方程－2mx＋my－5m＝0可化為－2x＋y－5＝0，即y＝2x＋5，故此直線的斜率為2.答案：21．利用兩點(diǎn)式計(jì)算斜率時(shí)易忽視x1＝x2時(shí)斜率k不存在的情況.否則會(huì)造成失誤.3．直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件，當(dāng)截距為0時(shí)可用點(diǎn)斜式.BB1m②直線l的斜率為-;m④直線l過定點(diǎn)(1,0).其中正確的說法是(填序號(hào)).＝－其斜率不存在，過點(diǎn)(1,0)．所以①②不正確，④正確．又將點(diǎn)(0,1)代入直線方程得m－1=0，故只有當(dāng)m＝1時(shí)直線才會(huì)過點(diǎn)(0,1)，即③不正確.答案：④2．過點(diǎn)M(34)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為.4解析：①若直線過原點(diǎn)，則k＝－3，4＝－所以直線的方程為x＋y＋1＝0.答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透π2答案：2①兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等；其中正確說法的個(gè)數(shù)為.解析：若兩直線的傾斜角均為90°,則它們的斜率都不存在，所以①不正確．直線傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°,所以平行于x軸的直線的傾斜角為0°,不可能是180°,所以②不正確．當(dāng)x1＝x2時(shí)，過點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)y2)的直線的斜率才為所以③不正確.答案：0段PQ有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解析：如圖所示，直線l：x＋my＋m＝0過定點(diǎn)A(01)，331＝－＝－∴-m≤-2或－m≥2.答案：求傾斜角的取值范圍的2個(gè)步驟及1個(gè)注意點(diǎn)②利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角α的取值范圍.求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在.考點(diǎn)二直線方程重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研1(1)求過點(diǎn)A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的3的直線方程.(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程.解：(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×3＝－3.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)，因此4＝－(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得1=-2，所以直線方程為x＋2y＋1＝0；當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，則－5k＝2，＝－＝－故所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.直線方程求法中2個(gè)注意點(diǎn)(1)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件.(2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零).答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)——多角探明直線方程的綜合應(yīng)用是?？純?nèi)容之一，它與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、圓相結(jié)合，命題多為客觀題.(3)與圓相結(jié)合求直線方程問題.角度一：與基本不等式相結(jié)合的最值問題EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up11(x),a)＋EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up11(y),b)＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),a)＋EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),b)＝ab+≥2＋2＝4，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取到，故a＋b的最小值為4.b答案：4角度二：與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為.1故－1≤x0≤-2.答案：角度三：與圓相結(jié)合求直線方程問題3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A是半圓O：x2＋y2＝2(x≥0)上一點(diǎn)，直線OA的傾斜角為45°,過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為H，過H作OA的平行線交半圓于點(diǎn)B，則直線AB解析：直線OA的方程為y＝x，代入半圓方程得A(1,1)，代入半圓方程得所以直線AB的方程為1+3-1＋31+3-12-12-12答案：3x＋y－3－1＝0處理直線方程綜合應(yīng)用的2大策略(1)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時(shí)要能夠整理成過定點(diǎn)的直線系，即能夠看出“動(dòng)中有定”.(2)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快解析：由直線的方程得直線的斜率為k3，設(shè)傾斜角為α,則tanα=-3，所6以α=.66答案：62．直線l：xsin30°+ycos150°+1＝0的斜率是.解析：設(shè)直線l的斜率為k，則k=-3333．傾斜角為135°,在y軸上的截距為－1的直線方程是.解析：直線的斜率為k＝tan135°=-1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1=答案：x＋y＋1＝03∴-3≤k<0或3≤k≤1.3限.答案：三二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．(2019·常州一中月考)已知直線l的斜率為k，傾斜角為θ,若30實(shí)數(shù)k的取值范圍是.33答案：解析：依題意，直線的斜率因此其傾斜角的取值范圍是答案：3．若k∈R，直線kx－y－2k－1＝0恒過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為.解析：y＋1＝k(x－2)是直線的點(diǎn)斜式方程，故它所經(jīng)過的定點(diǎn)為(21).因?yàn)橹本€l0：x－2y－2＝0的斜率為2，則tan1所以直線l的斜率k＝tan2α=4答案：4x－3y－4＝0=1，即m2－5m＋6＝0，解得m＝2或3(m＝2不合題意，舍去)，故m＝3.答案：3l－2x＋y＋6＝0，13則這條直線的一般式方程是.13即斜率k＝tan60°=3.又該直線過點(diǎn)A(23)，軸上的截距之和的最小值是.解析：由直線l1(a>0，b>0)可知直線在x軸上的截距為a，直線在y軸上的截距為b.求直線在x軸和y軸上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直線經(jīng)過點(diǎn)(1,2)答案：3＋229．已知A(12)，B(5,6)，直線l經(jīng)過AB的中點(diǎn)M，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，解：法一：設(shè)直線l在x軸，y軸上的截距均為a.22法二：由題意知M(3,2)，所求直線l的斜率k存在且k≠0，則直線l的方程為y－2＝222210．過點(diǎn)A(1,4)引一條直線l，它與x軸，y軸的正半軸解：法一：由題意，設(shè)直線l：y－4＝k(x－1)，由于k<0，44＝－＝－當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時(shí)，即b＝2a時(shí)，取“＝”，即a＝3，b＝6.＝－三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．已知曲線則曲線的切線中斜率最小的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為．xxEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),e)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),e)xx2x取等號(hào))．所以當(dāng)x＝0時(shí)，曲線的切線斜率取得最小值，此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為切線的方程為y－2＝－4(x－0)，即x＋4y－2＝0.該切線在x軸上的截距為2，在y軸上的截距為，所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積122點(diǎn)(－2,1)．第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系1．兩條直線平行與垂直的判定①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.2．兩條直線的交點(diǎn)的求法{3．距離－y1|=2－y1|=2離離1．已知過點(diǎn)A(－2，m)和B(m,4)的直線與斜率為－2的直線平行，則實(shí)數(shù)m的值是 .解析：由題意可知2，所以m8.答案82．已知直線l：y＝3x＋3，那么直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程為 .7x＋y＋22＝0.答案：7x＋y＋22＝03．與直線y＝－3x＋1平行，且在x軸上的截距為－3的直線l的方程為.解析：由題意，知直線l的斜率為－3，且在x軸上的截距為－3，所以直線l的方程為＝－答案：3x＋y＋9＝01．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，易忽視斜率是否存在，兩條直線都有斜率可根據(jù)條件進(jìn)行判斷，若無斜率，要單獨(dú)考慮.2．運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時(shí)易忽視兩方程中的x，y的系數(shù)分別相等這一條件盲目套用公式導(dǎo)致出錯(cuò).的條件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”).解析：由于直線l1：x－y－1＝0與直線l2：x＋ay－2＝0平答案：充要11123的方程為x=,232553＝－3②當(dāng)l1，l2的斜率都存在時(shí)，直線l1的斜率k1直線l2的斜率k2=-2，∴k1答案1或1考點(diǎn)一兩條直線的位置關(guān)系(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)＝－答案2 條件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”).解析：由直線ax－y＝0與x－ay＝1平行得a2＝1，即a=±1，所以“直線ax－y＝0與x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分條件.答案：必要不充分列條件的a，b的值.1過點(diǎn)(1,1)；2在第一象限內(nèi)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2.1過點(diǎn)(1,1)，＝－當(dāng)a＝0，b＝0時(shí)不合題意，舍去.＝－，∴a－b(a－1)＝0，③由題意，知a>0，b>0，直線l2與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為由③④,得由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),2)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),2)直線方程 1＝1 1＝1＝1在判斷兩直線位置關(guān)系時(shí)，比例式1與1多用比例式來解答.考點(diǎn)二距離問題重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研已知A(43)，B(21)和直線l：4x＋3y－2＝0，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使|PA|解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b).∵A(43)，B(21)，∴線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(32).而AB的斜率1，=2，即4a＋3b－2=±10，②處理距離問題的2大策略(2)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離相等，一般不直接利用兩點(diǎn)間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)在于同一點(diǎn)P.(2)求過點(diǎn)(－2,3)且與點(diǎn)P的距離為25的直線方程.解：(1)由{解得{解：(1)由{解得{l4x－3y－5＝0，ly＝1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).將點(diǎn)P的坐標(biāo)(2,1)代入直線ax＋y－3a＋1＝0，可得a＝－考點(diǎn)三對(duì)稱問題?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)——多角探明對(duì)稱問題是高考?？純?nèi)容之一，也是考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力的一種常見題型.(4)對(duì)稱問題的應(yīng)用.角度一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題∴M(－1,6).角度二：點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問題解析：設(shè)A′(x，y)，答案角度三：線關(guān)于線的對(duì)稱問題3．直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對(duì)稱的直線方程是.答案：x－2y＋3＝0角度四：對(duì)稱問題的應(yīng)用射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為.所以解得a＝1，b＝0.又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，所以所求直線的方程為答案：6x－y－6＝01．中心對(duì)稱問題的2個(gè)類型及求解方法EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up14(x),y)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up14(2a),2b)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up14(x),y)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(1),1)求解.①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由②求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.2．軸對(duì)稱問題的2個(gè)類型及求解方法2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2).一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快解析：因?yàn)橹本€2x＋y－4＝0的斜率為－2，故由條件得k＝2.2答案：22．已知點(diǎn)A(－34)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為 .：－解析：因?yàn)橹本€3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，所以3m－24＝0，解得m=2.答案：24．(2019·宿遷模擬)直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是.解析：設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x，y)，則它關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)(2－x，y)在直線x-2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化簡(jiǎn)得x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝0解析：由題意得，點(diǎn)P到直線的距離為又即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范圍是[0,10].二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)解析：由題意可得a≠-5，所以，解得a7答案7一點(diǎn)，則PQ的最小值為.解析：因?yàn)?＝8≠-5，所以兩直線平行，根據(jù)平面幾何的知識(shí)，得PQ的最小值為這兩條平行直線間的距離．在直線3x＋4y－12＝0上取一點(diǎn)(4,0)，此點(diǎn)到另一直線6x＋8y+EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(29),10)答案：解析：由2×a＋(3－a)×(－1)＝0，解得a＝1.答案：1的交點(diǎn)(1,0)在l2上．又易知(02)為l1上一點(diǎn)，設(shè)它關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則解得答案：x－2y－1＝05．已知定點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B在直線x－y＝0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是 .解析：因?yàn)槎c(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B在直線x－y＝0上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)線段AB最短時(shí)，直線AB和直線x－y＝0垂直，AB的方程為y＋x－1＝0，它與x－y＝0聯(lián)立解得x＝2，y＝答案：解析：依題意，設(shè)直線l：y－4＝k(x－3)，2323答案：2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝07.設(shè)A，B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x-y＋1＝0，則直線PB的方程是.為x－y＋1＝0，得P(3，4)．直線PA，PB關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，直線PA上的點(diǎn)(0,1)關(guān)于直答案：x＋y－7＝02x＋4y的最小值為.3232答案：429．已知光線從點(diǎn)A(－42)射出，到直線y＝x上的B點(diǎn)后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)D(－1,6)，求BC所在的直線方程.則易得A′(－24)，D′(1,6).由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點(diǎn)B與C.故BC所在的直線方程為(1)證明直線l過某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).＝－得{〔2x＋y+〔2x＋y+=0，∴直線l恒過定點(diǎn)(－2,3).大．又直線PA的斜率＝－＝－三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校8b是方程x2＋x＋c＝0的兩個(gè)實(shí)根，且0≤c≤,則這兩條直線之間的距離的最大值和最小8值分別是.解析：依題意得|a－b|＝a＋b2－4ab＝1－4c，當(dāng)0≤c≤8時(shí)，2≤|a－b|=1－421—21—2221一21一2該直線為“切割型直線”．下列直線中是“切割型直線”的是(填序號(hào)).4①y＝x＋1；②y＝2；③y＝3x；④y＝2x＋1.4解析：設(shè)點(diǎn)M到所給直線的距離為d，①d＝12故直線上不存在點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離等于4，不是“切割型直線”；②d＝2<4，所以在直線上可以找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P，使之到點(diǎn)M的距離等于4，是“切割型直線＝|4×5－0|＝4，所以直3-2＋423線上存在一點(diǎn)P，使之到點(diǎn)M的距離等于4，是“切割型直線”；④d=5答案：②③＝－2＋1)＝－a4－a2＝－|＝－2＋1)＝－a4－a2＝－|2因?yàn)閍2≥0，所以b≤0.又因?yàn)閍2＋1≠3，所以b≠-6.故b的取值范圍是(-∞,-6)∪(－6,0].＋EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),a)，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(1),a)當(dāng)且僅當(dāng)a=±1時(shí)等號(hào)成立，因此|ab|的最小值為2.1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程＋E2－4F＞0)12半徑：D2＋E2－4F22.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解析：由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圓心坐標(biāo)為(23).2．圓心在y軸上且通過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是.答案：x2＋y2－10y＝0+1＝0上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.4．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析：因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4.2＜1，故－1＜a＜1.1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是.1解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0，得m＜4或m＞1.答案＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓，則該圓圓心位于第象限.＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的圖形是半徑為r的圓，所以a2＋(-＝－答案：四考點(diǎn)一圓的方程基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透-2＋b－2＝2，解得b=±3，從而圓C的方程為(x－2)2＋(y±3)2＝4.210標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析：因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C(0,0)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝1.的圓心到原點(diǎn)的距離為.解析：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則，解得∴△ABC外接圓的圓心為，故△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為331．求圓的方程的2種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程.①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.2．確定圓心位置的3種方法(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上，如“題組練透”第1題.(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線.[提醒]解答圓的有關(guān)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)——多角探明與圓有關(guān)的最值問題也是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.(4)建立目標(biāo)函數(shù)求最值問題.角度一：斜率型最值問題EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(y),x)值.解：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，3為半徑的圓.yyx的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，xEQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(y),x)解得k=±3.所以EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(y),x)的最大值為3，最小值為－3.角度二：截距型最值問題2．在[角度一]條件下求y－x的最大值和最小值.解：y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直2角度三：距離型最值問題3．在[角度一]條件下求x2＋y2的最大值和最小值.解：如圖所示，x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.又圓心到原點(diǎn)的距離為-22＝2，2000角度四：建立目標(biāo)函數(shù)求最值問題4．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0),B(m,0)(m＞0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°,則m的最大值為.EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up14(x),y)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(0),0)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up13(3),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up13(co),si)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up13(θ),θ)∵∠APB＝90°,即AP·BP＝0，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)＝xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)＋yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)＝26＋6cosθ+8sinθ答案：6求解與圓有關(guān)的最值問題的2大規(guī)律(1)借助幾何性質(zhì)求最值處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解.(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值是比較常用的.考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研2222－x0=±1，即y0＝x0±1.EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)與圓有關(guān)的軌跡問題的4種求法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程.(4)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.則kOPEQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up15(y),x)kAP＝xEQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up15(y),－)4.AP1，即1，化簡(jiǎn)，得x2＋y2－4x＝0.①∴弦BC的中點(diǎn)P的軌跡方程為(x－2)21由圓的定義，知點(diǎn)P的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1).一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快圓外”).解析：把點(diǎn)(1,2)代入圓的方程左邊等于5，所以點(diǎn)在圓上.答案：點(diǎn)在圓上2．已知點(diǎn)A(－45)，B(61)，則以線段AB為直徑的圓的方程是.AB1+21＋2=6+21＋2=64529，所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋3)2＝29.3．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(diǎn)P(0,0)對(duì)稱的圓的方程為.4．圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直線x－y＝1的距離為.解析：已知圓的圓心是(12)，到直線x－y＝1的距離是答案：2＝－解析：由題意知解析：由題意知x－y＝0和x－y－4＝0之間的距離為=22，所以r＝2；又因2為y＝－x與x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－(0,0)，由yx和x－y－4＝0聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)為(22)，所以圓心坐標(biāo)為(11)，二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)=πr2＝4π.答案：4π2．以點(diǎn)(21)為圓心且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為.存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，則m的值為.解析：因?yàn)榍€x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圓(x＋1)2＋(y-+3m＋4＝0，解得m1.答案1=0對(duì)稱，則圓C2的方程為.解得所以圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2=5．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y＝2的距離等于1，則半徑r的取值范圍是.解析：易求圓心(35)到直線4x－3y＝2的距離為5.令r＝4，可知圓上只有一點(diǎn)到已知直線的距離為1；令r＝6，可知圓上有三點(diǎn)到已知直線的距離為1，所以半徑r取值范圍在(4,6)之間符合題意.6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析：因?yàn)橹本€mx－y－2m－1＝0恒過定點(diǎn)(21)，所以圓心(1,0)到直線mx－y-210所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2.解析：由{得{＝－解析：由{得{＝－答案8．設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最解析：如圖所示，圓心M(3，－1)與定直線x＝－3的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6，又圓的半徑為2，故所求最短距離為6－2＝4.答案：49．已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(－1，0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P解：(1)由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．則直線CD的方程為y－2=-(x－1)，即x＋y－3＝0.2由①②解得{或{＝－由①②解得{或{＝－+2)2＝40.在直線l：x－y＋1＝0上.方程.＝－所以直線m的方程為x－3y－3＝0.lx－y＋1＝0，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．已知平面區(qū)域{y≥0，恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為.解析：由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓.∴圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)，半徑r=大時(shí)，圓心坐標(biāo)為.3．已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn).所以圓心為C(0,4)，半徑為4.故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM.3所以直線l的斜率為-,3EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(16),5)1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑r，圓心到直線的距離為d)相離相切ΔΔ＜0Δ=0觀點(diǎn)觀點(diǎn)相交相交ΔΔ>0解析：∵直線y＝ax＋1恒過定點(diǎn)(0,1)，又點(diǎn)(0,1)在圓(x－1)2＋y2＝4的內(nèi)部，故直線與圓相交.答案：相交2．(教材習(xí)題改編)已知過點(diǎn)M(－33)的直線l被圓x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦答案：x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝03．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，3)處的切線方程為.解析：由題意，知圓心為(2,0)，圓心與點(diǎn)P連線的斜率為－3，所以所求切線的斜率3為3，則在點(diǎn)(1，3)處的切線方程為x－3y＋2＝0.答案：x－3y＋2＝031．對(duì)于圓的切線問題，尤其是圓外一點(diǎn)引圓的切線，易忽視切線斜率k不存在的情形.2．兩圓相切問題易忽視分兩圓內(nèi)切與外切兩種情形.1．已知直線l與直線y＝x＋1垂直，且與圓x2＋y2＝1相切，切點(diǎn)位于第一象限，則直解析：由題意設(shè)直線l的方程為x＋y＋c＝0(c<0)．圓心(0,0)到直線x＋y＋c＝0的距答案：x＋y－2＝02．過點(diǎn)(2,3)與圓(x－1)2＋y2＝1相切的直線的方程為.解析：設(shè)圓的切線方程為y＝k(x－2)＋3，4所以切線方程為4x－3y＋1＝0，4所以直線方程為4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝0考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透33=0，圓心(－3,0)到直線l的距離因此該直線與圓相切.答案：相切2．(易錯(cuò)題)(2019·蘇北四市調(diào)研)直線(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)與圓x2＋y2-2x＋2y－7＝0的位置關(guān)系是.解析：法一：x2＋y2－2x＋2y－7＝0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圓心坐標(biāo)為(11)，半徑r＝3，圓心到直線的距離再根據(jù)r2－d2＝9而7a2－4a＋7＝0的判別式Δ=16－196=-法二：由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，則由{解得x1，y1，即直線(a＋1)x＋(a－1)y＋2lx＋y＋2＝0，11)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－75＜0，則點(diǎn)(－11)在圓x2+=0相交.答案：相交3．圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點(diǎn)的充要條件是解析：法一：將直線方程代入圓方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直線與圓沒有公共點(diǎn)的充要條件是Δ=16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－3，3).2法二：圓心(0,0)到直線y＝kx＋2的距離d=2EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up13(2),2)判斷直線與圓的位置關(guān)系的2大策略(1)若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法.盡量不用代數(shù)法．如“題組練透”第2題、第3題.考點(diǎn)二切線、弦長(zhǎng)問題重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研1．平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是.解析：∵所求直線與直線2x＋y＋1＝0平行，∴設(shè)所求的直線方程為2x＋y＋m＝0.∵答案：2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0立，可得a2＋ay－6＝0，即公共弦所在的直線方程為a2＋ay－6＝0，原點(diǎn)O到直線a2＋ay-6＝0的距離為EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(6),a)－a，根據(jù)勾股定理可得a2＝3＋解得a=±2.答案：±21．圓的切線方程的2種求法(1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ=0進(jìn)而求得k.(2)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切[提醒]若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則過M點(diǎn)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.2．弦長(zhǎng)的2種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程．在判別式Δ>0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).[提醒]代數(shù)法計(jì)算量較大，我們一般選用幾何法.則|AB|取得最小值時(shí)l的方程為答案：x－y＋5＝02．圓x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直線5x－12y＋c＝0所得的弦長(zhǎng)為8，則c的值是.________∵圓心坐標(biāo)為(12)，＝－答案：10或－68考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——縱引橫聯(lián)根據(jù)基本不等式可知94當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，故ab94944解決圓與圓位置關(guān)系問題的2大通法(1)處理兩圓位置關(guān)系多用圓心距與半徑和或差的關(guān)系判斷，一般不采用代數(shù)法.(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到.又由基本不等式92＋b2≥,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)“＝”成立.929292求解本題最小值的關(guān)鍵是掌握基本不等式[變式2]母題條件中“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，則ab的最大值為.24當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，故ab的最大值為.414答案：4[變式3]母題條件“外切”變?yōu)椤跋嘟弧?，則公共弦所在的直線方程為.解析：由題意得，把圓C1，圓C2的方程都化為一般方程.＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②由②-①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即所求公共弦所在直線方程為(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0.[變式4]母題條件“外切”變?yōu)椤叭魞蓤A有四條公切線”，則直線x＋y－1＝0與圓解析：由兩圓存在四條切線，知兩圓外離，22＞9.即a＋b＞3或a＋b3.>1，又圓心(a，b)到直線x＋y－1＝0>1，2答案：相離本題的關(guān)鍵是由兩圓公切線條數(shù)來確定兩圓的位置關(guān)系.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快解析：由兩圓心距離d2＋12＝17，22答案：相交(c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)為.據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長(zhǎng)的一半就等于所以弦長(zhǎng)為2.答案：2解析：設(shè)直線的斜率為k，又弦AB的中點(diǎn)為(－2,3)，所以直線l的方程為答案：x－y＋5＝044解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝圓心到直線y1的距離-(－1)|，解得m=±3，因?yàn)閳A心在y軸的左側(cè)，所以m＝3.答案：35．已知點(diǎn)P是圓C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一點(diǎn)，直線l：3x－4y－5＝0.若點(diǎn)P解析：由題意知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－3)2＝42，有2個(gè).答案：2二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)置關(guān)系是.解析：直線y＝kx－1恒經(jīng)過點(diǎn)A(01)，圓x2＋y2－2x－2＝0的圓心為C(1,0)，半徑為3，而|AC|＝2＜3，故直線y＝kx－1與圓x2＋y2－2x－2＝0相交.答案：相交＋y2＋2y－3＝0被直線x＋y－k＝0分成兩段圓弧，且較短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比解析：由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝4.較短弧所對(duì)圓周角是90°,所以圓心(01)到直線x＋y－k＝0的距離為.即，解得k＝1或－3.答案：1或－3解析：法一：聯(lián)立{解析：法一：聯(lián)立{lx－a2+y-3=0，則由題意可得Δ=[－(2a－2)]2－4×2×(a2－7)＝0，整理可得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或－5.法二：因?yàn)?x－a)2＋(y－3)2＝8的圓心為(a,3)=x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝822=22，即|a＋1|＝4，解得a＝3或－5.答案：3或－54．在圓x2＋y2＋2x－4y＝0內(nèi)，過點(diǎn)(0,1)的最短弦所在直線的傾斜角是.解析：由題意知，圓心為(－1,2)，過點(diǎn)(0,1)的最長(zhǎng)弦(直徑)斜率為－1，且最長(zhǎng)弦與π最短弦垂直，∴過點(diǎn)(0,1)的最短弦所在直線的斜率為1，即傾斜角是4.4答案：44，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|＝.解析：由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，∴圓心C(2,1)∴2＋a－1＝0，∴a1，∴A(－41).答案：66．直線y＝2x＋3被圓x2＋y2－6x－8y＝ .解析：圓的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圓心為(3,4)，半徑r＝5.又直線方程為2x－y＋3＝0，所以圓心到直線的距離為所以弦長(zhǎng)為2r2－d2=答案：45∠ACB最小時(shí)，直線l的方程是.解析：依題意得知，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，圓心C到直線l的距離達(dá)到最大，此時(shí)直線l與直線CM垂直，又直線CM的斜率為1，因此所求的直線l的方程是y－2(x－1)，即x+y－3＝0.答案：x＋y－3＝0作圓O的一條切線，切點(diǎn)為A，則|PA|的最小值為.答案：2心為(0,4)，半徑為2.(1)若直線l與圓C相切，則有＝2，解得a=-(2)過圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，故所求直線方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.10.如圖，已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線=0相切．過點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，＝－②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x+2).則由|AQ|＝＝1，得k=＝－三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校=0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則a2＋b2的最小值為所以圓C1與圓C2相內(nèi)切，所以－2a－o2＋o－b2＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以a2+EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up11(b2),a2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(4a),b2)答案：9B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)為.55答案：43．已知圓心為C的圓，滿足下列條件：圓心C位于x軸正半軸上，與直線3x－4y＋7=0相切，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為23，圓C的面積小于13.形OADB.是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.2＋3＝r，8又S=πr2＜13，∴a＝1，r＝2，又l與圓消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6∴Δ=(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20＞0，＋x2，y1＋y2)，MC＝(13)，假設(shè)OD∥MC，則－3(x1＋x2)＝y(tǒng)1＋y2，解得假設(shè)不成立，命題點(diǎn)一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系命題點(diǎn)一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系難度：低命題指數(shù)：☆☆☆1．(2019·山東高考改編)一條光線從點(diǎn)(－23)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2+(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為.解析：由已知，得點(diǎn)(－23)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(23)，由入射光線與反射光線的對(duì)稱性，知反射光線一定過點(diǎn)(23)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，則有d==1，解得k或k=-答案或-=0垂直，則l的方程是.x－y＋3＝0.答案：x－y＋3＝0ax－y＋1＝0垂直，則a＝.解析：由切線與直線ax－y＋1＝0垂直，得過點(diǎn)P(2,2)與圓心(1,0)的直線與直線ax-y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.答案：2命題點(diǎn)二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系命題點(diǎn)二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系難度：中命題指數(shù)：☆☆☆☆☆解析：圓的半徑r22＝2，圓心坐標(biāo)為(1,1)，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方解析：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＝－則{4D＋2E＋F＋20＝0，解得{E＝4，lD－7E＋F＋50＝0.lF＝－20.＝－＝－∴M(02＋26)，N(02－26)或M(02－26)，N(02＋26)，∴|MN|=46.答案：46-1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析：直線mx－y－2m－1＝0經(jīng)過定點(diǎn)(21).當(dāng)圓與直線相切于點(diǎn)(21)時(shí)，圓的半徑最大，此時(shí)半徑r滿足r2＝(1－2)2＋(0+32故PA·PB＝3×3×cos60°=.2答案：方程為.22＝－答案：x＋2y－5＝0解析：依題意，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(2b，b)(其中b＞0)，+(y－1)2＝4...(2)過點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2＋y2＝1相交于M，N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：其中正確結(jié)論的序號(hào)是．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))則2＋12＝2，解得r=2－2－b2=2＋2-===2－1.所以，①正確；=2，②正確；-1＝2，③正確.綜上，正確結(jié)論的序號(hào)是①②③.(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y＝2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.2故橢圓C的離心率EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(2y),x)02故直線AB的方程為x=±2.2≠t時(shí)，直線AB的方程為y－2=EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(2y),x)0EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up12(2y2),x0)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(＋),x)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up14(2),0)0xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2147483646(2),0)＋yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2147483646(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(4y2),x20)4xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up8(4),0)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(8),2)16=1交于M，N兩點(diǎn).整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.+k7+k7＋y1y2=(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋14k＋k=1＋k2＋8.所以|MN|＝2.第五節(jié)橢圓1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做a，c為常數(shù).2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)-b≤x≤b-a≤x≤a范圍－-b≤y≤b對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率－b2對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)c2+|PF2|等于.答案：102．設(shè)e是橢圓4＋k＝1的離心率，且e＝3，則實(shí)數(shù)k3．(教材習(xí)題改編)焦距是8，離心率等于0.8222．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)易忽視判斷焦點(diǎn)的位置，而直接設(shè)方程為22．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)易忽視判斷焦點(diǎn)的位置，而直接設(shè)方程為21．若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.________________由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c＝2，b＝1，2．已知橢圓的離心率為EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(4),5)，則k的值為∴=,解得k＝∴=,解得k＝.＜－＝－∴=,解得k∴=,解得k＝－21，所以k的值為或－21.考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透1．過橢圓4x2＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則A與B和橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成的△ABF2的周長(zhǎng)為所以a＝1.根據(jù)橢圓的定義，知△的周長(zhǎng)為=4a＝4.答案：42．若方程表示一個(gè)橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.解析：由題意，得{6－m>0，lm－2≠6－m，EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up11(PF),PF)17答案：7(1)2個(gè)求法：定義法、待定系數(shù)法.(2)1個(gè)注意點(diǎn)：利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)2a＞|F1F2|這2．橢圓中焦點(diǎn)三角形的5個(gè)常用結(jié)論當(dāng)y=±b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S有最大值為bc.0PFF(5)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c).考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——縱引橫聯(lián)2分別是橢圓C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，∠PF1F2＝30°,則橢圓的離心率為.2|＝3|PF2|，即c=2則e2=323應(yīng)用橢圓幾何性質(zhì)的2個(gè)技巧與1種方法(1)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使畫不出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到一個(gè)圖形．在求橢圓的相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系．(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解．的方程(或不等式)求解．535＝”，則橢圓的離心率為．5577解決與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的離心率問題的關(guān)鍵是利用正弦定理與比例性質(zhì)．即變形結(jié)合定義求解．范圍.根據(jù)橢圓定義可知3k＝2a，又結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的最大值為2c，即k≤2c，3333故橢圓的離心率的取值范圍為[變式3]母題條件中方程變?yōu)椤皒2＋2y2＝2”，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求|PF+122解：將方程變形為＋y2＝1，則2則PF＝(－1－xy)，PFP＝(1－xy)，PPF2＝(－2x02y0)，=2－yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)＋2，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)本題解決的關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù)后，充分利用橢圓上動(dòng)點(diǎn)滿足的范圍確定定義域，這一點(diǎn)易忽視.考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研226點(diǎn)為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OD交橢圓于M，N兩點(diǎn).62故橢圓C的方程為6＋2＝1.由{62得(1＋3k2)x2ly＝kx-2所以x1＋x2=因此直線OD的方程為x＋3ky＝0(k≠0).解得，x33ky3.ee所以FM·FN＝0，3－2y3)＝0，所以所以解得EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2(2),3)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2(2),3)k=±.故直線l1．直線與橢圓位置關(guān)系判斷的3步驟(1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程.(2)消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程.(3)當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ=0時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ＜0時(shí)，直線與橢圓相離.2．直線與橢圓相交時(shí)的常見問題的處理方法涉及問題中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)處理方法根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式點(diǎn)差法(結(jié)果要檢驗(yàn))的中點(diǎn)，若|AB|＝22，OC的斜率為22，求橢圓的方程.解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A，B的EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),2)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),2)＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，因?yàn)?，所以，即，所以b=再由方程組消去y得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，解得由①②解得a故所求的橢圓的方程為一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快21．已知橢圓1上的一點(diǎn)P到橢圓一焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一焦點(diǎn)距離為 解析：a2＝25，a＝5,2a＝10，即P到兩答案：72．若橢圓C：EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up12(x2),a2)＋EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up12(y2),b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(0，3)，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍，則2解析：由橢圓C：a2＋b2＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(0，3)，即b＝2答案：2123．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則橢圓C的方程是2 .解析：依題意，所求橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，且c＝1，e=→a＝2，b2＝a2－c2＝3，2224．橢圓16＋7＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1作x軸的垂線交橢圓于AEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)2答案：222的兩條互相垂直的直線l1，l2的交點(diǎn)在橢圓上，則此橢圓的離心率的取值范圍是.等號(hào)，即4a2≤2(4c2)，所以a≤2c，所以≥,即e≥答案：二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距為4.若P為橢圓C上一點(diǎn)，且△PF1F2的周長(zhǎng)解析：因?yàn)榻咕酁?，所以c＝2.因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)，且△PF1F2的周長(zhǎng)為14，所以25答案：52點(diǎn)，若△PF1F2是直角三角形，則△PF1F2的面積為.解析：由題意可得該橢圓短軸頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線的夾角是60°,所以該點(diǎn)P不可能是直角頂點(diǎn)，則只能是焦點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，此時(shí)△PF1F2的面積為2×2c×2答案：222=2|PF2|，則此橢圓的離心率為.所以2，所以e=55322橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，若MF1垂直于MF2，則橢圓的離心率為.EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(c),a)2＞b＞0)，若圓C1，C22解析：圓C1，C2都在橢圓內(nèi)等價(jià)于圓C2的右頂點(diǎn)(2c,0)，上頂點(diǎn)(c，c)在EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(c2),a2)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(c2),b2)即橢圓離心率的取值范圍是答案：6．若橢圓的方程為且此橢圓的焦距為4，則實(shí)數(shù)a＝.解析：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a-2－(10－a)＝22，解得a＝8.27．點(diǎn)P是橢圓1上一點(diǎn)，1188答案：32222答案1222(2)動(dòng)點(diǎn)(x，y)在曲線4＋b2＝1(b>0)上222((y2)4(b2)b2EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(b2),4)22在橢圓上.Q兩點(diǎn)，求證：△PF2Q的周長(zhǎng)是定值.根據(jù)已知，橢圓的左右焦點(diǎn)分別是在橢圓上，2故橢圓的方程是1.2EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校+3上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為.＝－22．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓C：x2＋y2－2x－15＝02的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.2答案122＝－請(qǐng)說明理由.則FP＝(3＋c,1)，F(xiàn)P＝(3－c,1)，故FP·FP＝(3＋c)(3－c)＋1＝10－c2＝－6，可得c＝4， =+2＋122＋12＝62，34342gu則FM＝(9，m)，F(xiàn)N＝(1，n)，又FM⊥FN，可得FM·FN＝9＋mn＝0，即mn＝－9，也就是(x－5)2＋y2－(m＋n)y－9＝0.故圓C必過定點(diǎn)(8,0)和(2,0).1．雙曲線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是雙曲線：2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)22標(biāo)準(zhǔn)方程x≤-a或x≥a，y∈Ry≤-a或y≥a，x∈R對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱性對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)漸近線離心率頂點(diǎn)漸近線離心率y=±axy=±bxcc＋b2a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)解析：由題意知y2－x2＝1，y=±答案：y=±xEQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(y),9)3．方程的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則m的取值范圍是.解析：依題意可得{答案：(-∞,0)點(diǎn)的兩條射線，若2a＞|F1F2|，則軌跡不存在.b的要求相同.3．注意區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中的a，b，c關(guān)系，在橢圓中a2＝b2+c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.aa當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，漸近線斜率為±b.2答案：172．已知點(diǎn)M(－2,0)，N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|－|PN|＝22，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.：，2(x≥2).3．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范