壓軸熱點考點11四邊形的相關概念、判定及性質

壓軸突破——2024年【中考?沖刺】數學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.如圖，點4（1,0）,3（0,2）,以A8為邊作正方形A5CD,點E是邊AD上一點，S.DE=^AD,則點E

2.已知點P在矩形ABC。的對角線AC上（不與點AC重合），下列命題為假命題的是（）

A.若PD=BC,則NPCB>NPCDB.若尸C=AB,則NABCvNAPD

C.若PC=PD,則=D.若PB=PD,則NAP3>NACD

3.如圖，菱形。4BC邊Q4在x軸的正半軸上，且點8的縱坐標為4,點尸從點。開始向點A運動，至點

A停止，過尸點與x軸垂直的直線與菱形另一邊交點為記。P=x,OP”的面積為S,且S與x的函

4.如圖，菱形ABC。中，ZA=60°,AB=4,點〃是邊CD的中點，直線所分別與A。、AB交于點E、

F,若點A與點M關于直線石尸對稱，則的值為（）

5.小明遇到這樣一道試題：如圖1,在平行四邊形A3CD中，點E是BC的中點，請利用無刻度直尺作圖.

（1）在圖1中，請過點￡作A3的平行線交AD于點凡

（2）在圖1中，請過點E作AC的平行線交于點G.

小明第（1）問的做法是：如圖2,①連接8D交AC于點。；②連接E0并延長，交AO于點片則E尸即

為所求.

小明第（2）問的做法是：如圖3,①連接BD交AC于點0；②連接并延長，交AD于點M；③連接AE,BM

交于點N；④連接ON并延長，交48于點G,連接EG,則EG即為所求.對小明的解答，下列說法正確

C.第（1）問正確，第（2）問錯誤D.第（1）問錯誤，第（2）問正確

6.如圖,.04BC的頂點0（0,0）,4（4,0）,點E（5,l）是邊A8的中點，則對角線AC,05的交點。的坐

A.（3,1）B.（4,1）C.（1,3）D.（2,1）

7.如圖，在矩形ABCD中，BC<AB,連接AC,尺規(guī)作圖如圖所示，直線MN與CO、交于點E、F,

連接AE、CF.甲說：圖中若/A砂=56°,則NBCF=32°;乙說：圖中若AB=6括，AD=6,則CE的

長為4g；丙說：圖中鉆=2DE.則下列說法正確的是（）

D

B

AF'N

A.甲、乙正確B.甲、丙正確C.乙、丙正確D.甲、乙、丙都正確

8.數學小組將兩塊全等的含30。角的三角尺按較長的直角邊重合的方式擺放，并通過平移對特殊四邊形進

行探究，如圖1,其中NADB=NCBD=30。，ZABD=ZBDC=90°,AB=CD=3,將Rt3co沿射線D8

方向平移，得到分別連接A8',DC'(如圖2所示)，下列有關四邊形AB'CD的說法正確的是

()

A,先是平行四邊形，平移百個單位長度后是菱形

B.先是平行四邊形，平移百個單位長度后是矩形，再平移2道個單位長度后是菱形

C.先是平行四邊形，平移6個單位長度后是矩形，再平移36個單位長度后是正方形

D.在Rt3CD平移的過程中，依次出現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形、正方形

二、填空題

9.矩形。1BC在平面直角坐標系如圖所示，04=12,OC=24,點￡、尸分別是。4、0c上的動點，點E、

廠分別從4。同時出發(fā)，沿Q4、0c方向，分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向點。、

C運動，當運動一秒時，EF〃AC；當時，直線班的解析式為

10.如圖，沿EF折疊菱形紙片ABCD,使得AD的對應邊恰好經過點C,若/B=60°,AB=2,A!ELAB,

(1)ZEFD'=.

(2)線段AE的長是.

11.如圖，現(xiàn)有一矩形紙片ABC。，AC為矩形ABCD的對角線，ZCAD=30°,AD=46,點、E為BC上

一點，沿線段OE將DEC折疊為_DEF,OE交AC于點G,連接尸G,作點G關于線段。/對稱的點H,

點H恰好落在對角線AC上，連接FH.則Z4GD的大小為°；CE的長為

12.如圖，將一副三角板放置在盒子中，已知.ABC的斜邊恰好與盒子的長度相等，QEF可以左右

移動，AC=EF=12cm,則線段AO的長度的取值范圍是.

13.如圖在矩形ABCD中，48=26，AD=S,E是AD上一點，連結班，過C作CVJ_3E于點尸.將_ABE

向右下方向平移到/HC的位置，/在8C上，四邊形CDE尸向左下方向平移到四邊形mBG的位置.若重

新組成的矩形CFGH與矩形ABCD全等，則DE的長為.ABE內有一點0,平移后對應點為點O',

若O'是矩形CFGH的中心，則點。到AD的距離為.

H

14.如圖，點G是矩形ABCD的邊AD的中點，點”是BC邊上的動點，將矩形沿GH折疊，點A,8的

對應點分別是點E,F,且點E在矩形內部，過點E作兇V〃AB分別交AD,BC于點M,N,連接AE.若

AD=6,AB=4,當G,E,C三點在同一條直線上時，GH的長為.

GM

15.如圖，在平面直角坐標系中，正方形48gG，4432c2,42233c3關于原點。位似，其中點3,B],

B2,鳥都在X軸上，點G在44上，C?在&與上.依此方式，繼續(xù)作正方形A*34c4,若點4坐標為（U）,

則點C”的坐標為.

B紇

16.如圖，點G是正方形ABC。邊AB上的一點，連接CG,過點C作CELCG,交4。的延長線于點E,

過點￡作歷，上，過點G作GF_LCG,E尸和Gb交于點尸，延長8交E尸于點“，連接G"，以HD

和AD為邊作矩形ADHI.記MEH的面積為5,AGHF的面積為S2,矩形ADHI的面積為S3,若=4,

4+S2—邑=3,則CE=.

1AGB

三、解答題

17.閱讀下面的例題及點撥，并解決問題：

例題：如圖①，已知四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形，點、B,C,G在同一直線上，連接AF,點

以是AF的中點，連接D”,HE,求證：DHLHE且空=1.

圖③

點撥1：如圖②，延長￡打交AO于點由題意可知仞所，易證：AMH烏FEH（AAS）,可得MH=HE,

AM=EF,又因為。暇=A￡>—A〃，DE=CD-CE,且CE=EF,所以。0=￡史，所以點X是等腰直

角三角形斜邊板上的中點，所以DH_LHE且—=1.

HE

點撥2：如圖③，延長DH使得HM=DH,連接A"、DF,MF,可證得四邊形AMFD是平行四邊形,

且RE、M三點共線，所以AD=MF=CD,又因為ME=2WF-￡F,DE=CD-CE,所以=

所以點”是等腰直角三角形阻f斜邊的中點，所以且F=L

問題:如圖④，四邊形ABCD與四邊形CEFG都是菱形，點8,C,G在同一直線上,且ZADC=NECG=60°,

連接AF,點》是AF的中點，連接D",HE,求證：DHLHE旦瞿=瓜

HE

18.如圖，延長矩形ABCD的邊A3到點E,使=連接CE,尸是CE上一點，連接轉交BC于點H,

交BD于點G.

（1）求證：AG=GF；

⑵若AB=6,AD=9,AF±CE,求CH的長.

19.如圖，正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，連接OE交邊48于點M,延長DM交CB延長線

于點R過E作EGLZ）廠交邊BC于點N,交。C延長線于點G,尸G和AC的延長線交于點P.

AD

E

F

G

P

(1)若AD=2,tanZADM=,求AE的長.

⑵若FB=NB.

①求ZEVF的度數；

②求證：3DE?=EC-EP.

20.閱讀與思考

小明在查閱勾股定理證明方法的過程中，看到一種利用“等積變形一同底等高的兩個平行四邊形的面積相

等”證明勾股定理的方法，并嘗試按自己的理解進行證明.

如圖1,在ABC中，ZACB=9O°,四邊形ADEC,四邊形BCfG,四邊形A8P。都是正方形.

圖1圖2

過點C作C7V〃A"交。E的延長線于點N,則四邊4VWC是平行四邊形(依據)

利用"等積變形“可得：方形ADEC=S平行四邊形.NC

將4VWC沿直線MQ向下平移MA的長度得到AMNC

若點A，恰好與點。重合，即M4=A。，貝U即為,QACC

延長CC'交QP于點利用“等積變形”可得：

S四邊形QACC，=$四邊形247H

同理：S正方形BCFG=$四邊形BPHT

S正方形AB/>2=S四邊形242H+S四邊形BPHT

?e?S正方形=S正方形ACED+$正方形BCFG

即AB2=AC2+BC2

(1)上述證明過程中的依據是.

⑵根據小明的思路，請你幫助小明證明“若點H恰好與點。重合”這一猜想.

(3)已知：(如圖2)正方形ABCD的邊長為8,E是邊8上的一個動點，以CE為一邊在正方形A3CD外作

正方形CEFG,連接50,8尸，點E在運動的過程中，尸的面積是否發(fā)生變化，若變化說出變化的理

由，若不變，請直接寫出DM的面積.

壓軸熱點考點11四邊形的相關概念、判定及性質

壓軸突破——2024年【中考?沖刺】數學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.如圖，點4(1,0),B(0,2),以AB為邊作正方形ABC。，點E是邊AO上一點，MDE=|A￡),則點E

【分析】過點E作于點”，先求出04=1,08=2,再證明AOB^NEHA,貝I]"="=坐=3,

HAHEAE4

求得HE=*A〃=|,則077=?,即可得到答案.

此題考查了相似三角形的判定和性質、正方形的性質、圖形和坐標等知識，熟練證明，AO3S.ZE744是解

題的關鍵.

【詳解】解：過點E作于點H,

???點A(l,0),3(0,2),

.?.OA=1,OB=2,

???四邊形ABC。是正方形，

AZBAD=90°,AD=AB,

44

/.AE=AD-DE=-AD=-AB

55f

ZBAO-^-ZEAH=ZAEH+ZEAH=90°,

JNBAO=ZAEH,

ZAOB=ZEHA=90°f

?5sNEHA,

.OBOAAB5

?畝一玩一瓦一入

HE=

13

???OH=AO+HA=—

5

???點E的坐標為

故選：A

2.已知點尸在矩形ABC。的對角線AC上（不與點AC重合），下列命題為假命題的是（）

A.若PD=3C,則ZPCB>NP8B.^PC=AB,則ZABCvZAPD

C.若PC=PD,則44￡）=NPZMD.若PB=PD,則NAP3>NACD

【答案】D

【分析】本題主要考查矩形的性質、等腰三角形的判定和性質、真假命題的判斷等知識，.依據相關圖形

的性質逐一判斷即可.

【詳解】解：???四邊形A3CD是矩形，

:.AB=CD,AD=BC,

.\ZDPA=ZDAP,

在矩形ABC。中，

AD〃BC,

：.ZPCB=ZDAP=ZDPA,

ZDPA>/PCD,

:"PCB>/PCD,

二.A項為真命題，不符合題意;

如圖，

DC

\P^

-----------------------------1/?

PC=AB=CD,ZABC=ZBAD=90°,ABCD,

：.Z.DPC=NCDP,ZACD=ABAC,

ZAPD=ACDP+ZACD=ZDPC+ABAC,

'：NDPC>NDAP,

：.ZDPC+ABAC>ZDAP+ABAC,

：.ZAPD>ZBAD

：.ZABC<ZAPD-,

，B項為真命題，不符合題意；

ZPCD=ZPDC,

?..四邊形A5CD是矩形，

/.ABCD,ZADC=ZBAD=90°,

：.ZPCD=ABAC=NPDC,

ZPDC+ZPDA=ABAC+APAD=90°,

ZPAD=ZPDA；

故選項C是真命題，不符合題意；

如圖，

當尸8=尸。時，無法證明NAP3>NACD,

故D選項是假命題，符合題意.

故選：D.

3.如圖，菱形Q4BC邊Q4在x軸的正半軸上，且點8的縱坐標為4,點尸從點。開始向點A運動，至點

A停止，過P點與x軸垂直的直線與菱形另一邊交點為記。P=x,OP河的面積為S,且S與x的函

數關系圖象如右圖，貝UcosNAOC的值為（）

【答案】A

【分析】根據題意得C?=a,OA=b=OC,CD=AE=4,n=-a-4=2a,n+4=-b-4=2b,在RgOCD

22

中，OD=a,OC=a+2,CD=4,利用勾股定理求得“=3,據此求解即可.

【詳解】解：作CD_LQ4于點D,作于點E,

根據題意得8=",OA—b—OC,CD-AE—4,n=-a-4=2a,n+4=-b-4=2b,

22

n.n-

?.a=—b=—+2=Q+2,

2f2

在R3OCD中，OD=a,OC=〃+2,CD=4,

6?+4?=（0+2）2,

解得a=3,

即。。=3,OC=5,

cosZ.AOC--——=—,

OC5

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，菱形的性質，勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問

題需要的條件.

4.如圖，菱形ABC。中，ZA=60°,AB=4,點M是邊CD的中點，直線EF分別與A。、AB交于點E、

F,若點A與點"關于直線石方對稱，則b的值為（）

【答案】C

【分析】利用勾股定理得出?！甑拈L，再利用菱形的性質以及等邊三角形的性質得出處，8,進而得出

答案.

【詳解】解：如圖所示：延長8,過點E4、EG_LC￡＞于點G,連接MB,EM,MF,

ZA=60°,四邊形ABCQ是菱形，

NGDE=6。。,

.?."￡￡>=30。，

設GD=x,則DE=2x,EG=下>x,

DM=2,

MG=x+2,

(x+2)2+(氐)2=(4—2x)2,

解得：x=0.6,

故。石=1.2,

連接AD,

CD=BC,ZC=60°,

.?.ADC8是等邊三角形，

M是。。的中點，

:.BMLCD,

BC=4,MC=2,

BM=26,

設BP=y,則MF=4_y,

故（2出尸+/=（4-y/,

解得：y=0.5,

12

，/的值為：1.2:0.5=y.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質以及勾股定理，利用勾股定理得出DE的

長是解題關鍵.

5.小明遇到這樣一道試題：如圖1,在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，請利用無刻度直尺作圖.

（1）在圖1中，請過點E作AB的平行線交AD于點?

（2）在圖1中，請過點E作AC的平行線交于點G.

小明第（1）問的做法是：如圖2,①連接30交AC于點。；②連接E。并延長，交于點E則所即

為所求.

小明第（2）問的做法是:如圖3,①連接80交AC于點。；②連接E。并延長，交AD于點M；③連接AE,BM

交于點N；④連接ON并延長，交A3于點G,連接EG,則EG即為所求.對小明的解答，下列說法正確

的是（）

圖1

兩問都正確B.兩問都不正確

C.第（1）問正確，第（2）問錯誤D.第（1）問錯誤，第（2）問正確

【答案】A

【分析】根據平行四邊形的性質，得出。1=OC,再根據中位線的判定，得出E。是二的中位線，再

根據三角形中位線的性質，即可判斷小明第（1）問的做法；根據平行四邊形的性質，得出

AB//EM,進而得出四邊形欣是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質，得出AN=NE,再根據中

位線的判定，得出ON是△ACE的中位線，再根據三角形中位線的性質，得出ON〃CE,再根據中位線的

判定，得出0G是，ABC的中位線，再根據三角形中位線的性質，得出4G=BG,再根據中位線的判定，

得出EG是一ABC的中位線，再根據三角形中位線的性質，即可判斷小明第（2）問的做法.

【詳解】解：???四邊形A3CD是平行四邊形，

OA=OC,OB=OD,

,點E是BC的中點，

；.E。是..ABC的中位線，

/.OE//AB,即￡F〃AB,故小明的作法正確；

四邊形ABC。是平行四邊形，

/.AM//BE,AB//EM,

.,.四邊形ABEM是平行四邊形，

Z.AN=NE,

'：AO=OC,

/.ON是AACE的中位線，

ON//CE,

又為AC的中點，

0G是，A6C的中位線，

AG=BG,

"?BE=EC,

：.EG是，ASC的中位線，

EG//AC,故小明的作法正確；

故選：A.

【點睛】本題考查作圖一復雜作圖，平行四邊形的性質，三角形中位線的判定與性質，解題的關鍵是理解

題意，靈活運用所學知識解決問題.

6.如圖，48c的頂點0（0,0）,A（4,0）,點E（5,l）是邊A3的中點，則對角線AC,08的交點。的坐

A.（3,1）B.（4,1）C.（1,3）D.（2,1）

【答案】A

【分析】根據題意易得。4=4,再證明DE為鉆的中位線，結合中位線的性質求得DE=；OA=2,即

可獲得答案.

【詳解】解：???0（0,0）,A（4,o）,

OA=4,

??,四邊形Q4BC為平行四邊形，對角線AC,的交點為0,

/.OD=BD,

又丁點E是邊A3的中點，

DE//OA,S.DE=-OA=2,

2

,?,點E（5,l）,

二點。的坐標為（3』）.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、平行四邊形的性質、三角形中位線的性質等知識，熟練掌握相關知

識并靈活運用是解題關鍵.

7.如圖，在矩形ABCD中，BC<AB,連接AC,尺規(guī)作圖如圖所示，直線MN與8、交于點E、F,

連接AE、CF.甲說：圖中若NA砂=56°,則NBCr=32°;乙說：圖中若48=6若，AD=6,則CE的

長為4TL丙說：圖中AE=2DE.則下列說法正確的是（）

A.甲、乙正確B.甲、丙正確C.乙、丙正確D.甲、乙、丙都正確

【答案】C

【分析】尺規(guī)作圖，得到AE平分/ZMC,MN是AC的垂直平分線，證明，EOC紀尸Q4,推出四邊形AFCE

是菱形，利用菱形的性質，勾股定理，含30度的直角三角形的性質，判斷甲，乙，丙的正確性，即可得

出結論.

【詳解】解：根據尺規(guī)作圖可得，AE平分//MC,是AC的垂直平分線，設E尸與AC交于點O,

'：MN1AC,

ZEOA=90%

ZEAC=90°-ZAEF=34°,

；AB//CD,

：.ZECA=ZFAC,ZCEF=ZAFE,

,：OA=OC,

:?、EOC金.FOA,

：.EC=AF,

???M/V是AC的垂直平分線，

：.AE=EC,AF=CF,

：.AE=EC=CF=AF,

???四邊形AFCE是菱形，

???ZACF=ZECA=ZEAC=34°,

ZBCF=90°-2x34°=22°,故甲說法錯誤；

^AE=EC=xf

;CD=AB=643,

：.DE=CD-EC=6y/3-x,在Rt2XADE中，AD2^DE2=AE2^

2

1?36+（66-％）=xf解得％=4石，

:?CE=46，故乙說法正確；

???四邊形AFC石是菱形，

：.ZEAC=ZFACf

?「AE平分/DAC,

JZDAE=Z.EAC,

ZZ）AB=90°,

???/DAE=ZEAC=ZFAC=30°,

/.AE=2DE,故丙說法正確.

故選C.

【點睛】本題考查角平分線，中垂線的作圖，矩形的性質，菱形的判定和性質，勾股定理，含30度角的

直角三角形.解題的關鍵是根據作圖痕跡判斷出AE平分NZMC,是AC的垂直平分線.

8.數學小組將兩塊全等的含30。角的三角尺按較長的直角邊重合的方式擺放，并通過平移對特殊四邊形進

行探究，如圖1,其中NADB=NCBD=30。，ZABD=ZBDC=90°,AB=CD=3,將Rt3co沿射線D8

方向平移，得到分別連接A8',DC'（如圖2所示），下列有關四邊形AB'CD的說法正確的是

A,先是平行四邊形，平移6個單位長度后是菱形

B.先是平行四邊形，平移右個單位長度后是矩形，再平移2道個單位長度后是菱形

C.先是平行四邊形，平移6個單位長度后是矩形，再平移36個單位長度后是正方形

D.在Rt3CD平移的過程中，依次出現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形、正方形

【答案】B

【分析】根據平移過程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性質求出平移距離即可.

【詳解】解：由題意可得：平移過程中，

AD//B'C,AD=B'C,CD=C'iy=3,

二四邊形AB'C'D是平行四邊形，

剛開始平移時，ZADC=ZABC=30°+90°=120P,

如圖，當平移至/AT）C=NABC=90。時，AD^C'D,

此時四邊形M'C'D是矩形，且不可能為正方形，ZDC'D'=30°,

CD'r-

???平移距離為：DD，=H=6

即平移G個單位長度后是矩形，

繼續(xù)平移，當AB與C力’共線時，

此時即四邊形AB，C￡>是菱形,

此時的總平移距離為8￡>=73AD=30,

即再平移2A/3個單位長度后是菱形；

綜上可得：平移過程中，四邊形4?'C'D先是平行四邊形，平移g個單位長度后是矩形，再平移2出個單

位長度后是菱形，

故選B.

【點睛】此題主要考查平行四邊形、矩形、菱形的判定和性質，勾股定理，含30度的直角三角形，綜合

利用了特殊四邊形的判定和性質.

二、填空題

9.矩形Q4BC在平面直角坐標系如圖所示，（M=12,OC=24,點、E、尸分別是。4、OC上的動點，點E、

下分別從4、。同時出發(fā)，沿Q4、OC方向，分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向點。、

C運動，當運動秒時，EF〃AC；當時，直線E尸的解析式為.

A

O

c48

【答案】6y=-2x+—

5

【分析】首先設當運動1秒時，EF〃AC,由此得=OF=2t,OE=U-t,再根據04c得叁。跖

EI士OEOF—

和，。4c相似，根據相似三角形的性質可求出方的值，當砂，03時，EOFs-OCB,則有~7^='再

t/CoC

列方程求出r的值，然后再求出點E與點尸的坐標，最后根據待定系數法可求出直線屏的解析式.

【詳解】解：設當運動t秒時，EF//AC,

依題意得：AE=t,OF=2t,

四邊形Q4BC為矩形，04=12,OC=24,

OE=OA-AE=12-1,

EF〃AC,

：QOEFS：OAC,

OE:OA=OF:OC,

即：（12T）:12=2〃24,

解得：t=6,

當E產_LOB時，且NEOF=90。，

ZOEF+ZEOB=90°,ZBOC+ZEOB=90°,

/.ZOEF=NBOC,

又ZE0F=N0CB=90。，

:,EOFs；OCB,

_OEOF

則nl有——=—

OCBC

n-t_2t

24~12

12

/.t=—

5

點E的坐標為點尸的坐標為（甘,。

設直線所的解析式為：y=kx+b,

將點尸代入、=依+》，

,48

b=——k=-2

5,解得：，

得：94748,

b=——

—k+b=O

I55

「?直線石尸的解析式為：y=-2%+彳.

48

故答案為：6,y=-2x+y.

【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定和性質，待定系數法求一次函數的解析式，解答此題的關鍵是

熟練掌握系數法求一次函數的解析式，難點是根據相似三角形的性質求出點E,歹的坐標.

10.如圖，沿E尸折疊菱形紙片ABCD,使得AD的對應邊A'D恰好經過點C,若=60°,AB=2,A!ELAB,

(1)NEFD'=.

(2)線段AE的長是

【答案】135°273-2

【分析】（1）證明NAEF+NDFE=180。，ZA'EB=ZAEA=90°,由對折可得：ZAEF=45°,可得

NEFD=ZEFD=135°；

（2）先延長A5,交于點G,根據三角形三角形外角性質以及等腰三角形的判定，即可得到

BC=BG=BA,設A￡=x=4E,則BE=2—x,A!G=2x,GE=4-x,再依據勾股定理可得

A'E+GE2^A'G2,進而得出方程，解方程即可.

【詳解】解：（1）:菱形ABCD,AB//CD,

：.ZAEF+ZDFE=180°,

AE±AB>

：.ZAEB=ZA'EA=90°,

由對折可得：NAEF=45°,

：./EFE!=Z.EFD=135°,

故答案為：135。；

（2）如圖所示，延長AB,交于點G,

G

:菱形ABC。，ZABC=60°,AD//BC,

：.ZA=180°-60°=120°=ZBCD,ZD=60°,AB=BC=CD=AD=2,

'''AEIAB，C=NA=120。，

/.ZBGC=120°-90°=30°,

又：ZABC=60°,

：.ZBCG=60°-30°=30°,

ZBGC=ZBCG=30°,

：.BC=BG=BA,設AE=x=AE,則BE=AB—AE=2—x,A'G=2x,

：.GE=BG+BE=2+2—x=4—x,

,：RtACE中，A'E+GE2=AG2,

x2+（4—%）"=（2x）-,解得：x=—2+2y/3）（負值已舍去）

/.AE=2退-2,

故答案為：2石-2.

【點睛】本題主要考查了折疊問題，等腰三角形的判定，菱形的性質，解一元二次方程以及勾股定理的運

用；解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，依據勾股定理列方程求解.

11.如圖，現(xiàn)有一矩形紙片ABC。，AC為矩形ABCD的對角線，ZC4D=30°,AD=g點、E為BC上

一點，沿線段OE將DEC折疊為_DEF,OE交AC于點G,連接尸G,作點G關于線段。/對稱的點H,

點H恰好落在對角線AC上，連接D",FH.則N4GD的大小為°；CE的長為.

AD

【答案】758-4后

【分析】證明NCDG=NQG=15。，可得ZAGD；再證明AG=4)=40，CE=CG,求出AC,可得結論.

【詳解】解：由折疊的性質可知，/CDG=/FDG，

G,4關于OF對稱，

/.DF±ACf

NC4r>=300,

,\ZADF=60°,

NAOC=90。，

ZCDF=90°-60°=30°,

ZCDG=ZFDG=15°,

/.ZAGD=90°-15°=75°.

AD=4y/3,ZADC=90°,ZCAD=30°f

;.AC=q=噌=8

cos30°百，

~T

ZBCD=ZADC=90°fZCDE=15°f

.\ZCED=75°,NADG=75。,

ZAGD=ZCGE=75°,

ZADG=ZAGD=75°,ZCEG=Z.CGE=75°,

AD=AG=4^/3,CE=CG=8-油.

故答案為：75；8-4若.

【點睛】本題考查作圖-軸對稱變換，矩形的性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是掌握

軸對稱變換的性質，靈活運用所學知識解決問題.

12.如圖，將一副三角板放置在盒子中，已知；ABC的斜邊恰好與盒子的長度相等，DE戶可以左右

移動，AC=EF=12cm,則線段AO的長度的取值范圍是.

【答案】（6-2A/3）cm<AD<（6V3-6）cm

【分析】依題意可知，當點8與點E重合時，線段4）的長度最小；當點A與點廠重合時，線段AO的長

度最大，分別求出兩個最值即可得解.

【詳解】解：將矩形盒子作如下標記：

ABG=CH,GH=BC,BC//GH,NBCH=NCBG=NG=NH=90。

?：BC//GH,ZACB=30°

，ZCAH=ZACB=30°,

又：AC=12cm,

BG=CH=1AC=1xl2=6（cm）,74H=dAC?-CH?=6八m,

在Rt^MC中，ABAC=9Q°,ZACB=30°,AC=12cm,

設AB=xcm,則BC=2xcm,

,/AB2+AC2=BC2,即d+12?=（2x『

解得：尤=4后

AB=4V§cm,BC=GH=86cm

/.AG=GH-AH=2Am

依題意得：當點8與點E重合時，AO的長度最小，作圖如下：

NCBG=90°,NDBF=NDEF=45°,BC//GH,

ZGBD=ZDBF=ZBDG=45°

DG=BG=6cm,

/.AD=DG-AG=（6-2^）cm

即A%,=（6-2⑹cm

當點A與點尸重合時，線段AD的長度最大，作圖如下:

同理可得：DH=CH=6cm

：.AD=AH-DH=（6y/3-6ym

即4=（6石-6km

綜上所示：線段AD的長度的取值范圍是：（6-2V3）cm<A￡><（6A/3-6）cm

【點睛】本題考查矩形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定

理等知識，正確找出取最值得情況是解題的關鍵.

13.如圖在矩形ABCD中，48=26，40=8,E是AD上一點，連結班，過C作CV_LBE于點尸.將ABE

向右下方向平移到田C的位置，/在BC上，四邊形CDEF向左下方向平移到四邊形mBG的位置.若重

新組成的矩形CFGH與矩形ABCD全等，則DE的長為.一ABE內有一點0,平移后對應點為點O',

若O'是矩形CFGH的中心，則點。到AD的距離為.

【分析】根據題意可得BE=CH=AT>=8,ZA=90°,則4石=屈匚IF=6，再由=即可

得到答案；連接CG,作0河，3c交2C于作GNL3C,交BC延長線于N,連接3”，由題意可得

BI=ED=2,HI=GH,ZBGH=ZBIH=ZA=90°,。為CG的中點，通過證明Rt.瓦汨絲RtBIH（HL）,

可得BG=2,通過證明/BNGJ-EAB可得NG=Y^,再根據三角形中位線定理可得=^NG=也，從

224

而即可得到答案.

【詳解】解：根據題意可得：BE=CH=AD=8,ZA=90°,

AE=\lBE2-AB2=?、?_（28）2=6,

:.DE=AD-AE=8-6=2；

如圖所示，連接CG,作O'M,3c交BC于/，作GV_L3C,交8C延長線于N,連接3”,

H

由題意可得5/=EE>=2,HI=GH,ZBGH=ZBIH=ZA=90°,O'為CG的中點，點。到的距離為O

到2C的距離,

在RtABGH和RtBIH中,

GH=IH

BH=BH

.-.RtBGH/RtBZH（HL）,

：.BG=BI=2,

NGNB=ZABC=9Q°,

:.GN//AB,

:.ZNGB=ZABE,

ZN=ZA=90°,

BNG^,EAB,

.BGNGnn2_NG

'^E~~AB，18_2A/7'

NG=旦,

2

OMLBC,GNIBC,O'為CG的中點,

O'M為ACNG的中位線,

O'M=-NG=—,

24

，點。到AD的距離為五，

4

故答案為：2；q7.

4

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、平移的性質、相似三角形的判定與性質、

三角形的中位線定理、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質、全等三角形的判定與性質、平移的性質、

相似三角形的判定與性質、三角形的中位線定理，添加適當的輔助線，是解題的關鍵.

14.如圖，點G是矩形ABCD的邊AD的中點，點H是邊上的動點，將矩形沿GH折疊，點A,8的

對應點分別是點E,F,且點E在矩形內部，過點E作MV〃筋分別交AD,BC于點M,N,連接AE.若

AD=6,AB=4,當G,E,C三點在同一條直線上時，GH的長為.

【答案】2亞

【分析】當G,E,C三點在同一條直線上時，過點H作必,的于點以由點G是矩形ABCD的邊AD的

中點得到AG=DG=；AD=3,由勾股定理得到CG=5,由平行線的性質和折疊的性質可證

NCHG=NCGH,得到CH=CG=5,則3"=1,證明四邊形是矩形，則AP=B〃=1,P"=A3=4,

得至〕JPG=AG—AP=3—1=2,用勾股定理即可求得GH的長.

【詳解】解：如圖，當G,E,C三點在同一條直線上時，過點H作〃于點P,

???點G是矩形ABCD的邊AD的中點,

AG=DG=-AD=3,

2

V?D90?,CD=AB=4,

二CG=-JDG2+CD2=5-

,/AD〃BC,

??.ZAGH=NCHG,

??,將矩形沿GH折疊，點A,5的對應點分別是點應F,

：.ZAGH=ZCGH,

：./CHG=/CGH,

：.CH=CG=5,

：.BH=BC-CH=6-5=1,

ZA=ZB=ZHPA=9Q°,

???四邊形ABHP是矩形，

?,.AP=BH=T,PH=AB=4,

：.PG=AG-AP=3-1=29

GH=yJPG2-^PH2=^22+42=2A/5

故答案為：2百

【點睛】此題考查了矩形與折疊、勾股定理與折疊問題，熟練掌握矩形的判定和性質、勾股定理是解題的

關鍵.

15.如圖，在平面直角坐標系中，正方形A54G，A2432c2,4為鳥G關于原點。位似，其中點'

B2,鳥都在X軸上，點G在44上，。2在4坊上.依此方式，繼續(xù)作正方形43334c4,若點A坐標為（U）,

則點。4的坐標為.

4c

oBB]B

【答案】（16,8）

【分析】根據題意求出直線的解析式為y=x，點4,4,4均在直線。A上，再根據正方形的性質求出

點C-c2,c3,c4,的坐標即可.

【詳解】解：：點A坐標為Qi），四邊形是正方形,

OB=1,A{B=BB[=1,G（2,l）,

:正方形A84G，4422c2，A3B2B3C3關于原點o位似，

直線。4的解析式為y=*,點4,A3,A,均在直線。4上，

x=2時y=2,則4(2,2),正方形也C?的邊長為2,

B、B2=B2c2=2,C2(4,2),

同理可得：4(4,4),C3(8,4),4(8,8),。3(16,8),

，故答案為：(16,8).

【點睛】本題考查的是位似變換、正方形的性質、圖形的變化規(guī)律，掌握位似變換的概念和性質是解題的

關鍵.

16.如圖，點G是正方形ABCD邊A3上的一點，連接CG,過點C作CELCG,交AD的延長線于點E,

過點E作過點G作Gb_LCG,斯和G尸交于點R延長8交E尸于點X,連接GH,以HD

和A￡)為邊作矩形AD印.記的面積為S-△GHF的面積為1，矩形ADHZ的面積為S3，若AB=4,

S]+S?—鼻=3,則CE=.

【答案】V26

【分析】證明四邊形GCEP是矩形，?ECD2DCG90?,ZADC=ZDCB=ZB=90°,

AB=BC=CD=AD=4,ZECD=ZBCG,可得ECDWGCB,證明四邊形CEFG為正方形，可得

S,+S2=^S^CEFG,設ED=BG=x,可得CG?=C￡2=/+16,結合5;+邑—$3=3,可得

S=（5,+5）-3=—.X2+8-3=—X2+5,HD=—x2+—,由tanNCED=tanNEHD,再建立方程求解即可.

322284

【詳解】解：■:CELCG,EF1CE,GF1CG,

二四邊形GCEF是矩形，?ECD?DCG90?,

「正方形ABCD,AB=4,

Z.ZADC=ZDCB=ZB=90°,AB=BC=CD=AD^4,

???ZEDC=NB=90。，/DCG+/BCG=90°,

:?/ECD=/BCG,

:?ECD沿GCB,

：.CE=CG,ED=BG,

???四邊形CEFG為正方形,

***‘I+§2=]§正方形CEFG，

設皮＞=5G=x,

ACG2=CE2=X2+16,

?.?1+82—53=3,

22

S3=(S1+S2)-3=1^+8-3=1X+5,

;矩形印MZ,

1,

HI=AD=4,4HD=—x+5,

2

：.HD=-X2+~,

84

同理可得：ZCED=ZEHD,

tanZCED=tanNEHD,

4x

X=A/10（負根舍去）,

xl%2+5,解得:

84

CE=^DE2+CD2=V10+16=V26.

【點睛】本題考查的是矩形的性質，正方形的判定與性質，勾股定理的應用，銳角三角函數的應用，靈活

的運用以上知識解題是關鍵.

三、解答題

17.閱讀下面的例題及點撥，并解決問題:

例題：如圖①，已知四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形，點、B,C,G在同一直線上，連接AF,點

口DH,

反是?的中點，連接HE,求證:DHLHE且-^=1.

HE

圖④

點撥1：如圖②，延長E"交AO于點由題意可知AD匹，易證：.AMH瑪FEH（A